Fitri Yulianti, SP, MSi. Gunadarma University
PROGRAM LINIER DENGAN METODE GRAFIK Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi permasalahan adalah : 1. 2. 3.
pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi identifikasikan tujuan dan kendalanya definisikan variabel keputusannya
Metode grafik adalah satu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi dalam programasi linier. Keterbatasan metode ini adalah variabel yang bisa digunakan terbatas (hanya dua), penggunaan 3 variabel akan sangat sulit dilakukan. Dua macam fungsi Program Linear:
Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.
1. MASALAH MINIMASI Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin. Contoh: Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan: Jenis Makanan
Vitamin (unit)
Protein (unit)
Biaya per rupiah)
Royal Bee
2
2
100
unit
(ribu
Fitri Yulianti, SP, MSi. Gunadarma University
Royal Jelly
1
3
80
Minimum Kebutuhan
8
12
-
Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi. Langkah – langkah: 1. Tentukan variabel X1 = Royal Bee X2 = Royal Jelly 2. Fungsi tujuan Zmin = 100X1 + 80X2 3. Fungsi kendala 1) 2X1 + X2 ≥ 8 (vitamin) 2) 2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein) 3) X1 ≥ 2 (Royal Bee paling sedikit diproduksi) 4) X2 ≥ 1 (Royal Jelly paling sedikit diproduksi) 4. Membuat grafik 1) 2X1 + X2 = 8 X1 = 0, X2 = 8 X2 = 0, X1 = 4 2) 2X1 + 3X2 = 12 X1 = 0, X2 = 4 X2 = 0, X1 = 6 3) X1 = 2 4) X2 = 1
Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan (2). 2X1 + X2 = 8 2X1 + 3X2 = 12
Fitri Yulianti, SP, MSi. Gunadarma University
-2X2 = -4 X2 = 2 masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + X2 = 8 2X1 + 2 = 8 2 X1 = 6 X1 = 3 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460 Kesimpulan : Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah. 2. MASALAH MAKSIMASI Maksimasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil. Contoh: PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:
Jenis Bahan Tenaga Kerja
Baku
Kg Bahan Baku dan Tenaga Kerja
&
Jam
Maksimum Penyediaan
Kain Sutra
Kain Wol
Benang Sutra
2
3
60 kg
Benang Wol
-
2
30 kg
Tenaga Kerja
2
1
40 kg
Biaya per unit (Rp)
40
30
Langkah-langkah: 1) Tentukan variabel X1=kain sutera X2=kain wol 2) Fungsi tujuan Zmax= 40X1 + 30X2 3) Fungsi kendala / batasan 1. 2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera)
Fitri Yulianti, SP, MSi. Gunadarma University
2. 2X2 ≤ 30 (benang wol) 3. 2X1 + X2 ≤ 40 (tenaga kerja) 4) Membuat grafik 1. 2X1 + 3X2=60 X1=0, X2 =60/3 = 20 X2=0, X1= 60/2 = 30 2. 2X2 = 30 X2=15 3. 2X1 + X2 = 40 X1=0, X2 = 40 X2=0, X1= 40/2 = 20
Cara mendapatkan solusi optimal: 1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim. Titik A X1=0, X2=0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0 Titik B X1=20, X2=0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800 Titik C Mencari titik potong (1) dan (3) 2X1 + 3X2 = 60 2X1 + X2 = 40 2X2=20 X2=10 Masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3X2 = 60 2X1 + 3 . 10 = 60 2X1 + 30 = 60
Fitri Yulianti, SP, MSi. Gunadarma University
2X1 = 30 X1 = 15 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal) Titik D 2X2 = 30 X2 = 15 masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3 . 15 = 60 2X1 + 45 = 60 2X1 = 15 X1 = 7,5 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750 Titik E X2 = 15 X1 = 0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450 Kesimpulan : untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan keuntungan sebesar Rp 900. Tugas (dikumpulkan Senin, 28 Maret 2016) Perusahaan Krisna Furniture akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah Rp 7 sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah Rp 5. Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?
