Oddˇelen´ı fyzik´aln´ıch praktik pˇri Kabinetu v´yuky obecn´e fyziky MFF UK
PRAKTIKUM . . . ´ Uloha ˇc. p p p p p p p p p p p p p p p N´ azev: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Pracoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p stud. skup. p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Odevzdal dne: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Moˇzn´y poˇcet bod˚ u Pr´ ace pˇri mˇeˇren´ı
0–5
Teoretick´ a ˇc´ ast
0–1
V´ysledky mˇeˇren´ı
0–8
Diskuse v´ysledk˚ u
0–4
Z´ avˇer
0–1
Seznam pouˇzit´e literatury
0–1
Celkem
max. 20
Posuzoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udˇelen´y poˇcet bod˚ u
Pracovn´ı u ´ koly 1. Urˇcete z´ avislost povrchov´eho napˇet´ı σ na objemov´e koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodˇe odtrh´ avac´ı metodou 2. Sestrojte graf t´eto z´ avislosti
1
Teoretick´ aˇ c´ ast
Povrchov´e napˇet´ı σ je definov´ ano jako s´ıla p˚ usob´ıc´ı v povrchu kapaliny kolmo na jednotku d´elky. Pro u ´seˇcku d´elky l, na kterou v povrchu p˚ usob´ı z obou stran s´ıla F , pak plat´ı: F (1) l Napˇet´ı mˇeˇr´ıme metodou odtrh´ avac´ı za pouˇzit´ı dostateˇcnˇe tenk´eho dr´atku z materi´alu, kter´ y kapalina nesm´ aˇc´ı. Vytahov´ an´ım dr´ atku z kapaliny na nˇem ulp´ıv´ a blanka, kter´a drˇz´ı dr´atek silou: σ=
2F = 2σl
(2)
Pˇri mˇeˇren´ı zpravidla realizujeme pomoc´ı torzn´ıch vah s´ılu P a jej´ım zvˇetˇsov´an´ım vytahujeme dr´atek z kapaliny. V okamˇziku, kdy s´ıla P dos´ ahne hodnoty 2F blanka se pˇretrhne a zmˇeˇr´ıme s´ılu P0 . S´ıla P0 je v naˇsem pˇr´ıpadˇe rovna 2F a plat´ı: P0 (3) σ= 2l V´ıce viz. [?, str. 150-152] Postup mˇeˇren´ı je n´ asleduj´ıc´ı: Na prav´e rameno torzn´ıch vah specielnˇe upraven´ ych pro mˇeˇren´ı povrchov´eho napˇet´ı zavˇes´ıme r´ ameˇcek s upevnˇen´ ym dr´ atkem (obr. ??). Pomoc´ı pohybliv´eho podstavce pod k´adinkou dr´atek ponoˇr´ıme do testovan´eho roztoku. Pak zavˇeˇsov´ an´ım pˇr´ıvaˇzk˚ u na lev´e rameno vah a n´asledn´ ym ot´aˇcen´ım torzn´ıho vl´ akna vyv´ aˇz´ıme dr´ atek vzn´ aˇsej´ıc´ı se tˇesnˇe pod hladinou kapaliny tak, aby ukazatel torzn´ıch vah z˚ ustal v rovnov´ aze. Ze stupnice na vah´ ach pot´e odeˇcteme hodnotu s´ıly P1 (v naˇsem pˇr´ıpadˇe hmotnosti m1 , P1 je odpov´ıdaj´ıc´ı t´ıhov´ a s´ıla) k tomu potˇrebn´e. S´ılu navyˇsujeme dokud se blanka nepˇretrhne. V t´e chv´ıli odeˇcteme s´ılu P2 (hmostnost m2 ) a hledanou P0 z´ısk´ ame jako: P0 = P2 − P1 (4)
Obr. 1: R´ameˇcek s dr´atkem Pro naˇse mˇeˇren´ı jeˇstˇe zavedeme hmotnost m0 : m0 = m2 − m1
(5)
P0 = m0 g
(6)
kde g je t´ıhov´e zrychlen´ı. M˚ uˇzeme pouˇz´ıt pˇresnˇejˇs´ı vztah k urˇcen´ı povrchov´eho napˇet´ı s korekc´ı na tlouˇsˇtku dr´ atku [?] : ! r P0 P0 ρg P0 σk = −r − 2 (7) 2l l l kde r je polomˇer dr´ atku a ρ je hustota kapaliny. Pro pˇr´ıpravu roztok˚ u ethylalkoholu r˚ uzn´ ych koncentrac´ı c vyuˇz´ıv´ame k´adinky a pipetu, m´ıch´ame vˇzdy potˇrebn´e mnoˇzstv´ı ethylakoholu a vody v poˇzadovan´em pomˇeru. Hustotu ρ pˇribliˇznˇe spoˇcteme jako: ρ = ρ1 c + ρ2 (1 − c)
(8)
kde ρ1 a ρ2 jsou hustoty m´ıchan´ ych kapalin. V naˇsem pˇr´ıpadˇe ˇslo o roztok o objemu 20 ml. Od 50 procentn´ı koncentrace doplˇ nujeme polovinu pr´ avˇe pouˇzit´eho roztoku vodou. Pˇri mˇeˇren´ı zjiˇsˇtujeme i teplotu vzorku ve snaze zachovat st´ alou teplotu roztok˚ u. 2
Pro potˇreby diskuse v´ ysledk˚ u zmiˇ nme jeˇstˇe takov´e pojmy jako mol´arn´ı mnoˇzstv´ı n, mol´arn´ı hmotnost mM , pˇr´ıp. mol´ arn´ı objem VM . Mol´ arn´ı hmotnost l´ atek m˚ uˇzeme urˇcit z jejich chem. sloˇzen´ı za pomoci standartn´ı periodick´e tabulky prvk˚ u (napˇr. [?]) a plat´ı: n=
m V = mM VM mM = ρVM
(9) (10)
Pouˇ zit´ e pˇ r´ıstroje Torzn´ı v´ ahy Torzn´ı v´ ahy slouˇz´ı k mˇeˇren´ı nejmenˇs´ıch sil, jejichˇz velikost se zjiˇsˇtuje podle stoˇcen´ı torzn´ıho vl´ akna. To je z jedn´e strany pˇripevnˇeno k pevn´e desce, z druh´e na otoˇcn´ y knofl´ık s ukazatelem na stupnici. Uprostˇred se nach´ az´ı vahadlo se dvˇemi rameny na zavˇeˇsen´ı zkouman´eho pˇredmˇetu, popˇr. vyvaˇzuj´ıc´ıch z´avaˇz´ı, a ukazatelem proti znaˇcce pro urˇcen´ı rovnov´ ahy. Po zavˇeˇsen´ı pˇredmˇetu a pˇr´ıpadn´ ych pˇr´ıvaˇzk˚ u ot´aˇc´ıme knofl´ıkem, dokud nedojde k rovnov´ aze. Pak m˚ uˇzeme ze stupnice odeˇc´ıst potˇrebnou s´ılu ˇci hmotnost v´ıce viz. [?, str. 88-89]. Pouˇzit´e v´ahy byly opatˇreny miligramovou stupnic´ı se schopnost´ı spojitˇe vyv´aˇzit s´ıly do t´ıhy z´avaˇz´ı o hmotnosti 500 mg, maxim´ aln´ı chyba mˇeˇren´ı ∆m = 1 mg. Mikrometr
Pˇresnost pouˇzit´eho mikrometru pro zmˇeˇren´ı pr˚ umˇeru dr´atku je ∆d = 0.01 mm.
Posuvn´ e mˇ eˇ r´ıtko Pˇresnost posuvn´eho mˇeˇr´ıtka s noniem pro zmˇeˇren´ı d´elky dr´atku: ∆l = 0.02 mm. Elektronick´ e v´ ahy Pro potˇreby u ´lohy je jeˇstˇe tˇreba zjistit hmotnost r´ameˇcku a pˇr´ıvaˇzk˚ u, oznaˇcme Mram a Mp . Pˇresnost elektronick´ ych vah: ∆M = 0.5 mg
3
2
V´ ysledky mˇ eˇ ren´ı
Pouˇ zit´ e tabulkov´ e hodnoty [?] T´ıhov´e zrychlen´ı Hustota vody Hustota ethylalkoholu
g = 9.81m.s−2 ρH2 O = 998kg.m−3 Uveden´e hustoty jsou pˇri teplotˇe 20◦ C −3 ρethanol = 789kg.m
Mˇeˇren´ım na torzn´ıch vah´ ach z´ısk´ ame hodnoty m1 a m2 , podle (5) a (6) dopoˇcteme odpov´ıdaj´ıc´ı P0 (maxim´ aln´ı chyba m0 je ∆m0 = 2∆m = 2 mg, z toho pak max. chybu P0 ). Pouˇzit´ım (3) nebo l´epe (7) a stˇredn´ı hodnoty P0 pˇr´ımo vyj´ adˇr´ıme hledan´e povrchov´e napˇet´ı σ. Namˇ eˇ ren´ e hodnoty D´elka dr´ atu Pr˚ umˇer dr´ atu Hmotnost r´ ameˇcku Hmotnost pˇr´ıvaˇzk˚ u
ˇc.
ˇc.
ˇc.
ˇc.
l = (21.00 ± 0.02)mm d = (0.61 ± 0.01)mm Mram = (305.0 ± 0.5)mg Mp = (189.6 ± 0.5)mg
Voda (ethylalkohol 0 %), t = 23◦ C mˇeˇren´ı m1 [mg] m2 [mg] m0 [mg] P0 [10−3 N ] 1 110 426 316 3.010 2 112 428 316 3.010 3 112 424 312 3.061 4 117 431 314 3.080 5 111 437 326 3.198 Ethylalkohol 75 %, t = 22◦ C mˇeˇren´ı m1 [mg] m2 [mg] m0 [mg] P0 [10−3 N ] 1 107 243 136 1.334 2 108 242 134 1.315 3 107 244 137 1.344 4 110 250 140 1.373 5 110 246 136 1.334 Ethylalkohol 25 %, t = 25◦ C mˇeˇren´ı m1 [mg] m2 [mg] m0 [mg] P0 [10−3 N ] 1 113 302 189 1.854 2 114 302 188 1.844 3 114 303 189 1.854 4 115 302 187 1.834 5 116 301 185 1.815 Ethylalkohol 6.25 %, t = 24◦ C mˇeˇren´ı m1 [mg] m2 [mg] m0 [mg] P0 [10−3 N ] 1 117 394 277 2.717 2 117 396 279 2.737 3 118 394 276 2.708 4 119 402 283 2.776 5 119 403 284 2.786
ˇc. mˇeˇren´ı 1 2 3 4 5 ˇc. mˇeˇren´ı 1 2 3 4 5 ˇc. mˇeˇren´ı 1 2 3 4 5 ˇc. mˇeˇren´ı 1 2 3 4 5
Ethylalkohol 100 %, t = 23◦ C m1 [mg] m2 [mg] m0 [mg] 104 231 127 105 227 122 111 236 125 109 236 127 109 235 126 Ethylalkohol 50 %, t = 26◦ C m1 [mg] m2 [mg] m0 [mg] 110 258 148 111 258 147 110 257 147 112 258 146 110 259 149 Ethylalkohol 12.5 %, t = 24◦ C m1 [mg] m2 [mg] m0 [mg] 114 354 240 116 356 240 117 357 240 118 353 235 117 355 238 Voda (podruh´e), t = 24◦ C m1 [mg] m2 [mg] m0 [mg] 115 411 296 115 408 293 116 407 291 117 411 294 118 413 295
P0 [10−3 N ] 1.246 1.197 1.226 1.246 1.236 P0 [10−3 N ] 1.452 1.442 1.442 1.432 1.462 P0 [10−3 N ] 2.354 2.354 2.354 2.305 2.335 P0 [10−3 N ] 2.904 2.874 2.855 2.884 2.894
Tabulka 1: Namˇeˇren´e hodnoty m1 a m2 , jim odpov´ıdaj´ıc´ı m0 a spoˇcten´a P0
Ze z´ıskan´ ych hodnot a odhadnut´ ych pˇresnost´ı mˇeˇren´ı spoˇcteme pravdˇepodobnou chybu P0 , n´aslednˇe i chybu σ z pˇresnost´ı l a d. Pˇri pouˇzit´ı (3) chybu σ spoˇc´ıt´ ame standartnˇe: s 2 2 ∂σ ∂σ ∆σ = ∆P0 + ∆l (11) ∂P0 ∂l Pˇri korekci podle (7) je to sloˇzitˇejˇs´ı d´ıky hustotˇe, kter´a ve vztahu vystupuje. Pro jednoduchost ale pˇredpokl´adejme, ˇze tato chyba je v˚ uˇci ostatn´ım zanedbateln´ a. (7) pouze uprav´ıme a za r dosad´ıme d2 . Chybu poˇc´ıt´ame obdobnˇe jako (11). Pˇri zanedb´ av´ an´ı archimedovsk´eho vztlaku staˇc´ı za m1 dosadit Mram − Mp = 115 mg.
4
c[%] 0 (H2 O) 100 (C2 H6 O) 75 50 25 12.5 6.25 0 (H2 O podruh´e)
ρ[kg.m−3 ] 998 789 841 894 946 972 985 998
σ[10−3 N.m−1 ] 74.0 ± 1.0 29.29 ± 0.68 31.91 ± 0.70 34.43 ± 0.59 43.82 ± 0.64 55.73 ± 0.70 65.35 ± 0.84 68.62 ± 0.67
σk [10−3 N.m−1 ] (s pouˇzit´ım korekˇcn´ıho vztahu (7)) 75.8 ± 1.1 29.94 ± 0.70 32.61 ± 0.71 35.19 ± 0.60 44.82 ± 0.66 57.03 ± 0.72 66.91 ± 0.86 70.26 ± 0.69
Tabulka 2: Souhrnn´e v´ ysledn´e hodnoty σ a σk pˇri pouˇzit´ı korekce (7) Zpracov´ an´ı z´ avislosti Pˇri vypracov´ av´ an´ı grafu a hled´ an´ı z´ avislosti mezi koncentrac´ı roztoku a povrchov´ ym napˇet´ım pouˇz´ıv´am hodnoty σk , tedy ty se zahrnutou korekc´ı. Jak ilustruje obr. ??, pˇri zlogaritmov´an´ı c (a vynech´an´ı hodnot pro nulov´e koncentrace) dost´ av´ ame jednoduchou line´ arn´ı z´ avislost vyj´adˇrenou obecnou rovnic´ı (v oboru konc. pod 5 % je tato u ´vaha nespr´ avn´ a, tam z´ avislost oˇcividnˇe nen´ı line´arn´ı a nelze se j´ı takto pˇribl´ıˇzit, v logaritmovan´ ych konc. se pˇrimik´ a (pˇredpokl´ ad´ am) k asymptotˇe, viz. diskuse) : σ = Alnc + B
(12)
Z rovnice (12) zjist´ıme konstanty A a B line´ arn´ı regres´ı: A = (−13.66 ± 0.81)N.m−1 B = (28.0 ± 1.3)N.m−1 Konstantu B identifikujeme jako povrchov´e napˇet´ı ˇcist´eho ethylalkoholu σ1 a z´avislost vyj´adˇr´ıme: σ = σ1 − lnc · 13.66N.m−1
Obr. 2: Graf z´ avislosti povrchov´eho napˇet´ı σ na koncentraci roztoku c
5
(13)
Obr. 3: Graf z´ avislosti σ na logaritmovan´ ych hodnot´ach c
3
Diskuse v´ ysledk˚ u
Tabulky [?] uv´ adˇej´ı povrchov´e napˇet´ı vody 73.0 x10−3 N.m−1 a ethylalkoholu 22.0 x10−3 N.m−1 pˇri teplotˇe 20◦ C. Namˇeˇren´e hodnoty pro ethanol jsou vˇetˇs´ı neˇz tabelovan´e, kter´e ani neleˇz´ı v intervalu chyby mˇeˇren´ı. Nejvˇetˇs´ı vliv na v´ ysledek m´ a nejsp´ıˇs zneˇciˇstˇen´ı r´ ameˇcku s dr´ atkem (aˇckoli s n´ım bylo manipulov´ano pouze pinzetou), jak je kr´ asnˇe vidˇet porovn´ an´ım v´ ysledk˚ u prvn´ıho a druh´eho mˇeˇren´ı pro vzorek vody, kter´a byla provedena pˇred a po mˇeˇren´ı roztok˚ u ethanolu. Louhov´ an´ı r´ ameˇcku v lihu ho zbavilo neˇcistot a v´ ysledek posledn´ıho mˇeˇren´ı je v´ yraznˇe odliˇsn´ y. Kdyˇz pˇriˇcteme z´ avislost povrchov´eho napˇet´ı na teplotˇe, neboˇt vzorek mˇel teplotu 24◦ C (viz. tab. ??), [?, str. 151] uv´ ad´ı povrchov´e napˇet´ı vody 72.0 x10−3 N.m−1 pˇri 25◦ C, coˇz se vejde do intervalu tˇrech smˇer. odchylek namˇeˇren´e hodnoty. Je tedy moˇzn´e, ˇze se ˇc´ısla bˇehem mˇeˇren´ı, ˇc´ım d´al t´ım v´ıce pˇribliˇzuj´ı skuteˇcn´ ym hodnot´am (vlivem oˇciˇsˇtov´ an´ı r´ ameˇcku), i pˇres poˇc´ ateˇcn´ı chybu. Mezi dalˇs´ı zdroje systematick´e chyby patˇr´ı nepˇresnˇe stanoven´a koncentrace roztoku, jej´ıˇz odchylka se k tomu s kaˇzd´ ym dalˇs´ım mˇeˇren´ım zvyˇsuje, protoˇze m´ıch´ ame jiˇz pouˇzit´ y roztok. Nav´ıc stejnˇe jako r´ameˇcek b´ yv´a zneˇciˇstˇen´ a i k´ adinka, aˇckoli jsem ji pˇred mˇeˇren´ım d˚ ukladnˇe omyl, jej´ı osuˇsov´an´ı je doprov´azeno rizikem zanesen´ı buniˇcinou. D´ ale pak samozˇrejmˇe samotn´ a voda nemusela b´ yt ide´alnˇe destilov´ana, jak se pˇredpokl´ad´a (nebyla v tomto smˇeru nijak testov´ ana pˇred pouˇzit´ım). Pˇr´ıtomnost iont˚ u podstatnˇe ovlivˇ nuje povrchov´e napˇet´ı kapaliny. Pˇri zanedb´ av´ an´ı archimedovsk´eho vztlaku se hodnoty od namˇeˇren´ ych liˇs´ı nejv´ıce pˇri vysok´ ych koncetrac´ıch ethylalkoholu, zat´ımco pro 25 % a 12.5 % roztoky jsou obdobn´e. Nalezen´ a z´ avislost je v dobr´e shodˇe s namˇeˇren´ ymi hodnotami pro koncentrace cca od 5 % v´ yˇse. Z´asadn´ım nedostatkem je jej´ı chov´ an´ı pro velmi mal´e koncentrace, neboˇt povrchov´e napˇet´ı takov´ ych roztok˚ u samozˇrejmˇe neroste do nekoneˇcna, ale pˇribliˇzuje se hodnotˇe σ0 (povrchov´e napˇet´ı vody). Proto je moˇzn´a lepˇs´ım kandid´ atem nˇejak´ y druh exponenci´ aln´ı z´ avislosti, kter´e si ˇclovˇek tak´e od pohledu nejdˇr´ıve vˇsimne. Dalˇs´ı variantou je, ˇze se z´ avislost povrchov´eho napˇet´ı okolo nulov´ ych koncentrac´ı mˇen´ı a opouˇst´ı hlavn´ı trend. Nalezen´a rovnice (13) je vˇsak svou logaritmickou z´ avislost´ı velice podobn´a tzv. Szyszkowsk´eho rovnici popisuj´ıc´ı koncentraˇcn´ı z´avislost povrchov´eho napˇet´ı vodn´ ych roztok˚ u organick´ ych l´atek (viz. [?]): σ0 − σ = a · ln(1 + b · η)
6
(14)
kde a a b jsou konstanty l´ atky, σ0 je povrchov´e napˇet´ı ˇcist´eho rozpouˇstˇedla a η je mol´arn´ı koncentrace rozpouˇstˇen´e l´ atky v mol.dm−3 , kterou vˇsak snadno z´ısk´ ame z koncetrace c pomoc´ı (9) a (10): cV
η=
c cρlih n = VM = = V V VM mM
(15)
Posledn´ı moˇznost´ı, jak se pˇribl´ıˇzit namˇeˇren´ ym v´ ysledk˚ um, je logaritmovat hodnoty c i σ, kdy takt´eˇz pozorujeme lin. z´ avislost a n´ aslednˇe opˇet ˇreˇs´ıme line´ arn´ı regresi pro rovnici: lnσ = A · lnc + B
(16)
Pˇri tomto postupu je relativn´ı chyba pˇri urˇcov´ an´ı konstant menˇs´ı (konkr´etnˇe pro A je chyba 2x menˇs´ı, pro B 10x). Pro zaj´ımavost vych´ az´ı: σ = eB · cA = e3.389 · c−0.299 (17) kde eB opˇet identifikujeme jako σ1 povrchov´e napˇet´ı ˇcist´eho lihu. Se ˇspetkou ”citu” nal´ez´ame vcelku trivi´aln´ı vztah (18), kter´ y stejnˇe dobˇre jako (13) odpov´ıd´ a namˇeˇren´ ym hodnot´am pro vyˇsˇs´ı koncentrace. Zpracov´ana byla vˇsak pˇrednˇe dˇr´ıve zm´ınˇen´ a varianta. σ1 (18) σ= √ 3 c
4
Z´ avˇ er
Povrchov´e napˇet´ı vody σH2 O = (70.26±0.69) x10−3 N.m−1 a ethylalkoholu σlih = (29.94 ± 0.70) x10−3 N.m−1 . V´ ysledky pro r˚ uzn´e koncetrace shrnuje tabulka ??, vˇse bylo namˇeˇreno pro teplotu okolo 24◦ C (teplota okoln´ıho vzduchu). Z´ avislost povrchov´eho napˇet´ı na koncentraci ilustruj´ı grafy na obr. ?? a obr. ??. Nalezen´a z´avislost je logaritmick´ a, ale pro velice mal´e koncentrace nespr´avn´a, tedy zˇrejmˇe je vhodnˇejˇs´ı nˇejak´a exponenci´aln´ıho druhu.
5
Literatura
Pouˇ zit´ a literatura [1] J. Broˇz a kol.: Z´ aklady fyzik´ aln´ıch mˇeˇren´ı I, SPN, Praha 1983 [2] Studijn´ı text, IV Urˇcen´ı z´ avislosti povrchov´eho..., http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/ [3] J. Mikulˇc´ ak a kol: Matematick´e, fyzik´aln´ı a chemick´e tabulky pro stˇredn´ı ˇskoly, SPN, Praha 1989 ˇ [4] http://vydavatelstvi.vscht.cz/knihy/uid es-001/hesla/szyszkowskeho rovnice.html, VSCHT
7
