PROSIDING SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROSIDING

SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA

“Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Kualitas Pembelajaran Matematika” Sabtu, 20 Agustus 2016 Student Centre FKIP Universitas Pattimura Ambon ISBN 978-602-99868-3-9

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PATTIMURA AMBON 2016

i

PROSIDING SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA TAHUN 2016 “Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Kualitas Pembelajaran Matematika” Penanggung Jawab : Ketua Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unpatti Prof. Dr. W. Mataheru, M.Pd

Ketua : Dr. C. S. Ayal, M.Pd Sekretaris : N.C. Huwaa, S.Pd., M.Sc Bendahara. Ch. Matitaputy, S.Pd., M.Pd

Editor : F. Sapulete, S.Pd., M.Pd Yohanis M. Apituley, S.Pd Reviewer : Prof. Dr. T. G. Ratumanan, M.Pd Prof. Dr. Th. Laurens, M.Pd

Desain Layout Sampul : Y.M. Apituley, S.Pd

Penerbit : Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unpatti Ambon (Poka) Jl. Ir. M. Putuhena Gedung Jurusan Pendidikan MIPA

ISBN 978-602-99868-3-9

ii

KATA PENGANTAR Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmatNya Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 dapat diterbitkan. Prosiding ini merupakan kumpulan dari artikel ilmiah yang disajikan dalam Seminar Nasional Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pattimura dengan Tema “Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Kualitas Pembelajaran Matematika.” Seminar ini diselenggarakan pada tanggal 20 Agustus 2016 oleh Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unpatti. Ini merupakan kegiatan rutin yang akan terus dilaksana pada tahun-tahun mendatang. Semoga dengan kegiatan ini Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unpatti dapat terus berkiprah dalam menghimpun temuan-temuan baru yang berkaitan dengan pengembangan Program Studi, serta sekaligus sebagai wahana komunikasi antara akademisi, guru, peneliti, dan pemerhati pendidikan pada umumnya. Semoga semua yang telah diupayakan dalam seminar sampai tercetaknya prosiding ini membawa manfaat bagi dunia pendidikan dan masyarakat luas pada umumnya. Pada kesempatan ini tak lupa kami ucapkan terima kasih kepada Ketua Jurusan Pendidikan MIPA FKIP Unpatti, Dekan FKIP Unpatti, Rektor Unpatti, serta para penyandang dana yang telah mendukung secara penuh pelaksanaan kegiatan Seminar Nasional Pendidikan Matematika hingga terselesaikannya prosiding ini.

Ambon, 20 Agustus 2016 Ketua Panitia

Dr. C. S Ayal, S.Pd., M.Pd

iii

SAMBUTAN DEKAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PATTIMURA PADA SEMINAR NASIONAL PENDIDIKAN MATEMATIKA Assalam Walaikum Warahmatulahi Wabarakatu, dan Salam Sejahtera untuk kita semua. Yang terhormat: 1. Rektor Universitas Pattimura, dalam hal ini diwakili oleh Pembantu Rektor Bidang Kerjasama Bapak Prof. Ir..J. Mosse, PH.D Yang saya hormati, 2. Pembantu-pembantu Dekan pada lingkup FKIP 3. Bapak Prof. Dr. Usman Mulbar, M.Pd. Selamat datang di Universitas Pattimura Ambon. 4. Bapak Prof. Dr. T.G. Ratumanan, M.Pd. 5. Bapak Dr. Rully Charitas Indra Pramana, M.Pd. Selamat datang di Universitas Pattimura Ambon. 6. Ketua Jurusan Pendidikan MIPA, Bapak Dr. Stev Huliselan, M.Si 7. Para Ketua Program Studi pada lingkup FKIP 8. Staf Dosen pada program studi pendidikan matematika, program studi pendidikan ekonomi, PPKN dan Jurusan Matematika UNPATTI 9. Bapak, Ibu guru peserta Seminar Nasional dan Kontes Literasi Matematika yang berasal dari Pulau Ambon dan Kabupaten Seram Bagian Barat 10. Para Mahasiswa program studi pendidikan matematika Dan Siswa-siswi peserta lomba Kontes Literasi Matematika di kota Ambon. Selaku orang yang percaya patutlah kita naikan Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan RahmatNYA, sehingga kegiatan Seminar Nasional dan Kontes Literasi Matematika (KLM) dapat dilaksanakan pada hari ini Sabtu 20 Agustus 2016. Adapun tema pada kegiatan Seminar ini adalah “Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Kualitas Pembelajaran Matematika”, dan tema pada kegiatan Kontes Literasi Matematika adalah : “Membentuk Siswa yang Kreatif dan Inovaif “ Seminar Nasional Pendidikan Matematika Tahun 2016 ini diharapkan menjadi wahana interaksi dan pertukaran informasi dari hasil penelitian maupun pengalaman serta gagasan di bidang matematika maupun pembelajarannya dalam semangat saling asah, asih dan asuh untuk menyikapi tantangan masa depan Maluku yang berdaya saing dengan provinsi lainnya di Indonesia.

iv

Saya memberikan apresiasi dan penghargaan bagi program studi pendidikan matematika FKIP Universitas Pattimura yang telah menjadikan Seminar Nasional Pendidikan Matematika sebagai agenda rutin tahunan dan menjadi bagian dari kegiatan akademik program studi dan Kontes Literasi Matematika (KLM) yang di ikuti siswa SMP kota Ambon . Saya berharap seminar nasional pendidikan matematika ini dapat menjadi salah satu media informasi penyampaian hasil-hasil penelitian dan pikiran-pikiran kritis bagi para guru dan calon guru matematika. Semoga seminar ini juga membahas berbagai perkembangan terkini dalam bidang pendidikan secara umum dan pendidikan matematika secara khususnya. Saya berharap para peserta, terutama para guru dan calon guru dapat memanfaatkan seminar ini sebaik mungkin sebagai sarana belajar dan tukar menukar informasi. Melalui seminar ini diharapkan ada kontribusi bagi perbaikan kualitas pembelajaran matematika yang pada akhirnya akan berdampak pada peningkatan kualitas hasil belajar peserta didik. Mengakhiri sambutan ini, saya menyampaikan terima kasih bagi staf dosen program studi pendidikan matematika dan panitia, juga kepada nara sumber. Dan dengan mengucapkan syukur kepada Tuhan yang Maha Pengasih, saya membuka secara resmi seminar nasional pendidikan matematika tahun 2016. Semoga Tuhan memberkati kita sekalian.

Ambon, 20 Agustus 2016 Dekan FKIP Unpatti,

Prof. Dr. Th. Laurens, M.Pd NIP. 196205171987032003

v

DAFTAR ISI Hal Halaman Judul …………………………………………………………………………

i

Kata Pengantar ………………………………………………………………………..

iii

Sambutan Dekan ……………………………………………………………………….

iv

Daftar Isi………………………………………………………………………...................

vi

Kecenderungan Penelitian Pendidikan Matematika (Usman Mulbar)……………………...

1-5

Memotivasi siswa dalam pembelajaran matematika ( Tanwey Gerson Ratumanan)....

6-13

Didactic Trajectory Dalam Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Menumbuhkan Keterampilan Meneliti dan Menulis Karya Ilmiah (Rully Charitas Indra Prahmana) ............... Penataan Nalar Siswa SMP Dalam Menganalisis Konsep Bangun-Bangun Segiempat (Juliana Selvina Molle)…………………………………………............................................. Kemampuan berpikir Abstraksi dan Disposisi Matematis Dalam Pembelajaran Matematika (La Moma)………………………………………………………………............ Penerapan Metode Discovery Learning Dalam Pembelajaran Matematika Pada Materi Tabung Dan Kerucut (Hanisa Tamalene)………………………………………………...... Pengembangan Perangkat Pembelajaran Kooperatif Tipe Team Assisted Individualization (TAI) pada Materi Kesebangunan Segitiga Di Kelas IX SMP Kristen YPKPM Ambon(T. Litay, W. Mataheru, H. Tamalene)……………................................... Perbedaan Hasil Belajar Siswa Pada Materi Faktorisasi Bentuk Aljabar Dengan Menggunakan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Team Assisted Individualization (TAI) dan Model Pembelajaran Konvensional di Kelas VIII SMP Negeri 4 Ambon (1Nevi Telehala, 2Carolina Ayal)…………………………………………………………….

14-66 67-74 75-85 86-98 99-128

129-154

Peningkatan Hasil Belajar Siswa Kelas VIII-3 SMP Negeri 12 Ambon Pada Materi Garis Singgung Lingkaran dengan menggunakan model pembelajaran kooperatif Tipe Student Acilitator And Explaining (SFE) (1Dian Theofani Risakotta, 2M. Gaspersz)

155-175

Analisis Model Curah Hujan Di Kota Ambon Menggunakan Metode BoxJenkins(1Lexy Janzen Sinay, 2Henry W MPatty, 3Zeth Arthur Leleury)………………..

176-196

Karakteristik operasi pembagian bilangan neutrosophic Dan polinomial neutrosophic(Zeth A. Leleury1, Henry W. M. Patty2)…………………………………….. Identifikasi Struktur Semialjabar Atas Hemiring (Shergio Jordy Camerling1, Elvinus Richard ersulessy2)…………………………………………………………………………… Struktur Grup Dalam Bentuk Graf Identitas (Valiant Carol Leihitu1, Dyana Patty2, Henry.W.M Patty3) ………………………………………………………………………… Struktur Khusus Near Ring Polinomial (Vivin Aprilia Manjaruni1, Henry W. M. Patty2) ………………………………………………………………………………………… Struktur Himpunan Lembut (Muhamad Arifin Sangadji)……………………………….

197-208 209-223 224-231 232-238 239-250

Penerapan Model Pembelajaran Student Facilitator and Explaining (SFE) Dalam Membelajarkan Materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Pada Siswa SMA Kelas X(Novalin C Huwaa1 & Magy Gaspersz2)…………………………..

251-272

Perbedaan Hasil Belajar Siswa Kelas Xi Ipa Sma Negeri 12 Ambon Yang Diajarkan Dengan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Tgt (Teams Games Tournaments) Dan Model Pembelajaran Langsung Pada Materi Limit Fungsi Aljabar (Tryfelma Sanders1, Wilmintjie Mataheru2, dan Novalin C Huwaa3)………………………………

273-284

vi

`

239

STRUKTUR HIMPUNAN LEMBUT Muhamad Arifin Sangadji ABSTRAK Himpunan lembut merupakan struktur himpunan baru dari himpunan klasik dalam matematika yang berkaitan dengan konsep ketidakpastian, fuzzy serta beberapa objek yang tidak terdefinisikan dengan jelas. Berbeda dengan himpunan klasik, struktur himpunan lembut diperkenalkan dalam bentuk pasangan (𝐹, 𝐴) atas 𝑈 dengan 𝑈 adalah semesta pembicaraan dan 𝐹 merupakan pemetaan dari 𝐴 ke semua sub himpunan dari 𝑈.

Kata Kunci : Himpunan, Fuzzy, Fungsi, Himpunan Lembut. I.

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah yang sulit dalam bidang ekonomi, teknik, dan lingkungan, tidak dapat diselesaikan secara

optimal dengan menggunakan metode klasik karena terdapat

berbagai macam ketidakpastian yang muncul dalam masalah-masalah tersebut. Terdapat tiga teori yang secara umum sering digunakan untuk menyelesaikan masalah ketidakpastian tersebut yaitu teori probablitas, teori himpunan fuzzy, dan interval matematika. Namun semua teori ini memiliki kesulitannya masing-masing. Dalam perkembangannya, teori peluang hanya dapat digunakan untuk meyelesaiakan persoalan stokastik. Tanpa melangkah lebih jauh kedalam detail matematika, sebagai contoh untuk fenomena stabilitas stokastik haruslah terdapat batasan dari rata-rata sampel 𝜇𝑛 dalam percobaan jangka panjang. Dengan 𝑥𝑖 sama dengan 1 jika fenomena terjadi dalam percobaan dan 𝑥𝑖 sama dengan 0 jika fenomena tidak terjadi. Untuk menguji keberadaan dari batasan tersebut haruslah menggunakan percobaan dalam skala besar. Hal ini dapat dilakukan dalam ilmu teknik, naman tidak dapat digunakan dalam ilmu ekonomi, lingkunan dan masalah sosial. Teori interval matematik dikenal sebagai suatu metode yang digunakan untuk menghitung kesalahan dalam perhitungan dimana teori ini dibangun oleh perkiraan interval untuk menentukan solusi eksak dari suatu persoalan matematika. Teori interval Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

240

ini bermanfaat dalam banyak kasus namun tidak cocok digunakan untuk menyelesaikan persoalan ketidakpastian yang berbeda. Selain itu, untuk berurusan dengan ketidakpastian teori yang tepat digunakan adalah teori himpunan fuzzy dengan definisinya yaitu untuk setiap

A X ,

didefinisikan indikator fungsi  A . 1, 𝜇𝐴 = { 0,

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ∈ 𝐴 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ∉ 𝐴

ini berkorespondensi antara himpunannya dengan indikator fungsi dimana koresponden yang terjadi adalah korespodensi satu-satu. Himpunan fuzzy F menggambarkan keanggotaan dari  F . Untuk setiap titik

x  X , fungsi ini menghubungkan bilangan riil  F  x  pada interval 0,1 . Bilangan

 F x  ditafsirkan menjadi titik yakni derajat pada x untuk himpunan fuzzy F . Sekilas pandang mengenai operasi untuk himpunan fuzzy. Misalkan F dan G himpunan fuzzy, dan  F ,  G anggota fungsinya. Maka, komplemen CF yang didefinisikan oleh fungsi keanggotaanya 𝜇𝐶𝐹 (𝑥 ) = 1 − 𝜇𝐹 (𝑥 ) Irisan 𝐹 ∩ 𝐺 dapat didefinisikan oleh fungsi keanggotaan berikut 𝜇𝐹∩𝐺 (𝑥 ) = min{𝜇𝐹 (𝑥 ), 𝜇𝐺 (𝑥 )}, 𝜇𝐹∩𝐺 (𝑥 ) = 𝜇𝐹 (𝑥 ), 𝜇𝐺 (𝑥 ), 𝜇𝐹∩𝐺 (𝑥 ) = max{0, 𝜇𝐹 (𝑥 ) + 𝜇𝐺 (𝑥 ) − 1} Terdapat tiga kemungkinan fungsi keanggotaan untuk gabungan 𝐹 ∪ 𝐺 yakni 𝜇𝐹∪𝐺 (𝑥 ) = max{𝜇𝐹 (𝑥 ), 𝜇𝐺 (𝑥 )}, 𝜇𝐹∪𝐺 (𝑥 ) = 𝜇𝐹 (𝑥 ) + 𝜇𝐺 (𝑥 ) − 𝜇𝐹 (𝑥 ) ∙ 𝜇𝐺 (𝑥 ), 𝜇𝐹∩𝐺 (𝑥 ) = min{1, 𝜇𝐹 (𝑥 ), 𝜇𝐺 (𝑥 )} Pada masa kini, teori himpunan fuzzy berkembang dengan sangat cepat. Tetapi, terdapat kesulitan : bagaimana mengatur fungsi keanggotaan dalam berbagai kasus yang sangat nyata?. Alasan kesulitannya adalah kemungkinan kekurangan cakupan dari teori-teori tersebut. Akibatnya, diperkenalkan kosep himpunan lembut sebagai alat matematika

Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

241

untuk berurusan dengan ketidakpastian yang bebas dari kesulitan yang disebutkan diatas. Teori himpunan lembut sangat berpotensi untuk diaplikasikan dalam berbagai bidang. 2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas maka masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana bentuk himpunan lembut dan sifat-sifatnya. 3. Tujuan Penulisan Adapun tujuan dari penulisan ini adalah : 1. Memperkenalkan bentuk himpunan lembut dan sifat-sifatnya. 4. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan ini adalah untuk memperkenalkan konsep teori himpunan lembut dan sifat-sifat dari himpunan lembut yang diharapkan mampu memperkaya teori ilmu matematika khususnya dalam bidang aljabar. II. LANDASAN TEORI A. Konsep Dasar Himpunan Definisi 2.1 (Seymour Lipschutz, 1989) Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek ini disebut elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf-huruf besar seperti A, B, X , Y dan lain-lain. Contoh 2.1 Himpunan A dimana setiap elemnnya adalah bilangan genap, dinotasikan dengan,

A   x x bilangan genap  Definisi 2.2 (Seymour Lipschutz, 1989) Suatu himpunan disebut sebagai himpunan kosong jika himpunan tersebut tidak memuat elemen-elemen atau dengan kata lain himpunan tersebut tidak memiliki elemen. Himpunan kosong dinotasikan dengan ∅. Contoh 2.2 Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

242





Misalkan B  x x 2  4, x adalah ganjil . Maka B adalah himpunan kosong

Definisi 2.3 (Seymour Lipschutz, 1989) Suatu himpunan A disebut subset atau subhimpunan dari himpunan B jika untuk setiap elemen di A juga merupakan elemen di B , atau lebih khususnya A subhimpunan B artinya jika x  A maka x  B . Subhimpunan dinotasikan dengan A B

Contoh 2.3 Himpunan C  1, 3, 5 adalah subhimpunan dari D  1, 3, 5 karena setiap elemen di C yakni 1, 3, 5 juga merupakan elemen di D .

Definisi 2.4 (Seymour Lipschutz, 1989) Karena setiap himpunan A adalah subhimpunan dari dirinya sendiri, maka suatu himpunan B disebut subhimpunan sejati dari A jika B adalah subhimpunan A dan B tidak sama dengan A . Secara lebih singkat B adalah subhimpunan sejati dari A jika

B  A dan B  A Contoh 2.4 Himpunan C  1, 3 adalah subhimpunan sejati dari D  1, 3, 5 atau ditulis

1, 3  1, 3, 5. Definisi 2.5 (Seymour Lipschutz, 1989) Dalam setiap pemakaian teori himpunan, semua himpunan yang ditinjau adalah subhimpunan dari sebuah himpunan tertentu. Himpunan ini disebut himpunan semesta atau semesta dari uraian (universe of discourse) dan dinyatakan sebagai U.

Contoh 2.5 Himpunan bilangan kompleks, himpunan bilangan riil dan himpunan bilagan bulat. Definisi 2.6 (Seymour Lipschutz, 1989) Keluarga dari semua subhimpunan sebuah himpunan S dikatakan himpunan kuasa dari S . Himpunan kuasa dari S dinyatakan dengan 2S Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

243

Yang menyatakan banyaknya subhimpunan dari himpunan S . Contoh 2.6 Misalkan M   4, 7, 8  . Maka

2M   M ,  4, 7 ,  4, 8 ,  7, 8 ,  4 ,  7 ,  8 , O  B. Konsep Fungsi Definisi 2.7 (D. S Malik, John N. Mordeson, M. K. Sen, 2007) Diberikan himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵 yang tak kosong. Sebuah relasi biner 𝑓 dari 𝐴 ke 𝐵 disebut fungsi dari 𝐴 ke 𝐵 jika i) 𝒟 (𝑓 ) = 𝐴 dan ii) Untuk setiap (𝑥, 𝑦), (𝑥 ′ , 𝑦 ′) ∈ 𝑓, 𝑥 = 𝑥 ′ akibatnya 𝑦 = 𝑦 ′. Saat ii) terpenuhi oleh relasi 𝑓, f dikatakan well defined. Fungsi dari 𝐴 ke 𝐵 dinotasikan dengan : 𝑓: 𝐴 → 𝐵 Dibaca fungsi 𝑓 memetakan 𝐴 ke 𝐵. Contoh 2.7 Diberikan 𝑓: ℤ → ℤ# dan 𝑔: ℤ → ℤ# yang didefinisikan oleh 𝑓 = {(𝑛, 𝑛2 )|𝑛 ∈ ℤ} dan 𝑔 = {(𝑛, |𝑛|2 )|𝑛 ∈ ℤ} untuk sebarang 𝑛 ∈ ℤ, 𝑓 ( 𝑛 ) = 𝑛 2 = |𝑛 |2 = 𝑔 ( 𝑛 ) Akibatnya, 𝑓 (𝑛) = 𝑔(𝑛). Definisi 2.8 (D. S Malik, John N. Mordeson, M. K. Sen, 2007) Diberikan fungsi 𝑓 dari 𝐴 ke 晥. maka i) 𝑓 dikatakan satu-satu jika untuk setiap 𝑥, 𝑥 ′ ∈ 𝐴, 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓 (𝑥 , ) maka 𝑥 = 𝑥 ′ ii) 𝑓 dikatakan onto atau pada 𝐵 jika 𝜒(𝑓 ) = 𝐵 atau dengan kata lain 𝜒(𝑓 ) = 𝐵 jika dan hanya jika untuk setiap 𝑦 ∈ 𝐵, terdapat 𝑥 ∈ 𝐴 sedemikian sehingga 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦. Contoh 2.8 Diberikan 𝑓: ℤ → ℤ yang didefinisikan oleh 𝑓(𝑛) = 2𝑛, ∀𝑛 ∈ ℤ

Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

244

Ambil sebarang 𝑛, 𝑛′ ∈ ℤ dan andaikan bahwa 𝑓 (𝑛) = 𝑓 (𝑛′ ) maka 2𝑛 = 2𝑛′ sedemikian sehingga 𝑛 = 𝑛′ . Akibatnya, 𝑓 satu-satu. Karena untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ, 𝑓 (𝑛) bilangan bulat genap, dapat dilihat bahwa bayangan bilangan bulat ganjil tidak ada sedemikian sehingga 𝑓 bukan fungsi pada. Bagaimanapun, ingat bahwa 𝑓 onto 𝔼.

Definisi 2.9 (D. S Malik, John N. Mordeson, M. K. Sen, 2007) Suatu fungsi 𝑓 dikatakan berkorespondensi satu-satu atau bijektif jika 𝑓 merupakan fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif. Contoh 2.9 Misalkan himpunan 𝐴 tak kosong. Fungsi identitas 𝑖𝐴 : 𝐴 → 𝐴 didefinisikan oleh 𝑖𝐴 (𝑥 ) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐴 Merupakan fungsi satu-satu sekaligus fungsi pada sedemikian sehingga 𝑖𝐴 merupakan fungsi bijekif. III. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Himpunan Lembut Diberikan semesta awal U , himpunan parameter E , PU  yang merupakan himpunan kuasa dari U dan A  E . Definisi 3.1 (D. Molodtsov, 1999) Suatu pasangan F, A disebut himpunan lembut atas U , dimana F adalah pemetaan yang diberikan oleh F : A  PU 

Dengan kata lain, suatu himpunan lembut atas U adalah keluarga parameter dari subset-subset dari himpunan semesta U . Untuk e  A , F e  mungkin dipertimbangkan sebagai himpunan dari e  elemen pada himpunan lembut

F, A

atau sebagai

himpunan e  elemen aproksimasi dari himpunan lembut. Contoh 3.1 Andaikan U himpunan rumah yang dipertimbangkan. E himpunan parameter dan setiap parameter merupakan kata atau kalimat. Misalkan Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

245

𝑒𝑥𝑝𝑒𝑛𝑠𝑖𝑣𝑒, 𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙, 𝑤𝑜𝑜𝑑𝑒𝑛, 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝, 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 } 𝐸={ 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠, 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑟𝑛, 𝑖𝑛 𝑔𝑜𝑜𝑑 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑖𝑟, 𝑖𝑛 𝑏𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑖𝑟 Anggap himpunan lembut F, A menggambarkan daya tarik yang digunakan oleh Mr. Arif dalam membeli rumah. Andaikan terdapat enam rumah dalam semesta

U   h1 , h2 , h3 , h4 , h5 , h6

 yang berada dalam pertimbangan dan

A   e1, e2 , e3 , e4 , e5  merupakan himpunan parameter dengan e1  parameter ‘expensive’, e 2  parameter ‘beautiful’,

e3  parameter ‘wooden’, e 4  parameter ‘cheap’,

e5  parameter ‘in the green surroundings’, Diberikan pemetaan F : A  PU 

dan andaikan bahwa F e1    h2 , h4



F e2    h1 ,h3  F e3    h3 , h4 , h5  F e4    h1 , h3 , h5



F e5    h1  Himpunan F, A merupakan keluarga aproksimasi

 F ei , i  1, 2, 3, 4, 5  dari subset-

subset pada himpunan U yang memberikan deskripsi aproksimasi objek. Sedemikian sehingga diperoleh F, A sebagai koleksi dari aproksimasi berikut : 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑛𝑠𝑖𝑣𝑒 ℎ𝑜𝑢𝑠𝑒𝑠 = {ℎ2 , ℎ4 }, 𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙 ℎ𝑜𝑢𝑠𝑒𝑠 = {ℎ1 , ℎ3 }, (𝐹, 𝐴) = {𝑤𝑜𝑜𝑑𝑒𝑛 ℎ𝑜𝑢𝑠𝑒𝑠 = {ℎ3 , ℎ4 , ℎ5 }, 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝 ℎ𝑜𝑢𝑠𝑒𝑠 = {ℎ1 , ℎ3 , ℎ5 },} 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠 = {ℎ1 }

Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

Definisi 3.2

246

(Muhammad Shabir, Mumtaz Ali, Munazza Naz, dan Florentin Smarandanche, 2013)

Untuk dua himpunan lembut F, A dan H , B  atas U . F, A disebut sub himpunan lembut dari H , B  jika 1) A  B dan 2) F e   H e  , untuk setiap e  A Dinotasikan dengan F , A  H , B  . Dengan cara yang sama F, A disebut superset lembut dari H , B  jika H , B  merupakan sub himpunan lembut dari F, A yang dinotasikan dengan F , A  H , B  .

Contoh 3.2 Diberikan

A   e1 , e3 , e5   U

dan

B   e1, e2 , e3 , e5   U

buktikan bahwa

 F , A   H , B  . Bukti Karena A   e1 , e3 , e5   U dan B   e1, e2 , e3 , e5   U dimana setiap elemen pada himpunan A merupakan elemen pada himpunan B sedemikian sehingga A  B .

(i)

Selanjutnya misalkan F, A dan G, B  himpunan lembut atas semesta U yang sama yakni U   h1, h2 , h3 , h4 , h5 , h6  sedemikian sehingga Ge1    h2 , h4  ,

Ge2    h1, h3 ,

Ge3    h3 , h4 , h5  ,

F e1    h2 , h4  , F e3    h3 , h4 , h5 , F e5    h1  .

Ge5    h1

dan

(ii)

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa F , A  H , B  . Definisi 3.3

(Muhammad Shabir, Mumtaz Ali, Munazza Naz, dan Florentin Smarandanche, 2013)

Dua himpunan lembut F, A dan H , B  atas U dikatakan sama lembut jika F, A adalah sub himpunan lembut dari H , B  dan H , B  merupakan sub himpunan lembut dari F, A . Contoh 3.3 Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

247

A   e1 , e3 , e5   U

Diberikan

dan

B   e1 , e3 , e5   U

buktikan

bahwa

 F , A   H , B  . Bukti Karena A   e1 , e3 , e5   U dan B   e1 , e2 , e5   U dimana setiap elemen pada himpunan A merupakan elemen pada himpunan B sedemikian sehingga A  B . (i) Selanjutnya misalkan F, A dan G, B  himpunan lembut atas semesta U yang sama yakni U   h1, h2 , h3 , h4 , h5 , h6  sedemikian sehingga

Ge3    h3 , h4 , h5  ,

Ge1    h2 , h4  ,

Ge5    h1

F e1    h2 , h4  ,

dan

F e3    h3 , h4 , h5 , F e5    h1  .

(ii)

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti bahwa F , A  H , B  . Definisi 3.4

(Muhammad Shabir, Mumtaz Ali, Munazza Naz, dan Florentin Smarandanche, 2013)

Irisan dari dua himpunan lembut F, A dan G, B  atas semesta umum U adalah himpunan lembut

H , C  ,

dimana C  A  B

dan untuk setiap e  C , H e 

didefinisikan sebagai

F e    H e    Ge  F e   Ge  

Jika e  A  B Jika e  B  A Jika e  A  B

Ditulis F , A  G, B   H , C  . Contoh 3.4 Diberikan 𝑈 = {ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 , ℎ4 , ℎ5 , ℎ6 , ℎ7 , ℎ8 , ℎ9 , ℎ10 }, 𝐴 = {𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦; 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐶𝑦; 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝} dan 𝐵 = {𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙; 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠; 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝} Tentukan H , C  yang merupakan irisn dari F, A dan G, B  Bukti : Diketahui 𝑈 = {ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 , ℎ4 , ℎ5 , ℎ6 , ℎ7 , ℎ8 , ℎ9 , ℎ10 }, 𝐴 = {𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦; 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦; 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝} dan 𝐵 = {𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙; 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠; 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝} Diberikan pemetaan Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

248

F : A  PU  G : B  PU 

dan andaikan bahwa 𝐹 (𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦) = {ℎ2 , ℎ4 , ℎ7 , ℎ8 } 𝐹 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦) = {ℎ1 , ℎ3 , ℎ5 } 𝐹 (𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝) = {ℎ6 , ℎ9 , ℎ10 } 𝐺 (𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙 ) = {ℎ2 , ℎ3 , ℎ7 } 𝐺 (𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠) = {ℎ5 , ℎ6 , ℎ8 } 𝐺 (𝐶ℎ𝑒𝑎𝑝) = {ℎ6 , ℎ9 , ℎ10 } Diperoleh 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝} Sedemikian sehingga 𝐻(𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝) = {ℎ6 , ℎ9 , ℎ10 }. Jadi, F , A  G, B   H , C  . Definisi 3.5 (Muhammad Shabir, Mumtaz Ali, Munazza Naz, dan Florentin Smarandanche, 2013) Gabungan dua himpunan lembut F, A dan G, B  atas

semesta umum U adalah

himpunan lembut I , C  , dimana C  A  B dan untuk setiap e  C , I e didefinisikan sebagai

F e    I e    Ge  F e   Ge  

Jika e  A  B Jika e  B  A Jika e  A  B

Ditulis F , A  G, B   I , C  . Contoh 3.5 Diberikan 𝑈 = {ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 , ℎ4 , ℎ5 , ℎ6 , ℎ7 , ℎ8 , ℎ9 , ℎ10 }, 𝐴 = {𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦; 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦; 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝} dan 𝐵 = {𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙; 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠; 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝} Tentukan H , C  yang merupakan irisn dari F, A dan G, B  Bukti : Diketahui 𝑈 = {ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 , ℎ4 , ℎ5 , ℎ6 , ℎ7 , ℎ8 , ℎ9 , ℎ10 }, 𝐴 = {𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦; 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦; 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝} dan 𝐵 = {𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙; 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠; 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝} Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

249

Diberikan pemetaan F : A  PU  G : B  PU 

dan andaikan bahwa 𝐹 (𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦) = {ℎ2 , ℎ4 , ℎ7 , ℎ8 } 𝐹 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦) = {ℎ1 , ℎ3 , ℎ5 } 𝐹 (𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝) = {ℎ6 , ℎ9 , ℎ10 } 𝐺 (𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙 ) = {ℎ2 , ℎ3 , ℎ7 } 𝐺 (𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠) = {ℎ5 , ℎ6 , ℎ8 } 𝐺 (𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝) = {ℎ6 , ℎ9 , ℎ10 } Diperoleh 𝐶 = 𝐴∪𝐵 = {𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦; 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦; 𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝; 𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙; 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠} Sedemikian

sehingga

𝐼(𝑣𝑒𝑟𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦) = {ℎ2 , ℎ4 , ℎ7 , ℎ8 },

𝐼 (𝑐ℎ𝑒𝑎𝑝) = {ℎ6 , ℎ9 , ℎ10 },

𝐼 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑙𝑦) = {ℎ1 , ℎ3 , ℎ5 },

𝐼 (𝑏𝑒𝑎𝑢𝑡𝑖𝑓𝑢𝑙 ) = {ℎ2 , ℎ3 , ℎ7 },

𝐼 (𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑟𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠) = {ℎ5 , ℎ6 , ℎ8 }. Jadi, F , A  G, B   I , C  . IV.

PENUTUP

A. Kesimpulan Dari hasil pembahasan dan uraian pada bab sebelumya maka dapat disimpulkan beberapa hal, antara lain : 1. Suatu pasangan

F, A

disebut himpunan lembut atas U , dimana F adalah

pemetaan yang memetakan 𝐴 ke himpunan kuasa dari 𝑈 yakni 𝑃 (𝑈). 2. Himpunan lembut memiliki beberapa sifat yakni subhimpunan lembut, kesamaan

dua himpunan lembut, gabungan dua himpunan lembut serta irisan dua himpunan lembut. B. Saran Perlu dilakukan pembahasan lebih lanjut mengenai himpunan lembut serta sifatsifatnya yang bertujuan untuk meningkatkan pemahaman tentang himpunan lembut. Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas

`

250

DAFTAR PUSTAKA [1] Seymour Lipschutz. 1989. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-soal : Teori Himpunan. Jakarta : Erlangga. [2] Malik D. S, Mordeson John N., Sen M. K,. 2007. Introduction to Abstract Algebra. USA : Scientific Word. [3]

D. Moldotsov. 1999. Computer and Mathematics with Applications : Soft Set Theory First Result, hal. 19-31. Rusia : Elsevier Science Ltd.

[4]

Shabir Muhammad, Ali Mumtaz, Naz Munazza, and Smarandanche Florentin. 2013. Neutrosophic Sets and Systems : Soft Neutrosophic Group, , Vol. 1, Hal. 13-25. USA : NSS.

Seminar Nasional Pendidikan Matematika 2016 Pengembangan Penelitian Pendidikan Matematika Untuk Mendukung Peningkatan Pembelajaran Matematika

Kualitas