PROGRAM LINIER. B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

www.plusindo.wordpress.com

PROGRAM LINIER A. Pengertian Program Linier Program linier adalah suatu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan yang berhubungan dengan optimasi linier (nilai maksimum atau nilai minimum). B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel y

b p p

x

a

x+y=p

bx + ay = ab

Contoh: Gambarlah grafik x  3 y  3 , x  0 , dan y  0 ! Jawab: x  3y  3 x y (x,y) 0 1 (0,1) 3 0 (3,0) y

1

x

3

Titik uji (0,0): x  3 y  3 0 + 3 (0)  3 0  3 Benar Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah sebelah bawah garis x  3 y  3

x+3y=3 Contoh: 1. Nilai minimal dari f ( x, y )  4 x  5 y yang memenuhi pertidaksamaan 2 x  y  7 , x  y  5 , x  0 , dan y  0 adalah .... Pembahasan: y

7 5 (2 , 3) 3,5 5

x

2x+y = 7

x+y=5

Menentukan titik potong: 2x  y  7 x y5 x  2 Sehingga: x y5 (2)  y  5 y 52 y 3 Maka titik potongnya (2 , 3) 1 Siap UN Matematika


Titik Pojok (x , y) (5 , 0) (0 , 7) (2 , 3)

Fungsi objektif f ( x, y )  4 x  5 y f (5,0)  4(5)  5(0)  20 ....Nilai minimal f (0,7)  4(0)  5(7)  35 f (2,3)  4(2)  5(3)  23

2. Sebuah pesawat dengan rute Jakarta – Surabaya dalam satu kali pemberangkatan dapat mengangkut penumpang paling banyak 90 penumpang yang terdiri dari penumpang kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis boleh membawa barang seberat 12 kg dan kelas ekonomi 10 kg dengan daya angkut maksimal bagasi adalah 1.000 kg. Harga tiket penumpang kelas bisnis Rp800.000,00 dan kelas ekonomi Rp700.000,00. Pendapatan maksimal maskapai tersebut adalah .... Pembahasan: Jika: banyak penumpang kelas bisnis =x banyak penumpang kelas ekonomi = y maka, model matematikanya: tentang banyak penumpang : x  y  90 ... (1) jumlah penumpang paling banyak 90 orang tentang daya angkut bagasi : 12 x  10 y  1.000 ... (2) maksimal bagasi menampung 1.000 kg disederhanakan menjadi 6 x  5 y  500 syarat mutlak: x  0 dan y  0 Grafik daerah penyelesaian: y Titik potong kedua garis: x  y  90 | x 5 → 5 x  5 y  450 6 x  5 y  500 | x 1 → 6 x  5 y  500 x =  50 x  50 x  y  90 (50)  y  90 y  40 Sehingga titik potong kedua garis tersebut (50 , 40)

100 90

(50 , 40) x 500 90 6 x + y = 90 6x+5y = 500

Titik Pojok (x , y)  500  ,0    6  (0 , 90) (50 , 40)

Fungsi objektif f ( x, y )  800.000 x  700.000 y  500   500  f ,0   800.000   700.000(0)  66.666.667  6   6  f 0,90   800.000(0)  700.000(90)  63.000.000 f 50,40  800.000(50)  700.000(40)  68.000.000 .... Pendapatan maksimal

2 Siap UN Matematika


Pembahasan tipe soal UN: 1. Pedagang sepatu mempunyai kios yang hanya cukup menampung 40 pasang sepatu. Sepatu jenis I dibeli dengan harga Rp60.000,00 setiap pasang, sedangkan sepatu jenis II dibeli dengan harga Rp80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang tersebut mempunyai modal sebesar Rp3.000.000,00 untuk membeli sepatu jenis I dan jenis II, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah …. Pembahasan: Jika: banyak sepatu jenis I = x banyak sepatu jenis II = y maka, model matematikanya: tentang daya tampung : x  y  40 ... (1) hanya cukup 40 berarti  tentang modal : 60.000 x  80.000 y  3.000.000 ... (2) uang modal berarti  disederhanakan menjadi 3 x  4 y  150 syarat mutlak: x  0 dan y  0 Jadi, yang benar pilihan C.

 3 x  5 y  15  2. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier  2 x  y  6 ditunjukkan pada gambar di  x0   y0 bawah ini dengan nomor daerah …. y

V6 3

II

I

III IV 3 5

x

Pembahasan: y

V6 3

II

I

III IV 3 5 6x + 3y =18 2x + y =6

x 3x + 5y =15

Untuk menentukan  atau  , kita lihat dari posisi daerah penyelesaiannya. Jika daerah penyelesaiannya di sebelah kiri atau bawah, maka  . Sedangkan jika daerah penyelesaiannya di sebelah kanan atau atas, maka  . Berarti daerah yang memenuhi: 3 x  5 y  15 , 2 x  y  6 , x  0 , dan y  0 adalah daerah I



3. Sistem pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah …. y

3 2 2

x

4

Pembahasan: Karena daerah penyelesaiannya di bawah berarti samasama  . Jadi sistem pertidaksamaan atau model matematika yang benar adalah x  2 y  4, 3x  2 y  6, x  0, y  0 (E)

y

3 2

x 2x + 4y = 8 3x + 2y = 6 x + 2y = 4 2

4

4. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimal dari fungsi objektif f ( x, y )  5 x  6 y adalah .... y 5 4 5 6

x

Pembahasan: y 5 4

(3 , 2) x 4x + 6y = 24 5x + 5y = 25 2x + 3y = 12 x+y=5 5 6

Titik Pojok (x , y) (5 , 0) (3 , 2) (0 , 4)

Titik potong: 2 x  3 y  12 | x1 → 2 x  3 y  12 x y 5 | x3 → 3 x  3 y  15 x = 3 x3 x y 5 (3)  y  5 y 53 y2 (3 , 2)

Fungsi Objektif: f ( x, y )  5 x  6 y f (5,0)  5(5)  6(0)  25 f (3,2)  5(3)  6(2)  15  12  27 .... Nilai maksimal f (0,4)  5(0)  6(4)  24



5. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 2 m kain katun dan 4 m kain sutera, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 m kain sutera. Bahan kain katun dan kain sutera yang tersedia masing-masing adalah 70 m dan 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba Rp25.000,00 per pakaian, sedangkan pakaian jenis II Rp50.000,00 per pakaian. Agar ia memperoleh laba sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II masing-masing dibuat sebanyak .... Pembahasan: Jika: banyak pakaian jenis I = x banyak pakaian jenis II = y maka, model matematikanya: Pakaian Pakaian Tersedia Simbol Jenis I (m) Jenis II (m) Kain katun 2 5 70  karena tersedia Kain sutera 4 3 84  karena tersedia Sehingga diperoleh sistem pertidaksamaan/model matematika: Kain katun: 2 x  5 y  70 .... (1) Kain sutera: 4 x  3 y  84 .... (2) Banyak pakaian jenis I dan II tidak mungkin negatif, berarti: x  0 .... (3) y  0 .... (4) Grafik daerah penyelesaian: y

28 14

(15 , 8) 21

35

Titik potong kedua garis: 2 x  5 y  70 |x2 → 4 x  10 y  140 4 x  3 y  84 |x1 → 4 x  3 y  84 7 y  56 56 y x 7 2x + 5y = 70 y 8

4x + 3y = 84

2 x  5 y  70 2 x  5(8)  70 2 x  70  40 2 x  30 30 x 2 x  15 Sehingga titik potong kedua garis tersebut (15 , 8) Titik Pojok (x , y) (21 , 0) (15 , 8) (0 , 14)

Fungsi objektif f ( x, y )  25.000 x  50.000 y f (21,0)  25.000(21)  50.000(0)  525.000 f (15,8)  25.000(15)  50.000(8)  375.000  400.000  775.000 f (0,14)  25.000(0)  50.000(14)  700.000

Laba terbesar Rp775.000,00 dengan membuat 15 pakaian jenis I dan 8 pakaian jenis II.


PROGRAM LINIER. B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Recommend Documents