Probabilitas = Peluang 1.
Pendahuluan
• Percobaan : proses yang menghasilkan data • Ruang Contoh (S) : himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan • Kejadian = Event : himpunan bagian dari ruang contoh • Titik Contoh: Anggota Ruang Contoh/Kejadian • Konsep Dasar (Klasik) Peluang Peluang kejadian A dinotasikan sebagai P(A) Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka :
n N : banyak titik contoh penyusun Kejadian : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S) P ( A) =
n N
• Nilai Peluang Kejadian A → 0 ≤ P(A) ≤ 1 dan P (S) = 1 → Peluang Kejadian yang pasti terjadi P (∅) = 0 → Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi Contoh 1: Percobaan: Pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali S : {sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5, sisi-6} N=6 Kejadian A:
Munculnya sisi dadu bernilai GENAP dalam pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali A {sisi-2, sisi-4, sisi-6} n=3
Peluang kejadian A: Contoh 2: Percobaan:
Kejadian B:
n 3 1 = = = 0.5 N 6 2
Pengambilan sebuah kartu secara acak dari satu set kartu Bridge, Ruang sampel gambar kartu tersebut S: {J, Q, K, As, 2-10 Hati, J, Q, K, As, 2-10 Wajik, J, Q, K, As, 2-10 Klaver, J, Q, K, As, 2-10 Sekop} N = 52 Munculnya kartu bergambar J B: {J Hati. J Wajik, J Klaver, J sekop}
n=4
n 4 1 = = N 52 13 Pencacahan Titik Contoh
Peluang kejadian B: 2.
P ( A) =
P ( B) =
1
Sub bab ini adalah mengenai perhitungan banyaknya anggota ruang contoh. 2.1
Kaidah Perkalian = Kaidah Penggandaan Kaidah Perkalian: Jika
operasi ke-1 dapat dilakukan dalam n1 cara operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n2 cara : : operasi ke-k dapat dilakukan dalam nk cara
maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 × n 2 × …× nk cara Contoh 2: Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 3, 4, 6, 7, dan 8 a.
jika semua angka boleh berulang? 5 × 5 × 5 × 5 = 625
b.
jika angka tidak boleh berulang? 5 × 4 × 3 × 2 = 120
c
jika bilangan tersebut: GANJIL dan angka tidak boleh berulang? 4 × 3 × 2 × 1 = 48
d.
Berapa peluang bilangan yang muncul adalah bilangan GANJIL dan angka tidak berulang (lihat Kejadian c) pada kondisi pembentukan bilangan 4 digit, angka boleh berulang (lihat Kejadian a) n = 48 N = 625 n 48 = P(C) = N 625
2.2.
Permutasi
Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu. Dalam permutasi urutan diperhatikan! Misal :
2
Dari huruf A, B, C → permutasi yang mungkin adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB dan CBA. Perhatikan ke-enam susunan ini semua dianggap berbeda! Dalil 1 Permutasi : Banyaknya Permutasi n benda yang berbeda adalah n!
Konsep Bilangan Faktorial n! = n × (n-1) ×(n-2) ×.... × 2 × 1 0! = 1 1! = 1 2! = 2 × 1 = 2 3! = 3 × 2 × 1 = 6, dst 100! = 100 × 99! 100! = 100 × 99 × 98!, dst Contoh 3 : Berapa cara menyusun bola lampu merah, biru, kuning dan hijau ? Terdapat 4 objek berbeda : merah, kuning, biru dan hijau → 4! = 4× 3 × 2 × 1 = 24 Dalil 2 Permutasi : Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah : n Pr =
n! (n − r )!
Perhatikan dalam contoh-contoh ini urutan obyek sangat diperhatikan! Contoh 4 : Dari 40 nomor rekening akan diundi 3 untuk memenangkan hadiah. Undian urutan pertama akan memperoleh uang tunai $50000, undian urutan kedua memperoleh paket wisata dan undian urutan ketiga memperoleh sebuah sedan. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk jika satu nomor rekening hanya berhak atas satu hadiah? 40! 40! 40 × 39 × 38 × 37! = = = 59280 40 P3 = (40 − 3)! 37! 37! Dalil 3 Permutasi (Permutasi Melingkar):
3
Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)! Contoh 5: Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar. Berapa susunan yang mungkin dibentuk? n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 120 Sampai dalil ke-3, kita telah membahas permutasi untuk benda-benda yang berbeda. Perhatikan permutasi ABC, terdapat 3 objek yang jelas berbeda. Bagaimana jika kita harus berhadapan dengan A1A2B1B2C1C2 dan A1=A2=A dan B1=B2=B dan C1=C2= C? Dalil 4 Permutasi (Permutasi Bersekat) Banyaknya permutasi untuk sejumlah n benda di mana jenis/kelompok pertama berjumlah n1 jenis/kelompok kedua berjumlah n2 : : : : jenis/kelompok ke-k berjumlah nk
adalah
:
n! n1 ! n2 ! n3 !⋅⋅⋅ nk !
n = n1 + n2 + . . . + nk
Contoh 6 : Berapa permutasi dari kata STATISTIKA? S = 2; T = 3; A = 2; I = 2; K = 1 10! = 75600 Permutasi = 2!3!2!2!1! Contoh 7 : Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas. 3 orang masuk ke kelas pertama, 2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga. 7! Ada berapa cara pemisahan? = 210 3!2!2! 2.3 Kombinasi Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan urutan.
4
Misalkan :
Kombinasi 2 dari 3 obyek A, B dan C adalah 1. A dan B = B dan A 2. A dan C = C dan A 3. B dan C = C dan B Dalil-1 Kombinasi
Crn = maka : Pemilihan 2 dari 3 obyek adalah :
n! r !( n − r )! C23 =
3! =3 2!1!
2.4 Kaidah Perkalian & Kombinasi Dalam banyak soal, kaidah perkalian dan kombinasi seringkali digunakan bersama-sama. Contoh 8 : Manajer SDM mengajukan 12 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 4 calon dari Kantor cabang dan 3 dari Program Pelatihan Manajer. a. Berapa cara Manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan ketentuan 3 berasal dari Kantor Pusat. 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan manajer? 5! = 10 Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat = C35 = 3!2! 4! =6 Pemilihan 2 dari 4 calon dari Kantor Cabang = C24 = 2! 2! 3! =3 Pemilihan 1 dari 3 calon dari Program Pelatihan = C13 = 1! 2 ! Pemilihan Manajer = 10 × 6 × 3 = 180 cara = n b.
Berapa cara memilih 6 dari 12 calon manager? 12! = 924 = N Pemilihan 6 dari 12 calon manager = C126 = 6!6!
c.
Berapa peluang 6 manajer baru dari 12 calon terdiri dari 3 dari Kantor Pusat, 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan? n 180 P(manajer) = = N 924
3.
Pengolahan Peluang
3.1
Kaidah Penjumlahan Peluang Kejadian
5
Dalil 1. Kaidah Penjumlah Peluang Kejadian Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) atau P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B) A∪B = kejadian A atau B
A∩B = kejadian A dan B
Contoh 10 : Menurut catatan sebuah Bank, peluang Industri Manufakturing memperoleh kredit adalah 0.35. Sedangkan peluang Industri yang Padat Karya = 0.45. Peluang Industri yang tergolong Manufakturing atau Padat Karya = 0.25. Berapakah Peluang Industri Manufakturing dan Padat Karya memperoleh Kredit? (0.35 + 0.45 - 0.25 = 0.55) Konsekuensi 1. Kaidah Penjumlahan Peluang Bila A dan B adalah kejadian Saling Terpisah (A∩B=∅), maka :P(A∪B) = P(A) + P(B) Contoh 11 : Berapakah peluang munculnya kartu bernilai 7 berwarna merah (A) atau bernilai 7 dengan hitam(B) pada pengambilan sebuah kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge? Pada pengambilan sebuah kartu tidaklah mungkin mendapatkan kartu bernilai 7 berwarna merah sekaligus berwarna hitam (A∩B=∅) P( A ∪ B) = 2 52 + 2 52 = 4 52 = 113
Konsekuensi 2. Kaidah Penjumlahan Peluang Bila A1, A2,..., Ak saling terpisah, maka : P(A1 ∪ A2 ∪. . . ∪Ak) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(Ak)
Dalil 2. Kaidah Penjumlahan Peluang Kejadian Berkomplemen Jika A dan A' adalah 2 kejadian yang berkomplemen, maka : P(A) + P(A')= 1
6
Contoh 12 : Peluang seorang mahasiswa tidak lulus ujian = 0.30, Peluang seorang mahasiswa lulus ujian = 1 - 0.30 = 0.70 karena: Jika kejadian A = TIDAK lulus ujian dan P(A) = 0.30 maka kejadian A’ = LULUS sehingga P(A) = 1 - P(A) = 1 - 0.30 = 0.70 3.2
Peluang Bersyarat
Peluang Bersyarat berlaku untuk penetapan peluang kejadian yang tidak bebas. Kejadian-kejadian yang bergantung dengan kejadian lain disebut : Kejadian Tidak Bebas. Contoh kejadian tidak bebas : pengambilan contoh tanpa pemulihan Tanpa pemulihan = contoh yang telah terambil tidak dikembalikan ke dalam ruang contoh. Kejadian yang terjadi tanpa bergantung dengan kejadian lain disebut Kejadian Bebas. Contoh kejadian bebas : pengambilan contoh dengan pemulihan Dengan pemulihan = contoh yang telah terambil dikembalikan ke dalam ruang contoh. Notasi Peluang Bersyarat Dibaca
: :
P(B|A) "Peluang terjadinya B, bila A telah terjadi" atau "Peluang B, jika peluang A diketahui"
Contoh 12: Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan tanpa pemulihan Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 4 10 Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM MERAH) = 6 9 Peluang Bola ketiga berwarna Hitam = P (HITAM HITAM MERAH) = 5 8 Peluang Bola keempat berwarna Merah = P(MERAH HITAM HITAM MERAH) = 3 7 Definisi Peluang Bersyarat secara umum : P( A ∩ B) P( B A) = P( A) P(A) ≠ 0 Perhatikan
:
P(B|A) ≠ P(A|B)
7
Contoh 13 :
P(A∩B) = P (B∩A) Peluang KRL berangkat tepat waktuP(B) = 0.50 Peluang KRL datang ke tepat waktu P(D) = 0.40 Peluang KRL berangkat dan datang tepat waktu P(B∩D) = 0.30
a.
Peluang KRL akan datang tepat waktu setelah berangkat tepat waktu? P(B ∩ D) 0.3 P(D B )= = = 0.6 P(B ) 0.5
b.
Peluang KRL akan berangkat tepat waktu setelah datang tepat waktu? P(B ∩ D) 0.3 P(B D)= = = 0.75 P(D) 0.4
Definisi : Dua Kejadian A dan B dikatakan bebas
jika :
P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A) Bila hal itu tidak dipenuhi, A dan B dikatakan tidak bebas
3.3
Kaidah Penggandaan Peluang = Kaidah perkalian peluang
Penghitungan peluang beberapa kejadian yang dapat terjadi sekaligus. Dalil 1. Kaidah perkalian Peluang Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B dapat terjadi sekaligus, maka : P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B ∩ A) = P(B) × P(AB)
Ingat : A∩B dibaca sebagai kejadian A dan B Contoh 14 (Lihat Contoh 12) Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan tanpa pemulihan a) Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 4 10
8
Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM MERAH) = 6 9 Peluang Bola pertama Merah dan Bola kedua Hitam = 4 10 × 6 9 = 24 90 = 4 15 b)
Peluang Bola pertama berwarna Hitam = P(HITAM) = 610 Peluang Bola kedua berwarna Merah = P(MERAH HITAM) = 4 9 Peluang Bola pertama Hitam dan Bola kedua Merah = 610 × 4 9 = 24 90 = 4 15 Dalil 2. Kaidah Perkalian Peluang Kejadian Bebas Bila A dan B adalah kejadian bebas, maka : P(A ∩ B) = P(A) × (B)
Contoh 14b: Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan dengan pemulihan Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 4 10 Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM MERAH) = P(HITAM) 6 10 Peluang Bola pertama Merah dan Bola kedua Hitam = 4 10 × 6 10 = 24 100 = 6 25 Kaidah Penggandaan Peluang (secara umum) Dalil 3. Kaidah Penggandaan Peluang (secara umum) Bila dalam suatu percobaan kejadian A1, A2,..., Ak, maka : P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . ∩Ak) = P(A ) × P(A2A1) × P(A3A1 A2) ×. . . .× P(AkA1∩A2∩A3 ∩ . . . ∩Ak-1) ☺ Selesai ☺
9
