PROGRAM LINIER – METODE GRAFIK
Program Linier merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumbersumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Contoh: Masalah alokasi fasilitas produksi, alokasi SDM, penjadwalan produksi, sistem distribusi, dan sebagainya. Istilah “Program” berarti memilih serangkaian tindakan/ perencanaan untuk memecahkan masalah dalam membantu manajer mengambil keputusan. Istilah “Linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model merupakan fungsi linier.
Fungsi Tujuan Fungsi Tujuan merupakan fungsi yang menggambarkan tujuan di dalam permasalahan PL yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal.
Fungsi Batasan Fungsi Batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
Variabel Keputusan Variabel Keputusan merupakan variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.
Pembatas Tanda Pembatas Tanda merupakan pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya diasumsikan hanya berharga non-negatif atau hanya boleh positif atau negatif.
Perusahaan mainan anak-anak memproduksi 2 jenis mainan terbuat dari kayu, yaitu mobil dan motor. Mobil dijual dengan harga Rp.27.000/lusin yang setiap lusinnya memerlukan material sebesar Rp. 10.000 dan biaya tenaga kerja RP. 14.000. Motor dijual dengan harga Rp.21.000/lusin yang setiap lusinnya memerlukan material sebesar Rp. 9.000 dan biaya tenaga kerja RP. 10.000. Untuk pembuatan mainan ini, memerlukan 2 kelompok tenaga kerja, tukang kayu dan tukang poles. Setiap lusin mainan mobil memerlukan 1 jam pekerjaan kayu dan 2 jam pemolesan. Sedangkan setiap lusin mainan motor memerlukan 1 jam pekerjaan kayu dan 1 jam pemolesan. Meskipun setiap minggunya perusahaan ini dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, namun jam kerja yang tersedia hanya 80 jam untuk pekerjaan kayu dan 100 jam untuk pemolesan. Dari pengamatan selama ini, permintaan pasar untuk mainan motor tidak terbatas, namun permintaan pasar untuk mainan mobil tidak lebih dari 40 lusin per minggu. Bagaimana formulasi model dari persoalan di atas untuk mengetahui berapa lusin jenis mainan masing-masing harus diproduksi setiap minggunya agar diperoleh keuntungan maksimum?
Variabel Keputusan : banyaknya mainan yang harus dibuat x1 : mobil dan x2 : motor Fungsi Tujuan : maksimumkan keuntungan Keuntungan = Pendapatan – Biaya Pendapatan = 27 x1 + 21 x2 Biaya Material = 10 x1 + 9 x2 Biaya Tenaga Kerja = 14x1 + 10 x2 Keuntungan = (27x1 + 21 x2)-(10 x1 + 9 x2)-(14x1 + 10 x2) = 3x1 + 2x2 Sehingga Fungsi Tujuan Z = 3x1 + 2x2
Pembatas Pembatas 1: waktu pemolesan tidak lebih dari 100 jam atau 2 x1 + x2 100 Pembatas 2: waktu pekerjaan kayu tidak lebih dari 80 jam atau x1 + x2 80 Pembatas 3: mainan mobil yang dibuat tidak lebih dari 40 buah atau x1 40 Pembatas Tanda; pembatas untuk variabel-variabel keputusan. Kedua mainan harus dibuat atau nilainya masing-masing harus non-negatif. Jadi x1 0 dan x2 0. Model Matematika: Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2 dengan batasan : 2 x1 + x2 100 x1 + x2 80 x1 40 x1 0 x2 0
Kegiatan
Pemakaian Sumber Per-unit Kegiatan (Keluaran)
Kapasitas Sumber
Sumber 1
2
3
….
n
1
a11
a12
a13
….
a1n
b1
2
a21
a22
a23
….
a2n
b2
3
a31
a32
a33
….
a3n
b3
…
…
…
…
…
…
m
am1
am2
am3
….
amn
bm
ΔZ Pertambahan Tiap Unit
C1
C2
C3
….
Cn
Tingkat Kegiatan
X1
X2
X3
….
Xn
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = C1X1+ C2X2+ C3X3+ ….+ CnXn
Batasan : 1. a11X11+ a12X2 + a13X3 + ….+ a1nXn 2. a21X11+ a22X2 + a33X3 + ….+ a2nXn
≤ b1 ≤ b1
…..
m. am1X11+ am2X2 + am3X3 + ….+ amnXn dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, ………. Xn ≥ 0
≤ bm
Proportionality Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan
Additivity Nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain
Divisibility Keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan
Deterministic (Certainty) Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (aij, bi, Cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat
Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I1, dgn sol karet, dan merek I2 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8 jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I1 = Rp 30.000,00 sedang merek I2 = Rp 50.000,00. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa
I1 (X1)
I2 (X2)
Kapasitas Maksimum
1
2
0
8
2
0
3
15
3
6
5
30
3
5
Merek Mesin
Sumbangan laba
Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 Batasan (constrain) (1) 2X1 8 (2) 3X2 15 (3) 6X1 + 5X2 30
Fungsi batasan dari 2 X1 8
X2
2X1 = 8 2X1 8 dan X1 0, X2 0
0
4
X1
Gambar di atas merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan: X1 0, X2 0 dan 2X1 8
X2 2X1 = 8
6X1 + 5X2 = 30
Fungsi batasan: 2 X1 8; 3X2 15; 6X1 + 5X2 30; X1 0 dan X2 0
6 D5
C 3X2 = 15
Daerah Feasible
B 0
A 4
5
X1
X2 2X1 = 8
6X1 + 5X2 = 30 3X1 + 5X2 = 20 10 = 3X1 + 5X2
6 D
5
4
C 3X2 = 15
Daerah Feasible
B 0
Menggambar fungsi tujuan
A 4 5
X1
X2 2X1 = 8 Titik C:
6X1 + 5X2 = 30 Titik D: Pada titik ini nilai X2 = 5; X1 = 0 Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25
X2 = 5. Substitusikan batasan (3), maka 6X1 + 5(5) = 30. Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6. Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5
6 D
5
C
3X2 = 15
Titik A:
Daerah Feasible
Titik B: X1 = 4. Substitusikan batasan (3), maka 6(4) + 5X2 = 30. Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5. Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18
Pada titik ini nilai X1 = 4; X2 = 0 Nilai Z = 3(4) + 0 = 12
B 0
Membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif Z = 3X1 + 5X2
A 4
5
X1
X2 2X2 = 8
6X1 + 5X2 = 30
Contoh : Batasan ketiga (6X1 + 5X2 30) diubah ketidaksamaannya menjadi 6X1 + 5X2 30
6
5
3X2 = 15
B
C Daerah Feasible
A
0
4
5
X1
X2 2X2 = 8
6X1 + 5X2 = 30
Contoh : Batasan ketiga (6X1 + 5X2 30) diubah ketidaksamaannya menjadi 6X1 + 5X2 = 30
6 C
B
3X2 = 15
4
2 A
0
4
5
X1
Selesaikan soal-soal dengan Metode Grafik: 1. Max Z = 2 X1 + X2 Fungsi Kendala : a. X1 + 2 X2 ≤ 80 b. 3X1 + 2 X2 ≤ 120 c. 2X1 ≤ 360 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0. 2. Max Z = 2 X1 + 3X2 Fungsi Kendala : a. 5X1 + 6X2 ≤ 60 b. X1 + 2X2 ≤ 16 c. X1 ≤ 10 d. X2 ≤ 6, dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.
3. Max Z = 2 X1 - 7X2 Fungsi Kendala : a. -2X1 + 3X2 = 3 b. 4X2 + 5X2 ≥ 16 c. 6X1 + 7X2 ≤ 3 d. 4X1 + 8X2 ≥ 5, dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0. 4. Min F = 22 X1 + 6 X2 Fungsi Kendala : a. 11X1 + 3X2 ≥ 33 b. 8X1 + 5X2 ≤ 40 c. 7X1 + 10X2 ≤ 70 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
5. Min Z = 20 X + 30 Y Fungsi Kendala: a). 2 X + Y ≥ 10 d). X - 8 Y ≤ 0 b). X + 2 Y ≤ 14 e). X ≤ 8 c). X + 4 Y ≥ 12 dan X ≥ 0, Y ≥ 0 6. Min Z = 6X1 + 8 X2 Fungsi Kendala: a). 3X1 + X2 ≥ 4 b). 5X1 + 2X2 ≤ 10 c). X1 + 2X2 = 3 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
