Probabilitas dan Proses Stokastik
Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2014
Tim ProStok
OUTLINE 1. Capaian Pembelajaran
2. Pengantar dan Teori
3. Contoh
4. Ringkasan
5. Latihan 2
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Capaian Pembelajaran
Mahasiswa mampu:
menganalisis sekuen acak dalam fungsi korelasinya (autokorelasi, korelasi silang dan kovarians)
Sekuen Acak
3
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Pengantar
Sekuen acak didefinisikan sebagai proses stokastik dengan waktu diskrit. Sifat-sifat untuk sekuen acak ini adalah analog dengan proses stokastik kontinu. Dalam bahasan ini, sekuen acak dideskripsikan sebagai sekuen terurut dari variabel acak. Nilai mean dan fungsi autokorelasi dari sekuen tersebut, fungsi korelasi silang dan kovarians dari dua sekuen dibahas dalam bahasan ini
Sekuen Acak
4
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Sekuen Acak
Proses acak waktu diskrit:
• proses stokastik yang didefinisikan dalam waktu diskrit • tn = nT dengan T konstan dan n integer
Fungsi sampel proses waktu diskrit
• sekuen terurut dari variabel acak Xn=X(nT)
Sekuen acak Xn
• sekuen terurut dari variabel acak X0, X1, …, Xk, … Sekuen Acak
5
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Fungsi Korelasi Sekuen Acak
Mean sekuen acak Xn:
X n = E[ X n ]
Fungsi autokorelasi Xn
RXX [m, k ] = E[ X m X m + k ]
Fungsi autokovarians Xn
C XX [m, k ] = RXX [m, k ] − X m X m + k
Sekuen Acak
6
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Sekuen Acak WSS
Sekuen acak Xn disebut WSS E[ X n ] = X
RXX [n, k ] = RXX [0, k ] = RXX [k ]
Sifat-sifat sekuen acak Xn 1. RXX [0] ≥ 0
2. RXX [k ] = RXX [− k ]
3. RXX [0] ≥ RXX [k ]
Sekuen Acak
7
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Korelasi Silang Sekuen Acak
Korelasi silang sekuen acak Xn dan Yn RXY [m, k ] = E[ X mYm + k ]
Sekuen acak Xn dan Yn adalah WSS RXY [m, k ] = RXY [k ]
Sekuen acak Xn dan Yn adalah WSS joint bila
Xn dan Yn : WSS fungsi korelasi silang Xn dan Yn bergantung pada indeks Sekuen Acak
8
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Soal
Input filter adalah sekuen acak iid (independent, identically distributed) ∙∙∙, X-1, X0, X1, ∙∙∙
dengan E[Xi]=0 dan var[Xi] = σX2.
Output filter adalah sekuen acak dalam bentuk Yn = X n + b1 X n−1
untuk semua n integer
Dapatkan fungsi autokorelasi dan autokovarians Yn. Sekuen Acak
9
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi (1)
Fungsi autokorelasi Xn R XX [n, k ] = E[ X n X n+ k ] Untuk k=0
RXX [ n, k ] = E[ X n X n ] = E[ X n 2 ] = var[ X n ] − ( X n ) 2 = var[ X n ] = σ X2
Untuk k≠0
RXX [n, k ] = E[ X n X n +k ] = 0 Sekuen Acak
10
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi (2)
Fungsi autokorelasi Xn
σ X2 R XX [n, k ] = 0
k =0 yanglain
Fungsi autokovarians Xn C XX [n, k ] = RXX [n, k ] − X n X n + k = R XX [n, k ]
σ X2 C XX [n, k ] = 0
k =0 yanglain
Sekuen Acak
11
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi (3)
Mean sekuen acak Yn E[Yi ] = E[ X i ] + E[b1 X i −1 ] = 0
Fungsi autokorelasi Yn
k=0 RYY [0] = E[YnYn ] = E[( X n + b1 X n −1 )( X n + b1 X n −1 )] 2 = E[ X n X n ] + b1E[ X n X n −1 ] + b1E[ X n −1 X n ] + b1 E[ X n −1 X n −1 ]
= σ X2 + 0 + 0 + b12σ X2 = (1 + b12 ) σ X2 Sekuen Acak
12
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi (4)
Fungsi autokorelasi Yn
k≠0 RYY [k ] = E[YnYn + k ] = E[( X n + b1 X n −1 )( X n + k + b1 X n −1+ k )] = E[ X n X n + k ] + b1 ⋅ E[ X n X n −1+ k ]
+ b1 ⋅ E[ X n −1 X n + k ] + b12 ⋅ E[ X n −1 X n −1+ k ]
k=1
k = -1
RYY [1] = b1E[ X n X n ] = b1σ X2 RYY [−1] = b1E[ X n −1 X n −1 ] = b1σ X2 Sekuen Acak
13
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi (5)
Fungsi autokorelasi Yn
(1 + b12 )σ X2 RYY [k ] = b1σ X2 0
k =0 k = ±1 yang lain
Fungsi autokovarians Yn CYY [n, k ] = RYY [n, k ] − YnYn + k = RYY [n, k ]
(1 + b12 )σ X2 CYY [k ] = b1σ X2 0
k =0 k = ±1 yang lain
Sekuen Acak
14
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Kepadatan Spektral Daya Sekuen Acak
Sekuen acak adalah proses stokastik dengan waktu diskrit
Sekuen acak Xn disebut wide-sense stasioner (WSS) jika nilai mean konstan dan fungsi autokorelasi bergantung pada indeks bukan waktu absolut Dua sekuen acak disebut WSS joint jika kedua sekuen tersebut adalah WSS dan fungsi korelasi silangnya merupakan fungsi indeks saja Sekuen Acak
15
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Soal Latihan
Xn adalah sekuen acak wide-sense stasioner dengan fungsi autokorelasi RXX[k]. Sekuen acak Yn diperoleh dari Xn dengan hubungan sebagai berikut: Yn = −1n X n
• Dapatkan fungsi autokorelasi dari Yn dan korelasi silang dari Xn dan Yn. • Apakah sekuen Xn dan Yn adalah WSS joint?
Sekuen Acak
16
CP
Teori
Contoh
Sekuen Acak
Ringkasan
Latihan
17
