PRAKTIKUM MAPLE 4 KALKULUS LANJUTAN

11

PRAKTIKUM MAPLE 4 KALKULUS LANJUTAN Fungsi Implisit Pada pembelajaran praktikum 3, diajarkan fungsi eksplisit dalam bentuk y = f(x). Sekarang bagaimana menuliskan fungsi apabila dalam bentuk implisit? Contohnya: Gambarlah grafik fungsi 𝑥 2 + 𝑦 2 = 81, pada x∈ [-15,15] dan y ∈[-15,15].  with(plots);  implicitplot(x^2+y^2=81, x=-15..15,y=-15..15); Pada gambar nilai x dan y terdefinisi pada interval berapa? Soal. Gambarlah grafik fungsi

4(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 16(𝑥 2 − 𝑦 2 ), untuk x dan y ∈ [-5, 5]

Pada gambar apakah nilai (0,0) dilewati oleh grafik? Jika tidak dilewati, berarti jumlah titik pada grafik kurang banyak (default minimum pada Maple adalah 50 buah). Untuk itu perlu ditambahkan jumlah titik menggunakan option numpoints. Sintaksnya:  implicitplot(fungsi, batas x, batas y, numpoints= ); Coba tuliskan perintahnya menggunakan Maple!

Fungsi Genap Suatu fungsi memenuhi fungsi genap apabila: 1. 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥), untuk semua x 2. Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu y Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Tunjukkan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi genap. Langkah-langkah penyelesaian: 1. Tuliskan 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 pada Maple 2. Carilah nilai f(x); 3. Carilah nilai f(-x); Bagaimana hasil f(x) dibandingkan dengan f(-x)? 4. Gambar grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥 2

Fungsi Ganjil Suatu fungsi memenuhi fungsi ganjil apabila: 1. 𝑓 (−𝑥) = −𝑓 (𝑥) untuk semua x 2. Grafik fungsi ganjil simetris dengan titik asal (0,0) Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 . Tunjukkan bahwa fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil. Langkah-langkah penyelesaian: 1. Tuliskan 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 pada Maple 2. Carilah nilai -f(x); 3. Carilah nilai f(-x); Bagaimana hasil -f(x) dibandingkan dengan f(-x)? 4. Gambar grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥 2

Created by Tatik Retno Murniasih @ 2017, [email protected]

12

Operasi Aljabar pada Fungsi Operasi yang berlaku pada fungsi yaitu: 1. (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 2. (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 3. (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑓(𝑥) 4. (𝑔) (𝑥) = 𝑔(𝑥) Sintak untuk melakukan operasi aljabar dua buah fungsi adalah:  (fungsi1 operator fungsi2) (variabel); Soal Diketahui fungsi 𝑓 (𝑥) = 6𝑥 + 10 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4. Tentukan hasil operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua fungsi menggunakan Maple! Langkah-langkah penyelesaian: 1. Definisikan fungsi f(x) 2. Definisikan fungsi g(x) 3. Lakukan operasi penjumlahan fungsi 4. Lakukan operasi pengurangan fungsi 5. Lakukan operasi perkalian fungsi Untuk menjabarkan hasil perkalian tambahkan perintah > expand(%); 6. Lakukan operasi pembagian fungsi Untuk menjabarkan hasil pembagian tambahkan perintah > expand(%); Soal. Diketahui fungsi 𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 dan𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 + 2. Tentukan hasil operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua fungsi menggunakan Maple!

Komposisi Fungsi Komposisi dua buah fungsi f (x) dan g(x) didefinisikan ( f o g)(x) = f (g(x)), sintaksnya:  (𝑓 @𝑔) (𝑥); Untuk tiga buah fungsi f(x), g(x) dan h(x), sintaksnya:  (𝑓 @𝑔@ℎ) (𝑥); Soal 1. Diketahui 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 . Dengan menggunakan Maple carilah hasil komposisi (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) dan (𝑔𝑜𝑓)(𝑥)! Setelah itu carilah (𝑓𝑜𝑔)(2)! 2. Untuk nilai 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = 7𝑥 − 5, serta nilai ℎ(𝑥) = 6𝑥. Carilah nilai dari (𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ)(5)!


13

Fungsi Invers Dalam Maple tidak ada perintah khusus untuk mencari fungsi invers. Oleh karena itu untuk mencari fungsi invers f (x) digunakan konsep mencari g(x) sebagai penyelesaian dari persamaan ( f o g)(x) = x . Contoh 5𝑥+3 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 , Carilah fungsi invers dari f(x) dengan Maple!  f := (x) -> (5*x+3)/(x-1);  finv := (x) -> solve((f @ g)(x) = x, g(x));  finv(x);

Menggambar Grafik Fungsi Invers Ada perintah khusus untuk menggambar fungsi Invers, yaitu dalam Calculus1 Student Package. Sintaksnya:  with(Student[Calculus1]);  InversePlot(f(x),x=a..b,option); Contoh Gambarlah grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) pada interval [0, 2𝜋] beserta inversnya.  with(Student[Calculus1]);  f := x -> cos(x);  InversePlot(f(x),x=0..2*Pi, title="Grafik y=cos(x) dan inversnya");

Limit Fungsi Limit berarti ‘mendekati’, jika dikatakan bahwa x mendekati 3 artinya nilai x hanya mendekati nilai 3, tapi tidak pernah bernilai 3. Contoh: Tentukan lim(3𝑥 + 1) 𝑥→3

Cara I Untuk menentukan limit fungsi dari soal yang diberikan, maka terlebih dahulu dipilih titik-titik secara sebarang di sekitar x = 3 baik dari kiri maupun dari kanan. Berikut ini titik-titik x yang dipilih: x = 2.9, 2.95, 2.96, 2.99, 2.995, 2.999 (dari kiri 3 atau x < 3) x = 3.10, 3.09, 3.05, 3.01, 3.005, 3.001 (dari kanan 3 atau x > 3) Dengan Maple dapat dituliskan:  f := (x) -> 3*x+1;  x1 := Array([2.90, 2.95, 2.96, 2.99, 2.995, 2.999]);  x2 := Array([3.10, 3.09, 3.05, 3.01, 3.005, 3.001]);  n1 := ArrayNumElems(x1);  n2 := ArrayNumElems(x2);  y1 := Array(1..n1);  y2 := Array(1..n2);


14

 for i from 1 to n1 do y1[i] := evalf(f(x1[i])): end do;  for i from 1 to n2 do y2[i] := evalf(f(x2[i])): end do;  y1;  y2; Soal: Tentukan lim(5𝑥 + 1),menggunakan cara di atas! 𝑥→4

Cara II Perhitungan limit dengan fungsi Tentukan lim(3𝑥 + 1) 𝑥→3

Dengan Maple:  f := (x) -> 3*x+1;  limit(f(x),x=3,left);  limit(f(x),x=3,right); Selanjutnya dicari nilai sebenarnya adalah:  limit(f(x),x=3); Soal: Tentukan lim(3𝑥 + 1),menggunakan cara limit dengan fungsi! 𝑥→4

Cara III

Menggunakan Calculus1 Student Package untuk Limit Dalam Maple terdapat suatu paket untuk komputasi kalkulus yang bernama Calculus1 Student Package. Paket ini membantu kita mempelajari konsep-konsep dasar Kalkulus yang salah satunya adalah tentang limit. Sintaksnya:  with(Student:-Calculus1);  infolevel[Student] := 1; Aturan Penulisan Limit Sintaksnya:  Rule[nama aturan](ekspresi); Dengan menggunakan Calculus student package, tentukan lim(5 + 𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑥→1

Penyelesaian:  with(Student:-Calculus1);  infolevel[Student] := 1:  f := (x) -> 5+x-x^2;  Rule[sum](Limit(f(x), x=1));  Rule[constant](%);  Rule[identity](%); Created by Tatik Retno Murniasih @ 2017, [email protected]

15

 Rule[constantmultiple](%);  Rule[power](%);  Rule[identity](%); Aturan penulisan limit dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Aturan lim 𝑐 = 𝑐

constant

𝑥→𝑎

constantmultiple difference identity power

Keterangan

lim 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

lim 𝑥 = 𝑎

𝑥→𝑎

𝑛

lim 𝑓(𝑥) 𝑛 = (lim 𝑓(𝑥)) , 𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

lim 𝑔(𝑥)

lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = (lim 𝑓(𝑥))

𝑥→𝑎

product quotient

𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) lim 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) lim 𝑔(𝑥) lim

𝑥→𝑎

sum

lim 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) + lim 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎


PRAKTIKUM MAPLE 4 KALKULUS LANJUTAN

Recommend Documents