Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit dan Distribusi Peluang
• Peubah Acak (Random Variable): Sebuah keluaran numerik yang merupakan hasil dari percobaan (eksperimen) • Untuk setiap anggota dari ruang sampel percobaan, peubah acak bisa mengambil tepat satu nilai
Peubah Acak
Peubah Acak
• Peubah Acak Diskrit : Sebuah Peubah Acak yang hanya bisa bernilai terbatas atau terhitung
• Peubah Acak dituliskan sebagai huruf kapital (X, Y, Z)
• Peubah Acak Kontinu: Sebuah Peubah Acak yang bisa bernilai pada sebarang nilai dalam sebuah selang
• Nilai-nilai tertentu yang merupakan keluaran percobaan dituliskan dengan huruf kecil (x, y, z)
Distribusi Peluang
Distribusi Peluang • Distribusi Peluang Diskrit:
• Distribusi Peluang adalah tabel, gambar, atau persamaan yang menggambarkan atau mendeskripsikan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak dan peluang yang bersesuaiannya (Peubah Acak Diskrit) atau kepadatan (Peubah Acak Kontinu)
Distribusi Peluang • • • •
Peluang Diskrit dituliskan sebagai: p(y) = P(Y=y) Kepadatan Kontinu dituliskan sebagai: f(y) Fungsi Distribusi Kumulatif: F(y) = P(Y≤y) Cumulative Distribution Function (cdf)
– Memberikan peluang kepada tiap keluaran percobaan – Merupakan probability mass functions (pmf)
• Distribusi Peluang Kontinu: – Memberikan kepadatan (frekuensi) pada tiap titik, peluang pada selang bisa didapatkan dengan mengintegralkan fungsi (probability density function/pdf)
Distribusi Peluang Diskrit (PMF)
Probability ( Mass ) Function: p( y )=P ( Y=y ) p( y )≥0 ∀ y ∑ p ( y )=1 semua y
Discrete Probability Distributions
Cumulative Distribution Function (CDF ): F ( y )=P(Y ≤ y )
Contoh – Melempar 2 dadu (Merah/Hijau) Y = Jumlah muka dadu yang nampak. Tabel dibawah memberikan semua nilai yang mungkin dalam himpunan S
Merah\Hijau
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
b
F (b )=P(Y ≤b )=
∑
p( y)
y=−∞
F (−∞)=0 F (∞ )=1 F ( y ) adl naik scr monoton di y
Contoh – Melempar 2 dadu (Merah/Hijau) Y = Jumlah muka dadu yang nampak. Tabel dibawah memberikan semua nilai yang mungkin dalam himpunan S
Merah\Hijau
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Melempar 2 Dadu – Probability Mass Function (pmf) & CDF y
p(y)
F(y)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36
p( y )=
# banyak cara 2 dadu dijumlahkan sbg y # cara 2 dadu dijumlahkan y
F ( y )=∑ p(t ) t=2
Melempar 2 Dadu – Probability Mass Function (pmf)
Melempar 2 Dadu – Cumulative Distribution Function (cdf) Dice Rolling - CDF sub-title sub-title
1
Dice Rolling Probability Function sub-title sub-title
0.9 0.8 0.7
0.18
0.6
0.16
0.5
0.14 0.4
0.12
0.3
0.1
0.2 0.1
0.08
-5.55111512312578E-017
0.06
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-0.1
0.04
y
0.02 0 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit • Mean (alias Nilai Harapan) – Rata-rata dari peubah acak yang diharapkan muncul dalam percobaan yang berulang-ulang. • Varians – Rata-rata beda kuadrat antara nilai nyata dari peubah acak dan meannya • Standard Deviasi – Akar positif dari varians (unitnya sama dengan datanya) • Notasi: – Mean: E(Y) = – Varians: V(Y) = 2 – Standard Deviasi:
Nilai Harapan
Mean: E(Y )=μ=
∑
yp( y )
semua y
Mean dari fungsi g(Y ): E [ g(Y ) ]=
∑
semua y
g ( y ) p( y )
Nilai Harapan dari Fungsi Linear Peubah Acak
Varians dan Standard Deviasi Varians: V (Y )=σ 2 =E [ (Y − E(Y ))2 ] =E [ (Y −μ) 2 ] = ∑ ( y−μ )2 p( y )= ∑ ( y 2 −2yμ+μ 2 ) p( y ) all y
semua y
2
= ∑ y p ( y )−2μ all y
∑
yp( y )+μ 2
semua y 2
p( y )
semua y
=E [Y ]−2μ( μ )+μ (1 )=E [ Y ] −μ 2
∑
2
2
Fungsi Linear: g (Y )=aY+b (a,b≡ konstan ) E [aY+b ]= ∑ (ay+b ) p ( y )= all y
=a ∑ yp ( y )+b ∑ p( y )=aμ+b all y
all y
Standard Deviasi: σ =+ √ σ 2
Varians dan Standard Deviasi dari Fungsi Linear Peubah Acak Fungsi Linear : g (Y )=aY+b (a,b≡ konstan ) 2
V [ aY+b ]= ∑ ( ( ay+b)−( aμ+b) ) p ( y )= all y 2
∑ ( ay−aμ ) p( y )= ∑ [ a2 ( y−μ )2] p( y )=
all y 2
=a
all y
∑ ( y−μ )
2
all y
σ aY+b=∣a∣σ
p( y )=a2 σ 2
Contoh – Melempar 2 Dadu
12
μ=E(Y )= ∑ yp ( y )=7 . 0 y=2
12
σ 2 =E [ Y 2 ]−μ2 = ∑ y 2 p( y )−μ 2 y=2
=54 . 8333−(7 . 0 )2 =5 . 8333 σ= √5 . 8333=2 . 4152
Definisi: Bernoulli Percobaan Bernoulli: Hanya terdapat satu kali percobaan dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1-p Peluang Sukses: Peluang Gagal:
P( X =1 )=
1
()
P( X =0)=
1
() 1
p1 (1− p)1−1 =p
p0 (1− p )1−0 =1− p
0
Contoh Binomial
Perilaku Distribusi Bernoulli E(Y) = p Var (Y) = p(1-p) Var(Y )=E (Y 2 )− E(Y )2 =[ 12 p+0 2 (1− p)]−[1p+0(1− p)]2 2 = p− p = p(1− p)
Contoh Binomial Penyelesaian:
Melempar koin sebanyak 5 kali. Berapa peluang mendapatkan tepat 3 kepala? Catatan: - Percobaan Diskrit - Mempunyai keluaran biner (ya dan tidak atau 1 dan 0) - mempunyai peluang yang sama tiap kali lemparan
Satu cara mendapat tepat 3 kepala: HHHTT Peluangnya adalah: P(heads)xP(heads) xP(heads)xP(tails)xP(tails) =(1/2)3 x (1/2)2 Cara lain mendapatkan tepat 3 kepala: THHHT Peluangnya = (1/2)1 x (1/2)3 x (1/2)1 = (1/2)3 x (1/2)2
Contoh Binomial
Contoh Binomial
Jadi, (1/2)3 x (1/2)2 merupakan peluang untuk mendapatkan tepat 3 kepala dan 2 ekor Sehingga, peluang untuk mendapat 3 kepala dan 2 ekor (sejauh yang kita dapat sekarang) adalah: 1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + (1/2)3 x (1/2)2 + ….. Namun, terdapat lebih dari satu cara mendapatkan 3 kepala dan 2 ekor. Ada berapa cara untuk mengambil tepat 3 kepala dari 5 kali lemparan?
5
() 3
5
cara untuk mengambil 3 kepala dalam 5 percobaan
C3 = 5!/3!2! = 10
Keluaran Peluang THHHT (1/2)3 x (1/2)2 HHHTT (1/2)3 x (1/2)2 TTHHH (1/2)3 x (1/2)2 HTTHH (1/2)3 x (1/2)2 HHTTH (1/2)3 x (1/2)2 HTHHT (1/2)3 x (1/2)2 THTHH (1/2)3 x (1/2)2 HTHTH (1/2)3 x (1/2)2 HHTHT (1/2)3 x (1/2)2 THHTH (1/2)3 x (1/2)2 HTHHT (1/2)3 x (1/2)2 3 10 pengaturan x (1/2) x (1/2)2
Peluang dari tiap cara yang unik Cat: peluangnya sama
Binomial distribution function: 5
()
P(3 kepala dan 2 ekor) = 3 x P(heads)3 x P(tails)2 =
X= banyaknya keluar kepala dari 5 kali percobaan p(x)
10 x (½)5=31.25% Atau lihat tabel Binomial 0
1 2
3
4
5
banyaknya kepala
x
Distribusi Peluang Binomial • Banyak yang tepat dari sejumlah observasi (percobaan), n – Contoh: koin dilempar 15 kali, 20 pasien, 1000 orang yang ikut survei • Peubah Acak Biner – Contoh: kepala atau ekor, sembuh atau tidak sembuh, laki atau perempuan – Secara umum disebut “sukses” atau “gagal” – Peluang sukses adalah p, peluang gagal adalah 1 – p • Untuk setiap observasi percobaan adalah konstan – Contoh: peluang mendapatkan kepala adalah sama untuk tiap percobaan
Definisi: Binomial • Binomial: Misal terdapat n percobaan yang saling bebas, dan tiap percobaan menghasilkan sebuah sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p. Jika total banyaknya sukses, X, merupakan peubah acak Binomial dengan parameter n dan p. ● Penulisannya adalah: X ~ Bin (n, p) {dibaca: “X berdistribusi binomial dengan parameter n dan p} ● Dan peluang bahwa X=r (i.e., terdapat tepat r sukses) adalah: n P( X =r )=
() r
p r (1− p )n−r
Distribusi Binomial, secara umum Bentuk umum dari distribusi Binomial adalah:
n = banyak percobaan n
()
p X (1− p )n−X
X
X = # banyak sukses dari n percobaan
1-p = peluang gagal p = peluang sukses
Definisi: Binomial Jika X mengikuti distribusi binomial dengan parameter n dan p: X ~ Bin (n, p) Maka: catatan: varians x= E(X) = np akan berada antara 0*N - 0.25 *N x2 =Var (X) = np(1-p) p(1-p) mencapai maks saat p=.5 x =SD (X)= √ np(1− p ) P(1-p)=.25
Definisi: Binomial
Untuk X~Bin(N,p) n
X =∑ Y Bernoulli ;Var (Y )= p(1− p) i=1
n
n
¿ Var( X )=Var ( ∑ Y )=∑ Var(Y )=np (1− p ) i=1
i=1
