Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Fungsi Dua Peubah

[MA1124] KALKULUS II

Sistem Koordinat z

y Kuadran II

Kuadran I P(x,y,z)

P(x,y)

x y

x Kuadran III

Oktan 1

y

Kuadran IV x R3(Ruang)

R2(Bidang)

7/6/2007

[MA 1124] KALKULUS II

2

Permukaan di Ruang (R3) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola,

mempunyai bentuk umum :

x 2 + y2 + z2 = a 2 , a > 0 Jejak di bidang XOY, z = 0 Î x 2 + y 2 = 2 2 Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î x + z = 2 2 y + z = Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î

7/6/2007


a,2 berupa lingkaran a ,2 berupa lingkaran a ,2 berupa lingkaran

3

Gambar Bola Z

y

x

7/6/2007


4

Permukaan di Ruang

Elipsoida, mempunyai bentuk umum x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1 , a, b, c > 0 2 a b c

x 2 y2 Jejak di bidang XOY, z = 0 Î 2 + 2 = 1 , berupa Ellips a b x 2 z2 Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î 2 + 2 = 1 , berupa Ellips a c z2 y2 + 2 = 1 , berupa Ellips Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î 2 c b

7/6/2007


5

Gambar Ellipsoida

Z

y

x

7/6/2007


6

Permukaan di R3

Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum: x2 y2 z2 + 2 − 2 = 1 , a, b, c > 0 2 a b c

x 2 y2 Jejak di bidang XOY, z = 0 Î 2 + 2 = 1 , berupa Ellips a b x 2 z2 Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î 2 − 2 = 1 , berupa Hiperbolik a c y2 z2 Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î 2 − 2 = 1 , berupa Hiperbolik b c

7/6/2007


7

Gambar Hiperbolik Berdaun Satu

Z

y

x

7/6/2007


8

Permukaan di R3

Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum: x2 y2 z2 − 2 − 2 = 1 , a, b, c > 0 2 a b c

y2 z2 x2 + 2 = 2 −1 2 b c a

, maka terdefinisi saat x ≤ - a atau x ≥ a

x 2 y2 Jejak di bidang XOY, z = 0 Î 2 − 2 = 1 , berupa Hiperbolik a b x 2 z2 Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î 2 − 2 = 1 , berupa Hiperbolik a c 2 y z2 Jejak di bidang YOZ, x = 0 Î − 2 − 2 = 1, tidak ada jejak b c

Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips

7/6/2007


9

Gambar Hiperbolik Berdaun Dua

Z

y x

7/6/2007


10

Permukaan di R3

Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum: x2 y2 z , a, b, c > 0 + = 2 2 a b c Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum: x2 y2 z , a, b, c > 0 − = 2 2 a b c Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum: x 2 y2 z2 + 2 − 2 =0 2 a b c Bidang , mempunyai bentuk umum:

A x + By + Cz = D 7/6/2007


11

Gambar Z

Z

y

y

x

Paraboloida Eliptik z

x

Paraboloida Hiperbolik z

y

x

x

Kerucut Eliptik 7/6/2007


y Bidang 12

Latihan: Gambarkan 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7/6/2007

x2 + y2 = 4 y = x2 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 36 z =4 x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z = 3


13

Fungsi Dua Peubah

Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y) Notasi : f : A Æ R ( A C R2) (x,y) Æ z = f(x,y) Contoh: 1. f(x,y) = x2 + 4 y2 2. f(x,y) = 3.

7/6/2007

f(x,y) =

1 36 − 9 x 2 − 4y 2 3

2y − x 2

x 2 + (y − 2)

2


14

Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)

{ } = {f ( x , y) ( x , y) ∈ D }

D f = ( x , y) ∈ R 2 f ( x , y) ∈ R

Rf

f

Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari 1. f(x,y) = x2 + 4 y2

1 36 − 9 x 2 − 4 y 2 3 3. f ( x , y) = x (1 − y)

2. f ( x , y ) =

7/6/2007


15

Contoh (Jawab) 1. Df ={(x,y)∈ R2 | x2 + 4 y2 ∈ R}

y

= {(x,y)∈ R2} x

⎫ ⎧ 1 2. Df = ⎨( x, y ) ∈ R2 36 − 9 x 2 − 4y 2 ∈ R⎬ 3 ⎭ ⎩ = {(x,y)∈ R2 | 36 – 9x2 – 4y2 ≥ 0}

y 3

= {(x,y)∈ R2 | 9x2 + 4y2 ≤ 36} 2 2 ⎫⎪ ⎧⎪ x y ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 2 = ⎨( x, y ) ∈ R ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ≤ 1⎬ ⎝9⎠ ⎝4⎠ ⎪⎭ ⎪⎩

7/6/2007


2

x 16

Contoh (Jawab)

{

3. Df = ( x, y ) ∈ R2

}

x(1 − y ) ∈ R

= {(x,y)∈ R2| x(1 – y) ≥ 0} = {(x,y)∈ R2|x ≥0 dan (1–y)≥0 atau x≤0 dan (1–y)≤0} = {(x,y)∈ R2|x ≥ 0 dan y ≤ 1 atau x≤0 dan y ≥ 1} y

x

7/6/2007


17

Latihan Tentukan dan Gambarkan Df dari 1.

f(x,y) =

2.

f(x,y) =

3.

f(x,y) =

7/6/2007

2y − x 2

x + (y − 2 ) 2

x 1− y y −2 x

2

16 − x 2 − y 2 ln( x + y)

4.

f(x,y) =

5.

ln( x − y + 1) f(x,y) = y − x +1


18

Grafik Fungsi Dua Peubah

Grafiknya berupa permukaan di ruang z Z=f(x,y)

y D f x

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 7/6/2007


19

Contoh Gambarkan Grafik 1. f(x,y) = 2 x2+ 3y2

Z

z = 2 x2+ 3y2 z =

2

2

x y + 1 1 2 3

y

Paraboloida eliptik

x

Z

3

2.

f(x,y) = 3 – x2 – y2 z = 3 – x2 – y2

√3

y

x

7/6/2007


20

Contoh 1 36 − 9 x 2 − 4y 2 3. f(x,y) = 3 9z2 = 36 – 9x2 – 4y2

Z

2

9x2 + 4y2 + 9z2 = 36 x2 y2 z2 + + = 1 Elipsoida 4 9 4 4. f(x,y) =

3

y

2

x

Z

16 − x 2 − y 2

4

z2 = 16 –x2 –y2 x2 + y2 + z2 = 16

4

Bola 7/6/2007

x


y

4

21

Kurva Ketinggian z = f(x,y) Æ z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4 2. f(x,y) = 2x – y2 , k = -2, 0, 2, 4

7/6/2007


22

Contoh (Jawab) 1. f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4 Untuk k = 0 Untuk k = 1 Untuk k = 2 Untuk k = 4

7/6/2007

Ö

x2 +2 y2 = 0 x = 0, y = 0

Ö

x2 +2 y2 = 1

Ö Ö

Ö

titik (0, 0)

x2 y2 + =1 1 1 2

Ö

elips

x2 + y2 = 1 2

Ö

elips

x y + =1 4 2

Ö

y

.

x2 +2 y2 = 2

x22 +22y2 = 4

k=1

k=0

x

k=2 k=4


elips

23

Contoh (Jawab) 2. f(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4 Untuk k = -2 Ö x – y2 = -2 x = y2 – 2 Untuk k = 0

Ö

Untuk k = 4

7/6/2007

Ö Ö

parabola

x – y2 = 0 x = y2

Untuk k = 2

Ö

y

Ö

parabola

x – y2 = 2 x = y2 + 2

Ö

parabola

x – y2 = 4 x = y2 + 4

Ö

parabola


k=0

x

k=2 k=4

k=-2

24

Latihan Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. 2. 3. 4.

7/6/2007

f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x,y)

= = = =

x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4 x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9 xy , k = -4, -1, 0, 1, 4 y2 – x2 , k = 1, 2, 3, 4


25

Limit Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis lim

( x , y ) →( a , b )

f ( x , y) = L

(x − a )2 + ( y − b )2 < δ

Jika ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ 0 < f ( x , y) − L < ε

z

berlaku

Z =f(x,y)

L+ε L L–ε y δ (a,b) 7/6/2007

x


26

Catatan lim

( x , y ) →( a , b )

f ( x , y) = L ada jika lim f ( x , y) = L ( x , y ) →( a , b )

untuk sembarang

kurva yang melalui (a,b). Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui (a,b) dengan nilai

lim

( x , y )→( a , b )

f ( x , y) berbeda untuk masing-masing

kurva, maka dikatakan lim

( x , y ) →( a , b )

f ( x , y) tidak ada.

. (a,b)

7/6/2007


27

Contoh xy Buktikan bahwa limit ( x ,ylim ) →(0,0) x 2 + y 2 berikut tidak ada

Jawab f ( x, y ) =

xy 2 – {(0,0)} terdefinisi di D = R f x2 + y2

Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah x.0 f ( x,0) = 2 =0 2 x +0 Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah x.0 lim f (x,0) = lim =0 ( x ,0) →(0,0) ( x ,0) →(0,0) x 2 + 02

7/6/2007


28

Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah x.x 1 f ( x, x ) = 2 = 2 2 x +x Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah x.x 1 lim f (x, x ) = lim = ( x , x ) →(0,0) ( x , x ) →(0,0) x 2 + x 2 2

Karena lim

( x ,0) →(0,0)

f (x,0) ≠

lim

( x , x ) →(0,0)

f (x, x ) maka

xy tidak ada ( x , y ) →(0,0) x 2 + y 2 lim

7/6/2007


29

Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada x 2 − y2 1. lim ( x , y ) →( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x2y 2. lim ( x , y ) →( 0 , 0 ) x 4 + y 2

7/6/2007

x3 + y4 3. lim ( x , y ) →( 0 , 0 ) x 2 + y 6


30

Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. lim f ( x , y) ada ( x , y ) →( a , b )

iii.

lim

( x , y )→( a ,b )

f ( x , y ) = f (a , b )

Teorema: 1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm 2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada Df asal q(x,y)≠0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y)) 7/6/2007


31

Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 2 x + 3y 1. f(x,y) = 2 ( y − 4x )

Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4x 2 2 2. f(x,y) = cos( x − 4 xy + y )

Misal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom) Æ g kontinu dimanamana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang

7/6/2007


32

Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f ( x + h , y) − f ( x , y) h →0 h

f x ( x , y) = lim

2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f ( x , y + h ) − f ( x , y) h →0 h

f y ( x , y) = lim

7/6/2007


33

Contoh: Tentukan fx dan fy 1. f ( x , y) = x y + 4 xy 3

y

3. f ( x , y) = ∫ ln sin t dt

2

x

Jawab

Jawab

fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2

fx(x,y)=0. ln(siny)–1. ln(sinx) fx(x,y) = – ln(sinx) fy(x,y)=1. ln(siny)–0. ln(sinx) fy(x,y) = ln(siny)

fy(x,y) = x3 + 8 xy 2. f ( x , y) = y cos( x 2 + y 2 )

Jawab fx(x,y) = –2xy sin(x2 + y2)

fy(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2)

7/6/2007


34

Latihan Tentukan fx dan fy 3 1. f ( x, y ) = x cos(x + y ) + y sin 2 xy 2.

f ( x, y ) =

∫

y

x

e cos t dt

3 3. f ( x, y ) = x sin( x + y ) + y cos(2 xy )

Tentukan fx, fy dan fz 1. f ( x, y , z ) = xy + y 2 z + 3xz 2.

7/6/2007

f ( x, y , z ) = x cos(y − z ) + 2 xy


35

Turunan Parsial Kedua ∂ f xx ( x, y ) = ∂x

⎛ ∂f ⎞ ∂ 2f ⎜ ⎟= 2 ∂ x ∂ x ⎝ ⎠

∂ fyy ( x, y ) = ∂y

⎛ ∂f ⎞ ∂ 2f ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ∂ y ∂ y ⎝ ⎠

∂ f xy ( x, y ) = ∂y

∂ 2f ⎛ ∂f ⎞ ⎜ ⎟= ⎝ ∂x ⎠ ∂y∂x

∂ fyx ( x, y ) = ∂x

7/6/2007

⎛ ∂f ⎞ ∂ 2f ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ ∂y ⎠ ∂x∂y


36

Contoh Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y)= x y3 + y3x2 Jawab fx(x,y) = y3 + 2xy3 fy(x,y) = 3xy2 + 3x2y2 fxx(x,y) = 2y3 fxy(x,y) = 3y2 + 6xy2 fyy(x,y) = 6xy + 6x2y fyx(x,y) = 3y2 + 6xy2

7/6/2007


37

Contoh 2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3) Jawab fx(x,y) = y sin(x2+2xy+y3) + xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3) fy(x,y) = x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3) fxx(x,y) =y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3) – xy(2x+2y)2 sin(x2+2xy+y3) fxy(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3) +(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) fyy(x,y) =(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3) –xy(2x+3y2)2 sin(x2+2xy+y3) fyx(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3) +(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) 7/6/2007


38

Latihan Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y 2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3) 3. f(x,y) = tan-1(y2/x) 4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2) 5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)

7/6/2007


39

Arti Geometri Turunan Parsial

z

s

y (a, b) x

7/6/2007

Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x.


40

Arti Geometri Turunan Pertama (2)

z

s

(a, b)

x

7/6/2007

y

Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y.


41

Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 1.36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab: Turunan parsial terhadap y adalah ∂z 1 fy ( x , y ) = = y ∂y 2 ∂z Sehingga didapat fy (3,2) = = 1 . Bilangan ini adalah ∂y menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t 7/6/2007


42

Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 2. 2z =√(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2)) Jawab: Turunan parsial terhadap x adalah ∂z 18 x 9x = = f x ( x, y ) = ∂x 4 9 x 2 + 9y 2 − 36 2 9 x 2 + 9y 2 − 36 ∂z Sehingga didapat f x ( 2,1) = = 3 . Bilangan ini adalah

∂x

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t 7/6/2007


43

Latihan Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 1. 3z =√(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, √(11/3)) 2. 4z =5√(16-x2) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5√(3/2))

7/6/2007


44

Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D ⊂ R2 Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) ∈D, didefinisikan sebagai

î , ˆj

r ∇f ( x , y) = f x ( x , y)î + f y ( x , y)ˆj

adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif

Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)

Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah

r ∇f ( x , y, z) = f x ( x , y, z)î + f y ( x , y, z)ˆj + f z ( x , y, z)kˆ î , ˆj, kˆ adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif

7/6/2007


45

Contoh r r Tentukan ∇f ( x, y ) dan ∇f (−1,−1) dari f ( x, y ) = x e xy Jawab f x ( x, y ) = e xy + xye

fy ( x , y ) = x 2e

xy

xy

Ö Ö

f x (−1,−1) = e + e = 2e fy (−1,−1) = e

Sehingga diperoleh: r ∇f ( x, y ) = (e xy + xye xy )ˆ i + x 2e xy ˆ j r ∇f (−1,−1) = 2e ˆ i +eˆ j

7/6/2007


46

Latihan r I. Tentukan ∇f dari x 2y 1. f ( x, y ) = x+y

(

3. f ( x, y ) = sin3 x 2 y

2 2 2. f ( x, y ) = ln x + y

)

4. f ( x, y ) = xy ln( x + y )

5. f ( x, y , z ) = x 2 y e x − z 6.

f ( x, y, z ) = x e −2 y sec z

r II. Tentukan ∇f di titik yang diberikan 1. f ( x, y ) = x 2y − xy 2

di P (– 2,3)

3 2 3 2. f ( x, y ) = ln( x − xy + 4y ) di P (– 3, 3)

x2 3. f ( x, y ) = y 7/6/2007

di P (2, –1) [MA 1124] KALKULUS II

47

Aturan Rantai Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai dz ∂z ∂x ∂z ∂y = + dt ∂x ∂t ∂y ∂t

Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka dz ∂z ∂x ∂z ∂y i ds = ∂x ∂s + ∂y ∂s dz ∂z ∂x ∂z ∂y ii dt = ∂x ∂t + ∂y ∂t

()

( )

7/6/2007


48

Contoh 1. Misalkan w =

x2

y3

dengan x =

t3

dan y =

t2,

Jawab:

dw tentukan dt

dw ∂w ∂x ∂w ∂y + = dt ∂y ∂t ∂x ∂t

= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t) = 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t) = 2t3. t6. 3t2+3 t6. t4. 2t = 6t11+6 t11 = 12 t11

7/6/2007


49

Contoh 2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, dz dz dan tentukan dt ds Jawab: dz ∂z ∂x ∂z ∂y + = dt ∂x ∂t ∂y ∂t = 6x. 7 + (–2y) 5 s = 42 (2s +7t) – 50 s2t dz ∂z ∂x ∂z ∂y + = ds ∂x ∂s ∂y ∂s

= 6x. 2 + (–2y) 5 t = 12 (2s +7t) – 50 s t2 7/6/2007


50

Latihan dw (dalam t) 1. Tentukan dt

a. w = x2 y – y2x ; x = cos t, y = sin t b. w = ex siny – eysin x ; x = 3t, y = 2t c. w = sin(xyz2) ; x = t3, y = t2 , z =t dw (dalam t dan s) 2. Tentukan dt a. w = x2 – y lnx ; x = s/t, y = s2 t b. w =

7/6/2007

e

x2 + y2

; x = s sin t, y = t sin s


51

Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u = u1î + u 2 ˆj adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : D u f (p) = ∇ f (p) • u atau D u f(a, b) = fx (a, b)u1 + fy (a, b)u2 Perhatikan bahwa

r r r r r Du f ( p) = ∇f ( p) • u = ∇f ( p) u cosθ = ∇f ( p) cosθ

Sehingga, Turunan berarah akan r bernilai maksimum (θ=0)jika

r ∇f (p) u= r ∇f (p) r r ∇f (p) Sebaliknya akan minimum jika u = − r ∇f (p) 7/6/2007


52

Contoh 1.Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x3y pada titik r P(2,1) dalam arah vektor a = 4 ˆ i +3ˆ j Jawab: Dur f (2, 1) = f x (2, 1) u1 + fy (2, 1) u2 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r r a i + 3ˆ j 4ˆ 3 ˆ 4ˆ u= r = = i + j 5 5 5 a fx (x,y)= 12 x2 y Ö fx (2, 1)= 12.22.1 =48 fy (x,y)= 4 x3 Ö fy (2, 1)= 4.23 =32 Sehingga Dur f (2, 1) = f x (2, 1) u1 + fy (2, 1) u2

=48 . (4/5) + 32 . (3/5) = 288/5 7/6/2007


53

Contoh 2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada r titik P(1,2, π/2) dalam arah vektor a = ˆ i +2ˆ j + 2 kˆ Jawab:

π

π

π

π

Dur f (1, 2, ) = f x (1, 2, ) u1 + fy (1, 2, ) u2 + f z (1, 2, ) u3 2 2 2 2 Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r ˆ r a i + 2ˆ j + 2kˆ 1 ˆ 2 ˆ 2 ˆ u= r = = i + j+ k 3 3 3 a 9 fx (x,y,z)= y sinz fy (x,y,z)= x sinz fz (x,y,z)= xy cosz 7/6/2007

Ö fx (1,2,π/2)= 2 sin(π/2) =2 Ö fx (1,2, π/2)= 1.sin(π/2) =1 Ö fz (1,2, π/2)= 1.2 cos(π/2) =0 [MA 1124] KALKULUS II

54

Contoh (Lanjutan) Sehingga

π

π

π

π

Dur f (1, 2, ) = f x (1, 2, ) u1 + fy (1, 2, ) u2 + f z (1, 2, ) u3 2 2 2 2 =2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3) = 4/3

7/6/2007


55

Latihan 1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a a. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(x,y) = xey – yex , P(0, 0), a = 5 i – 2 j c. f(x,y) = e –xy , P(1, –1), a = – i + √3 j d. f(x,y) = x/(x – y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(x,y,z) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3) 2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(x,y) = x3 – y5 , P(2, –1) d. f(x,y) = 1–x2–y2 , P(–1,2) b. f(x,y) = ey sin x , P(5π/6,0) c. f(x,y) = 4x3y2 , P(–1,1) 7/6/2007


56

Latihan (lanjutan) r y .Tentukan u sehingga Dur f (2, 3) = 0 3. Misal f ( x, y ) = x+y r r ˆ ˆ 4. Jika ∇f ( x0 , y 0 ) = i − 2 j ,Tentukan u sehingga Dur f ( x0 , y 0 ) = −2 r 3 4ˆ ˆ r 5. Diketahui Du f (1, 2) = −5 jika u = i − j dan 5 5 r 4 3ˆ Dvr f (1, 2) = 10 jika v = ˆ i + j 5 5 a. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2) b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)

7/6/2007


57

Bidang Singgung

Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po(a,b,c) adalahr sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada ∇f (a , b, c) Teorema: Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah :

Fx(a,b,c) (x–a) + Fy(a,b,c) (y–b) + Fz(a,b,c) (z–c) = 0 Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z – f(a,b) = fx(a,b) (x – a) + fy(a,b) (y – b) 7/6/2007


58

Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3) Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2 r ∇f (x, y, z) = 2x ˆ i + 2y ˆ j + 4z kˆ r ∇f (1, 2, 3) = 2 ˆ i + 4ˆ j + 12 kˆ Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah 2(x – 1) + 4(y – 2) + 12 (z – 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46

7/6/2007


59

Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

x −1 y −2 z −3 = = 2 4 12

7/6/2007


60

Contoh 2. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan z = f(x,y)=x2+2xy-3xy2 +2 di titik (1, 2, -5) Jawab:

fx (x, y ) = 2x + 2y − 3y 2 fy (x, y ) = 2x − 6 xy

Ö Ö

fx (1,2) = 2 + 4 − 12 = −6 fy (1,2) = 2 − 12 = −10

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah (z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2) 6x + 10y + z = 21

7/6/2007


61

Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah x = 1+6t, y = 2 + 10t , z = –5 + t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

x −1 y −2 z +5 = = −6 − 10 −1

7/6/2007


62

Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6) b. y = ex cos z di titik (1, e, 0) c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1) d. z= 2e3y cos 2x di titik (π/3, 0, -1) 2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x2–2xy–y2–8x+4y dimana bidang singgungnya mendatar 3. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 dan x2+y2+z2 – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2+2y2+3z2=12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 – 6t 7/6/2007


63

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah

Definisi Misalkan (x0,y0) ∈ Df, maka f(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) ≥ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ Df f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) ≤ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ Df f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N ∩ S, dengan N suatu daerah di sekitar (x0, y0).

7/6/2007


64

Di mana nilai ekstrim muncul?

Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis

Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas Df Titik Stasioner Titik Singular

7/6/2007


65

Uji Nilai Ekstrim

Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: Misalkan f(x,y) mempunyairturunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0), ∇f ( x 0 , y 0 ) = 0 dan

D = D( x 0 , y 0 ) = f xx ( x 0 , y 0 ) . f yy ( x 0 , y 0 ) − (f xy ( x 0 , y 0 ) )

2

maka 1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) < 0 2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan f xx ( x 0 , y 0 ) > 0 3. f(x0,y0) titik pelana jika D<0 4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan 7/6/2007


66

Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari f(x,y) = 2x4–x2+3y2 Jawab fx(x,y) = 8x3 – 2x fy(x,y) = 6y fxx(x,y) = 24x2 – 2 fyy(x,y) = 6 fxy(x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu 8x3 – 2x=0 6y =0

Ö 2x (4x2 – 1)=0 Öx=0 , x =± ½ Ö y=0

Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) 7/6/2007


67

Contoh (lanjutan) Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut: fxx

fyy

fxy

D

Keterangan

(0,0)

–2

6

0

–12

Titik pelana

(½, 0)

4

6

0

24

Titik Minimum

(-½, 0)

4

6

0

24

Titik Minimum

Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.

7/6/2007


68

Contoh 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari f(x,y) =x2–y2+1 pada S={(x,y)| x2 + y2 ≤ 1} Jawab fy(x,y) = – 2y fx(x,y) = 2x fyy(x,y) = –2 fxx(x,y) = 2 fxy(x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)(Æ terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos2 t – sin2t+1 (untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S) 7/6/2007


69

Contoh (lanjutan) Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu: f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0

Ö

4 cos t sint= 0

Ö 2t= 0, π, 2π, 3π Ö t= 0, π/2, π, 3π/2 Untuk t = 0 Ö x = 1, y = 0 Ö f(1, 0) = 2 Untuk t = π/2 Ö x = 0, y = 1 Ö f(0, 1) = 0 Untuk t = π Ö x = -1, y = 0 Ö f(-1, 0) = 2 Untuk t = 3π/2 Ö x = 0, y = -1 Ö f(0, -1) = 0 sin2t= 0

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 7/6/2007


70

Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari x3+y3-6xy

a. f(x,y) = b. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 6y2 c. f(x,y) = x2 +4 y2 – 2x+8y – 1 d. f(x,y) = 3x3 +y2 – 9x + 4y

e. f (x, y ) = xy +

f . f ( x, y ) = e

2 4 + x y

−( x 2 + y 2 − 4 y )

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari a. f(x,y) =x2–6x+y2–8y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2 ≤ 1} b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0≤ x ≤1, –1≤ y ≤ 1}

7/6/2007


71

g (x, y) = 0

Metode Lagrange

Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (x,y) = 9 – x2 – y2 berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 Æ sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiap x, y ∈ Df sepanjang g (x, y) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung Æ garis r tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian ⊥ ∇ f dan kurva kendala r r maka ∇ f ( x, y) = λ ∇ g( x, y)

7/6/2007


72

Metode Lagrange

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan

r r ∇ f ( x 0 , y 0 ) = λ ∇ g( x 0 , y 0 ) dan g( x 0 , y 0 ) = 0 dengan (x0,y0) titik kritis, λ pengali langrange

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0)=0, selesaikan

r r r ∇ f (x0 , y0 ) = λ ∇ g(x0 , y0 ) + µ ∇ h(x0 , y0 ) , g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0

dengan (x0,y0) titik kritis, λ pengali langrange

7/6/2007


73

Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(x,y)= x2 – y2 + 1 pada lingkaran x2+y2=1 Jawab: r r ∇ f ( x, y ) = 2 x ˆ i − 2y ˆ j

∇ g(x, y ) = 2 x ˆ i + 2y ˆ j

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r ∇ f (x, y ) = λ ∇ g(x, y ) dan g( x, y ) = 0 yaitu: 2x = λ 2x …….(1) – 2y = λ 2y …….(2) x2+y2 = 1 ……..(3)

7/6/2007


74

Contoh (lanjutan) Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin samasama nol, sehingga Untuk x ≠ 0, dari (1) di dapat λ = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1 Æ x = ± 1 Untuk y ≠ 0, dari (2) di dapat λ = -1, kemudian dari (1) di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2=1 Æ y = ± 1 Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0) Untuk (0,1)

Ö f(1, 0) = 2, untuk (-1,0) Ö f(-1, 0) = 2 Ö f(0, 1) = 0, untuk (0,-1) Ö f(0,-1) = 0

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 7/6/2007


75

Contoh 2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x2+y2=2 dan bidang y + z = 1 Jawab: r r ∇ f ( x, y ) = ˆ i +2ˆ j + 3 kˆ

∇ g(x, y ) = 2 x ˆ i + 2y ˆ j

r j + kˆ ∇ h ( x, y ) = ˆ

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r r ∇ f (x, y , z ) = λ ∇ g(x, y , z ) + µ ∇ h(x, y , z ) , g(x, y , z ) = 0 dan h(x, y , z ) = 0 yaitu: 1 = 2λx …………….(1) 2 = 2λy + µ …….(2) 3 = µ ……………….(3) x2+y2 = 2 ……..…..(4) y + z = 1 ……..…..(5) 7/6/2007


76

Contoh (lanjutan) Dari (1), x = 1/(2λ), dari (2) dan (3), y = -1/(2λ). Jadi dari (4), didapat λ = ± ½. Untuk λ = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk λ = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)

7/6/2007


77

Latihan (Gunakan Metode Lagrange) 1. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0 2. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1 3. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 4x2 – 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1 4. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y – 2z = 12

7/6/2007


78

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Recommend Documents