Postoje žáka k matematice

Postoje žáka k matematice

Hana Lišková

Studijní materiály k projektu Operační program Rozvoj lidských zdrojů č. projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů

© JČMF 2006

SU

∑

MA

Společnost učitelů matematiky JČMF

Obsah Úvod 1. Postoje žáka k matematice 2. Náměty pro výuku matematiky 2.1 Figurální čísla 2.2 „Telefónky“ 2.3 Indiánské čelenky 2.4 Číselné šachovnice 2.5 Geometrické modelování 2.6 „Souhra“ 2.7 Geometrie v algebře 2.8 Geometrie papíru 2.9 Grafická komunikace Závěr Literatura a prameny Přílohy

strana 2 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA

Společnost učitelů matematiky JČM F

Úvod V období současných změn a tvorby vzdělávacích programů škol je podle mého názoru potřebné myslet mimo jiné i na možné změny v postojích žáků k výuce a vzdělávání, a tedy jmenovitě i na možné změny v jejich postojích k matematice. Postoje jsou důležitou součástí žákových kompetencí (vedle vědomostí a dovedností)[20]. Z hlediska aktivní práce ve škole i z hlediska uplatnění v životě jsou postoje žáků zcela zásadní. Hlavním cílem tohoto pracovního materiálu je nabídnout několik námětů pro vyučování matematice heuristickými (objevitelskými) metodami, které mohou postoje k matematice u žáků zlepšit. U každého námětu popisuji nejenom postup a průběh činnosti, ale i získávané kompetence a postoje a také vlastní zkušenosti z období mého pedagogického působení na základní škole.

1. Postoje žáka k matematice Zřejmě se shodneme, že bychom si jako učitelé matematiky přáli, aby naši žáci měli postoje k matematice alespoň o poznání kladnější než v současné době mají, a to ať už jsou příčiny jejich postojů jakékoliv (rodina a její zkušenosti, společnost, dispozice a dosavadní zkušenosti žáka, apod.)[6]. Již od roku 2000 probíhá z podnětu M. Hejného mapování postojů žáka prostřednictvím seminárních prací studentů (učitelství 1. stupně ZŠ) Pedagogické fakulty UK Praha na téma „Sebereflexe postoje k matematice“. Cenné zkušenosti z tohoto průzkumu postojů studentů k matematice v průběhu celé jejich školní docházky popisuje E. Zapotilová v kapitole Postoje studentů k matematice a možnosti jejich změn[3]. Autorka zde upozorňuje: „…že většinou pozitivní postoj žáka k matematice utvořený během vyučování na 1. stupni základní školy se mění někdy již na 2. stupni základní školy, většinou však během studia na střední škole. Zejména na gymnáziích se stává negativním, až výrazně negativním.“ Chtěla jsem zjistit aktuální stav postojů k matematice u svých současných studentů Vyšší odborné školy pedagogické, tedy absolventů různých typů středních škol (gymnázií, středních odborných škol technického i netechnického zaměření). Pokusila jsem se tedy o orientační „minisondu“, kdy 28 studentů písemně odpovídalo na tři otázky: • Jaký máte postoj k matematice? • Kdo a co ovlivnilo váš postoj k matematice? • Co by mohlo změnit váš postoj k matematice? Z výpovědí studentů (viz Příloha č.3) bylo zřejmé, že v průběhu svého vzdělávání své postoje mění, a to v závislosti na mnoha faktorech. Kromě vlivu rodiny, společnosti a vlastních dispozic téměř ve všech sděleních figurovala osobnost učitele, jeho odbornost, osobnostní rysy, vztah k oboru, vztah k dětem, ale především metody jeho práce a pojetí výuky.[4],[12] Ještě podstatnější (i když předpokládané) bylo zjištění, že učitel je v těchto výpovědích hlavním faktorem, který ovlivňuje změnu postojů žáků k matematice. Bohužel postoje dotázaných jedinců se vlivem učitelů častěji měnily v negativním směru. Můžeme tedy učinit závěr, že změny postojů (pozitivní i negativní) má učitelská veřejnost do značné míry ve svých rukou. To je zjištění optimistické; znamená to, že můžeme mnoho věcí ovlivnit. Je tedy jistě užitečné, ne-li nezbytně nutné, právě v tomto období, kdy o své práci debatujeme při vytváření školních vzdělávacích programů, hovořit i o našich možnostech zlepšit metody práce strana 3 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


při vyučování matematice. Mějm však na paměti, že není žádoucí změna za každou cenu, ale jen taková, která opravdu vede ke zlepšení vzdělávání. Máme totiž velkou odpovědnost nejen za vědomosti žáků, ale i za jejich postoje, se kterými budou odcházet do života. Je zřejmé, že vhodně volené metody práce umožňují pochopení učiva (což je v matematice velmi podstatné), pak se teprve mohou rozvíjet dovednosti v oblasti matematiky, které vedou k radosti z poznaného. Shrňme výpovědi, týkající se osobnostních charakteristik a vyučovacích metod učitelů, které podle dotázaných studentů vedou ke zlepšení postojů k matematice. Z osobnostních charakteristik učitele se jako žádoucí projevy objevovaly: porozumění, trpělivost, snaha pomoci, pochopení, individuální přístup, postoj učitele k žákům a k předmětu, pečlivá a promyšlená příprava učitele, laskavost a vlídný přístup, úcta k žákům. Ve výpovědích zároveň zaznělo vážné varování: neponižovat, nevysmívat se, neodrazovat! Jako žádoucí vyučovací metody byly jmenovány: jednoduché vysvětlení, učení hrou, zábavná forma učení , diskuse a analýza chyb , nechyběla ani zmínka o motivaci. Dodejme, že pokud má žák kladný postoj k matematice, vhodně volená metoda práce učitele tento postoj „jen“ podpoří. Zásadnější význam může mít pojetí výuky u žáků, jejichž postoj k matematice a vzdělávání není krystalizován nebo je dokonce negativní. Pojďme tento celkový stav vnímat jako výzvu a pokusme se změnit „neradostný stav postupného zhoršování vztahu žáků k matematice“ (Zapotilová, E., 2004). Také Mareš, J. (1997, str. 26) upozorňuje na to, že „Současná pedagogická psychologie, která vychází z prací L.S. Vygotského nabádá, aby se učitel orientoval na „zítřek“ žákova vývoje, ne na jeho včerejšek či dnešek.“ Náměty, které předkládám, podle mých zkušeností vedou k vytváření pozitivních postojů žáků k matematice. Nejde mi o výběr témat (i když je pro lepší orientaci uvádím), ale především o způsob práce ve vyučovací hodině, kdy žáci pod vedením učitele sami objevují neznámé jevy, vztahy a souvislosti. Většina jevů je vizualizována, popřípadě je použita i manipulativní činnost, a tak se vytváří u žáků přesnější představy a pevnější poznatky. Náměty jsou určeny pro výuku matematiky na 2. stupni ZŠ a v nižších ročnících gymnázia, většinu z nich lze upravit i pro výuku na střední škole. U mnoha z následujících námětů se využívá radosti žáků z experimentování, vzájemné spolupráce a diskuse, hry a přirozené tvořivosti. Je nutné si uvědomit, že: „Ačkoliv je konstrukce poznatků proces individuální, přispívá k jeho úspěšnému rozvoji sociální interakce ve třídě, např. diskuse, srovnávání výsledků, hledání různých řešení nebo argumentů.“ (Kuřina, F., 1997, str. 96).

2. Náměty pro výuku matematiky 2.1 Figurální (obdélníková) čísla v aritmetice a geometrii [1], [7], [15] Metoda: heuristická (tedy objevitelská) s využitím manipulativní činnosti. Formou manipulace s předměty (např. mincemi, popřípadě žetony kulatého či čtvercového tvaru) žáci experimentálně zjišťují možnosti uspořádání předmětů do obdélníkového tvaru, a tak objevují jisté zákonitosti (viz obr. 1). Ty souvisí s dělitelností v oboru přirozených čísel a s výpočty obsahů pravoúhelníků. Pro potřebu přesné interpretace je vhodné použít čtvercový rastr a čtvercové žetony (viz obr. 2) tak, aby přesně pokryly jedno pole ve čtvercovém rastru. Tato forma je vhodná především při používání tohoto námětu při výuce obsahů pravoúhelníků. strana 4 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Témata: obsahy pravoúhelníků, vlastnosti násobení, dělitelnost. Popis činnosti Každý z žáků uspořádá daný počet žetonů (popř. mincí) do řad či sloupců tak, aby vznikl obdélník. Žáci hledají různá řešení, každý má nějaký nápad, všechny návrhy se zaznamenají. Na základě tohoto experimentu mají žáci možnost zjistit všechny dělitele daného čísla. Navíc zjišťují souvislosti mezi výpočtem obsahu obdélníka a společným násobkem (popř. děliteli). Pokud nikdo z žáků neobjeví možnost uspořádat žetony do jedné řady, je vhodné otázkami: „Do kolika řad se dají žetony uspořádat?“, „Vyčerpali jsme všechny možnosti?“ apod. žáky navést. Pomůcky: mince či žetony, popř. čtverečkovaný papír, popř. rastr. Obr. 1

Obr. 2

Průběh činnosti Učitelka ( zadávající úkol): „Napočítej si vždy 12 žetonů a pokaždé je uspořádej tak, aby vytvořily nějaký plný obdélník.“ Zuzka: „A pokaždé jiný?“ Učitelka: „Ano. Pokuste se hledat všechny různé možnosti.“ Marek: „A kolik jich bude?“ Učitelka: „To jsem právě zvědavá, kolik jich najdete.“ Tonda: „Tři.“ Učitelka: „Vážně? Jak to tak rychle víš?“ Tonda: „Myslím si to.“ Učitelka: „Aha, tak to prověřte.“ Jitka: „Já už to mám.“ Žáci: „Já taky!, Já taky! …“ Učitelka: „Tak se na to podíváme. Jaké obdélníky jste našli? Adélo. „ Adéla: „Já mám tyhle.“ Učitelka: „Tak mi to zkus nějak nadiktovat, kolik mají řad a sloupců?“ Adéla: „Tři řady a čtyři sloupce, dvě řady a …šest sloupců, čtyři řady a tři sloupce.“ strana 5 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Učitelka: „Dobře, má někdo jiný obdélník?“ Eva: „Ten první a poslední jsou stejný, ne?“ Učitelka: „Kdo si to taky myslí?“ Žáci: „Já, já, …“ Petra: „Já, ale mám ještě jiný…“ Učitelka: „ Tak mi ho za chvíli prozradíš, ano? A proč si myslíte, že obdélník třikrát čtyři a čtyřikrát tři je stejný?“ Jitka: „Je a není.“ Učitelka: „Jak to?“ Jitka: „ Jako, že má stejný tvar, je to stejný obdélník, ale je jinak otočený.“ Učitelka: „To je zajímavý postřeh. Zkusíme si to zapsat (kreslí situační obrázek a píše na tabuli 3x4 a hlásí tři řádky a čtyři sloupce, 4x3 – čtyři řádky a tři sloupce). Podívejte se na ty zápisy.“ Marek: „U násobení je to taky stejný, 3x4 je stejný jako 4x3.“ Učitelka: „Výborně, Marku. Ale necháme si oba ty obdélníky jako dvě situace, buď máme sešit na výšku nebo na šířku. Souhlasíte?“ Adéla: „ Tak ještě šest řad a dva sloupce.“ Učitelka (zakresluje další obdélníky): „No, výborně, to už máme 4 obdélníky. Má ještě někdo jiný?“ Učitelka prochází mezi žáky. Petra (nejistě): „Nemohlo by se to seřadit takhle?“ Učitelka neverbálně oceňuje nápad, nechat žetony v jedné řadě. Tomáš: „Co se stane, když je dám do jedný lajny?“ Žáci (smích): „ Tom - fotbalista.“ Tomáš: „Jako když jdem s klukama na penaltu.“ Učitelka: „My ti rozumíme. Co vy na to? Petro.“ Petra: „Já jsem to taky tak myslela a asi i obráceně.“ Učitelka: „Jak obráceně.“ Petra: „No jako všechny dát do sloupce.“ Učitelka: „Tak to zkusíme zakreslit. Souhlasíte?“ Pavel: „Asi ano, to je jako obdélník 1x12 a 12x1.“ Učitelka: „No dobrá, do kolika řad tedy můžeme uspořádat 12 žetonů?“ Jitka: „ Do jedné, do dvou, do třech, do čtyřech, do šesti, do dvanácti – ale to je trochu divný.“ Učitelka: „Ano, tam bychom normálně asi nemluvili o řadách ale o sloupci. Proč se vám nepodařilo uspořádat 12 žetonů třeba do pěti řad? Moniko.“ Monika: „Protože to by něco zbylo. Nevyšlo by to.“ Učitelka: „Aha, a proč, ví to někdo?“ Marek: „Nejde to dělit.“ Učitelka: „Co nejde dělit?“ Marek: „No těch 12 pětkou.“ Učitelka: A víte, jak se říká číslu, kterým můžeme beze zbytku dělit?“ Pavel: „Dělitel, ne?“ Učitelka: „Výborně. Jaké má tedy dvanáctka dělitele? Honzo.“ Honza (ukazuje si na lavici): „1, 2, 3, 4, 6, 12.“ Učitelka: „Kolik dělitelů má číslo 12? Terezko.“ Terezka (počítá na prstech): „ Šest.“ Učitelka: „Výborně. A teď budete pátrat sami. Vezměte si 18 žetonů, hledejte zase různé plné obdélníky a postupně si zapisujte, jaké jste našli. Pak si o tom podebatujeme.“ strana 6 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Žáci samostatně pracují, někdy spolupracují ve dvojicích.

Kompetence Žáci experimentují, tvoří závěry z vlastního poznání, učí se hledat všechna možná řešení. Využívají již nabytých poznatků, podílejí se na společném objevování, přijímají postřehy druhých a respektují je, vytvářejí logické úsudky, využívají analogie. Prostřednictvím popsané činnosti rozvíjíme kompetence k učení, k řešení problémů, kompetence pracovní, komunikativní a sociální.

Postoje Při práci s tímto námětem formou experimentování a vhodným vedením diskuse podporujeme vytváření pozitivního postoje k problémům, které mají matematický obsah. Žáci společně diskutují a porovnávají svá řešení, mají snahu nabídnou alternativní řešení. Je potlačena dominantní úloha učitele, což zvyšuje aktivitu žáků, a tím i jejich důvěru ve vlastní schopnost učit se. Žáci si vytváří také pozitivní postoj k učiteli, který je „pouze“ nenásilně vede při procesu učení. Důležité je i emoční ladění učitele, který má radost z poznatků, které žáci objevili. Ovzduší je uvolněné, objevitelské a radostné, protože je tu vytvořena příležitost pro každého.

Zkušenosti Z ukázky průběhu činnosti vidíme, že diskuse probíhá velmi dynamicky a rychle. I když se nedostanou všichni žáci ke slovu, v průběhu diskuse se s výroky identifikují a jejich míra identifikace je zřejmá z jejich mimiky. Žáci se zajímají o výsledky spolužáků, mají tendenci je porovnávat. Při řešení další úlohy není třeba vytvářet na lavici všechny situace současně, žáci umí velmi efektivně užívat analogii, stačí požadovat zápis každé nové situace. V průběhu činnosti v dalším příkladu (situace pro 18 žetonů) jsem ocenila to, jakým způsobem se při porovnávání různých řešení žáci přiblížili k zobecňování, které nebylo vynucené ale dostavilo se přirozeně při procesu učení. Většina třídy byla schopna k jednomu tvaru obdélníku vypsat oba příslušné součiny. Objevenou komutativitu násobení můžeme záměrně zdůraznit.

2.2 „Telefónky“ [14] Metoda: učení hrou, frontální činnost, případně práce v menší skupině či ve dvojici. Formou hry žáci intenzívně rozvíjejí komunikativní dovednosti, prostřednictvím nichž si upevňují znalosti geometrických útvarů, znalosti o jejich vzájemných polohách, zpřesňují terminologii a chápání podstaty pojmů a vztahů, umožňující diferenciaci pojmů. Zadané obrazce vyžadují přiměřenou úroveň analytického myšlení a jistou strategii „vysílajícího“ žáka. U žáků, kteří přijímají informaci, se rozvíjí syntetické myšlení. Po pochopení pravidel a smyslu hry je možno u vyzrálejších žáků využít i práci ve dvojicích, kdy učitel nemá bezprostředně přímou kontrolu. strana 7 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Témata: geometrické útvary – pojmy, vlastnosti geometrických útvarů, vzájemná poloha rovinných útvarů, velikost, úhly, poměr, apod. Popis činnosti Třídou delegovaný žák dle předlohy popisuje po částech obrázek, ostatní žáci, kteří obrázek nevidí, si pomocí otázek upřesňují svou vizuální představu a obrázek postupně sami zakreslují. Je zakázáno při hře používat mimiku či gestikulaci, a to tak, jakoby byli žáci pouze v telefonickém spojení (odtud název hry). Je možné vytvořit gradované úlohy a využít předlohu v různé poloze (což mnohdy určuje obtížnost úlohy). Hra může být realizována ve variantě žák – třída, žák – menší skupinka žáků nebo žák – žák.

Pomůcky: předlohy Obr. 3a)

Obr. 3b)

Pravidla hry Pravidla spolupráce při této hře se mohou podle potřeb upravit na varianty: 1. žáci nesmí klást otázky směrem k vysílajícímu jedinci 2. žáci kladou otázky po vyzvání 3. počet doplňujících otázek je omezen (např. každý žák se může ptát pouze jednou) 4. otázky žáci kladou bez omezení – probíhá spontánní komunikace (viz ukázka) Průběh činnosti Učitel (zadává vybranému jedinci předlohu – viz obr. 3, varianta A): „ Aleno, budeš vysílač a ostatní podle tvých pokynů budou zakreslovat tento obrazec. Snaž se být přesná, jinak se tě budou ptát na doplňující informace. Říkat můžeš cokoliv, ukazovat nic.“ Alena (udivena přemýšlí): „Jééééé. Nakreslete si obdélník.“ Petra: „ Jaký? Dlouhý?“ Alena: „Jo, aby se dal rozdělit ještě na dva.“ strana 8 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Marek: „Na výšku?“ Alena: „Ne, vedle sebe.“ Hanka: „Kolik cm je dlouhý?“ Alena: „To je jedno. Asi čtyřikrát delší, než je široký.“ „Máte to?“ Žáci: „Asi jo.“ Alena: „Teď si ho rozdělte na ty dva stejný vedle sebe a tu dělící čáru udělejte hodně tlustou.“ Monika: „Jak hodně?“ Alena: „Aby to byl jako další obdélník, vyplněný.“ Petr: „Jako tlustou fixou?“ Alena: „Jo. Dobrý?“ Žáci: „Jo.“ Alena: „Teď si najděte na dolní straně každého obdélníku střed a veďte čáru nahoru k tomu obdélníku, co ty dva obdélníky dělí. Vzniknou vám tam dva pravoúhlé trojúhelníky.“ Monika: „Jsou stejné?“ Terezka: „To je jasný.“ Tom: „Mám tam jakoby stan.“ Sandra: „A ten plný obdélník je jako zip u stanu.“ Alena: „Jo, přesně tak. Vznikly vám tam v těch obdélnících lichoběžníky?“ Jakub: „ No, ale jako obrácený.“ Alena: „No, mají delší základnu nahoře.“ Jakub: „Jo. A mají pravý úhly.“ Alena: „No, jsou pravoúhlý. Tak do každýho vepište kružnici, aby se dotýkala všech stran toho lichoběžníka.“ Jitka: „To budu mít pěkný šišky.“ Alena: „Tak se trochu snaž.“ Jitka: „Se mi tam pořádně nevejdou.“ Alena: „Tak si ten obdélník trochu zvětši nebo uprav.“ Gábina: „Jsou plný?“ Alena: „Ne, vyšrafovaný. Ty víš jak, že už to šrafuješ?“ Honza: „Ne, ale vím, jak se šrafuje.“ Alena: „No dobře, takže doleva.“ Petr: „Jak doleva?“ Alena: „Sešikmíš to doleva.“ Marek: „Jak moc?“ Alena: „Trochu, teda tak doprostředka.“ Lenka: „Nechceš říct třeba úhel?“ Alena: „ To je myslím 45°, no půlka pravýho. Máte to? To je všechno.“ Učitelka pro kontrolu promítá předlohu zpětným projektorem. Žáci živě komentují své výtvory.

Kompetence Při této činnosti se prostřednictvím verbální komunikace rozvíjí geometrické představy, kultivuje se verbální projev žáků a dochází u nich k diferenciaci pojmů. Sami zjišťují důležitost přesného vyjadřování, diferencují, zjistí, co chybně pochopili, postupně korigují své představy, a to ihned v průběhu hry. Hra je nutí používat pojmy, které jim připadají nepřirozené (úhel, strana 9 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


rovnoběžnost, úhlopříčky, poměr, apod.). Rozlišují podstatné znaky a informace od podružných. Učí se respektovat právo druhého hovořit, klást srozumitelné a věcné otázky, formulovat své myšlenky. Aktivně se zdokonaluje komunikace ve skupině. Rozvíjíme tak především kompetence ke komunikaci, ke spolupráci a kompetenci sociální.

Postoje Tato hra navozuje atmosféru spontánní komunikace, při které se „pátrá“ po správném obrazci, tudíž je doprovázena přiměřeným napětím, soutěživostí, která ale zároveň vyžaduje spolupráci. Prostřednictvím hry se vytvářejí pozitivní postoje ke geometrickému obsahu učiva i k učiteli (pokud činnost citlivě koriguje, např. výčitky ve směru k „vysílajícímu“ jedinci apod.).

Zkušenosti Při první zkušenosti s touto hrou je dobré volit obrázek přiměřené obtížnosti, aby mělo smysl komunikaci vést (nemá smysl obrázek typu „parník“ apod.) a aby činnost trvala maximálně 10 minut. Vysílající žák musí být komunikativní jedinec, který umí pružně reagovat na otázky a podněty. Je dobré vysílající žáky střídat, není to totiž snadná role a je proto dobré, když si tuto roli vyzkouší více jedinců. Pokud se vysílající žák nejasně či chybně vyjádří, mají všichni stejnou chybu. Postupně žáci zjistí nutnost přesného vyjadřování, využívají formulace, které se v průběhu činnosti osvědčily (např. užívání poměru, především v případě, že je předloha ve větší velikosti, než mohou použít v sešitě). Přesnost a úsilí při hře přímo úměrně ovlivňuje výsledek. Poznámka: Předlohy lze zjednodušit, a to například použít variantu A) bez šrafování, variantu B) otočenou o 45°, popř. čtverec bez úhlopříčky. 2.3 Indiánské čelenky[8] Metoda: experimentování a heuristické postupy. Prostřednictvím činnosti, kde využíváme kreativity žáků, se v prostředí vznikajících geometrických vzorů rozvíjí poznatky o dělitelnosti čísel. Snaha o originální vzor může vést žáky k hlubšímu pochopení těchto pro ně nečekaných souvislostí.

Témata: dělitelnost, společný násobek, souměrnost. Popis činnosti Ze čtverečkované čtvrtky si vystřihne každý žák obdélník vhodně zvolených rozměrů, a to tak, aby bylo možné vytvářet různé lomené čáry a tím vznikal na čelence pěkný vzor. Této „výrobě“ čelenek předchází analýza celého problému, kterou žáci provádí pod vedením učitele na jakémkoliv čtverečkovaném rastru. Vzniká pracovní náčrtek čelenky. Každý si navrhne vlastní čelenku a vlastní zdobení lomenou čárou, popřípadě větším množstvím lomených čar. Vzniklé plochy lze vybarvit a čelenku tak dozdobit. strana 10 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Například čelenka rozměrů n x 24 dává velkou možnost zdobení (obě lomené čáry jsou dokončené, viz obr.4), jelikož číslo 24 je dělitelné dvěma i čtyřmi. Nezapomínejme na záložku, která slouží ke slepení čelenky. Obr. 4

Čelenka rozměrů n x 23 toto zdobení neumožňuje (viz obr. 5). Obr. 5

Pomůcky: čtverečkované čtvrtky, nůžky, tužka, lepidlo, akvarelové pastelky, popřípadě kanava, jehla a bavlnky. Průběh činnosti Učitelka (po úvodní motivaci): „Pojďme se podívat, jak bychom mohli vyzdobit následující čelenky. Navrhněte, jakou lomenou čárou bychom mohli provést zdobení čelenky.“

Obr.6

Leoš (dokresluje obrázek čelenky na tabuli): „Když to budu postupně zdobit touhle čárou, tak zjistím, jestli to je dělitelné dvěma.“ Učitelka: „A co má být dělitelné dvěma?“ Leoš: „Celá ta řada.“ Hanka: „A taky čtyřma.“ Honza: „Jak to, čtyřma ?“ Hanka: „Když to bude dělitelné čtyřma, tak vyjdou hezky stříšky, když jen dvěma, tak to bude takový nedokončený.“ Učitelka: „Jak jsi to Leoši myslel s celou tou řadou. Hanka tomu sice rozuměla ….“ Žáci: „My taky.“ Učitelka (udiveně provokuje k odpovědi) Eva: „No celá ta řada, to je 2, 4, 6,...18.“ Leoš: „Mně se to nechtělo počítat.“ Marek: „Tak to s těma stříškama nepůjde.“ Učitelka: „Proč myslíš?“ Marek: „18 není dělitelné čtyřma.“ Učitelka: „Vidím, že tomu rozumíte. Jak byste mohli vést tu lomenou čáru, aby se vám tam ty stříšky pěkně vešly?“ Jitka (jde zakreslit lomenou čáru na tabuli): „Udělám ji po třech.“ strana 11 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Obr. 7

Učitelka: „Výborně, šlo by to ještě jinak?“ Petra: „No, ale to by nebylo hezký.“ Honza: „Proč?“ Petra: „Tam by vyšla jen jedna stříška.“ Učitelka: „A jak by to vypadalo, kdyby se to vepsalo do té čelenky, co už máme?“ Žáci (mnozí si to zkouší do svých pracovních listů) Obr. 8

Tom: „To je docela dobrý, aspoň to bude pestřejší.“ Učitelka: „Tak dobře, každý si vymyslete jakoukoliv čelenku. Komu se návrh povede, dostane čtvrtku a čelenku si může vyrobit.“

Kompetence Žáci se učí ověřovat své hypotézy, odhady a korigovat je, učí se tedy sebereflexi. Rozvíjí se estetické vnímání, tolerování produktů druhých, zdravá soutěživost bez agresivity a prosazování jedince. Rozvíjejí se pracovní kompetence žáků, dále kompetence k učení a k řešení problémů, stejně i kompetence sociální.

Postoje Pozitivní postoje jsou podpořeny možností experimentovat (omyl není považován za chybu ale za užitečné poznání), využít svou fantazii, tvořit a výtvarně se projevit. Žáci si upevňují sebedůvěru, která je pro vznik pozitivních postojů k matematice zásadní. Postoje se upevňují i zkušeností, že matematické dovednosti lze využít ve zdánlivě odlišném oboru, jakým je výtvarná či pracovní výchova.

Zkušenosti Tuto činnost lze velmi dobře motivovat tématem života indiánů, karnevalovým rejem, apod. Lze ji využít jako téma projektu. Pracovní a výtvarné činnosti se dají s matematickým obsahem velmi dobře propojit, žákům je taková činnost velmi příjemná a blízká, navíc zde můžeme využít strana 12 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


a rozšířit zeměpisné znalosti. Posouzením výrobků ostatních získávají žáci další poznatky o dělitelnosti čísel, a to velmi přirozeně a samovolně. Vhodné je zakončit celou činnost výstavkou, kdy se u výrobků vedou velmi cenné diskuse. Často padají nápady, jak se daná čelenka mohla ještě vylepšit, co mají některé čelenky společného apod. 2.4 Číselné šachovnice[10] Metoda: učení hrou. Pomocí deskové hry na číselných šachovnicích (viz Příloha č. 1 a č. 2) se úspěšně daří automatizace násobilky, a to bez pocitu drilu. Ten je vystřídán alternativní hrou dvojice žáků, kteří si při hře spontánně upevňují spoje násobilky. Bez použití těchto spojů násobilky nemůžou s úspěchem hru hrát, což je motivuje k lepší znalosti násobilky. Tato hra rozvíjí i strategické myšlení.

Téma: pamětné násobení v oboru od 1 do 72. Popis činnosti Hru hrají dva hráči na předem připravené číselné šachovnici. Obě číselné šachovnice jsou symetrické, tedy pro oba hráče rovnocenné, frekvence čísel je dána pravděpodobností možných součinů (šachovnice A předpokládá tři klasické hrací kostky, šachovnice B předpokládá dvě klasické hrací kostky a jednu ve formě dvanáctistěnu). Tímto způsobem lze připravit různé obměny číselných šachovnic a vytvořit si jejich gradovaný soubor. Tuto hru lze aplikovat v široké věkové a dovednostní škále.

Pravidla hry Na políčko „Start“ (S) si každý ze dvou hráčů umístí svou figurku (žetony odlišné barvy apod.) Hráči se střídají v tahu, cílem je dostat se co nejdříve na protilehlou vyznačenou oblast v okolí políčka „Cíl“ (C). Jeden tah znamená vhodit třemi hracími kostkami (pro variantu B volíme jednu hrací kostku ve tvaru dvacetistěnu). Ze tří možných součinů volíme ten, který je strategicky nejvýhodnější, a táhneme figurkou na sousední políčko se vzniklým výsledkem (sousední políčka jsou políčka sousedící stranou či vrcholem). Například, padne-li na kostkách ‚, ƒ, …, vznikají součiny 6 (tj. 2 x 3), 10 (tj. 2 x 5) a 15 (tj. 3 x 5). Pohybu figurkou se může hráč vzdát, pokud by byl posun figurkou strategicky nevýhodný. Vyhrává hráč, který jako první obsadí oblast ohraničenou kolem jeho cíle. Pomůcky: číselná šachovnice (viz příloha č.1 a č.2), figurky či žetony a hrací kostky, přičemž hrací kostku ve tvaru dvanáctistěnu (popř. dvacetistěnu) lze zakoupit v prodejnách s hračkami.


SU

∑ MA


Kompetence Žáci si v rámci hry rozvíjí početní dovednosti (jde o velmi intenzivní trénink), strategické myšlení a trpělivost. Poznávají důležitou aplikaci osové souměrnosti (která zde zajišťuje rovnocenné podmínky pro soutěžící) a vhodnou četnost jednotlivých čísel na šachovnici a její význam pro optimální délku hru. Rozvíjíme zde kompetence komunikativní, sociální a také kompetence k řešení problémů.

Postoje Zásadní změnu postoje způsobuje hra jako netradiční forma procvičování spojů násobilky oproti běžnému drilu, k němuž mají žáci odmítavý postoj. (viz Příloha č. 3 - Autentické výpovědi studentů). Hra vytváří soutěživé naladění žáků, kteří nevnímají obrovské množství zpaměti vypočtených součinů. „Hlídání“ soupeře může zdvojnásobit jejich počet.

Zkušenosti Tuto formu práce lze použít na prvním stupni ZŠ při procvičování sčítání, ale také na druhém stupni ZŠ při procvičování násobilky v předem stanoveném intervalu. Použití tří hracích kostek zajistí přijatelnou dynamiku hry (ne vždy může hráč udělat tah) a zajišťuje také větší počet vypočtených součinů. Je možné se žáky vytvářet vlastní číselné šachovnice, kde sami zjistí, které součiny jsou reálné a navíc využívají četnosti možných součinů (a tedy pravděpodobnosti, že takový výsledek vznikne, popř. jak často nastane). U matematicky vyspělejších žáků se objevuje tendence pravidla hry upravovat do obtížnější podoby, např. zavádět možnost dvojitého tahu. I tato skutečnost potvrzuje, že hra rozvíjí strategické myšlení žáků.

2.5 Geometrické modelování Metoda: experiment, manipulativní činnost, heuristická (objevitelská) metoda. Experimentální činností dospějí žáci k novým poznatkům o geometrických útvarech, poznají variabilitu situací. Své výsledky si živě kontrolují a debatují o překvapivých závěrech.

Témata: geometrie v rovině, geometrické útvary a jejich vlastnosti, shodnost, osová souměrnost. Popis činnosti Žáci si připraví (nejprve narýsují, poté vystřihnou z bílého či barevného papíru) osm dvojic shodných geometrických útvarů, tyto dvojice si pro přehlednost označíme: P1 (čtverec-čtverec), P2 (obdélník-obdélník), P3 (pravoúhlý trojúhelník – pravoúhlý trojúhelník), P4 (tupoúhlý rovnoramenný trojúhelník – tupoúhlý rovnoramenný trojúhelník), P5 (pravoúhlý lichoběžník – pravoúhlý lichoběžník), P6 (rovnoramenný lichoběžník – rovnoramenný strana 14 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


lichoběžník), P7 (lichoběžník – lichoběžník), P8 (kosočtverec – kosočtverec). Žáci z daných dvojic shodných útvarů skládají nový geometrický útvar a hledají všechny možnosti (bez překlápění připravených geometrických útvarů). Dodržujeme shodnost společných stran základních útvarů. Činnost je velmi objevná. Vznikají následující situace: P1 – není variabilní, vzniká pouze obdélník.

P2 – vznikají maximálně dvě situace: obdélník a čtverec.

P3 – vzniká obdélník, čtverec, rovnoramenný trojúhelník nebo deltoid.

P4 – vznikají rovnoběžníky, popřípadě nekonvexní čtyřúhelník, a to spojením dvou trojúhelníků, jak naznačuje obrázek vpravo.

P5 – vzniká rovnoramenný lichoběžník, konvexní či nekonvexní pětiúhelník.

P6 – vznikají šestiúhelníky, konvexní i nekonvexní.


SU

∑ MA


Poznámka: následující útvar nesplňuje podmínku shodnosti společných stran základních útvarů.

P7 – vzniká obdobná situace jako v případě P6. P8 - vzniká rovnoběžník nebo nekonvexní šestiúhelník.

Pomůcky: barevný papír, nůžky, rýsovací potřeby, zpětný projektor. Průběh činnosti Pro ilustraci uvádím průběh činnosti pro situaci P3 (dva pravoúhlé trojúhelníky). Učitelka: „Najděte si ze své sady dva pravoúhlé trojúhelníky. Máte?“ Žáci: „ Ano.“ Učitelka: „ Jaké útvary z nich můžete poskládat?“ Tom: „Zase se to nesmí překrývat?“ Učitelka: „Jasně, to bude platit pořád, to je naše pravidlo.“ Hanka: „Mně z toho vychází obdélník.“ Učitelka: „Má ještě někdo obdélník?“ Žáci: „Mně. Já.“ … Několik žáků se hlásí. Učitelka: „Hani, pojď to složit na tabuli.“ Hanka (na magnetickou tabuli umísťuje trojúhelníky do tvaru obdélníku). Učitelka: „Takhle to máte?“ Alena: „Já to mám na výšku, ale to je jedno.“ Učitelka: „ Tak zkuste další možnosti.“ Marek: „Můžu?“ Učitelka: „Chvíli počkáme, aby si to mohli i ostatní promyslet.“ Učitelka: „Marku, řekni, jak to máš.“ Marek: „Já z toho mám trojúhelník.“ Učitelka: „Umíte sestavit trojúhelník jako Marek?“ Honza: „Já ho měl hned.“ Učitelka: „Dobrá. Kdo umí sestavit trojúhelník?“ Většina žáků se postupně hlásí. Učitelka: „Výborně. A jaký vám vznikl trojúhelník?“ Monika: „Pravidelný nebo jak se mu říká.“ Učitelka (s úsměvem): „No, jak se mu říká?“ Tom: „ Rovnoramenný.“ strana 16 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Učitelka: „Výborně. Marku, pojď ten trojúhelník sestavit.“ Marek na magnetickou tabuli umísťuje trojúhelníky do tvaru rovnostranného trojúhelníku. Učitelka: „Děkujeme. Teď jsem zvědavá, jestli vymyslíte ještě něco.“ Učitelka (prochází třídu). Učitelka: „Lenko, ty máš zajímavé trojúhelníky, nešlo by z nich něco sestavit?“ Lenka (manipuluje s trojúhelníky na lavici): „Čtverec.“ Učitelka: „Jak je možné, že Lenka sestavila čtverec. Co to má za trojúhelníky?“ Tom (ukazuje svůj trojúhelník s ryskou): „Takovýhle, ne?“ Učitelka: „Výborně. Jaký je to trojúhelník?“ Lenka: „Pravoúhlý.“ Učitelka: „A ještě?“ Tom: „Rovnoramenný.“ Učitelka: „Skvěle! Ustřihněte si z listu papíru roh tak, abyste dostali rovnoramenný trojúhelník, a pokuste se o to, co se povedlo Lence.“ Žáci střihají a skládají, učitelka také střihá. Učitelka: „Jano, pojď složit ten čtverec jako Lenka.“ Jana na magnetickou tabuli skládá z trojúhelníků čtverec. Učitelka: „Děkujeme. A myslíte, že je to všechno?“ Marek: „Já mám ještě něco.“ Učitelka: „Tak nám to vysvětli.“ Marek: „Já nevím, co to vzniklo, je to takový divný drak.“ Učitelka: „Pojď to Marku poskládat na tabuli ať to všichni vidí.“ Marek na magnetickou tabuli umísťuje trojúhelníky do tvaru deltoidu. Učitelka: „Kolik úhlů má ten tvůj vzniklý útvar?“ Marek (počítá a ukazuje): „Čtyři.“ Učitelka: „Výborně, uměl by to někdo pojmenovat.“ Tom: „Čtyřúhelník.“ Učitelka: „Ano, to je takový čtyřúhelník a možná vám připomíná draka, říká se mu deltoid. To je paráda Marku, že jsi na to přišel.“ Marek: „Já jsem to jen u toho obdélníku otočil.“ Učitelka: „Tak dětem ukaž jak.“ Marek své řešení u tabule předvádí. Učitelka akci neverbálně oceňuje.

Kompetence Žáci formou manipulativní činnosti vytvářejí jednoduchým skládáním nové geometrické útvary. Odhalují a uvědomují si základní vlastnosti daných útvarů. Aktivně se u nich rozvíjí kompetence komunikativní, sociální, pracovní a kompetence k učení a k řešení problémů.

Postoje Tato experimentální činnost spojená s možností uplatnit kreativitu dává šanci pro vznik pozitivních postojů k učení, zkoumání, ověřování, tedy k matematice a zde především ke geometrii.


SU

∑ MA


Zkušenosti Přípravná část, kdy si žáci připravují dvojice geometrických útvarů, nepřináší nové podněty, je částí opakovací, proto je vhodné ji zařadit jako domácí přípravu. V druhé části žáci velmi ochotně experimentují, zkoumají a sledují tvorbu nových útvarů. Vlastnosti útvarů jsou určující pro možnosti vytvářet nové geometrické útvary, což v mnoha případech žáky překvapí, neodpovídají jejich odhadu a dosavadním zkušenostem (např. to, že čtverec umožňuje jen vytvoření obdélníku). Často známějším objektům, jako je čtverec, přisuzují dominantnější roli, než jakou mají.

2.6 Souhra

[13], [16]

Metoda: učení hrou. Prostřednictvím hry si žáci uvědomují podstatu osové souměrnosti, rozvíjejí a zpřesňují své vnímání symetrie. Metodu můžeme využít jak pro úvodní motivaci tématu osová souměrnost, tak i pro procvičování a upevňování učiva.

Téma: osová souměrnost. Popis činnosti Dva hráči hrají „Souhru“ (tj. hru na souměrnost) na společné lavici, a to s předem připravenými papírovými modely geometrických útvarů. Ty si připraví tak, aby měli vždy dvojici shodných útvarů různých tvarů (i nekonvexních). Výroba těchto modelů (shodných dvojic) je vhodná pro domácí přípravu. Je vhodné použít i modely z části 3.5 Geometrické modelování.

Pravidla hry Na lavici si dvojice hráčů vytvoří osu souměrnosti (křídou, izolepou nebo provázkem). Žák A položí na svou polovinu jeden z připravených geometrických útvarů a žák B ho „honí“, tedy umístí shodný útvar v osové souměrnosti na svou polovinu. Jakmile se oba shodnou, že je řešení správné, přemístí svůj obrazec žák B. A nyní žák A „honí“ žáka B. Hra se opakuje, přičemž se mohou různě měnit i útvary. Tak jde i o správný postřeh, pohotovost a rychlost hráčů. Lze závodit i na čas (můžeme využít stopek nebo přesýpacích hodin ze společenské hry „Aktivity“ apod.).

Pomůcky: barevný papír , nůžky, rýsovací potřeby (popř. připravené geometrické modely rovinných útvarů), provázek (popř. izolepa či křída), kontrolní nástroj ( provázek, špejle, trojúhelník s ryskou apod.). Průběh činnosti Sledujme průběh činnosti na situačních obrázcích (1 až 6). strana 18 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Obr. 9 1.

2. žák A

4.

3. žák B

5. žák A

žák B

6. žák A

žák B

Tímto způsobem hra pokračuje do chvíle, než ztrácí na zajímavosti a dynamice. Je dobré postupně dbát na větší přesnost. 1. fáze činnosti – žáci intuitivně vnímají shodnost, na správnosti řešení se dohodnou 2. fáze činnosti – žáci diskutují, rozvíjejí svůj odhad a zpřesňují ho, snaží se nebýt benevolentní vůči spoluhráči 3. fáze činnosti – žáci si správnost řešení ověřují měřícím nástrojem (zvolíme jednotně pro celou třídu) 4. fáze činnosti – žáci vytvářejí složitější situace vhodným volením polohy či tvaru geometrického útvaru.

Kompetence Žáci získávají přesný cit pro osovou souměrnost, během hry vyřeší celou řadu situací, jelikož je hra velmi rychlá a dynamická. V přípravné části hry se rozvíjí kompetence pracovní, v průběhu hry se rozvíjí kompetence k učení a řešení problémů, dále pak kompetence sociální a komunikativní.

Postoje Při hře, která je dynamická a založená na spolupráci, ale i soutěživosti, jsou podporovány pozitivní postoje k učení a v tomto případě k matematice. Pozitivní je i fakt, že u takovýchto činností chyba není trestána, je cestou k uvědomění si podstaty jevů. Daří se vést žáky k sebekontrole a sebekritice (kontrola probíhá ve spolupráci, popř. ji provádí spoluhráč). Vytváření kladného postoje je v tomto případě podporováno i učením se ve dvojicích, kdy je potlačena dominantní role učitele.


SU

∑ MA


Zkušenosti Výhodou je, pokud předem připravené modely žáků používáme k výuce častěji. Vidí tak, že jejich práce a domácí příprava je dostatečně zužitkována. Hra je velmi oblíbená, protože je variabilní (žáci vymýšlejí nové tvary, a to i takové, se kterými pak „honička“ není snadná). Při opakování činnosti se objevuje i nečekaný důraz na přesnost, dokonce je tu i snaha přeměřovat vzdálenosti a zjišťovat, zda je opravdu útvar správně umístěn. Velmi živě dvojice hráčů diskutují, hra je radostná. 2.7 Geometrie v algebře[1], [9] Metoda: názorná metoda výkladu s heuristickými prvky. Metoda práce je u tohoto námětu založena na vizualizaci a geometrizaci problému. To umožňuje hlubší pochopení, upevňuje znalost, umožňuje vidět souvislosti a analogie, vysvětluje důvod pro zobecňování a poukazuje na význam zobecňování (a tedy zavádění proměnné). Témata: výrazy, umocňování dvojčlenu, obsah čtverce a obdélníka. Popis činnosti Žáci si zakreslí čtverec (např. 7 x 7) a rozdělí ho dvěma čarami tak, aby vznikly dva čtverce a dva obdélníky (vzor kapesníku) celočíselných rozměrů (např. 2 x 2, 5 x 5, 2 x 5 a 5 x 2). Popíšeme strany vzniklých útvarů (viz předloha). Zjistíme velikost strany původního čtverce a zapíšeme ve tvaru (a + b), tedy např. (2 + 5). Poté ze známých údajů vypočteme obsahy jednotlivých částí (vepíšeme do nákresu) a původního čtverce. Zapíšeme rovnost, kterou žáci objevili. Obr. 10

2

2

5

4

10 49

5

10

25

S = 4 + 2.10 + 25 = 49 Tedy

7

S = 72 = 49

S = 22 + 2.2.5 + 52 = 49


SU

∑ MA


Následuje zobecnění: Obr. 11

a

b

ab

b2

Z obrázku vyčteme, že obsah S (čtverce) = (a + b)2 S (čtverce) = a2 + 2ab + b2

(a + b) 2

a

ab

Pomůcky: zpětný projektor, předloha (obrázek čtverce rozděleného na čtyři části) na fólii, popisovače. Průběh činnosti Učitelka: „Narýsujte si čtverec o rozměrech 7 krát 7 centimetrů.“ Žáci rýsují, někteří se dotazují, kam si ho mají umístit a jestli má být roznoměrně s okraji sešitu apod. Učitelka trpělivě reaguje: „A kdo má hotovo, rozdělí si sousední strany čtverce na úsečky dva a pět centimetrů podle vzoru (ten je promítán zpětným projektorem) tak, aby vám vznikl takový vzor jako např. na pánském kapesníku.“ Učitelka: „Jaké dílky se v základním čtverci objevují, Adame?“ Adam: „Dva čtverce a dva obdélníky.“ Učitelka: „Správně. Všichni to mají stejně?“ Žáci: „ Máme.“ Učitelka: „Co můžeme říct o těch dvou obdélnících?“ Veronika: „Jsou stejné.“ Učitelka: „Opravdu? Proč?“ Veronika: „No protože mají stejně dlouhé strany.“ Učitelka: „Vždyť mají každou stranu jinak velkou, jedna je 2 cm a druhá 5 cm.“ Iva: „Ona myslí, že mají oba dva stejné rozměry.“ Učitelka: „Ano, Veroniko?“ Veronika: „Mají, ne?“ Učitelka: „A co to znamená, že jsou stejné, jak to Veronika myslela?“ Tom: „Jako že mají stejný obsah.“ Honza: „A ty čtverce jsou každý jiný.“ Učitelka: „Aha. A umíme spočítat obsahy všech částí na obrázku?“ Eva: „Malý čtverec má čtyři, velký dvacet pět a obdélníky…“ Tom: „Deset.“ Učitelka: „Tak si to vepíšeme do obrázku (doplňuje do předlohy.) Pojďme si postupně zapsat výpočet obsahu čtverce S = … strana 21 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


Martin: „Čtyři a dvacet pět a dvakrát deset je čtyřicet devět.“ Učitelka (zapisuje): „A jak spočítáme obsah základního čtverce?“ Jana: „S rovná se sedmkrát sedm.“ Učitelka: „Musíme psát sedmkrát sedm?“ Jana: „Taky sedm na druhou ale sedmkrát sedm je lepší.“ Žáci se souhlasně smějí. Učitelka: „Načrtněte si jiný čtverec, třeba se stranou šest centimetrů a rozdělte si jeho stranu na dva a čtyři centimetry. Zkuste si sami doplnit všechny obsahy.“ Žáci pracují, učitelka jejich snažení sleduje a pozitivně chválí či povzbuzuje. Žáci si postupně ve dvojicích spontánně kontrolují výsledky. Učitelka: „Jaké máte výsledky?“ Monika: „Nám vyšlo čtyři, šestnáct a ty obdélníky mají osm.“ Jitka: „A ten celý má třicet šest.“ Učitelka: „No, výborně. Tak si to zase zapišme.“ Tom jde psát na tabuli: S = 4 + 16 + 2.8 = 36, S = 62 = 36 Učitelka: „Děkujeme, paráda. Bude to tak platit vždy?“ Marek: „Bude.“ Učitelka: „Tak si to zkusíme, když vám neřeknu přesné rozměry čtverce. Představte si, že čtverec bude mít stranu rozdělenou na části a a b.“ Iva: „To je úplně jedno, jaký kousky si udělám?“ Učitelka: „Ano.“ Monika: „A je jedno jak je velký ten původní?“ Učitelka: „Udělejte si ho bez měření jaký chcete.“ Žáci si vytvářejí náčrtky a sledují i práci svých sousedů. Učitelka prochází třídu: „Kdo ví, jak budeme počítat obsah velkého čtverce?“ Jana: „Jak mám vědět jaká je strana toho původního čtverce?“ Marek: „No a + b.“ Jana: „Dík.“ Učitelka sleduje Markovu práci: „Marku, pojď zapsat, cos vymyslel.“ Marek píše na tabuli S = (a + b)2 Jirka oceňuje spolužáka: „Pěkně.“ Učitelka: „Děkujeme. Pojďme si vepsat obsahy všech částí do obrázku.“ Monika zapisuje do připraveného obrázku na tabuli do příslušných částí a2, ab, ab, b2. Učitelka: „ Výborně a máme to dokonce s mocninami.“ Učitelka přehledně zapisuje na tabuli: „Takže to vypadá, že platí (a+b)2 = a2 + ab + ab + b2, je to tak?“ Tom: „To jde ještě líp.“ Učitelka: „Tak pojď, dělám ti místo.“ Tom píše (a+b)2 = a2 + 2ab + b2. Učitelka výkony chválí a opakuje s žáky celý proces zobecňování. Následuje roznásobení součinu (a+b).(a+b) a porovnání obou výsledků.

Kompetence Žáci využívají v oblasti algebry svých vědomostí z geometrie (sami zjišťují potřebné obsahy částí čtverce), vnímají tak úzké vztahy mezi těmito oblastmi matematiky. Rozvíjí své analyticko-syntetické myšlení, navíc vyvozují závěry z vlastního poznání, které zapisují pomocí výrazu, učí se strana 22 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


tedy zobecňovat. Při práci spolupracují a prohlubují své komunikační dovednosti. Při této činnosti rozvíjíme především kompetence k učení a k řešení problémů, ale i kompetence komunikativní a sociální.

Postoje Popsaná metoda práce žákům umožňuje vhled, a tedy i pochopení vztahů, vytváří pocit sebedůvěry a důvěry v poznávané skutečnosti. Vytváření souvislostí a vztahů mezi poznatky vede k upevňování učiva a tedy k lepším dovednostem. Mizí zde formalizované učení, převládá učení s pochopením, které umožňuje kladný postoj ke vzdělávání, a tedy v tomto případě k matematice (konkrétně ke geometrii a algebře). Vytváření tohoto postoje je opřeno i o důvěru k učiteli, který má snahu vysvětlit, vést žáky k pochopení a projevuje nad tímto radost.

Zkušenosti Tento přístup umožňuje vhled do podstaty umocňování dvojčlenu, žáci získávají uvědomělou dovednost a vnímají souvislosti mezi geometrií a algebrou. Metoda chrání (na rozdíl od algebraického přístupu výkladu) před formálním učením. V první fázi je vhodné pracovat s konkrétními číselnými údaji, např. a = 2, b = 5 a poté konkrétní příklady zobecnit a přejít na práci s proměnnou a výrazy. Je dobré i následující vztah odvodit a ověřit zjištěný závěr. Algebraický přístup: (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b2 = a 2 + 2ab + b2 S tímto přístupem mám velmi dobré zkušenosti, a to z výuky na základní škole i z výuky na střední škole. Zde mnozí ze studentů vyjádřili údiv, jak je to pěkné, že konečně pochopili význam vzorce (a + b)2, nepochopili ale, proč jim to už dávno někdo neukázal. Je zbytečné učit tak, aby žáci měli pocit, že látku pochopit nemůžou, že je to jen pro některé vybrané jedince a není to pro všechny, popřípadě to není k ničemu užitečné.

2.8 Geometrie papíru Metoda: manipulativní činnost, objevování, experimentování. Experimentováním spojeným s manipulací a praktickou činností žáci objevují nové poznatky o úhlopříčkách. Zjišťují, že jejich vlastnosti přímo určují vznikající čtyřúhelníky. Nejde o činnost popisnou, kdy žáci popisují vlastnosti objektů a mnohdy nechápou, proč je to nutné. V tomto případě vlastnosti úhlopříček a jejich vzájemná poloha přímo ovlivňují charakter vznikajících čtyřúhelníků a je tedy vidět, že jsou podstatné.


SU

∑ MA


Téma: čtyřúhelníky a jejich vlastnosti. Popis činnosti Žáci experimentálně zjišťují, jak lze charakterizovat čtyřúhelníky pomocí úhlopříček. Na tvrdší papír narýsují vždy dvě shodné protínající se úsečky v různých polohách (na obr. 12 se jedná o úsečky AB, XY). Podle narýsovaných úseček (AB, XY) se papír prořízne (nožíkem na podložce!) a opatrně přehnutím (podle spojnic AY, BY, AX, BX) naříznutých částí se odkrývají různé typy čtyřúhelníků (viz obr. 13). Samotné žáky překvapí, že takto nikdy nevytvoří rovnoběžník, zato se objeví např. deltoid a rovnoramenný lichoběžník. S tímto motivem lze dále experimentovat.

Obr. 12

Obr. 13

A

Y

& X

B

Pomůcky: tvrzený barevný papír, rýsovací potřeby podložka.

(pravítko, kružítko, tužka), nožík, pevná

Kompetence Žáci objevují nové typy čtyřúhelníků (deltoid) experimentováním, učí se předvídat a odhadovat, bezprostředně pak své odhady ověřují a korigují. Zjišťují, že poloha a velikost úhlopříček určuje typ čtyřúhelníku. Lze zde využít spolupráce a komunikace ve skupinách či dvojicích. Žáci přijímají navzájem objevy druhých, ty pak sami ověřují. Snaží se o vytvoření všech známých čtyřúhelníků. Toto cvičení podněcuje přirozený zájem žáků, zjistit a ověřit všechny možné varianty polohy úhlopříček, které čtyřúhelníky generují. Při této činnosti se rozvíjí kompetence k řešení problémů, ale i kompetence pracovní a komunikativní.


SU

∑ MA


Zkušenosti Činnost je doprovázena rušnou komunikací, protože se nikomu nedaří vytvořit rovnoběžník. Žáci objevují, že pro ně nejznámější a nejběžnější čtyřúhelník se s těmito omezujícími podmínkami pro úhlopříčky vytvořit nedá, protože úhlopříčky v rovnoběžníku nemohou být shodné. Uvědomují si, že i když dobře vědí (formálně), že úhlopříčky v rovnoběžníku nejsou shodné, přesto rovnoběžník očekávali. Teprve tady si řádně vlastnost úhlopříček v rovnoběžníku uvědomili. Pokud žáci vědí, že práce budou sloužit k dekoraci třídy, rádi si vyhrají s různými motivy. Pro tyto účely je vhodné volit barevný tvrzený papír, který lze vhodně podložit a tím vznikne velmi zdařilá dekorace. 2.9 Grafická komunikace [17] Metoda: heuristická (objevitelská), řízená diskuse. Témata: Tabulky a grafy, závislosti, finanční matematika. Popis činnosti Žáci mají úkol zpracovat tabulkové zadání do grafu a závislosti, které lze z grafu vyčíst, komentovat a vysvětlit příčiny zjištěných skutečností. Zadání: Meziokresní migrace obyvatel v ČR v závislosti na věku migrantů je dána tabulkou, kde je počet mužů a žen udán v procentech. Tabulka 1n věk muži ženy

5 2 3

10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 1,2 4 6,8 5 2,5 1,2 1 0,8 1 2,5 5 8 3,5 1,8 1 0,8 0,7

55 0,5 0,6

60 0,7 0,7

65 0,7 0,7

70 75 80 0,7 1,5 1,8 1 1,7 2

Úlohy: 1. Sestavte graf (zvolte vhodné měřítko). 2. Porovnejte hodnoty migrace mužů a žen v závislosti na věku. 3. Pokuste se vysvětlit a zdůvodnit tvar vzniklých křivek. Pomůcky: milimetrový papír, rýsovací potřeby, zadání úlohy, popř. počítač a program Excel. Průběh činnosti Při diskusi nad vytvořenými grafy (ať už pracujeme pomocí programu Excel či používáme milimetrový papír) můžeme použít dílčí otázky: Kdy je migrace žen největší? Je stejná situace i u mužů? n

Zdroj: Bičík, I. a kol. Lidé na Zemi. Praha: Česká geografická společnost, 1995.

Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

strana 25 SU

∑ MA


Proč po 5. roce života člověka migrace klesá? Proč se po 70. roce života zvyšuje migrace obyvatel? Kdy je migrace mužů větší než migrace žen a proč? Kdy je migrace žen větší než migrace mužů a proč? Ve kterém období života migrace obyvatel stagnuje? Žáci mohou být vedeni k formulaci smysluplných otázek, které lze pomocí grafů zodpovědět. Využívají svých dosavadních zkušeností ze života své širší rodiny. Meziokresní migrace obyvatel v ČR (dána v %) v závislosti na věku obyvatel. Graf 1 9 8

migrace (%)

7 6 5

muži ženy

4 3 2 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 věk

Kompetence Žáci sami zjišťují závislost společenských a sociálních jevů na věku, tedy životní etapě jedinců, pohlaví a učí se tyto jevy vysvětlit a zdůvodnit. Učí se tak argumentovat, vyhledávat podstatné informace a třídit je a také se snaží o racionální úvahu. Tato činnost vede ke zdokonalování grafické a počítačové gramotnosti. Intenzívně se zde rozvíjí kompetence sociální a komunikativní, kompetence k učení a řešení problémů.

Postoje V tomto případě žáci aktivně zjišťují vztahy mezi sociálními jevy a proto jsou do této činnosti velmi zainteresováni. Zjištěné skutečnosti se snaží zdůvodnit a tím posilují důvěru ve své strana 26 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


schopnosti. Mimochodem si uvědomují souvislosti a vztahy mezi jednotlivými oblastmi poznání (společensko-vědní disciplíny, výpočetní technika, rýsování a matematika). Proto tato činnost velmi pozitivně ovlivňuje jejich postoj k matematice.

Zkušenosti S řešením úloh tohoto typu mám velmi dobré zkušenosti. Lze žákům nabídnout i spolupráci v tom smyslu, že sami hledají zajímavé informace, které se ve formě tabulek objevují v tisku. Tak dostávají možnost ovlivnit vyučování a pracovat s údaji, které je zajímají.

Závěr V tomto pracovním materiálu jsem se zaměřila na předložení námětů různých metod výuky matematiky, a to tak, aby se vytvářely kladné postoje žáků k matematice, popřípadě se jejich stávající postoje zlepšily. Popsala jsem i některé své zkušenosti s těmito metodami práce. Věřím, že předložené náměty mohou být inspirací pro práci v hodinách matematiky i vhodným tématem pro diskuse nad vznikajícími školními vzdělávacími programy.[19] Jak je vidět z autentických výpovědí studentů (viz Příloha č.3), postoje k matematice jsou zásadně ovlivňovány metodami práce učitele. Používejme proto raději metody, které vedou k lepšímu pochopení, využívají vlastní poznání žáků a vytvářejí podmínky pro vznik pozitivního postoje k matematice. Osobnostní rysy učitele, o nichž se v uvedených výpovědích také hovoří, považuji z hlediska postojů žáka k matematice za neméně podstatné.


SU

∑ MA


Literatura a prameny [1] Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN. 1989. ISBN 80-08-01344-3. [2] Hejný, M., Kuřina, Fr.: Dítě, škola a matematika. Praha: Portál. 2001. ISBN 80-7178-581-4. [3] Hejný, M. a kol.: Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha: Pedagogická fakulta UK. 2004. ISBN 80-7290-189-3. [4] Průcha, J.: Učitel. Současné poznatky o profesi. Praha: Portál. 2002. ISBN 80-7178-621-7. [5] Průcha, J. a kol.: Pedagogický slovník. Praha: Portál. 1998. ISBN 80-7178-252-1. [6] Kárová, V.: Počítání bez obav. Praha: Portál. 1996. ISBN 80-7178-050-2. [7] Bero, P.: Matematici, ja a ty. Bratislava: Mladé letá. 1989. [8] Molnár, J., Lišková, H. a kol.: Matematika 6. Olomouc: Prodos. 1998. ISBN 80-85806-98-3. [9] Molnár, J., Lišková, H. a kol.: Matematika 9, učebnice s komentářem pro učitele. Olomouc: Prodos. 2001. ISBN 80-7230-108-X. [10].Lišková, H.: Tvořivá matematika in Autorský kolektiv: RAAbík - náměty pro tvořivé vyučování na I. stupni ZŠ. Praha: Raabe, nahlížet – nacházet. 1998. ISBN 80-902189-6-2. [11] Kuřina, F. Realistické přístupy k vyučování matematice in Sborník příspěvků ze semináře Jak učit matematice žáky ve věku 10 – 15 let. Frýdek – Místek. 1997. [12] Mareš, J.: Učitel jako rizikový faktor pro rozvoj žáka in Sborník příspěvků ze semináře Jak učit matematice žáky ve věku 10 – 15 let. Frýdek – Místek. 1997. [13] Novotná, J.: Matematické hry a komunikace in Ed. Hejný, M., Hrubý, D.: Sborník příspěvků ze semináře Jak učit matematice žáky ve věku 10 – 15 let. Litomyšl. 2001. ISBN 80-7015-840-9. [14] Roubíček, F.: Reprezentace geometrického pojmu in Ed. Jirotková, D., Stehlíková, N. : Sborník příspěvků ze semináře Dva dny s didaktikou matematiky. Praha: Pedagogická fakulta UK. 1999. [15] Hozová, L.: Klub mladých matematiků. Praha: SPN. 1990. ISBN 80-85107-01-5. [16] Lišková, H.: Hravá souměrnost in Učitel matematiky. Roč. 6. Praha: JČMF. 1998. [17] Lišková, H.: Finanční matematika na ZŠ in Učitel matematiky. Roč. 5, Praha: JČMF. 1997. [18] Fuchs, E., Hrubý, D.: Standardy a testové úlohy z matematiky pro základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií. Praha: Prométheus. 2000. ISBN 80-7196-169-8. [19] Fuchs, E., Hošpesová, A., Lišková, H.: Postavení matematiky ve ŠVP – základní vzdělávání. Praha: Prométheus. 2006. [20] Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. VÚP Praha. 2004. http://www.vuppraha.cz.


SU

∑ MA


Přílohy Příloha č. 1 Číselná šachovnice – varianta A

S

6

9

4

16 16

4

9

6

S

12 10

8

5

3

3

5

8

10 12

3

1

30

2

18 18

2

30

1

3

9

4

10 24 15 15 24 10

4

9

20 16 18

5

1

1

5

18 16 20

1

3

20

4

8

8

4

20

3

1

24

6

15 12

2

2

12 15

6

24

2

4

9

24

6

6

24

9

4

2

36 18

1

5

10 10

5

1

18 36

C

12 20 15 25 25 15 20 12

C


SU

∑ MA


Příloha č. 2 Číselná šachovnice – varianta B

S

12 21

4

66 66

4

27 10 48 15

3

15 48 10 27

30 16 11

35 35

2

3

2

21 12

S

11 16 30

9

4

45 24 60 60 24 45

4

9

42

7

18 32

1

1

32 18

7

42

55 40 44 54

8

8

54 44 40 55

36 33 14 12 20 20 12 14 33 36 2

50

9

24

50

2

6

22 16 72 10 10 72 16 22

6

C

12 20

C

5

6

25

6

2

24

5

9

20 12


SU

∑ MA


Příloha č. 3

Autentické výpovědi studentů Pro konkrétní představu uvádím některé autentické výpovědi či jejich části. „V 6.třídě jsme dostali nového učitele, bral to i trochu hravě, takže mě začala matika bavit.“ „Myslím si, že můj kladný vztah k matematice jsem si vybudovala sama, ale asi mi i hodně pomohl individuální přístup učitelů na ZŠ, kteří mi dávali úkoly navíc a já se při hodinách nikdy nenudila.“ „Postoj byl ovlivněn hodně učiteli. … Taky můj postoj ovlivnili spolužáci, hlavně na ZŠ. Většina třídy byla složena z kluků a těm matematika šla moc dobře. Tak jsem se vždy snažila mít správný výsledek dřív než oni.“ „Můj vztah k matematice ovlivnila p.uč., dokáže to lépe vysvětlit a také se nedrží pořád matematiky, ale dokáže ji zpestřit a tím mi to leze lépe do hlavy.“ „Nesmím si říkat: „Ach bože, zase matika,.“ ale nechat se překvapit, že učitel udělá něco formou hry, nebo za určitý úkol dá nějaké body.“ „Na SŠ jsem zjistila, že matika tak hrozná není, že je docela hezká, ale škoda, že jsem to nezjistila dřív. Učit se věci v šestnácti znovu je horší než se je naučit v době, kdy se na látku přirozeně naváže.“ „Můj záporný vztah změnila profesorka na SŠ, protože dala šanci každému, aby si vyzkoušel své schopnosti (např. hodnotila postupy, i když výsledek nebyl správný).“

„Už od „mala“ mi všichni vtloukali do hlavy, že na to prostě buňky nemám, že se mám třeba zaměřit na češtinu.“ „Těžké učivo, měli jsme ve třídě chytré studenty na matiku, připadala jsem si mezi nimi hloupá.“ „Především učitel na ZŠ a pak SŠ, neustále jsem slyšela: “Ty jsi na tu matiku vážně blbá.“ „Puberta – jedna hodina prokoukaná z okna se pak těžko dohání.“ „ A mít ochotu jim vysvětlit, co je špatně a co správně.“ „Já osobně matematiku moc nemusím, ale uznávám, že je to důležitý předmět pro život.“ „Kdyby mi lidé nedávali najevo, jak jsem hloupá, když něco vypočítám špatně.“ „Navíc se naše profesorka věnovala těm nejlepším a co my ostatní?“ strana 31 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

∑ MA


„Můj vztah by byl více pozitivní, kdyby mi někdo vysvětloval matiku z praktické stránky. Jsem už trochu jinde a věci, které nechápu se pochopit snažím, pídím se po řešení. Kdežto, když jsem byla mladší, tak tam tento přístup nebyl. Spíš jsem „věci“ házela za hlavu.“ „Nikdy jsem neměla hlavu na vzorečky, ale uměla jsem je používat. Na ZŠ probíhaly všechny písemky formou spolupráce se sousedkou, která se nabiflovala vzorečky a já to vypočítala. Dodnes mám radši logické úlohy.“


SU

∑ MA


Postoje žáka k matematice

Recommend Documents