PRODUK SILANG TEREDUKSI DARI ALJABAR- OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

PRODUK SILANG TEREDUKSI DARI ALJABAROLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

∗

Nadia Shabilla, Rizky Rosjanuardi, Isnie Yusnitha Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia *Coresponding author: [email protected] ABSTRAK: Gerard. J. Murphy (1991) mendefinisikan suatu sistem dinamik ( , , ) terdiri dari aljabar- ∗ dan semigrup dengan unsur identitas, dimana keduanya dihubungkan oleh aksi homomorfisma oleh pada automorfisma di . Produk silang dari sistem dinamik ( , , ) , yaitu ( , , ) terdiri dari aljabar- ∗ (yang selanjutnya dinotasikan dengan ⋊ ) dan pasangan ( , ) yang merupakan homomofisma kovarian di ⋊ . Pada tulisan ini dipelajari tentang bentuk representasi isometrik reguler dari semigrup kanselatif kanan (dengan unsur identitas) di ruang Hilbert ( , ) dan konstruksi produk silang ⋊ dari sistem dinamik ( , , ) , yang terdiri dari aljabar- ∗ unital dan semigrup kanselatif kanan dengan identitas. Kemudian dikaji sifat universal dari produk silang ⋊ sehingga melahirkan produk silang tereduksi di ( , , ). Kata Kunci: Aljabar- ∗ , Sistem Dinamik Aljabar∗ , Produk Silang Tereduksi.

∗

, Produk Silang Aljabar-

ABSTRACT: Gerard. J. Murphy (1991) defined a dynamical system ( , , ) that contains a C*-algebra and a semigroup with identity element of automorphism on . The system ( , , ) is a crossed product for dynamical system ( , , ), that contains C*-algebra ( it will be denoted as ⋊ ) and a covariant homomorphism which denoted as a pair ( , ). In this paper, we learn a regular isometric’s form of right-cancellative semigroup (with identity element) on Hilbert space ( , ), construction of crossed product ⋊ from a dynamical system ( , , ) which contains a unital C*-algebra and right-cancellative semigroup (with identity element) .Moreover, we investigate the universal property of a crossed product ⋊ that forms a reduced crossed product on ( , , ). Keyword: C*-Algebra, C*-Algebra Dynamical System, C*-Algebra Crossed Product, Reduced Crossed Product.

PENDAHULUAN Teori Crossed Products atau produk silang dari aljabar-C* oleh grup pada automorfisma memiliki peranan penting pada teori aljabar operator. Produk silang pada aljabar-C* oleh grup dari automorfisma biasa disebut produk silang yang klasik. Beberapa ilmuwan matematika telah mengembangkan teori produk silang

18 | E u r e k a M a t i k a , V o l . 1 , N o . 1 , 2 0 1 4

menjadi bentuk non-klasik yang semakin menarik untuk ditelaah, diantaranya [1], [3], [4], [5], [6], [7] dan [8]. Gerard J. Murphy pada papernya yang berjudul Ordered Groups and Crossed Products of C*-algebras (1991) telah mengenalkan sekaligus mengembangkan konsep baru dari teori produk silang pada aljabar-C* yaitu teori produk silang oleh semigrup dari automorfisma. Dalam paper tersebut, terdapat proposisi sifat universal dari produk silang aljabar-C* dimana dalam pembuktiannya didefinisikan suatu representasi kovarian yang diinduksi dari represantasi di aljabar-C* . Dengan menggunakan sifat universal dari produk silang, untuk setiap representasi kovarian yang diinduksi dari representasi di akan terdapat homomorfisma-* yang unik, dimana peta dari homomorfisma-* tersebut membentuk suatu aljabar- C* baru yaitu produk silang tereduksi.

PRODUK SILANG PADA ALJABAR-

∗

Misalkan grup abelian dan suatu himpunan. Aksi dari pada X adalah pemetaan : × → , ( , ) ⟼ yang memenuhi: (i) = , ∀ ∈ dimana unsur identitas dari , (ii) ( ) = ( ) , ∀ , ∈ , ∈ . Jika adalah grup topologi dan adalah ruang topologi, maka aksi tersebut dikatakan kontinu jika ( , ) ⟼ adalah kontinu. Definisi 3.1: Sistem Dinamik[1] Misal adalah grup, adalah aljabar-C* dan didefinisikan Aut( ) ≔ { : → | isomorfisma −∗} . Grup dikatakan beraksi pada bila terdapat homomorfisma grup : → Aut( ). Selanjutnya sistem ( , , ) dikatakan sebagai sistem dinamik dalam hal ini dua himpunan yang berbeda strukturnya, yaitu dan dihubungkan oleh aksi yang homomorfisma .

Definisi 3.2: Representasi Kovarian[1] Misalkan ( , , ) adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang merupakan homomorfisma : → Aut( ) . Sebuah representasi kovarian dari ( , , ) adalah pasangan ( , ) dimana : → ( ) adalah representasi yang unital, dan : → ( ) representasi uniter yang memenuhi: ( ) = ( )( )∗ , ∀ ∈ , ∈ .

19 | E u r e k a M a t i k a , V o l . 1 , N o . 1 , 2 0 1 4

Definisi 3.3: Produk Silang[1] Misalkan ( , , ) adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang homomorfisma : → Aut( ) . Produk silang dari ( , , ) adalah sistem ( , , ) yang terdiri dari aljabar-C* (aljabar-C* dinotasikan dengan ⋊ ), homomorfisma unital : → ⋊ dan homomorfisma : → ⋊ yang memenuhi: (i) Pasangan ( , ) adalah kovarian, (ii) Untuk setiap representasi kovarian ( , ) dari ( , , ) terdapat representasi unital × dari sedemikian sehingga ( × )° = dan ( × )° = , (iii) Aljabar-C* ⋊ dibangun oleh { ( )| ∈ } ∪ { ( )| ∈ }. Diberikan suatu sistem dinamik ( , , ) yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang homomorfisma : → Aut(A) . Misal didefinisikan representasi kovarian ( , ) yang terdiri dari representasi uniter : → ( ) dan representasi unital : → ( ) sedemikian sehingga ( ) = ( )( )∗ untuk setiap ∈ dan ∈ . Selanjutnya didefinisikan ( , ) ≔ { : → |hanya berhingga ∈ ∋ ( ) ≠ 0}. Himpunan fungsi ( , ) dilengkapi dengan konvolusi untuk setiap ∈ ( ∗ )( ) = ∑ ∈ ( ) ( ) untuk setiap ∈ dan operasi involusi ∈

∗

( )

=

( (

∈

)∗ )

( , ) dapat dipandang sebagai aljabar-*. Misal ( × ) adalah sehingga representasi-* dari ( , ) di ruang Hilbert (Williams, 1952:49). Norm aljabar∗ penuh di ( , ) didefinisikan oleh ‖ ‖ ≔ sup{‖( × )( )‖} ( untuk setiap representasi × ) . Lengkapan dari ( , ) atas norm tersebut ∗ adalah aljabaryang disebut dengan produk silang penuh atas oleh dan dinotasikan dengan ⋊ (Williams, 1952:52). Norm aljabar- ∗ tereduksi di ( , ) didefinisikan oleh ‖ ‖ = ‖( × )( )‖ (ℋ) dimana ( × ): ( , ) → (ℋ) adalah representasi reguler yang berasosiasi dengan representasi kovarian ( , , ) yang diberikan oleh ( ) , = , ( )

,

=

,

20 | E u r e k a M a t i k a , V o l . 1 , N o . 1 , 2 0 1 4

untuk setiap ∈ , , ∈ dan ℎ ∈ dimana : → ( ) adalah representasi yang faithful dan ℋ= ( , )≔ → , ⟼ , ℎ , adalah delta kronecker . , : Produk silang tereduksi ⋊ adalah lengkapan dari ( , ) atas norm aljabar∗ tereduksi.

PRODUK SILANG TEREDUKSI DARI ALJABARSEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

∗

OLEH

Misal adalah semigrup dengan unsur identitas e, dan ℬ adalah aljabar-C* dengan unsur kesatuan ℬ . Homomorfisma semigrup : → ℬ, ⟼ disebut homomorfisma isometrik jika untuk setiap ∈ , adalah isometri. Jika ℬ = ( ) adalah suatu aljabar dari semua operator linear terbatas di ruang Hilbert H, maka kita sebut ( , ) sebagai suatu representasi isometrik dari di . Misal dinotasikan sebagai semigrup kanselatif kanan dan adalah ruang Hilbert tak nol. Himpunan fungsi berikut ( , )=

:

→

∈

‖ ( )‖ < ∞

dengan penjumlahan dan perkalian skalar titik demi titik, dilengkapi hasilkali dalam yang didefinisikan oleh

dan norm

adalah sebuah ruang Hilbert. Misalkan

⟨ | ⟩= ‖ ‖=

∈

〈 ( )| ( )〉

∈

‖ ( )‖

( , ) , ⟼ : → dimana untuk setiap ∈ , pemetaan di ( , ) didefinisikan oleh ( ) jika = ∃ ∈ ( )( ) = . 0, jika ∉ Misal sistem dinamik ( , , ) terdiri dari aljabar-C* unital , semigrup kanselatif kanan (dengan unsur identitas) , dan adalah homomorfisma dari ke grup automorfisma di . Misal ℬ adalah aljabar-C*, aljabar multiplier dari ℬ dinotasikan dengan ℳ(ℬ) . Jika adalah aljabar-C* unital maka = ℳ(ℬ). 21 | E u r e k a M a t i k a , V o l . 1 , N o . 1 , 2 0 1 4

Homomorfisma kovarian dari sistem dinamik ( , , ) adalah pasangan ( , ) yang terdiri dari homomorfisma-* : → ℬ, ⟼ ( ) dan homomorfisma isometrik : → ℬ, ⟼ dimana keduanya dikaitkan oleh relasi kovarian ( ) ( ) ∀ ∈ dan ∈ . = Jika ℬ = ( ) untuk suatu ruang Hilbert , maka ( , , ) disebut sebagai reperesentasi kovarian dari sistem dinamik ( , , ). Untuk mengkonstruksi suatu produk silang dari sistem dinamik ( , , ), G.J Murphy [5] memisalkan sebagai aljabar- ∗ yang tak nol. Kemudian dibentuk suatu himpunan ∪ dan membangun suatu aljabar-* yang bebas. Misal sistem dinamik ( , , ) memiliki representasi kovarian ( , , ), maka terdapat ideal self-adjoint dari misalkan . Kemudian didefinisikan suatu aljabar-* yaitu kosien / yang unital. Misal terdapat homomorfisma-* : → / , ⟼ + dan homomorfisma isometrik : → / , ⟼ + dimana keduanya dikaitkan oleh relasi kovarian ( ) = ( ) ∀ ∈ dan ∈ . Perhatikan bahwa aljabar-* / dibangun oleh ( ) ∪ ( ) dimana ( ) = { | ∈ }. Kita ingin mendefinisikan norm- ∗ di kosien aljabar-* / menggunakan seminorm- ∗ di / katakanlah . Selanjutnya, perhatikan lemma berikut ini. Lemma 4.2.1[5] Misal adalah seminorm-

∗

( ) adalah di / maka untuk setiap ∈ , ⟼ ( ) ≤ ‖ ‖. seminorm- di sedemikian sehingga Dari lemma tersebut dapat dilihat bahwa pada berlaku norm-decreasing. ∗

∗

Kemudian perhatikan juga bahwa = = (1) ≤ 1. Akibatnya / ∗ memuat seminorm- terbesar yaitu : / →ℝ , ⟼ ( ) ( ) ∪ dimana ( ) = . Berdasarkan Definisi 2.4.24 aljabar-* kosien / memiliki ideal yang self-adjoint yaitu = { ∈ / | ( ) = 0}. Selanjutnya dapat dibentuk suatu aljabar-* kosien ( / )/ dengan norm-C* yang didefinisikan oleh 22 | E u r e k a M a t i k a , V o l . 1 , N o . 1 , 2 0 1 4

= {‖ + ‖ = ( )| ∈ / }. Misal adalah lengkapan- ∗ dari ( / )/ atas norm-C* dan suatu homomorfisma-* : / → , ⟼ ( )= + . Misal ( ) = ( ) untuk setiap ∈ dan = untuk setiap ∈ . Selanjutnya didefinisikan suatu homomorfisma-* : → ⋊ , ⟼ ( ) dan homomorfisma isometrik : → ⋊ , ⟼ dimana ( ) = ( ) untuk setiap ∈ dan = untuk setiap ∈ . Kemudian dinotasikan suatu subaljabar-C* dari yaitu | ∈ } ⋊ = { ( )| ∈ } ∪ { maka aljabar- ∗ ⋊ dibangun oleh ( ) untuk setiap ∈ dan ∈ . Dari konstruksi aljabar- ∗ diatas telah diperoleh suatu bentuk produk silang dari yaitu ⋊ oleh semigrup dengan aksi . Pasangan ( , ) merupakan homomorfisma kovarian dari ( , , ) ke ⋊ . Proposisi 4.3.4[5] Misal ( , , ) merupakan sistem dinamik. Pemetaan kanonik dan adalah injektif dan aljabar-C* yang dinotasikan dengan ⋊ dibangun oleh semua ( ) untuk setiap ∈ dan ∈ . Jika ( , ) adalah homomorfisma kovarian dari ( , , ) ke aljabar-C* unital , maka terdapat homomorfisma-* yang unik × : ⋊ → sedemikian sehingga: ( × )( ( ) ) = ( ) ∀ ∈ ∈ Bukti: Misal ( , ) adalah homomorfisma kovarian dari ( , , ) ke aljabar- ∗ unital ℬ, dimana terdiri dari homomorfisma-* : → ℬ, ⟼ ( ) dan homomorfisma isometrik : → ℬ, ⟼ . Relasi kovarian dari kedua pemetaan tersebut ialah ( ) ( ) ∀ ∈ dan ∈ . = Misal adalah aljabar-* yang bebas pada himpunan ∪ , maka terdapat secara tunggal homomorfisma-* : → ℬ dimana ( ) = ( ), ∀ ∈ ( )= ,∀ ∈ .

23 | E u r e k a M a t i k a , V o l . 1 , N o . 1 , 2 0 1 4

Aljabar-* memuat suatu adalah ideal self-adjoint paling kecil yang dinotasikan dengan dimana ( ) = 0, sehingga dapat didefinisikan homomorfisma-* : / → ℬ. Telah didefinisikan bahwa adalah lengkapan- ∗ dari ( / )⁄ dan terdapat homomorfisma-* : / → . Misal terdapat suatu homomorfisma-* : →ℬ sedemikian sehingga = . Telah dinotasikan sebelumnya bahwa ( ) = ( ) untuk setiap ∈ dan = untuk setiap ∈ , dimana : → / , ⟼ + adalah homomorfisma-* dan : → / , ⟼ + adalah homomorfisma isometrik. Telah didefinisikan sebelumnya bahwa adalah homomorfisma-* dan merupakan homomorfisma isometrik. Untuk lebih jelas, perhatikan diagram berikut → / →

→

→ / → → . Sehingga berdasarkan diagram tersebut, diperoleh ( )= ( )= ( ) = ( ) = ( ), ∀ ∈ = = = ( )= ,∀ ∈ . Oleh karena itu ( ( ) )= ( ( ) )= ( ) jadi terbukti bahwa × : ⋊ → , ⟼ ( ) adalah homomorfisma-* yang unik sedemikian sehingga ( × )( ( ) ) = ( ) ∀ ∈ ∈ . ( ) Misal , adalah representasi yang faithful dan unital. Misal ( ( , ), , ) adalah representasi kovarian yang diinduksi dari sistem dinamik ( , , ) yang terdiri dari homomorfisma-* ( , ) , ⟼ ( ) : → dan representasi isometrik reguler ( , ) , ⟼ . : → Telah ditunjukkan bahwa ( ( , ), , ) adalah representasi kovarian yang diinduksi dari representasi ( , ) dan bersifat injektif. Selanjutnya dari representasi kovarian ( ( , ), , ) terdapat suatu homomorfisma-* yang unik ( × ): ⋊ ( , ) → ( ) ⟼( × ) ( ) = ( ) . 24 | E u r e k a M a t i k a , V o l . 1 , N o . 1 , 2 0 1 4

Jika 0 = ( ) untuk setiap ∈ , maka 0=( × ) ( ) = ( )∀ ∈ sehingga diperoleh 0 = , jadi homomorfisma-* bersifat injektif. Misal untuk setiap , ∈ berlaku = , maka ( ) = ( × )( ( ) ) = ( × ) ( ) = ( ) untuk setiap ∈ . Telah ditunjukkan pada subbab 4.1 bahwa bersifat injektif, maka = . Oleh karena itu bersifat injektif.∎ Pada pembuktian proposisi diatas disebutkan untuk setiap representasi kovarian ( ( , ), , ) terdapat homomorfisma-* yang unik ( × ): ⋊ ( , ) → sedemikian sehingga ( ) ⟼( × ) ( ) = ( ) . Selanjutnya dapat didefinisikan suatu produk silang tereduksi dari ( , , ) yaitu )= ( ) . ⋊ = ( × )( ⋊ ( ) dapat diidentifikasi untuk setiap unsur di Karena dan injektif, maka | ∈ , ∈ }. . Oleh karena itu bentuk ⋊ dibangun oleh {

REFERENSI Albania, I. N. & Rosjanuardi, R. (2012). “On Graph Algebras and Crossed Product by Semigroups”. Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS). 67, (1), 99-110. Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. United States of America : University of Windsor. Murphy, G. J. (1987). Ordered Groups and Toeplitz Algebras. J. Operator Theory. 18. 303-326 Murphy, G.J. (1990). C*-Algebras and Operator Theory. Ireland : University College. Murphy, G.J. (1991). ”Ordered Groups and Crossed Products of C*-algebras”, Pacific J. Math. 148, 319-349. Rosjanuardi, R. dan Adji, S. (2007). Twisted Semigroup Crossed Products and Twisted Toeplitz Algebras of Ordered Groups. Acta Mathematica Sinica. 23 (9). 1639-1648. S. Adji. (2000). Semigroup Crossed Products and The Structure of Toeplitz Algebras. J. Operator Theory. 44. 139-150.

25 | E u r e k a M a t i k a , V o l . 1 , N o . 1 , 2 0 1 4

S. Adji, M. Laca, M. Nilsen dan I. Raeburn. (1994). Crossed Products by Semigroups of Endomorphisms and the Toeplitz Algebras of Ordered Groups. Proc. Amer. Math. Soc. 122. 1133-1141. Sierakowski, A. (2009). Discrete Crossed Product C*-algebras, Denmark: Department of Mathematical Sciences, Univeristy of Copenhagen. Simoes, R. (2011). Product Type Actions with Rokhlin Properties. Tesis, Universidade Tecnica de Lisboa. Waskita, A.C. (2008). Sifat Norm Dari Pemetaan Positif Pada Sistem Operator. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia, Tugas Akhir.

26 | E u r e k a M a t i k a , V o l . 1 , N o . 1 , 2 0 1 4