PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ

Karel KUBEČKA, David JONOV

PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ pro obor Architektura a stavitelství a obor Dopravní stavby

PŘÍKLADY NAVRHOVÁNÍ PRVKŮ ZE ŽELEZOVÉHO A PROSTÉHO BETONU PODLE EC 2

Ostrava 2005/2006

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební Texty pro cvičení z př edm ětu Prvky betonových konstrukcí – navrhování podle Eurocode 2

Úvod

Učební texty jsou doplňkem přednášek a cvičení předmětu 221 059 – Prvky betonových konstrukcí na Fakultě stavební Vysoké školy báňské – Technické univerzitě Ostrava. Jsou určeny pro posluchače oborů Architektura a stavitelství a oboru Dopravní stavby na Fakultě stavební VŠB TU Ostrava a obsahují základní příklady dimenzování prvků konstrukcí ze železového a prostého betonu tak, jak jsou schválena pro výuku. Výpočty jsou na ukázkových příkladech demonstrovány včetně komentářů podle současně platné mezinárodní (evropské) normy, tedy podle ČSN EN 1992-1-1. Tato norma je českou verzí evropské normy EN 1992-1-1:2004. Evropská norma EN 1992-1-1:2004 má status české technické normy. Touto normou se nahrazuje ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) z dubna 2005 Učební texty jsou zaměřena na praktickou aplikaci přednášené látky, praktické postupy jsou uplatněny v příkladech s odvolávkami na přílohy uvedené v příloze. Podrobný teoretický výklad k těmto příkladům je jako komentář uveden v jednotlivých příkladech a zejména v souvisejícím učebním textu určeného jako doplnění přednášek.

V Ostravě, září 2005



Autoři

Ing. Karel Kubečka, Ph.D. Ing. David Jonov

Akademický rok 2005-2006, semestr zimní Strana: 2

 Ing.Karel Kubečka, Ph.D.,

& Ing.David Jonov


1

Ohyb

Dimenzování prvků na ohyb je ukázáno na několika základních příkladech tak, aby bylo zřejmé jakým způsobem se na únosnosti prvku podílí ocelová výztuž umístěná v tažené oblasti a vlastní beton přenášející tlakové síly v tlačené části průřezu. Dále je ukázán rozdíl mezi dimenzováním prvků metodou mezní rovnováhy a metodou mezních přetvoření.

1.1

Příklad 1 – prostě podepřená deska

Navrhněte železobetonovou stropní desku o rozpětí 3,0 m tak, aby vyhověla na mezní stav únosnosti- porušení ohybem. Deska je na dvou protilehlých stranách prostě podepřena a je zatížena nahodilým dlouhodobým užitným zatížením q k = 6kNm −2 (skladovací prostor). Na konstrukci použijte beton třídy C25/30 s maximální frakcí kameniva 8/16, vyztužený ocelí třídy 10 335 (J). Prvek se nachází ve vlhkém prostředí bez účinků mrazu (vnitřní prostor budovy s velkou vlhkostí). Skladba stropu je následující: cementový potěr betonová mazanina ŽB deska omítka

20 mm 60 mm 10 mm

Schéma konstrukce: 3 000

ŘEŠENÍ: 1.1.1

(Příloha 1)

Návrh tloušťky desky

Tloušťku desky navrhneme podle jejího rozpětí. Pro železobetonovou monolitickou desku prostě uloženou, působící v jednom směru lze použít vztahu h = tedy pro rozpětí l = 3000mm je h = 1.1.2

1 ⋅l , 25

1 ⋅ 3000 = 120mm 25

Výpočet zatížení

Stálé zatížení Cementový potěr

20mm

Betonová mazanina

60mm

ŽB deska

120mm

Omítka

10mm

γ=21 kNm-3 γ=23 kNm-3 γ=25 kNm-3 γ=18 kNm-3

Charakteristickou hodnotu celkového stálého zatížení spočteme jako součet součinů objemových tíh jednotlivých vrstev a jejich tlouštěk:

g k = 0,02 ⋅ 21 + 0,06 ⋅ 23 + 0,12 ⋅ 25 + 0,01 ⋅18 = 4,98kNm −2 Akademický rok 2005-2006, semestr zimní Strana: 3


& Ing.David Jonov


Výpočtovou hodnotu celkové stálého zatížení spočteme jako součin celkového stálého charakteristického zatížení gk, dílčího součinitele stálého zatížení γ G (pro zatížení stálé v tomto případě bude γ G= 1,35 ) a součinitele kombinace ψ :

g d = γ G ⋅ψ ⋅ g k = 1,35 ⋅ 1 ⋅ 4,98 = 6,723kNm −2 Proměnné zatížení Užitné - skladovací prostor: q k = 6kNm −2 Proměnné užitné výpočtové zatížení spočteme jako součin celkového proměnného charakteristického zatížení qk, dílčího součinitele proměnného zatížení γ Q (pro zatížení užitné v tomto případě bude γ Q = 1,5 ) a součinitele kombinace ψ :

q d = γ Q ⋅ψ ⋅ q k = 1,5 ⋅ 1 ⋅ 6 = 9kNm −2 1.1.3

Výpočet maximálního ohybového momentu

(viz Stavební statika)

Ohybový moment počítáme na jeden běžný metr šířky desky. Jeho maximum bude uprostřed rozpětí desky a jeho velikost je:

M Ed = M max =

1 1 ⋅ ( g d + q d ) ⋅ l 2 = ⋅ (6,723 + 9 ) ⋅ 3,0 2 = 17,688kNm / m´ 8 8

(g d + q d )

l = 3000 mm

M max

1.1.4

(Příloha 2)

Materiálové charakteristiky

• použitá ocel: J 10335 Charakteristickou hodnotu meze kluzu fyk podle ČSN 73 1201 najdeme v tabulce, pro ocel J 10335:

f yk = 325MPa Dílčí součinitel spolehlivosti materiálu pro základní kombinaci zatížení, který zmenšuje charakteristickou hodnotu meze kluzu oceli fyk na výpočtovou je:

γ s = 1,15 Akademický rok 2005-2006, semestr zimní Strana: 4


& Ing.David Jonov


Výpočtová hodnota meze kluzu je pak podíl charakteristické hodnoty meze kluzu a dílčího součinitele spolehlivosti materiálu:

f yd =

f yk γs

=

325 = 282,609 MPa 1,15

• použitý beton: C25/30

(Příloha 3)

Charakteristická hodnota pevnosti betonu v tlaku fck pro beton C25/30 je:

f ck = 25MPa Dílčí součinitel spolehlivosti materiálu pro základní kombinaci zatížení pro beton je:

γ c = 1,5 Výpočtová hodnota pevnosti betonu v tlaku je pak opět podíl charakteristické hodnoty pevnosti v tlaku a dílčího součinitele spolehlivosti materiálu:

f cd =

Geometrie

• šířka desky

b = 1m

• tloušťka desky

h = 0,120m

počítáme na 1 bm (běžný metr) šířky desky1

h = 0,12m

1.1.5

f ck 25 = = 16,667 MPa γ c 1,5

b = 1m

• návrh průměru výztuže

φ = 10mm

• minimální tloušťka krycí vrstvy c min = 10 mm - stupeň prostředí XC1 (suché prostředí), průměr výztuže je 10mm a jedná se o deskovou konstrukci, životnost 50 let, tedy (Příloha 4) třída konstrukce je S3. • přídavek k minimální krycí vrstvě ∆c dev pro monolitické konstrukce se většinou volí v rozmezí 5 až 10mm (pokud je při výrobě prvku kontrolována tl. krycí vrstvy), v tomto případě zvolíme doporučenou hodnotu ∆c dev = 10mm • jmenovitá tloušťka krycí vrstvy pak je c nom = c min + ∆c dev , v našem případě tedy:

c nom = 15 + 5 = 20mm

• účinná výška průřezu, neboli vzdálenost těžiště (osy) výztuže od horního povrchu ŽB desky je

1

d = h − c nom −

φ 0,010 = 0,12 − 0,02 − = 0,095m 2 2

POZOR !!! při výpočtu zatížení na 1m běžný a na 1 metr čtvereční !!! Akademický rok 2005-2006, semestr zimní Strana: 5


& Ing.David Jonov


• rameno vnitřních sil ve výztuži a tlačené části betonu lze přibližně určit jako z = 0,9 ⋅ d , tedy: z = 0,9 ⋅ d = 0,9 ⋅ 0,095 = 0,0855m

z

d

Nc n.o.

φ 1.1.6

Návrh ohybové výztuže

c nom = 20mm

N Rd

Ohybový moment působící v konstrukci nahradíme dvojicí sil stejné velikosti ale opačného směru, působící ve výztuži a tlačené části betonu na ramenu z. Velikost síly ve výztuži na 1bm šířky desky je:

N Ed =

M Ed z

=

17,688 = 206,877kN / m´ 0,0855

Plochu výztuže potřebnou k přenesení této síly spočteme jako podíl této síly a výpočtové hodnoty meze kluzu navržené oceli:

Ast , min =

N Ed 206,877 ⋅ 10 −3 = = 732,026 ⋅ 10 −6 m 2 / m´ f yd 282,609

Plocha jednoho prutu navržené výztuže je:

Ast ,1 =

π ⋅ φ 2 π ⋅ 0,012 = = 78,5398 ⋅10 −6 m 2 4 4

Potřebný počet prutů na 1 bm šířky desky získáme dělením potřebné plochy výztuže plochou jednoho prutu výztuže: nmin =

Ast ,min Ast ,1

=

732,026 ⋅ 10 −6 = 9,32 / m´ 78,5398 ⋅10 −6

Osová vzdálenost výztužných vložek musí být menší než podíl šířky desky a vložek v ní umístěných: a s ≤

b n min

=

1000 = 107,3mm , 9,32

navrhneme tedy osovou vzdálenost vložek a s = 100mm Navrženo J10 po 100mm plocha navržené výztuže na 1bm šířky desky se rovná součinu plochy jednoho prutu a počtu prutů na 1bm:

Ast = Ast ,1 ⋅

b 1000 = 78,5398 ⋅10 −6 ⋅ = 785,398 ⋅ 10 −6 m 2 / m´ as 100

Maximální síla, kterou je schopna tato výztuž přenést (únosnost výztuže):

N Rd = Ast ⋅ f yd = 785,398 ⋅ 10 −6 ⋅ 282,609 ⋅ 10 3 = 221,961kN / m´



& Ing.David Jonov


1.1.7

Posouzení

Posouzení (prokázání splnění podmínky rovnováhy) je povinná část statického výpočtu2 na rozdíl od návrhu výztuže. Návrh výztuže je „pomocný“ výpočet a je na statikovi jakým způsobem dojde k požadavku na „minimální nutnou plochu výztuže“. Je možno použít i výpočtu podle tabulek a nebo jednoduše jen plochu odhadnout a posoudit a v několika krocích dojít k ekonomicky přijatelnému výsledku.

1.1.7.1 Výpočet výšky tlačené oblasti a posouzení ohybové výztuže součinitel definující efektivní výšku tlačené zóny λ = 0,8

λ.x

η je součinitel tlakové pevnosti betonu, pro betony s f ck ≤ 50 MPa je η = 1

x

Nc z

výška tlačené oblasti betonu x je pro obdélníkový průřez:

x=

−3

N Rd 221,961 ⋅ 10 = = 16,647 ⋅ 10 −3 m λ ⋅ b ⋅ η ⋅ f cd 0,8 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 16,667

n.o.

N Rd

rameno vnitřních sil, neboli vzdálenost působiště síly v tlačené části betonu a těžiště výztuže je:

z=d−

λ⋅x 0,8 ⋅ 16,647 ⋅ 10 −3 = 0,095 − = 0,08834m 2 2

ohybová únosnost takto vyztužené desky je rovna součinu únosnosti výztuže a ramena vnitřních sil:

M Rd = N Rd ⋅ z = 221,961 ⋅ 0,08834 = 19,608kNm / m´

1.1.7.2 Posouzení Aby prvek splňoval podmínku únosnosti, musí únosnost tohoto prvku být větší, nebo alespoň rovna účinkům zatížení. V tomto případě, kdy jsme prvek navrhovali na prostý ohyb lze tuto podmínku vyjádřit nerovnicí:

M Ed ≤ M Rd

17,688kNm / m´≤ 19,608kNm / m´ => Vyhovuje

Navržený prvek podmínku splňuje.

(Příloha 5)

1.1.8 Konstrukční požadavky Navržená konstrukce musí splňovat také určité konstrukční požadavky: • tloušťka desky:

h = 120mm > 50mm

Vyhovuje

• minimální světlá vzdálenost mezi výztužnými vložkami musí být větší než průměr vložky, větší než největší zrno kameniva v betonu zvětšené o 5mm a zároveň větší než 20mm:

a s − φ = 100 − 10 = 90mm > a s , min

= φ = 10mm = d g + 5 = 16 + 5 = 21mm Vyhovuje = 20mm

2

Myšleno z pohledu praxe Akademický rok 2005-2006, semestr zimní Strana: 7


& Ing.David Jonov


• Maximální osová vzdálenost výztužných vložek je minimální z hodnot 2h a 250mm:

a s = 100mm < a s , max = min (2 ⋅ h;250mm ) = min (240mm;250mm ) = 240mm Vyhovuje

• ověření maximální a minimální plochy výztuže:

Ast = 6,82955 ⋅ 10 −4 m 2 > Ast ,min = 0,26 ⋅

f ctm 2,6 ⋅ bt ⋅ d = 0,26 ⋅ ⋅ 1 ⋅ 0,095 = 1,976 ⋅ 10 − 4 m 2 325 f yk

= 0,0013 ⋅ bt ⋅ d = 0,0013 ⋅ 1 ⋅ 0,095 = 1,235 ⋅ 10 −4 m 2 < Ast , max = 0,04 ⋅ Ac = 0,04 ⋅ 1 ⋅ 0,12 = 4,8 ⋅ 10 −3 m 2

Vyhovuje

• ověření započitatelnosti výztuže:

ξ=

f yd x 282,609 ≤ ξ bal ,1 ε yd = = = 1,413 ⋅ 10 −3 3 d Es 200 ⋅ 10

ξ=

16,647 ⋅ 10 −3 = 0,175 ≤ ξ bal ,1 = 0,712 0,095

ξ bal ,1 =

ε cu3 3,5 = = 0,712 εc cu 3 + ε yd 3,5 + 1,413

Vyhovuje

30 min.

Proveďte posouzení této konstrukce za předpokladu že: 1. změníte třídu betonu 2. změníte druh oceli Porovnejte jakým způsobem bude ovlivněna výška tlačené oblasti a jak to souvisí s únosností a proč.



& Ing.David Jonov


1.2

Příklad 2 – prostý nosník

Určete maximální světlou šířku otvoru překrytého železobetonovým průvlakem obdélníkového průřezu (viz schéma) tak, aby průvlak vyhověl na mezní stav únosnosti

–

porušení

prostým

ohybem. Průvlak je zatížen spojitým

f d = 66,800kN / m

zatížením

(včetně

vlastní tíhy) a osamělým břemenem

Fd = 146,500kN uprostřed rozpětí. Horní výztuž uvažujte pouze jako konstrukční. Průvlak

je

vyztuženého

z betonu ocelí třídy

třídy

C 30/37

10 505

(R).

Uložení průvlaku na podporách je 0,4 m. Obrázek 1: Překlad nad otvorem – staticky působí jako prostý nosník (ilustrační fotografie)

Schéma konstrukce:

Fd = 146,5 kN fd = 66,8 kN/m a

b L Eff /2

L Eff /2 L Eff

Schéma vyztužení: 400

600

3 φ R20 KRYTÍ 40 mm

3 φ R28 KRYTÍ 45 mm 2 φ R20 KRYTÍ 45 mm



& Ing.David Jonov


ŘEŠENÍ: 1.2.1

Materiálové charakteristiky

použitá ocel : R 10505 ⇒

(Příloha 2)

f yk = 490MPa γ s = 1,15 f yk 490 f yd = = = 426,087 MPa γs 1,15

použitý beton: C30/37 ⇒

1.2.2

f ck = 30MPa γ c = 1,5 f 30 f cd = ck = = 20,0 MPa γ c 1,5

(Příloha 3)

Průřezové charakteristiky

dolní výztuž: průřez φ1 = 28mm průřez φ 2 = 20mm

φ1 0,028 2 =π ⋅ = 615,752 ⋅ 10 − 6 m 2 4 4 2 φ2 0,020 2 =π ⋅ =π ⋅ = 314,159 ⋅ 10 − 6 m 2 4 4 2

plocha jednoho prutu As1,1 = π ⋅

As1, 2 plocha dolní výztuže

As = 3 ⋅ As1,1 + 2 ⋅ As1, 2 = 3 ⋅ 615,752 ⋅ 10 −6 + 2 ⋅ 314,159 ⋅ 10 −6 = 2475,574 ⋅ 10 −6 m 2 1.2.3

Geometrie průřezu3

b = 0,4m h = 0,6m průměr výztuže φ1 = 28mm , φ 2 = 20mm jmenovitá tloušťka krycí vrstvy c nom = 45mm ,

šířka průvlaku výška průvlaku

vzdálenost těžiště výztuže od horního povrchu ŽB průvlaku

d1 = h − c nom −

φ1 0,028 = 0,6 − 0,045 − = 0,541m 2 2

d 2 = h − c nom −

φ2 0,020 = 0,6 − 0,045 − = 0,545m 2 2

d=

d 1 ⋅ (3 ⋅ As1,1 ) + d 2 ⋅ (2 ⋅ As1, 2 ) As

=

(

)

d = 0,54202m

3

(

0,541 ⋅ 3 ⋅ 615,752 ⋅ 10 −6 + 0,545 ⋅ 2 ⋅ 314,159 ⋅ 10 − 6 2475,574 ⋅ 10 − 6

V případě zděných konstrukcí jsou rozměry dány modulem kusového staviva - zdícího materiálu Akademický rok 2005-2006, semestr zimní Strana: 10


& Ing.David Jonov

)


1.2.4

Výpočet výšky tlačené oblasti betonu 0,8 x

Fs = Fc Fs = As ⋅ f yd = 2475,574 ⋅ 10 −6 ⋅ 426,087 = 1054,810 ⋅ 10 −3 MN

Fc x

Fc = η ⋅ Ac,c ⋅ f cd = η ⋅ λ ⋅ x ⋅ b ⋅ f cd Fs = η ⋅ λ ⋅ x ⋅ b ⋅ f cd x=

n.o.

Fs 1054,810 ⋅ 10 −3 = = 0,16481m 1 ⋅ 0,8 ⋅ 0,4 ⋅ 20 η ⋅ λ ⋅ b ⋅ f cd

1.2.5

Fs

Výpočet únosnosti průvlaku v prostém ohybu

λ⋅x 0,8 ⋅ 0,16481 = 0,54202 − = 0,476096m 2 2 = Fs ⋅ z = 1054,810 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,476096 = 0,502191MNm = 502,191kNm

z=d− M Rd

kontrola započitatelnosti výztuže:

f yd x 426,087 ≤ ξ bal ,1 ε yd = = = 2,130 ⋅ 10 −3 3 d Es 200 ⋅ 10 0,16481 ξ= = 0,304 ≤ ξ bal ,1 = 0,622 Vyhovuje 0,54202

ξ=

1.2.6

ξ bal ,1 =

ε cu 3 3,5 = = 0,622 εc cu 3 + ε yd 3,5 + 2,130

Výpočet maximálního rozpětí průvlaku

Maximální ohybový moment od zadaného zatížení4 na délce leff musí být menší nebo maximálně roven vypočítané únosnosti průvlaku v ohybu, tedy:

M Ed ≤ M Rd Následující schémata zobrazují průběh vnitřních sil v průvlaku:

SCHÉMA ZATÍŽENÍ Fd = 146,5 kN f d = 66,8 kN/m a

b L Eff /2

L Eff /2 LEff

SCHÉMA PRŮBĚHU POSOUVAJÍCÍCH SIL - V

SCHÉMA PRŮBĚHU OHYBOVÉHO MOMENTU - M

M 4

MAX

Schéma zatížení je odvislé od uspořádání konstrukce. Při dostatečné výšce nadpraží se uplatní tzv. „klenbový efekt“ a překlad může být zatížen trojúhelníkovým zatížením – viz Zatížení staveních konstrukcí a Statika stavebních konstrukcí. Akademický rok 2005-2006, semestr zimní Strana: 11


& Ing.David Jonov


Reakce v podporách:

Ra = Rb =

(viz Statika stavebních konstrukcí)

1 ⋅ (Fd + f d ⋅ l eff 2

)

Maximální ohybový moment od zatížení bude v polovině rozpětí průvlaku:

M max = Ra ⋅ f d ⋅ leff

2

+

8

l eff

− 2 Fd ⋅ leff 4

f d ⋅ l eff 8

2

l eff f d ⋅ l eff Fd ⋅ leff f d ⋅ l eff 1 = ⋅ (Fd + f d ⋅ l eff )⋅ − = + ≤ M Rd 2 2 8 4 8 2

2

− M Rd ≤ 0

po dosazení:

66,8 ⋅ l eff

2

+

8

146,5 ⋅ l eff 4

− 502,191 ≤ 0

8,35 ⋅ l eff + 36,625 ⋅ l eff − 502,191 ≤ 0 2

l eff , max,1, 2

− 36,625 ± 36,625 2 − 4 ⋅ 8,35 ⋅ (− 502,191) = ⇒ l eff , max = 5,866m 2 ⋅ 8,35

l eff = 5,86m 1.2.7

Výpočet maximální světlé šířky otvoru

(Příloha 6)

Světlou šířku otvoru spočteme z efektivního rozpětí jako:

l n = l eff − 2 ⋅ a i , 1  1 ⋅ h; ⋅ t  , 2  2

pro ai platí ai = min 

ai

kde t je uložení průvlaku h je výška průvlaku V našem případě je uložení průvlaku t = 0,4m , a h = 0,6m a tedy ai = min (0,3m;0, 2m ) = 0, 2m .

Ln

ai

L L n Eff

t

L Eff

t

pak: l n = l eff , max − 2 ⋅ a i = 5,86 − 2 ⋅ 0,2 = 5,46m Světlá šířka otvoru překrytého zadaným průvlakem může být maximálně l n = 5, 46m , aniž by došlo k porušení průvlaku ohybem.

30 min.



& Ing.David Jonov


1.3

Příklad 3 – spojitý nosník o dvou polích, deskový trám

Navrhněte ohybovou výztuž železobetonového stropního trámu, který je součástí ŽB trámového stropu tak, aby vyhověl na mezní stav únosnosti. Uložení trámu lze na jeho koncích považovat za vetknutí a uprostřed rozpětí trámu za prosté podepření. Nahodilé dlouhodobé užitné zatížení stropu je q k = 6kNm −2 . Na konstrukci použijte beton třídy C 20/25 s maximální frakcí kameniva 8/16, vyztužený ocelí třídy 10 245 (K). Prvek se nachází v suchém prostředí (vnitřní prostor budovy). Tloušťka desky je 60 mm, průměr podélné nosné výztuže desky je 6 mm a její krytí je 20 mm. Průměr třmínků trámu uvažujte 6 mm. Skladba stropu je následující: cementový potěr

20 mm

betonová mazanina

60 mm

ŽB deska

60 mm

omítka

10 mm

Schéma konstrukce: A

A 4500

4500

60

300

80

Řez A:

200 1 350

1 350



& Ing.David Jonov


ŘEŠENÍ: (viz Zatížení stavebních konstrukcí)

1.3.1 Výpočet zatížení Stálé zatížení Cementový potěr

γ=21 kNm-3 γ=23 kNm-3 γ=25 kNm-3 γ=18 kNm-3 γ=25 kNm-3

20mm

Betonová mazanina

60mm

ŽB deska

60mm

Omítka

10mm

ŽB trám

200x300mm

- v pruhu šířky 1,35 m (zatěžovací šířka trámu)

g k = 0,02 ⋅ 21 ⋅ 1,35 + 0,06 ⋅ 23 ⋅ 1,35 + 0,06 ⋅ 25 ⋅1,35 + 0,01 ⋅ 18 ⋅1,35 + 2 ⋅ 0,01 ⋅ 0,3 ⋅ 18 + + 0,2 ⋅ 0,3 ⋅ 25 = 6,306kNm −1 = γ G ⋅ψ ⋅ g k = 1,35 ⋅ 1 ⋅ 6,306 = 8,5131kNm −1

g d1

g d 2 = γ G ⋅ψ ⋅ g k = 1,0 ⋅ 1 ⋅ 6,306 = 6,306kNm −1 Proměnné zatížení Užitné - skladovací prostor – v pruhu 1,35 m:

q k = 6 ⋅ 1,35 = 8,1kNm −1 q d1 = γ Q ⋅ψ ⋅ q k = 1,5 ⋅ 1 ⋅ 8,1 = 12,15kNm −1 q d 2 = γ Q ⋅ψ ⋅ q k = 0 ⋅ 0,7 ⋅ 8,1 = 0kNm −1 1.3.2

Výpočet maximálních ohybových momentů

(viz Statika stavebních konstrukcí) gd1

qd1

a

gd2

b

c

4500

4500

Z a0 = 0 1 1 2 ⋅ ( g d 1 + q d 1 ) ⋅ l ab = ⋅ (8,5131 + 12,15) ⋅ 4,5 2 = 102,6726kNm 4 4 1 1 2 = ⋅ ( g d 2 + q d 2 ) ⋅ lbc = ⋅ (6,306 + 0 ) ⋅ 4,5 2 = 31,924125kNm 4 4

Z ab = Z ba = Z bc = Z cb

Z c0 = 0 0 + 2 ⋅ M a ⋅ (l 0 a + l ab ) + M b ⋅ l ab + Z a 0 ⋅ l a 0 + Z ab ⋅ l ab = 0



& Ing.David Jonov


M a ⋅ l ab + 2 ⋅ M b ⋅ (l ab + l bc ) + M c ⋅ l bc + Z ba ⋅ l ab + Z bc ⋅ lbc = 0 M b ⋅ lbc + 2 ⋅ M c ⋅ (l bc + l c 0 ) + 0 + Z cb ⋅ lbc + Z c 0 ⋅ l c 0 = 0 2 ⋅ M a ⋅ (0 + 4,5) + M b ⋅ 4,5 + 0 ⋅ 0 + 102,6726 ⋅ 4,5 = 0 M a ⋅ 4,5 + 2 ⋅ M b ⋅ (4,5 + 4,5) + M c ⋅ 4,5 + 102,6726 ⋅ 4,5 + 31,924125 ⋅ 4,5 = 0 M b ⋅ 4,5 + 2 ⋅ M c ⋅ (4,5 + 0) + 31,924125 ⋅ 4,5 + 0 ⋅ 0 = 0 9 ⋅ M a + 4,5 ⋅ M b = −462,0267 4,5 ⋅ M a + 18 ⋅ M b + 4,5 ⋅ M c = −605,68526 4,5 ⋅ M b + 9 ⋅ M c = −143,6585625 Výpočet – soustava tří lineárních rovnic

M min = M a = −40,11991kNm M b = −22,43279kNm M c = −4,74567 kNm 1 1 ⋅ ( g d 1 + q d 1 ) ⋅ l ab = ⋅ (8,5131 + 12,15) ⋅ 4,5 = 46, 4920kN 2 2 M − Ma − 22,43279 + 40,11991 Vab = Ra = Vab 0 + b = 46,4920 + = 50,42247kN l ab 4,5 Vab 50, 42247 x= = = 2,44022m g d1 + q d1 8,5131 + 12,15

Vab 0 =

M max = M x = Ra ⋅ x − M max M max

(g d1 + q d1 ) ⋅ x 2

+ Ma 2 ( 8,5131 + 12,15) ⋅ 2, 44022 2 = 50,42247 ⋅ 2,44022 − − 40,11991 2 = 21,401kNm



& Ing.David Jonov


Obrázek znázorňující průběh vnitřních sil na trámu: 46,08529 kN

+ + -

x = 2,437 m

M a= -37,22203 kNm M b= -21,27364 kNm -

M c = -5,32524 kNm

-

-

+ +

M max = 18,94319 kNm 1.3.3 Výpočet spolupůsobící šířky desky spolupůsobící šířku desky pro T-průřez počítáme podle vztahu:

beff = ∑ beff ,i + bw ≤ b

beff ,i = 0, 2 ⋅ bi + 0,1 ⋅ l 0 ≤ 0,2 ⋅ l 0 ≤ bi bw je šířka trámu l0 je vzdálenost bodů na trámu, kde ohybový moment je nulový b a bi jsou vzdálenosti patrné z následujícího obrázku: b b eff

l [m]

h

kde

b1

b1

bw

b2



& Ing.David Jonov

b2


M a= -37,22203 kNm M b= -21,27364 kNm M c = -5,32524 kNm

M max = 18,94319 kNm x1

l0 x2

M = Ra ⋅ x −

(g d 1 + q d 1 ) ⋅ x 2

+ Ma = 0 2 (8,5131 + 12,15) ⋅ x 2 − 40,11991 = 0 M = 50,42247 ⋅ x − 2 10,33155 ⋅ x 2 − 50, 42247 ⋅ x + 40,11991 = 0 x1 = 1,00097m x 2 = 3,87947 m l 0 = x 2 − x1 = 3,87947 − 1,00097 = 2,8785m 1,35 − 0, 2 + 0,1 ⋅ 2,8785 = 0,40285m 2 < 0,2 ⋅ l 0 = 0,2 ⋅ 2,8785 = 0,5757 m

beff ,1 = beff , 2 = 0,2 ⋅ b1 + 0,1 ⋅ l 0 = 0, 2 ⋅ beff ,1 = beff , 2

1,35 − 0,2 = 0,575m 2 + bw = beff ,1 + beff , 2 + bw = 0,40285 + 0,40285 + 0, 2 = 1,0057 m < b = 1,350m

< b1 = b2 = beff = ∑ beff ,i

beff = 1,0057 m

1.3.4

Výpočet dolní ohybové výztuže

Maximální ohybový moment M Ed = 21, 401kNm Materiálové charakteristiky: • použitá ocel: K 10245

f yk = 245MPa

(Příloha 2)

γ s = 1,15 f yd =

f yk γs

=

245 = 213,043MPa 1,15



& Ing.David Jonov



f ck = 25MPa

(Příloha 3)

f ctm = 2,2 MPa γ c = 1,5 f cd =

1.3.5

f ck 20 = = 13,333MPa γ c 1,5

Geometrie průřezu

bw = 0,2m

beff = 1,0057m

φ = 16mm

φ w = 6mm

krytí třmínků trámu:

h = 0,360m

c min, w = 15mm (XC1, S4) ∆c dev = 5mm c nom, w = c min, w + ∆c dev = 20mm

d = h − c nom, w − φ w −

φ 0,016 = 0,36 − 0,02 − 0,006 − = 0,326m 2 2

z = 0,9 ⋅ d = 0,9 ⋅ 0,326 = 0,2934m 1.3.6

Návrh ohybové výztuže

N Ed =

M Ed

Ast , min

z N = Sd f yd

21,401 = 72,941kN 0,2934 72,941 ⋅ 10 −3 = = 342,379 ⋅ 10 −6 m 2 213,043

=

π ⋅ φ 2 π ⋅ 0,016 2 = = 201,062 ⋅ 10 −6 m 2 4 4 Ast 342,379 ⋅ 10 −6 = ,min = = 1,703 Ast ,1 201,062 ⋅ 10 −6

Ast ,1 = nmin

Navrženo 2K16, as=0,132m (as,max=250mm, ns=2)

Ast = Ast ,1 ⋅ n s = 201,062 ⋅ 10 −6 ⋅ 2 = 402,124 ⋅ 10 −6 m 2 N Rd = Ast ⋅ f yd = 402,124 ⋅ 10 −6 ⋅ 213,043 ⋅ 10 3 = 85,6697kN 1.3.7

Výpočet výšky tlačené oblasti a posouzení ohybové výztuže

beff = 1,0057 m

λ = 0,8

η =1



& Ing.David Jonov

(Příloha 4)


x=

N Rd 85,6697 ⋅ 10 −3 = 7,986 ⋅ 10 −3 m = λ ⋅ beff ⋅η ⋅ f cd 0,8 ⋅ 1,0057 ⋅ 1 ⋅ 13,333 λ⋅x 0,8 ⋅ 7,986 ⋅ 10 −3 = 0,326 − = 0,32281m 2 2 = N Rd ⋅ z = 85,6697 ⋅ 0,32281 = 27,655kNm ≤ M Rd

z=d− M Rd M Ed

21,401kNm ≤ 27,655kNm => Vyhovuje 1.3.8

Konstrukční požadavky

a s = 132mm < a s , max = min (2 ⋅ h;250mm ) = min (720mm;250mm ) = 250mm

(Příloha 5)

a s − φ = 132 − 16 = 116mm > a s ,min = φ = 16mm = d g + 5 = 16 + 5 = 21mm = 20mm Ast = 402,124 ⋅10 −6 m 2 > As ,min = 0, 26 ⋅

f ctm 2,2 ⋅ bt ⋅ d = 0,26 ⋅ ⋅ 0,2 ⋅ 0,326 = 152,222 ⋅ 10 − 6 m 2 f yk 245

= 0,0013 ⋅ bt ⋅ d = 0,0013 ⋅ 0,2 ⋅ 0,326 = 84,76 ⋅ 10 −6 m 2 < As , max = 0,04 ⋅ Ac = 2880 ⋅ 10 −6 m 2 ξ=

f yd x 213,043 ≤ ξ bal ,1 ε yd = = = 1,065 ⋅ 10 −3 d Es 200 ⋅ 10 3

ξ=

7,986 ⋅ 10 −3 = 0,024 ≤ ξ bal ,1 = 0,767 0,326

1.3.9

ξ bal ,1 =

ε cu3 3,5 = = 0,767 εc cu 3 + ε yd 3,5 + 1,065

Vyhovuje

Výpočet horní ohybové výztuže

Maximální (v absolutní hodnotě) ohybový moment M Ed = −40,120kNm Materiálové charakteristiky: • použitá ocel: K 10245

f yk = 245MPa

(Příloha 2)

γ s = 1,15 f yd =

f yk γs

=

245 = 213,043MPa 1,15



& Ing.David Jonov



(Příloha 3)

f ck = 25MPa f ctm = 2,2 MPa γ c = 1,5 f cd =

f ck 20 = = 13,333MPa γ c 1,5

1.3.10 Geometrie průřezu

bw = 0,2m

h = 0,360m

φ = 14mm

φ w = 6mm

krytí třmínků trámu:

φ deska = 6mm (Příloha 4)

c min, w = 15mm (XC1, S4) ∆c dev = 5mm c nom, w = c min, w + ∆c dev = 20mm

d = h − c nom, w − φ w −

φ 0,016 = 0,36 − 0,02 − 0,006 − = 0,326m 2 2

z = 0,9 ⋅ d = 0,9 ⋅ 0,326 = 0,2934m 1.3.11 Návrh ohybové výztuže

N Ed = Ast , min Ast ,1 nmin

M Ed z N = Ed f yd

40,120 = 136,742kN 0,2934 136,742 ⋅ 10 −3 = = 641,852 ⋅ 10 − 6 m 2 213,043

=

π ⋅ φ 2 π ⋅ 0,016 2 = = = 201,062 ⋅ 10 −6 m 2 4 4 A 641,852 ⋅ 10 −6 = st ,min = = 3,1923 Ast ,1 201,062 ⋅10 −6 Navrženo 4K16, as=0,044m (as,max=250mm, ns=4)

Ast = Ast ,1 ⋅ n s = 201,062 ⋅ 10 −6 ⋅ 4 = 804,248 ⋅ 10 −6 m 2 N Rd = Ast ⋅ f yd = 804,248 ⋅10 −6 ⋅ 213,043 ⋅ 10 3 = 171,339kN



& Ing.David Jonov


1.3.12 Výpočet výšky tlačené oblasti a posouzení ohybové výztuže

bw = 0,2m λ = 0,8 η =1 N Rd 171,339 ⋅ 10 −3 x= = = 0,08032m λ ⋅ bw ⋅η ⋅ f cd 0,8 ⋅ 0,2 ⋅ 1 ⋅ 13,333 λ⋅x 0,8 ⋅ 0,08032 z=d− = 0,326 − = 0,2939m 2 2 M Rd = N Rd ⋅ z = 171,339 ⋅ 0, 2939 = 50,3565kNm M Ed ≤ M Rd 40,120kNm ≤ 50,3565kNm => Vyhovuje 1.3.13 Konstrukční požadavky

a s = 44mm < a s ,max = min (2 ⋅ h;250mm ) = min (720mm;250mm ) = 250mm

(Příloha 5)

a s − φ = 44 − 16 = 28mm > a s , min = φ = 16mm = d g + 5 = 16 + 5 = 21mm = 20mm Ast = 804,248 ⋅ 10 −6 m 2 > As , min = 0,26 ⋅

f ctm 2,2 ⋅ bt ⋅ d = 0,26 ⋅ ⋅ 0,2 ⋅ 0,326 = 152,222 ⋅ 10 −6 m 2 f yk 245

= 0,0013 ⋅ bt ⋅ d = 0,0013 ⋅ 0,2 ⋅ 0,326 = 84,76 ⋅ 10 −6 m 2 < As , max = 0,04 ⋅ Ac = 2880 ⋅ 10 −6 m 2 f yd x 213,043 ≤ ξ bal ,1 ε yd = = = 1,065 ⋅ 10 −3 3 d Es 200 ⋅ 10 0,08032 ξ= = 0,246 ≤ ξ bal ,1 = 0,767 Vyhovuje 0,326 ξ=

ξ bal ,1 =

ε cu3 3,5 = = 0,767 εc cu 3 + ε yd 3,5 + 1,065

60 min.



& Ing.David Jonov


Obsah:

ÚVOD

2

1

3

OHYB

1.1 PŘÍKLAD 1 – PROSTĚ PODEPŘENÁ DESKA 1.1.1 NÁVRH TLOUŠŤKY DESKY 1.1.2 VÝPOČET ZATÍŽENÍ 1.1.3 VÝPOČET MAXIMÁLNÍHO OHYBOVÉHO MOMENTU 1.1.4 MATERIÁLOVÉ CHARAKTERISTIKY 1.1.5 GEOMETRIE 1.1.6 NÁVRH OHYBOVÉ VÝZTUŽE 1.1.7 POSOUZENÍ 1.1.8 KONSTRUKČNÍ POŽADAVKY 1.2 PŘÍKLAD 2 – PROSTÝ NOSNÍK 1.2.1 MATERIÁLOVÉ CHARAKTERISTIKY 1.2.2 PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY 1.2.3 GEOMETRIE PRŮŘEZU 1.2.4 VÝPOČET VÝŠKY TLAČENÉ OBLASTI BETONU 1.2.5 VÝPOČET ÚNOSNOSTI PRŮVLAKU V PROSTÉM OHYBU 1.2.6 VÝPOČET MAXIMÁLNÍHO ROZPĚTÍ PRŮVLAKU 1.2.7 VÝPOČET MAXIMÁLNÍ SVĚTLÉ ŠÍŘKY OTVORU 1.3 PŘÍKLAD 3 – SPOJITÝ NOSNÍK O DVOU POLÍCH, DESKOVÝ TRÁM 1.3.1 VÝPOČET ZATÍŽENÍ 1.3.2 VÝPOČET MAXIMÁLNÍCH OHYBOVÝCH MOMENTŮ 1.3.3 VÝPOČET SPOLUPŮSOBÍCÍ ŠÍŘKY DESKY 1.3.4 VÝPOČET DOLNÍ OHYBOVÉ VÝZTUŽE 1.3.5 GEOMETRIE PRŮŘEZU 1.3.6 NÁVRH OHYBOVÉ VÝZTUŽE 1.3.7 VÝPOČET VÝŠKY TLAČENÉ OBLASTI A POSOUZENÍ OHYBOVÉ VÝZTUŽE 1.3.8 KONSTRUKČNÍ POŽADAVKY 1.3.9 VÝPOČET HORNÍ OHYBOVÉ VÝZTUŽE 1.3.10 GEOMETRIE PRŮŘEZU 1.3.11 NÁVRH OHYBOVÉ VÝZTUŽE 1.3.12 VÝPOČET VÝŠKY TLAČENÉ OBLASTI A POSOUZENÍ OHYBOVÉ VÝZTUŽE 1.3.13 KONSTRUKČNÍ POŽADAVKY

3 3 3 4 4 5 6 7 7 9 10 10 10 11 11 11 12 13 14 14 16 17 18 18 18 19 19 20 20 21 21

OBSAH:

22

Karel Kubečka David Jonov Akademický rok 2005-2006, semestr zimní Strana: 22


& Ing.David Jonov

PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ

Recommend Documents