F y z i ka p ro s t ředn í škol y I
20
R5 G R A V I T A Č N Í P O L E V článku 5.3 jsme uvedli, že vrhy jsou složené pohyby v tíhovém poli Země, které mají dvě složky: rovnoměrný přímočarý pohyb a volný pád. Podle směru obou pohybů rozlišujeme: 1. vrh svislý vzhůru 2. vodorovný vrh 3. šikmý vrh Vrh svislý vzhůru je složený pohyb, při němž má rychlost v0 rovnoměrného pohybu opačný směr než tíhové zrychlení g (viz čl. 5.3). R5.1 Vodorovný vrh Vodorovný vrh koná těleso, které bylo vrženo rychlostí v0 vodorovným směrem. Vektor rychlosti v0 tedy svírá s vektorem tíhového zrychlení g úhel α = 90 ◦ . Působením tíhové síly se tray jektorie pohybu zakřivuje a tvoří ji část A v0 paraboly s vrcholem v místě vrhu. 1 2 gt Popíšeme trajektorii vodorovného 2 vrhu v souřadnicové soustavě Oxy B (obr. R5-1). Těleso je v počátečním 1 okamžiku v bodě A ve výšce h nad vo- h y = h − gt 2 dorovnou rovinou. Za dobu t urazí tě2 leso ve vodorovném směru dráhu rovnoměrného pohybu v0 t a ve svislém 1 D x O x = v0 t směru dráhu volného pádu gt 2 , takže 2 d souřadnice x, y tělesa v bodě B jsou: x = v0 t
Obr. R5-1
1 y = h − gt 2 2 V místě dopadu má těleso souřadnice x = d a y = 0. To znamená, že na vodorovnou rovinu těleso dopadne za dobu s 2h td = , g
R5.1 Vodorov n ý v rh
21
což je doba volného pádu tělesa z výšky h. Vzdálenost, do které těleso dopadne, čili délka vodorovného vrhu: s 2h d = v0 td = v0 g Příklad Těleso je vrženo vodorovným směrem z výšky 80 m počáteční rychlostí 20 m ·s−1 . Určete: a) souřadnice polohy tělesa za 3 s od počátku pohybu; b) vzdálenost, do které těleso dopadne. Řešení h = 80 m, v0 = 20 m ·s−1 , t = 3 s; x = ?, y = ?, d = ? a) Výpočet souřadnic: x = v0 t = 20 ·3 m = 60 m 1 1 y = h − gt 2 = 80 − ·10 ·32 m = 35 m 2 2
b) Výpočet délky vodorovného vrhu: s s 2h 2 ·80 d = v0 = 20 m = 80 m g 10 Otázky a úlohy Úlohy řešte pro g = 10 m ·s−2 . 1
Míč vržený vodorovným směrem rychlostí 12 m ·s−1 dopadl na zem za 3 s. Z jaké výšky byl hozen? Jak daleko dopadl? [45 m, 36 m]
2
Určete, jakou rychlostí dopadl kámen vržený z výšky 5 m vodorovným směrem, když dopadl do vzdálenosti 10 m vodorovně od místa, z něhož byl vržen. [14 m ·s−1 ]
3
Z vodorovné trubky umístěné ve výšce 1,25 m stříká voda do vzdálenosti 1,5 m od ústí trubky. Určete výtokovou rychlost vody. [3,0 m ·s−1 ]
4
Střela vystřelená z armádní pušky AK-47 opouští hlaveň rychlostí 715 m ·s−1 . O jakou vzdálenost střela mine cíl, jestliže je vystřelena vodorovným směrem na cíl ve vzdálenosti 100 m, který je ve stejné výšce jako puška? Odpor vzduchu je zanedbatelný. [≈ 9,6 cm]
22
R5 G R AV I TA Č N Í PO L E
R5.2 Šikmý vrh vzhůru Šikmý vrh vzhůru koná těleso, jehož vektor počáteční rychlosti v0 svírá s vodorovnou rovinou elevační úhel α. Opět si představíme, že těleso se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem ve směru šikmo vzhůru a současně se pohybuje volným pádem ve směru svislém. Trajektorie pohybu je část paraboly, jejíž vrchol C je v jejím nejvyšším bodě (obr. R5-2). y
v0
v0 t sin α C
v0 sin α O=A
1 2 gt 2
α v0 cos α x = v0 t cos α
B
1 y = v0 t sin α − gt 2 2 D
d
x Obr. R5-2
Trajektorii znázorníme v souřadnicové soustavě Oxy tak, že místo vrhu A má souřadnice x0 = 0, y0 = 0. Souřadnice bodu B, v němž se ocitne těleso v čase t od počátku pohybu, jsou: x = v0 t cos α 1 y = v0 t sin α − gt 2 2 Délku šikmého vrhu d určíme ze souřadnic bodu D, do kterého těleso dospěje za dobu pohybu td . Pro xD = d je yD = 0 a platí:
v0 td cos α = d 1 v0 td sin α − gtd2 = 0 2 Odtud najdeme, že doba pohybu tělesa td =
2v0 sin α , g
a po dosazení do vztahu pro d najdeme pro délku vrhu vztah d=
v2 2v02 sin α cos α = 0 sin 2α. g g
23
R5.2 Š i k m ý v rh v z h ůru
Délka vrhu závisí na druhé mocnině velikosti počáteční rychlosti v0 a na elevačním úhlu α. Při téže počáteční rychlosti je délka vrhu největší pro elevační úhel 45 ◦ (sin 2α = 1). Při menších, popř. větších elevačních úhlech je délka vrhu menší. Je však stejná pro dvojice doplňkových úhlů (např. 30 ◦ a 60 ◦ , obr. R5-3). y 20
70 ◦
15
60 ◦
10 5
20 ◦
0
10
20
30 ◦ 30
45 ◦
40
x
Obr. R5-3
Příklad Těleso bylo vrženo šikmo vzhůru počáteční rychlostí 30 m ·s−1 pod úhlem 60 ◦ . Určete a) polohu tělesa v čase t = 2 s, b) výšku vrhu, c) délku vrhu. Řešte pro g = 10 m ·s−2 . Řešení v0 = 30 m ·s−1 , α = 60 ◦ ; x = ?, y = ?; h = ?; d = ? a) Polohu tělesa určují souřadnice: x = v0 t cos α = 30 ·2 · cos 60 ◦ m = 30 m 1 1 y = v0 t sin α − gt 2 = 30 ·2 · sin 60 ◦ − ·9,81 ·4 m ≈ 32 m 2 2
b) K určení výšky vrhu potřebujeme zjistit dobu výstupu tv do této výšky, čili čas, v němž bude rychlost ve svislém směru nulová: v0 sin α − gtv = 0 v0 sin α tv = g
Výška vrhu h odpovídá největší hodnotě souřadnice y (h = ymax ), kterou
24
R5 G R AV I TA Č N Í PO L E
dosáhne za dobu výstupu: v 2 sin2 α 1 v0 sin α 2 1 = − v0 h = v0 tv sin α − gtv2 = 0 2 g 2 g v 2 sin2 α 302 sin2 60 ◦ = m ≈ 34 m = 0 2g 2 ·10 c) Délka vrhu: d=
v02 302 sin 2α = sin 120 ◦ m ≈ 78 m g 10
Šikmý vrh ve vzduchu je ovlivněn působením odporové síly a parabolická trajektorie se deformuje. Při střelbě se tato trajektorie označuje jako balistická křivka. Největší délka vrhu d ′ se dosahuje při elevačním úhlu 45 ◦ (obr. R5-4) a nazývá se dostřel. y ve vakuu ve vzduchu v 0
O
x
d′ d
Obr. R5-4
Otázky a úlohy Úlohy řešte pro g = 10 m ·s−2 . 1
Při výstřelu svírá hlaveň pušky úhel 30 ◦ a střela hlaveň opouští rychlostí 500 m ·s−1 . Určete celkovou dobu pohybu střely a vzdálenost, do které dopadne. [50 s; 22 km]
2
Helena Fibingerová vytvořila v roce 1977 světový halový rekord ve vrhu koulí 22,50 m. Určete optimální podmínky pro vytvoření tohoto atletického výkonu, pokud by vrh probíhal podle zákonitosti šikmého vrhu. [α = 45 ◦ , v0 ≈ 15 m ·s−1 ]
3
Do jaké vzdálenosti by koule z úlohy 2 doletěla na Měsíci, jestliže zrychlení volného pádu na Měsíci je přibližně g/6? [136 m]
R5.3 K ruh ová r yc h l os t
25
4
Chlapec hodil míč rychlostí 10 m ·s−1 pod úhlem 45 ◦ . Míč se odrazil od svislé stěny ve vzdálenosti 3 m od chlapce. V jaké výšce vzhledem k místu, z něhož byl hozen, míč narazil na stěnu? [2,1 m]
5
Jaký musí být elevační úhel šikmého vrhu vzhůru, aby výška vrhu byla rovna délce vrhu? [α ≈ 76 ◦ ]
6
Napište vztahy pro souřadnice x, y tělesa, které bylo z výšky h vrženo šikmo dolů.
R5.3 Kruhová rychlost V článku 5.4 je uveden zjednodušený výpočet kruhové rychlosti, které musí dosáhnout umělá družice Země, aby začala kroužit v malé vzdálenosti nad povrchem Země, kde ještě můžeme uvažovat, že gravitační zrychlení ag se příliš neliší od tíhového zrychlení g. Nyní odvodíme obecnější vztah pro velikost kruhové rychlosti, který platí i pro větší vzdálenosti od Země. Velikost kruhové rychlosti vk urvk číme následující úvahou. Na družici m o hmotnosti m, která je ve vzdálenosti r od středu Země o hmotnosti MZ , půFg sobí gravitační síla Fg o velikosti r MZ m Fg = ̹ 2 . S r RZ MZ Tato síla směřuje stále do středu Země (obr. R5-5), a vytváří tak dostředivou sílu Fd o velikosti Fd =
mvk2 , r
Obr. R5-5
která zakřivuje trajektorii družice do kružnice. Oba vztahy vyjadřují tedy tutéž sílu, proto Fd = Fg a po dosazení mvk2 ̹MZ m = . r r2 Odtud po úpravě vk =
s
̹MZ . r
26
R5 G R AV I TA Č N Í PO L E
Velikost kruhové rychlosti vk nezávisí na hmotnosti m družice. Závisí však na její vzdálenosti r od středu Země, tj. na poloměru trajektorie, kterou družice při pohybu opisuje. S rostoucí vzdáleností od Země se velikost kruhové rychlosti družice zmenšuje. Největší kruhovou rychlost by měla družice, která by se pohybovala v blízkosti povrchu Země po kružnici o poloměru r blízkém poloměru Země RZ . Velikost kruhové rychlosti je pak vk =
s
̹MZ . RZ
120 ◦
120
◦
Do výrazu dosadíme ̹ = 6,67 ·10−11 N ·m2 ·kg−2 , MZ = 5,98 ·1024 kg, RZ = = 6,37 ·106 m a dostáváme rychlost vk ≈ 7,9 km ·s−1 . To je velikost první kosmické rychlosti, tedy nejmenší rychlosti potřebné k tomu, aby raketa s družicí překonala zemskou gravitaci a pronikla do vesmíru. Pro technickou praxi jsou důležité tzv. stacionární družice, které setrvávají stále nad jedním místem povrchu Země a slouží pro telekomunikační účely (telekomunikační družice), především pro šíření televizního signálu, který přijímáme pomocí paraboly satelitního přijímače. Stacionární družice se umísŅují nad rovníkem a pokrývají signálem rozsáhlé území. K pokrytí téměř celého povrchu Země v podstatě postačují tři stacionární družice (obr. R5-6).
pól Země
120 ◦
Obr. R5-6
Určíme, v jaké výšce nad rovníkem se stacionární družice nachází. Aby setrvávala stále nad jedním místem povrchu Země, musí být její oběžná doba . totožná s periodou otáčení Země, tzn. T = 24 h = 86 400 s. Družice ve výšce h
R5.3 K ruh ová r yc h l os t
27
nad povrchem Země o poloměru RZ má rychlost v=
2π(RZ + h) , T
které odpovídá kruhová rychlost v dané výšce vk =
s
̹MZ . RZ + h
Poněvadž v = vk , dostaneme po dosazení a úpravě vztah pro výšku stacionární družice s 2 . 3 ̹MZ T h= − RZ = 36 000 km. 2 4π Stacionární družice se pohybují ve výšce přibližně h ≈ 5,6RZ . Otázky a úlohy 1
Jak velkou rychlostí se pohybuje Měsíc kolem Země? Jaká je doba jeho oběhu? Předpokládejte pohyb Měsíce po kružnici o poloměru r = = 3,84 ·108 m. [1 km ·s−1 , 27,4 dne]
2
Jak velká rychlost by se musela udělit Měsíci na jeho současné trajektorii, aby se trvale vzdaloval od Země? Použijte výsledek úlohy 1. [1,4 km ·s−1 ]
3
Jak by se změnila oběžná doba umělé družice Země, kdyby se její hmotnost zvětšila na dvojnásobek? [∗]
4
Jakou rychlost má umělá družice Země ve vzdálenosti 2RZ od středu Země? [5,6 km ·s−1 ]
5
V jaké výšce nad povrchem Země obíhá po kruhové dráze družice, která má poloviční rychlost, než je 1. kosmická rychlost? [∗]
6
Doba oběhu umělé družice, která se pohybuje v blízkosti povrchu planety, je T . Jaká je průměrná hustota planety? [∗]
7
Jakou polohu mají u nás antény pro satelitní příjem? Vysvětlete.
[∗]
R5 G R AV I TA Č N Í PO L E
28
R5.4 Sluneční soustava Největším tělesem sluneční soustavy je Slunce (obr. R5-7). Jeho průměr je přibližně 109krát větší než průměr Země. Hmotnost Slunce činí přes 9 % hmotnosti celé sluneční soustavy a je 333 000krát větší než hmotnost Země.
Obr. R5-7
Slunce je jedna z mnoha hvězd naší Galaxie. Je hvězdou střední velikosti. Jeho zářící povrchová vrstva zvaná fotosféra má teplotu asi 6 000 K. Ve slunečním nitru se odhaduje teplota až na 15 ·106 K. Kolem Slunce obíhají planety. Pět planet (Merkur, Venuše, Mars, Jupiter a Saturn) lze pozorovat za vhodných podmínek pouhým okem. Z hlediska fyzikálních vlastností planet rozlišujeme planety podobné Zemi (Merkur, Venuše, Mars) a obří planety (Jupiter, Saturn, Uran, Neptun). Z tohoto rozdělení planet se vymyká Pluto, který byl považován za nejvzdálenější planetu sluneční soustavy. Jeho rozměry i hmotnost jsou malé a za dráhou planety Neptun obíhá kolem Slunce více podobných těles, která mají srovnatelnou, nebo i větší hmotnost. Proto astronomové v roce 2006 rozhodli, že Pluto nebude řazen mezi základní planety sluneční soustavy a je považován za součást skupiny těles označovaných také jako transneptunická tělesa. Poměrné velikosti a trajektorie planet jsou zobrazeny v zeměpisných atlasech a údaje o planetách najdeme také v MFChT. Kolem většiny planet se pohybují měsíce. Největší počet měsíců mají planety Jupiter, Saturn a Uran, bez měsíců jsou Merkur a Venuše. V současné době je v naší sluneční soustavě registrováno několik desítek měsíců.
29
R5.4 S l un eč n í s ous t ava
Obr. R5-8
Obr. R5-9
Nejlépe prozkoumaným měsícem je náš Měsíc. Poněvadž doba rotace Měsíce je stejná jako doba jeho oběhu kolem Země, obrací k nám Měsíc stále stejnou polokouli (obr. R5-8). Odvrácená strana Měsíce byla zmapována teprve ve 2. polovině 20. století pomocí fotografií z kosmických sond (obr. R5-9). První snímky byly získány v roce 1959 pomocí kosmické sondy Luna 3. Významnou událostí ve výzkumu Měsíce byla v roce 1969 americká mise Apollo 11, při níž dne 20. července vstoupili na povrch Měsíce první lidé – N. Armstrong a B. Aldrin (obr. R5-10).
Obr. R5-10
30
R5 G R AV I TA Č N Í PO L E
Další tělesa sluneční soustavy jsou planetky. Velký počet planetek se pohybuje mezi dráhami Marsu a Jupiteru. Planetky mají průměry od několika metrů do několika set kilometrů. Jedna z největších planetek Ceres má průměr asi 1 000 km. Pozoruhodnými tělesy naší sluneční soustavy jsou komety (obr. R5-11), které se pohybují kolem Slunce po velmi protáhlých elipsách (s velkou výstředností). Podstatnou částí komety je jádro o průměru několika kilometrů. Je tvořeno shlukem menších těles, z něhož se v blízkosti Slunce uvolňují prachové částice a plyny, které pak vytvářejí ve sluneční záři rozsáhlou svítící atmosféru komety zvanou koma. Při větším množství prachových částic vzniká zářící chvost komety, dlouhý až několik milionů kilometrů. Nejznámější kometou je Halleyova kometa, jejíž oběžná doba je 76 let. Naposledy byla tato kometa nejblíže ke Slunci v roce 1986.
Obr. R5-11
Obr. R5-12
Komety mají omezenou životnost. Postupně se rozpadají a vytvářejí tak meteorické roje. Ty jsou tvořeny tělesy o velikosti drobných zrnek až velkých kusů o hmotnosti několika tun a označujeme je jako meteoroidy. Pohybují se po eliptických drahách, které protínají dráhu Země. Jestliže Země prochází průsečíkem těchto drah, vnikají meteoroidy velkou rychlostí do zemské atmosféry, rozžhavují se a jejich zářící stopu na noční obloze nazýváme meteor (obr. R5-12). Menší částice se v atmosféře vypaří. Zbytky větších meteoroidů někdy dopadnou na zemský povrch a nazýváme je meteority. Rozsáhlý prostor mezi jednotlivými tělesy sluneční soustavy není zcela prázdný, ale obsahuje velmi drobné částice prachu a plynů, převážně vodíku. Tyto částice tvoří tzv. meziplanetární látku. Kromě přirozených těles se nachází ve sluneční soustavě velký počet umělých těles. Jsou to zejména umělé družice Země, orbitální stanice, kosmické
31
R5.4 S l un eč n í s ous t ava
sondy, raketoplány, kosmické lodi. Tato tělesa plní nejrůznější výzkumné a praktické úkoly. Pomocí nich získáváme nové poznatky o Měsíci, o nejbližších planetách, o složení meziplanetární látky. Díky nim mohou být studovány podmínky pobytu člověka mimo Zemi. Meteorologické družice Země umožňují spolehlivější předpovědi počasí, telekomunikační družice zajišŅují přenos televizního signálu. Systém 24 nestacionárních družic obíhajících ve výšce přibližně 20 000 km je základem pro určování polohy pomocí navigace GPS (Global Positioning System), (obr. R5-13). Využívání umělých kosmických těles výrazně ovlivňuje rozvoj vědeckého poznání, kultury a techniky.
Obr. R5-13
Otázky a úlohy S použitím fyzikálních tabulek řešte následující úlohy. 1
Které planety sluneční soustavy mají větší hmotnost než je hmotnost Země?
2
Která planeta má nejkratší a která nejdelší oběžnou dobu?
3
Na které planetě je největší zrychlení volného pádu?
4
U kterých tří planet je největší úniková rychlost?
5
Ve kterém nejbližším roce můžeme opět spatřit Halleyovu kometu?
6
Vytvořte přehled klíčových událostí při kosmickém výzkumu Měsíce.
7
Z internetových zdrojů zjistěte údaje o družicích navigace GPS.
