Probabilitas dan Proses Stokastik
Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2014
Tim ProStok
OUTLINE 1. Capaian Pembelajaran
2. Pengantar dan Teori
3. Contoh
4. Ringkasan
5. Latihan 2
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Capaian Pembelajaran
Mahasiswa mampu:
menjelaskan spesifikasi eksperimen acak meliputi prosedur, observasi dan model; mengidentifikasi ruang sampel dan event dari eksperimen acak.
Eksperimen Acak
3
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Pengantar
Konsep dasar tentang eksperimen acak dan penentuan ruang sampel serta event dari suatu eksperimen
tersebut terdapat dalam bahasan ini. Pendefinisian tentang eksperimen acak, ruang sampel dan event tersebut dilengkapi dengan beberapa contoh yang
berguna untuk memberikan penjelasan secara utuh tentang konsep-konsep tersebut. Eksperimen Acak
4
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Eksperimen Acak
Definisi: eksperimen yang hasilnya (outcome) bervariasi dan tidak dapat diprediksi bila eksperimen tersebut diulang pada kondisi yang sama
Penetapan eksperimen acak:
Prosedur: pilih bola dalam kotak yang berisi bola yang diberi nomor 1, 2 dan 3 Observasi: catat nomor bola Model:
bola identik dan terambilnya tiap bola memiliki kemungkinan yang sama Eksperimen Acak
5
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Eksperimen Acak
Eksperimen acak
Prosedur eksperimen sama, observasi beda Observasi dapat lebih dari satu
Eksperimen Acak
6
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Ruang Sampel
Definisi: himpunan dari seluruh hasil (outcome) atau titik sampel dalam eksperimen
Eksperimen acak:
Prosedur: lempar sebuah dadu
Observasi: catat jumlah mata dadu muka atas Ruang sampel: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eksperimen Acak
Diskrit dan terbatas 7
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Event
Definisi: himpunan bagian (subset) dari S yang memunyai karakteristik tertentu yang diperhatikan dalam eksperimen
Eksperimen acak:
Prosedur: lempar sebuah dadu
Observasi: catat jumlah mata dadu muka atas Event A:
jumlah mata dadu bernilai genap Eksperimen Acak
8
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Operasi Himpunan
Event dapat diperoleh dari operasi himpunan Gabungan (union): A ∪ B Interseksi: A ∩ B
Event A dan B: mutually exclusive
Event A dan B: mutually exclusive dan collectively exhaustive Eksperimen Acak
9
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Komutatif:
A∪ B = B ∪ A
A∩ B = B ∩ A
Asosiatif:
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C
Distributif:
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
Aturan DeMorgan
c c c ( A ∩ B ) c = Ac ∪ B c ( A ∪ B ) = A ∩ B
Eksperimen Acak
10
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Eksperimen Acak Eksp. Prosedur E1 Pilih bola dalam kotak yang berisi 10 bola identik yang diberi nomor 1 sampai 10 E2 Pilih bola dalam kotak yang berisi 4 bola identik yang dinomori 1 dan 2 untuk bola hitam (h), nomor 3 dan 4 untuk bola putih (p). E3 Lempar koin tiga kali. Model: terjadinya angka dan gambar memiliki kemungkinan yang sama (equally likely) Outcome berupa angka (A) atau gambar (G) Lempar koin tiga kali. E4 E5 E6 E7 E8
Observasi Catat nomor bola
Catat nomor dan warna bola
Catat banyaknya angka yang terjadi
Catat urutan angka dan/atau gambar hasil lemparan Pilih bilangan integer ganjil positif Catat integer ganjil positif terpilih Pilih bilangan positif dari 0 (nol) sampai dengan Catat bilangan positif yang 12 terpilih Hitung banyaknya pesan yang datang pada pusat Catat hasil penghitungan pesan pesan tiap jam tersebut Ukur nilai tegangan dalam rangkaian pada waktu t1 Catat hasil pengukuran tegangan tersebut Eksperimen Acak
11
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Ruang Sampel Eksp.
Observasi
E1
Nomor bola yang terpilih dari dalam kotak
E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
Ruang Sampel S1 = {1, 2, …, 10}
Nomor dan warna bola terpilih
S2 = {(1,h), (2,h), (3,p), (4,p)}
Urutan hasil lemparan dalam tiga kali
S4 ={AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}
Jumlah banyaknya angka dalam tiga kali lemparan
koin
S3 = {0, 1, 2, 3}
Bilangan integer ganjil positif
S5 = {1, 3, 5, 7, …}
Banyaknya pesan yang datang tiap jam
S7 = {0, 1, 2, …, N}
Bilangan positif dari 0 sampai dengan 12 Nilai tegangan pada waktu t1
S6 = {x: 0 ≤ x ≤ 12}
S8 = {v: v ≥ 0}
Eksperimen Acak
12
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Event Eksp. E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
Observasi
Event
Bola bernomor genap terpilih
A1 = {2, 4, 6, 8, 10}
Jumlah angka sama banyak dengan gambar
A3 = Ø
Bola bernomor genap dan berwarna putih terpilih
A2 = {(4, p)}
Tiga kali lemparan outcome sama
A4 ={AAA, GGG}
Bilangan yang terpilih lebih kecil dari 5
A6 ={x: 0 ≤ x < 5}
Bilangan yang terpilih tidak negatif
Tidak ada pesan yang datang tiap jam
Nilai tegangan pada waktu t1 lebih besar dari 210 tetapi lebih kecil dari 230
Eksperimen Acak
A5 = S5 = {1, 3, 5, 7, …} A7 = {0}
A8 = {v: 210 < v < 230}
13
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Eksperimen Acak
Eksperimen acak merupakan eksperimen yang hasilnya (outcome) berbeda-beda dan tidak dapat diprediksi bila eksperimen tersebut diulang dalam kondisi yang sama
Ruang sampel S merupakan himpunan seluruh hasil (outcome) yang mungkin dalam eksperimen Event merupakan subset dari S yang memunyai karakteristik tertentu yang diperhatikan dalam eksperimen Eksperimen Acak
14
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Soal Latihan Monitor tiga panggilan (call) telepon berturutan pada sentral telepon. Panggilan telepon diklasifikasikan sebagai panggilan suara (bila ada pembicaraan) dan panggilan data. Hasil observasi adalah sekuen dari tiga huruf, misal ssd adalah observasi dua panggilan suara dan satu panggilan data. Tulis elemen-elemen dari himpunan berikut: A1 = {panggilan pertama adalah pangggilan suara} B1 = {panggilan pertama adalah panggilan data} A2 = {panggilan kedua adalah panggilan suara} B2 = {panggilan pertama adalah panggilan data} A3 = {semua panggilan sama} B3 = {panggilan suara dan data bergantian} Untuk setiap pasangan event A1 dan B1; A2 dan B2; A3 dan B3; identifikasi apakah pasangan event tersebut adalah mutually exclusive atau collectively exhaustive atau keduanya. Eksperimen Acak
15
CP
Teori
Contoh
Eksperimen Acak
Ringkasan
Latihan
16
