Probabilitas dan Proses Stokastik
Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2014
Tim ProStok
OUTLINE 1. Capaian Pembelajaran
2. Pengantar dan Teori
3. Contoh
4. Ringkasan
5. Latihan 2
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Capaian Pembelajaran
Mahasiswa mampu:
menjelaskan teori probabilitas berdasarkan pendekatan frekuensi relatif dan aksioma probabilitas.
Teori Probabilitas
3
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Pengantar
Probabilitas merupakan bilangan yang ditugaskan
pada event yang menunjukkan kemungkinan event tersebut terjadi bila suatu eksperimen acak
dilakukan. Teori probabilitas dapat dibedakan
dalam dua pendekatan, yaitu frekuensi relatif dan aksioma probabilitas. Teori Probabilitas
4
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Pendekatan Frekuensi Relatif
Eksperimen acak Prosedur:
pilih bola dalam kotak yang berisi bola identik yang diberi nomor 1, 2 dan 3
Observasi: catat nomor bola
Eksperimen dilakukan (diulang) sebanyak n kali (trial)
Data hasil eksperimen:
3 outcome → k = 1, 2, 3 S = {1, 2, 3}
Teori Probabilitas
5
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Hasil Eksperimen Acak
Hasil eksperimen 100 trial:
Outcome
3
2
1
0
10
20
30
40
50 Trial
60
Teori Probabilitas
70
80
90
100
6
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Representasi Frekuensi Relatif (1)
N k ( n) fk = n
Frekuensi relatif: 100 trial:
Nk(n): jumlah tiap outcome k dalam n trial
1 Outcome 1 Outcome 2 Outcome 3
Relative Frequency
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50 60 Number of trials
Teori Probabilitas
70
80
90
100
7
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Representasi Frekuensi Relatif (2)
1000 trial: 1
Outcome 1 Outcome 2 Outcome 3
Relative Frequency
0.8
≈ 0.33
0.6
0.4
0.2
0
0
100
200
300
400
600 500 Number of trials
Teori Probabilitas
700
800
900
1000
8
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Kelemahan Frekuensi Relatif
Trial yang sangat besar:
lim f k = pk n →∞
pk: probabilitas outcome ke-k
Fakta: eksperimen acak jarang dilakukan sampai dengan tak berhingga beberapa eksperimen tidak dapat diulang Perlu pendekatan lain Teori Probabilitas
9
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Aksioma Probabilitas
Notasi S : ruang sampel A : event dalam ruang sampel S P(A) : probabilitas event A Tiga aksioma probabilitas:
1) P(A) ≥ 0 2) P(S) = 1
N N 3) P An = ∑ P( An ) n =1 n =1
mutually exclusive
Am ∩ An = ∅ Teori Probabilitas
m ≠ n = 1, 2, , N 10
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Komplemen Event dalam Ruang Sampel
Event A dan Ac: mutually exclusive dan collectively exhaustive Aksioma ke-3:
S
P( A ∪ Ac ) = P( A) + P( Ac )
A Ac
Aksioma ke-2:
P ( A ∪ Ac ) = P ( S ) P( A) + P( Ac ) = 1 Probabilitas komplemen event: P( Ac ) = 1 − P( A) Teori Probabilitas
11
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Probabilitas Joint dan Union
Probabilitas joint A dan B:
P( A ∩ B) = P( A) + P( B) − P( A ∪ B)
S A
A∩B
B
Probabilitas union A dan B:
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) ≤ P( A) + P( B)
Event A dan B mutually exclusive: A∩B = ∅ probabilitas joint A dan B:
P( A ∩ B) = P(∅) = 0
Teori Probabilitas
12
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Soal
Eksperimen acak Prosedur: Pilih bola dalam kotak yang berisi bola yang dinomori 1 sampai 10
Observasi: catat nomor bola terpilih.
Definisi:
Event A: bola bernomor genap terpilih
Event B: bola bernomor lebih besar dari 6
Dapatkan probabilitas komplemen event A, probabilitas joint dan union event A dan B. Teori Probabilitas
13
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi (1)
Ruang sampel, S = {1, 2, …, 10} Event A, A = {2, 4, 6, 8, 10} Event B, B={7,8,9,10}
S
2
A 4
3
Event joint A dan B, A∩B={8,10}
1
6 5
8 10
7 9
B
P(S) = 1
P(A) = 5/10 = 1/2 P(B) = 4/10
Teori Probabilitas
14
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi (2)
Komplemen A, Ac = {1, 3, 5, 7, 9} Probabilitas komplemen A:
P(Ac) = 5/10 = 1/2
P(Ac) = 1 − P(A) = 1/2
Probabilitas joint A dan B: P(A∩B) = 2/10 Probabilitas union A dan B, A∪B:
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
= 5/10 + 4/10 -2/10 = 7/10 Teori Probabilitas
15
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Teori Probabilitas
Probabilitas suatu event selalu bernilai tak negatif, sedangkan probabilitas ruang sampel selalu bernilai 1 (satu) yang menyatakan bahwa ruang sampel meliputi seluruh hasil eksperimen
Probabilitas union dari event-event mutually exclusive sama dengan jumlah probabilitas masing-masing event individu
Teori Probabilitas
16
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Soal Latihan
Dadu bermata enam dengan setiap sisi memunyai peluang muncul yang sama. Berapa probabilitas setiap outcome? Untuk event-event: A = {dadu bermata genap} B = {dadu bermata ganjil} C= {mata dadu lebih dari 3} dapatkan probabilitas setiap event tersebut, probabilitas union A dan B, probabilitas joint A dan C.
Teori Probabilitas
17
CP
Teori
Contoh
Teori Probabilitas
Ringkasan
Latihan
18
