Rekenkunde, eenheden en formules voor HAREC
10 april 2015 – presentator : ON5PDV, Paul
Vooraf : ‘expectation management’ 1. Verwachtingen van deze presentatie (inhoud, diepgang) U = R=
R . I = 8 Ω . 0,5 A = 4 V
(*)
300 mV 0,2 µA
2. Verwachtingen van de presentator 3. Verwachting van het publiek
* . Is het symbool voor vermenigvuldiging, om verwarring met letter x te vermijden
Agenda § § § § § § § § § §
Getallen Wiskundige bewerkingen – volgorde - breuken Vergelijkingen Regel van 3 Sinus en Cosinus Logaritme en decibel (dB) Grootheden en eenheden Wetenschappelijke notatie Veelgebruikte formules Formules bij parallel en serie schakelingen (R)
Getallen §
Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid (cijfers zijn symbolen die gebruikt worden om getallen weer te geven)
§
Getalverzamelingen § § § §
Natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3,…) Gehele getallen (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …) Reële getallen (6,34, -11,256, 1/3, π, …) Complexe getallen (6+i.7, -3-i.5, …)
- elk decimaal getal met een eindig aantal decimalen is een rationaal getal - in wiskunde gebruikt men letter i, in elektronica letter j, bvb 6+j7
Wiskundige bewerkingen §
Optellen is een rekenkundige bewerking van de eerste orde : grondtal1 + grondtal2 = uitkomst § 3+3 = 3+1+1+1 = 6
§
Vermenigvuldigen is herhaald optellen § 3+3+3+3+3 = 5x3
§
Machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen 5
§ 3x3x3x3x3 = 3
Wiskundige bewerkingen Volgorde : Bewerkingen tussen haakjes worden eerst uitgevoerd. Wanneer er meerdere bewerkingen achtereenvolgens worden uitgevoerd, dan is de regel : eerst machtsverheffen en worteltrekken dan vermenigvuldigen en delen ten slotte optellen en aftrekken 2
Voorbeeld : 7 x 3 + 5 – (5 + 3) 21 + 5 – 28
Wiskundige bewerkingen Iets over breuken : Breuken optellen à gelijknamig maken
Breuken vermenigvuldigen à noemers moeten NIET hetzelfde zijn Breuken delen à vermenigvuldigen met het omgekeerde
Vergelijkingen Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking waarin twee uitdrukkingen, aan elkaar gelijk worden gesteld X=Y.Z 8=8
10 = 5 . 2
X=Y.Z
8 =8 4 4
10 = 5 . 2 5 5 10 = 5 . 2 5 5
X =Z Y X =Y Z
2 =2
balansmethode : de waarde voor en achter het is-teken moet in balans blijven. Anders gezegd: je mag links en rechts van het gelijkheidsteken dezelfde berekening toepassen.
Vergelijkingen Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking waarin twee uitdrukkingen, aan elkaar gelijk worden gesteld 8=6+2
X=Y+Z
8-6=6+2-6
X–Y=Z
8-6=+2
X–Z=Y
Vergelijkingen Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking waarin twee uitdrukkingen, aan elkaar gelijk worden gesteld 8 = √64 2
2
(8) = (√64) 2
(8) = 64
Regel van drie Toepasbaar wanneer er een verband (evenr./ omgek.evenr.) is tussen 2 grootheden Hoe werkt die regel van drie ook weer ? Een doos ballonnen bevat 75 ballonnen en kost 10 euro. Hoeveel kosten 90 ballonnen dan? 75 ballonnen = 10 euro 1 ballon = 10:75 = 0,1333 euro 90 ballonnen = 90 x 0,1333 = 12 euro
Regel van drie toegepast De spanning over een weerstand bedraagt 100 V, de stroom door de weerstand bedraagt 0,3 A. Tot welke welke waarde moet de spanning verhoogd worden om een stroom van 5,5 A te hebben ? 0,3 A = 100 V 1 A = 100:0,3 = 333,33 V 5,5 A= 333,33 V x 5,5 = 1833,33 V
Sinus en Cosinus Getal π : verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel : π = 3,1415… (omtrek is 2.π.r of π.d)
Uit de formule voor de omtrek van een cirkel volgt dat een volledige cirkel overeenkomt met 2π radialen -> 1 rad ≈ 57,3 °
Logaritme
De logaritme van een bepaald getal is de exponent waarmee een constante waarde, het grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen. Voor grondtal 10 is de logaritme van 1000 bijvoorbeeld gelijk aan 3, dit omdat 1000 gelijk is aan 10 tot de macht 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103
Logaritme (log) : wiskundige bewerking, heeft voordeel dat heel grote variaties in getallen met kleine getallen kunnen weergegeven worden. Bvb log(0,0000000001) = -10 en log (10000000000) = 10
Logaritmische schaal : alle getallen met eenzelfde verhouding staan even ver van mekaar Logaritmisch Lineair
Werken met decibel (dB) Bel is logaritmische verhouding tussen 2 vermogens (bvb uitgangsvermogen/ingangsvermogen) Decibel (dB) = 10.log P2 P1 Voordeel van dB waarden : kunnen we gewoon optellen i.p.v. vermenigvuldigen (bvb in een ‘propagatiebudget’) Waarden om te onthouden : +3 dB = dubbel vermogen (dus +6 dB is 4-dubbel vermogen) - 3 dB = halvering vermogen +10 dB = vermogen x 10
Werken met decibel (dB) Soms wordt bij de dB waarde een referentie opgegeven : dBW, dB ten opzichte van een vermogen van 1 W, waarbij 0 dBW = 1 W dBm, dB ten opzichte van een vermogen van 1 mW, waarbij 0 dBm = 1 mW Bvb : 50 W = 50000 mW = 10.log(50000) = 46,99 dBm
Grootheden en eenheden Grootheid : Eenheid : Symbool (SI) :
Lengte meter m
Met voorzetsels (kilo, milli, …) : km, mm, cm, …
Grootheden en eenheden Grootheid
Eenheid
Symbool eenheid (SI)
Lading
coulomb
C
Spanning
volt
V
Stroom
ampère
A
Weerstand
ohm
Ω
Vermogen
watt
W
Tijd
seconde
s
Frequentie
hertz
Hz
lengte
meter
m
Grootheden en eenheden Grootheid
Eenheid
Symbool eenheid (SI)
Capaciteit
farad
F
Inductie
henry
H
Wetenschappelijke notatie §
§
manier om zeer grote of zeer kleine getallen weer te geven als een aantal malen een gehele macht van 10 Bvb, 1,3 . 106 = 1,3 x 1.000.000 § Een positieve exponent zegt ons hoeveel nullen er
staan achter de 1, of hoeveel plaatsen de komma naar rechts moet schuiven § Een negatieve exponent zeg hoeveel plaatsen de komma naar links moet schuiven
Wetenschappelijke notatie Voorbeelden 9
3 GW = 3.10 W 6 2,2 MΩ = 2,2.10 Ω 3 2,7 kHz = 2,7.10 Hz -3
30 mA = 30.10 A -6 0,16 µV = 0,16.10 V -9
30 nH = 30.10 H -12 65 pF = 65.10 F
Wetenschappelijke notatie Formules : getallen altijd noteren in de eenheid (zonder voorzetsel) 1.000.000 = 1.000 1.000
6
10 = 103 3 10 -3
3
I =
3.10 V 3 kV 3. 10 V 3V = 1,5 mA = = = 6 3 2Ω 2 MΩ 2. 10 Ω 2. 10 Ω -3
3
300 mV 300. 10 V 300. 10 V R= = = -6 0,2 µA 0,2. 10 A 0,2 A
= 1500 kΩ
Veelgebruikte formules §
Wet van Ohm : U = I . R § Spanning (V) = stroomsterkte (A) x weerstand (Ω)
I =U R
R=
U I
(de wet van Ohm wordt zeer vaak toegepast !)
Veelgebruikte formules §
Wet van Ohm : toepassingen § Berekening spanningsdeling
R1=70 Ω U1 = I.R1
U U2 R2=30 Ω
U1 = U.
R1 R1 + R2
U2 = I.R2
U2 = U.
R2 R1 + R2
In deze schakeling verdeelt de spanning zich evenredig met de grootte van de weerstand
Veelgebruikte formules §
Vermogen en energie § Een weerstand warmt op door de stroom die erdoor
vloeit. Het gedissipeerde vermogen hangt af van (is evenredig met) de spanning over de weerstand, en de stroom door de weerstand : P=U.I
U2 P= R
P = I2 . R
Wet van Joule
§ Het vermogen is een grootheid, gedefinieerd als de
opgewekte of verbruikte hoeveelheid energie (of arbeid) per tijdseenheid. In formulevorm
1 W = 1 Joule/s
Veelgebruikte formules §
Wet van Joule : toepassingen
In R1 (100 Ω) wordt 100 W gedissipeerd, welk vermogen wordt in R2 (200 Ω) gedissipeerd? A. 200 W B. 400 W C. 300 W D. 225 W
P = I2.R. Stroom kan berekend worden, maar is zelfde door R2, dus regel van drie is ook een mogelijkheid : à 100 Ω = 100 W à 1 Ω = 100 W / 100 = 1 W à 200 Ω = 1W.200 = 200 W
A
Veelgebruikte formules §
Vermogen en energie : toegepast § Wanneer een toestel op 5 uur tijd een arbeid heeft
verricht van 18.000 Joule, hoe groot is dan het vermogen van het toestel? A. 1000 W B. 100 W C. 10 W D. 1 W Vermogen (W) = energie (J) / tijdsduur (s) à 18000 J / 18000 s = 1 W
D
Veelgebruikte formules §
Reactantie Condensator (wisselstroom weerstand of ‘schijnweerstand’) § XC =
1 2.Π.f.C
Omgekeerd evenredig met frequentie en capaciteit : hoe hoger de frequentie, hoe lager de reactantie, hoe lager de frequentie, hoe hoger de reactantie. Voor DC, freq.=0, is de reactantie ‘oneindig’
§
Reactantie Spoel § XL = 2.Π.f.L evenredig met frequentie en capaciteit : hoe hoger de frequentie, hoe hoger reactantie, hoe lager de frequentie, hoe lager de reactantie. Voor DC, freq.=0, is de reactantie 0
Toepassing reactantie (impedantie)
Bij welke van de gegeven frequenties zal de impedantie van een netwerk gevormd door een weerstand van 150 Ω in parallel met een condensator van 750 pF het kleinste zijn?: A. 1 MHz B. 1,41 MHz
D
C. 2,82 MHz D. 4 MHz Condensator : hoe hoger de frequentie, hoe lager de reactantie die parallel staat à dus bij hoogste freqentie, laagste impedantie. Berekenen is hier niet echt nodig.
Toepassing reactantie (impedantie)
Bij welke van de gegeven frequenties zal de impedantie van een netwerk gevormd door een weerstand van 150 Ω in parallel met een spoel van 5 µH het grootste zijn? A. 1 MHz B. 2 MHz C. 3 MHz D. 4 MHz
D
Spoel : hoe hoger de frequentie, hoe hoger de reactantie die parallel staat à dus bij hoogste freqentie, hoogste impedantie. Berekenen is hier niet echt nodig.
Toepassing impedantie
Bij een frequentie van 10 MHz is de impedantie van een weerstand van 100 Ω in parallel met een spoel van 2 µH gelijk aan:
B
A. 56 Ω B. 78 Ω C. 161 Ω D. 226 Ω
Spoel : XL = 2.Π.f.L = 2. Π.10.106.2.10-6 = 125,6 Ω à
1 = 1 +1 Z R 2 XL2
√
= 78 Ω
Veelgebruikte formules §
Periode versus frequentie
f, frequentie in Hz T, periode van 1 cyclus in s
§
Golflengte versus frequentie λ (m) = 300 (indien frequentie in Mhz) f λ, golflengte in m f, frequentie in Hz v, voortplantingssnelheid van de golf in m/s, bvb 300.000 km/s of 3.108 m/s
Veelgebruikte formules §
Waarden van een sinusvormige wisselspanning § ogenblikkelijke waarde
(op ogenblik t)
§ Effectieve waarde (waarde van gelijkspanning die
hetzelfde vermogen zou verbruiken). Voor een sinus: ≈ 0,707 Umax
Veelgebruikte formules §
Indien de ogenblikkelijke waarde van een sinusoïdale wisselspanning met een frequentie van 1000 Hz gelijk is aan zijn amplitude en een waarde heeft van 10 V, wat is de ogenblikkelijke waarde 1 ms later ? A. 0 V B. 10 V C. 5 V D. 7,1 V
B
Periode van een sinusoïdale wisselspanning van 1000 Hz = 1/1000Hz = 1 ms à Na 1 ms later is de ogenblikkelijke waarde dezelfde = 10V
Veelgebruikte formules §
Een sinusoïdale wisselspanning met een maximale waarde van 30 V wordt aangesloten op een weerstand van 10 Ω. Het opgenomen vermogen is A. 90 W B. 45 W C. 21,2 W D. 42,4 W
Ueff = 0,707.Umax = 21,21 V à P = U2/R = 450/10 = 45 W
B
Formules bij parallel en serie schakelingen §
Serieschakeling weerstanden : § Rtot = R1 + R2 + R3 + …
§
Parallelschakeling weerstanden : 1 1 1 1 = + + +… § Rtot R1 R2 R3
Serie en parallelschakeling toegepast
Wat is de totale weerstand van deze schakeling ? A. B. C. D.
300 Ω 700 Ω 683 Ω 900 Ω
C
Om een totale weerstandswaarde van 2 Ω te bekomen moet men: A. B. C. D.
de schakeling laten zoals ze is een weerstand van 2 Ω in parallel bijschakelen een weerstand van 4 Ω verwijderen een weerstand van 1 Ω in serie plaatsen met de schakeling
D
Belangrijke tip : onthou dat in een parallelschakeling van weerstanden, de totale weerstand steeds kleiner is dan de kleinste waarde van de individuele weerstanden
” : g n i h t e r o “one m • Serie en parallel schakeling van condensatoren en spoelen • Modulatie-index (FM) • Kantelfrequentie van een filter • …
Vragen ?
