REGRESI • Curve Fitting • Regresi Linier • Regresi Eksponensial • Regresi Polynomial
Regresi
1
Curve Fitting: Kasus 1 Diberikan data berupa p kumpulan p titik-titik diskrit. Diperlukan estimasi / perkiraan untuk mendapatkan nilai dari titik-titik yang berada di antara t titik titik-titik titik di diskrit k it ttersebut b t
f(x0)
f(x0)
x0
x0 Regresi
2
Curve Fitting: Kasus 2 Dari kumpulan p titik yyang g membentuk data,, dapat p dibuat sebuah persamaan fungsi sederhana.
Regresi
3
Curve Fitting: Regresi Jika data menunjukkan sebuah derajat kesalahan atau noise, dapat dibuat kurva tunggal untuk merepresentasikan t ik ttrend d data d t tersebut. t b t
Regresi
4
Curve Fitting: Interpolasi Jika data yang disediakan sudah sangat presisi, pendekatan yang dilakukan adalah dengan membuat b t kurva k atau t urutan t kurva k yang sesuaii yang melalui masing-masing titik.
Regresi
5
Regresi g Linier Regresi Linier digunakan untuk menentukan fungsi linier yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui.
S b Sebaran d data t d dengan kkurva lilinier i Regresi
6
Untuk mendapatkan fungsi linier y=mx+c, dicari nilai m dan c
⎛ N ⎞⎛ N ⎞ N ∑ xn y n − ⎜ ∑ xn ⎜ ∑ y n ⎝ n =1 ⎠⎝ n =1 ⎠ m = n =1 2 N N ⎛ ⎞ 2 N ∑ xn − ⎜ ∑ xn n =1 ⎝ n =1 ⎠ N
N
c=
Regresi
∑y n =1
N
N
n
−m
∑x n =1
N
7
n
= y − mx
Contoh Penyelesaian Regresi Linier Carilah persamaan kurva linier jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut: xn 1 2 3 4 5 6 7
yn 0.5 2.5 2.0 40 4.0 3.5 6.0 5.5
∑x y
N=7
= 119.5
2 x = 140 y = 24 . 0 x = 28 ∑ n ∑ n ∑ n 28 24 x= =4 y= = 3.428571 77 x119.5 − 28 x 247
m=
n
7 x140 − 28
2
n
= 0.8392857
c = y − mx = 3.428571 − 0.8392857 x 4
= 0.0714282
Sehingga persamaan kurva linier :
y = 0.8392857 x + 0.0714282 Regresi
8
Tabel data hasil regresi
kurva
Regresi
y = 0.8392857 x + 0.0714282
9
No N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
y 0.910714 1.33036 1.75 2.16964 2.58929 3.00893 3.42857 3.84821 4.26786 4.6875 5 10714 5.10714 5.52679 5.94643 6.36607 6 78571 6.78571 7.20536 7.625 8.04464 8.46429
Algoritma g Regresi g Linier 1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i = 1,2,3,..,N 2. Hitung nilai m dan c dengan menggunakan formulasi dari regresi linier 3. Tampilkan fungsi linier 4. Hitung g fungsi g linier tersebut dalam range g x dan step p dx tertentu 5. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi linier tersebut
Regresi
10
Regresi g Eksponensial p Regresi Eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi eksponensial p yyang gp paling g sesuai dengan g kumpulan p titik data (xn,yn) yang diketahui. Regresi Eksponensial merupakan k pengembangan b dari d i regresi linier dengan memanfaatkan fungsi logaritmik
y = e ax +b
Untuk fungsi dapat di logaritma-kan menjadi atau
(
ln y = ln e ax +b
)
ln y = ax + b jika z = ax + b maka: z = ln y jik Regresi
11
Contoh Penyelesaian Regresi Eksponensial Carilah persamaan kurva eksponensial jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut: xi 1 2 3 4 5
yi 0.5 1.7 3.4 5.7 8.4
zi = ln y
-0.6931 0.5306 1.2238 05 1.7405 2.1282
Cari nilai a dan b seperti mencari nilai m dan c pada regresi linier
∑x
= 15
∑z
n
= 4.93
∑ xn zn = 21.6425
N=5
2 x ∑ n = 55
Sehingga persamaan kurva eksponensial menjadi:
5 x 21.6425 − 15 x 4.93 a= = 0.685 2 5 x55 − (15)
y=e
4.93 15 b= − 0.685 x = −1.069 5 5 Regresi
n
12
0.685 x −1.069
Tabel data hasil regresi i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kurva eksponensial
Regresi
y=e
0.685 x −1.069
13
x 1 15 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
y 0.6811 0 9593 0.9593 1.3512 1.9031 2.6805 3.7754 5.3175 7.4895 10.5487 14.8574
Algoritma g Regresi g Eksponensial p 1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i = 1,2,3,..,N 2. Ubah nilai y menjadi z dengan z = ln y 3 Hitung nilai a dan b dengan menggunakan formulasi dari 3. regresi linier (seperti mencari m dan c) ax + b 4. Tampilkan p fungsi g eksponensial p y=e 5. Hitung fungsi eksponensial tersebut dalam range x dan step dx tertentu 6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi eksponensial tersebut
Regresi
14
Regresi g Polynomial y Regresi Polynomial digunakan untuk menentukan fungsi polinomial yyang p gp paling g sesuai dengan g kumpulan p titik data (xn,yn) yang diketahui. Fungsi Pendekatan :
y = a0 + a1 x + a2 x 2 + .. + an x n Untuk persamaan polinomial orde 2 didapatkan hubungan :
Regresi
15
n n n ⎧ 2 xi )a1 + ( ∑ xi )a 2 = ∑ yi ⎪na0 + (i∑ =1 i =1 i =1 ⎪ n n n ⎪ n 2 3 ⎨( ∑ xi )a0 + ( ∑ xi )a1 + ( ∑ xi )a 2 = ∑ ( xi yi ) i =1 i =1 i =1 ⎪ i =1 n n n ⎪ n 2 3 4 2 + + = ( x ) a ( x ) a ( x ) a ( x yi ) ∑ ∑ ∑ ∑ i 0 i 1 i 2 i ⎪ i =1 i =1 i =1 ⎩ i =1
Contoh Penyelesaian Regresi Polinomial Carilah persamaan kurva polinomial jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut: xi 0 1 2 3 4 5
Regresi
yi 2.1 7.7 13.6 27 2 27.2 40.9 61.1
2 x ∑ xi yi = 585.6 ∑ i yi = 2488.8
n=6
∑ xi = 15 ∑ yi = 152.6 x = 2.5 y = 25.433 4 x ∑ x = 55 ∑ x = 225 ∑ i = 979 3 i
2 i
⎡6 15 55 ⎤ ⎧a0 ⎫ ⎧152.6 ⎫ ⎢15 55 225 ⎥ ⎪a ⎪ = ⎪585.6 ⎪ ⎬ ⎢ ⎥⎨ 1 ⎬ ⎨ ⎢⎣55 225 979⎥⎦ ⎪⎩a2 ⎪⎭ ⎪⎩2488.8⎪⎭ ⎧a0 ⎫ ⎧2.47857 ⎫ sehingga ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨a1 ⎬ = ⎨2.35929 ⎬ 2 y=2.47857+2.35929x+1.86071x ⎪a ⎪ ⎪1.86071 ⎪ ⎭ ⎩ 2⎭ ⎩ 16
Tabel data hasil regresi i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kurva polinomial
yy=2.47857+2.35929x+1.86071x 2.47857+2.35929x+1.86071x2
Regresi
17
x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
y 6 69857 6.69857 10.2041 14.64 20.0062 26 3028 26.3028 33.5298 41.6871 50.7748 60.7928 71.7411
Algoritma g Regresi g Polinomial 1. Tentukan N titik data yang diketahui dalam (xi,yi) untuk i = 1,2,3,..,N 2. Hitung nilai-nilai yang berhubungan dengan jumlahan data untuk mengisi matrik normal 3. Hitung nilai koefisien a0, a1,a2 dengan menggunakan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan 4. Tampilkan fungsi polinomial y = a0 + a1 x + a2 x 2 + .. + an x n 5. Hitung fungsi polinomial tersebut dalam range x dan step dx tertentu 6. Tampilkan hasil tabel (xn,yn) dari hasil fungsi polinomial tersebut Regresi
18