Peubah Acak (Lanjutan)

Learning Outcomes Sebaran Diskret Nilai Harapan Ragam Beberapa Sebaran PA Diskret

Peubah Acak (Lanjutan) Julio Adisantoso

13 April 2014

Julio Adisantoso

Peubah Acak (Lanjutan)


Learning Outcome Mahasiswa dapat mengerti dan menentukan peubah acak diskret Mahasiswa dapat memahami dan menghitung nilai harapan Mahasiswa dapat memahami dan menghitung ragam Mahasiswa dapat mengenal dan memahami beberapa sebaran peubah acak diskret Outline Peubah Acak Diskret Nilai Harapan

Julio Adisantoso



Definisi Peubah acak dimana semua nilai yang mungkin adalah tercacah, maka peubah acak disebut sebagai peubah acak diskret. Untuk peubah acak X diskret, dapat ditentukan fungsi massa peluang atau disingkat fmp, p(a), dari peubah acak X, yaitu p(a) = P(X = a) Untuk setiap nilai peubah acak X = {x1 , x2 , ...}, maka berlaku p(xi ) ≤ 0 untuk setiap i = 1, 2, ... ∞ X

p(x)

= 0 untuk nilai x lainnya

p(xi )

= 1

i=1

Julio Adisantoso



Sebaran Diskret Berikut adalah contoh fungsi massa peluang dari peubah acak X x p(x)

0

1

2

1 4

1 2

1 4

Fungsi sebaran dari peubah acak X tersebut adalah  0 x<0    1 0≤x<1 4 F(x) = 3 1≤x<2    4 1 2≤x yang merupakan fungsi tangga.

Julio Adisantoso



Latihan Contoh Diketahui fungsi massa peluang peubah acak X sebagai berikut: p(i) =

cλi untuk i = 0, 1, 2, ... dan λ > 0 i!

Dapatkan P(X = 0) dan P(X > 2). Contoh Diketahui fungsi massa peluang dari peubah acak X x p(x)

1

2

3

4

1 4

1 2

1 8

1 8

Tentukan fungsi sebaran F(X). Julio Adisantoso



Nilai Harapan Definisi Jika X adalah peubah acak diskret yang mempunyai fungsi massa peluang p(x), maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), didefinisikan sebagai X E(X) = xp(x) x;p(x)>0

Sebagai contoh, jika p(0) = p(1) =

1 2

maka

1 1 1 E(X) = 0p(0) + 1p(1) = 0( ) + 1( ) = 2 2 2 yang merupakan rata-rata dari kemunculan 0 dan 1. Namun demikian, jika p(0) = 31 dan p(1) = 23 maka 1 2 2 E(X) = 0p(0) + 1p(1) = 0( ) + 1( ) = 3 3 3 dan ini merupakan rata-rata terboboti dari kemunculan 0 dan 1. Julio Adisantoso



Latihan

Contoh Dapatkan E(X) jika X adalah peubah acak pelemparan sebuah dadu seimbang. Contoh Kita sebut I sebagai fungsi indikator untuk kejadian A jika 1 jika kejadian A muncul I(x) = 0 jika kejadian Ac muncul Dapatkan E(I).

Julio Adisantoso



Latihan Contoh Kontestan quiz diberi dua pertanyaan 1 dan 2 yang harus dijawab secara berurutan, tetapi boleh mulai dari mana saja, dengan syarat pertanyaan berikutnya boleh dijawab jika sebelumnya dijawab dengan benar. Kontestan akan menerima uang 1 dollar jika dapat menjawab soal ke-i, i = 1, 2. Jika peluang kontestan dapat menjawab soal ke-i sebesar pi , berapa harapan dia mendapatkan uang paling banyak jika dia memilih soal 1 sebagai soal yang pertama? Bagaimana kalau dia memilih soal 2 sebagai soal pertama? Contoh Sebanyak 120 siswa sekolah menaiki 3 bus menuju tempat konser musik klasik: 36 siswa di salah satu bus, 40 siswa di bus lainnya, dan 44 siswa di bus yang lain lagi. Ketika bus tiba, 1 dari 120 siswa dipilih secara acak. Jika X adalah peubah acak banyaknya siswa dalam bus dimana 1 siswanya terpilih, dapatkan E(X). Julio Adisantoso



Proposisi

Proposisi Jika X adalah peubah acak diskret yang mempunyai fungsi massa peluang p(x), dan g(X) adalah fungsi dari peubah acak X, maka nilai harapan dari g(X) adalah X g(xi )p(xi ) E {g(X)} = i

Contoh Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai -1, 0, dan 1 dengan peluang masing-masing adalah P(X=-1)=0.2, p(X=0)=0.5, dan P(X=1)=0.3. Hitunglah E(X 2 ).

Julio Adisantoso



Proposisi

Solusi E(X 2 )

= (−1)2 P(X = −1) + (0)2 P(X = 0) + (1)2 P(X = 1) = (−1)2 (0.2) + (0)2 (0.5) + (1)2 (0.3) 2 = 0.2 + 0 + 0.3 = 0.5 6= (E(X)) = (0.1)2 = 0.01

Corollary Jika X adalah peubah acak dan a dan b adalah konstanta, maka E(aX + b) = aE(X) + b

Julio Adisantoso



Ragam

Definisi Jika X adalah adalah peubah acak dengan nilai tengah E(X) = µ, maka ragam atau variance dari X, dinotasikan dengan Var(X), didefinisikan sebagai 2 Var(X) = E(X − µ)2 = E(X 2 ) − {E(X)} Contoh Hitung Var(X) jika X menunjukkan kemunculan sisi dari pelemparan sebuah dadu seimbang.

Julio Adisantoso



Ragam

Corollary Jika X adalah peubah acak dan a dan b adalah konstanta, maka Var(aX + b) = a2 Var(X) Definisi Standard deviasi dari peubah acak X, dinotasikan dengan SD(X) didefinisikan sebagai p SD(X) = Var(X)

Julio Adisantoso



Peubah Acak Bernoulli (p) Misalnya ada tindakan melempar satu kali sekeping mata uang dimana peluang munculnya sisi muka, P({M}) = p, 0 ≤ p ≤ 1. Dengan demikian S = {M, B}. Jika X adalah banyaknya sisi muka yang muncul dari satu kali pelemparan tersebut, maka P(X = 0)

=

P({B}) = 1 − p

P(X = 1)

=

P({M}) = p

P(X ∈ / {0, 1})

=

0

Oleh karena itu, fmp dari peubah acak X adalah   1 − p , untuk x = 0 p , untuk x = 1 f (x) = P(X = x) =  0 , untuk x lainnya

Julio Adisantoso



Peubah Acak Bernoulli (p)

Teorema Fmp dari peubah acak Bernoulli(p) adalah x p (1 − p)1−x , untuk x = 0, 1 f (x) = 0 , untuk x lainnya Bukti P(X ∈ S) = P(X ∈ {0, 1}) = P(X = 0) + P(X = 1) = (1 − p) + p = 1

Julio Adisantoso



Peubah Acak Binomial (n, p)

Teorema Misalnya ada tindakan melempar n kali sekeping mata uang dimana peluang munculnya sisi muka, P({M}) = p, 0 ≤ p ≤ 1. Jika X adalah banyaknya sisi muka yang muncul dari n kali pelemparan tersebut, maka  n  px (1 − p)n−x , untuk x = 0, 1, ..., n x f (x) = P(X = x) =  0 , untuk x lainnya

Julio Adisantoso



Peubah Acak Binomial (n, p)

Penting Kejadian Binomial merupakan kejadian Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Bukti P(X ∈ S)

= =

P(X ∈ {0, 1, ..., n}) n n X X n P(X = x) = px (1 − p)n−x x x=0

=

x=0

(p + 1 − p)n = 1

Julio Adisantoso



Peubah Acak Uniform Diskret (N)

Teorema Misalnya ada tindakan mengambil satu bola secara acak dari wadah yang berisi N bola yang diberi nomor 1, 2, .., N dengan peluang masing-masing bola terambil adalah sama. Jika X adalah nomor atau nilai bola yang terambil, maka 1/N , untuk x = 1, 2, ..., N f (x) = P(X = x) = 0 , untuk x lainnya

Julio Adisantoso



Peubah Acak Geometrik (p)

Teorema Misalnya ada tindakan melempar sekeping mata uang dengan P({M}) = p (0 ≤ p ≤ 1) berkali-kali sampai muncul sisi muka (M). Jika X adalah banyaknya lemparan yang diperlukan sampai muncul sisi M, maka (1 − p)x−1 p , untuk x = 1, 2, ... f (x) = P(X = x) = 0 , untuk x lainnya

Julio Adisantoso



Peubah Acak Binomial Negatif (r, p) Misalnya ada tindakan melempar sekeping mata uang dengan P({M}) = p (0 ≤ p ≤ 1) berkali-kali sampai muncul sisi muka (M) sebanyak r kali. Jika X adalah banyaknya lemparan yang diperlukan sampai muncul sisi M sebanyak r kali (r = 1, 2, 3, ...), maka  x−1  pr (1 − p)x−r , untuk x = r, r + 1, r + 2, ... r−1 f (x) = P(X = x) =  0 , untuk x lainnya Ambil y = x − r atau x = y + r maka diperoleh  y+r−1  pr (1 − p)y , untuk y = 0, 1, 2, ... y f (y) =  0 , untuk y lainnya

Julio Adisantoso



Peubah Acak Hipergeometrik

Misalkan ada tindakan mengambil secara acak (tanpa pemulihan) n bola dari wadah yang megandung N bola yang terdiri atas m bola warna putih (dan N − m bola warna lainnya). Jika X adalah peubah acak banyaknya bola putih yang terambil, maka     m  N − m       x n−x    , untuk x = 0, 1, 2, ...n f (x) = P(X = x) = N      n   0 , untuk x lainnya

Julio Adisantoso



Peubah Acak Poisson (λ) Misalnya ada tindakan melempar sekeping mata uang dengan P({M}) = p → 0 sebanyak n kali (n → ∞). Jika X adalah banyaknya sisi muka yang muncul dari takhingga kali pelemparan tersebut, maka  n  limn→∞ px (1 − p)n−x , untuk x = 0, 1, ..., n x f (x) =  0 , untuk x lainnya Misalkan lim

n→∞,p→0

np = λ

maka dapat dibuktikan bahwa e−λ λx n lim px (1 − p)n−x = x n→∞ x! sehingga diperoleh fungsi massa peluang −λ x e λ , untuk x = 0, 1, 2, ... x! f (x) = 0 , untuk x lainnya Julio Adisantoso



Latihan

Contoh Lima koin dilempar. Jika kemunculan masing-masing koin saling bebas, tentukan fungsi massa peluang kemunculan sisi muka. Contoh Diketahui bahwa sekrup yang diproduksi pabrik tertentu akan rusak dengan peluang 0.01, bebas satu sama lain. Pabrik menjual sekrup dalam satu kotak berisi 10. Jika sedikitnya 1 dari 10 sekrup tersebut rusak, pabrik bersedia menggantinya. Berapa peluang sekrup yang dijual akan dikembalikan oleh pembeli?

Julio Adisantoso



Latihan

Contoh Misalkan banyaknya salah ketik pada buku ini menyebar Poisson dengan parameter λ = 21 . Hitung peluang terdapat sedikitnya 1 salah ketik di halaman ini. Contoh Peluang suatu barang yang diproduksi oleh pabrik tertentu rusak sebesar 0.1. Dapatkan peluang 10 contoh barang yang diproduksi paling banyak ada 1 yang rusak.

Julio Adisantoso



Latihan Contoh Diketahui gempa bumi terjadi di bagian timur Indonesia dengan λ = 2 per minggu. Dapatkan peluang sedikitnya terjadi 3 kali gempa bumi selama dua minggu berikutnya. Contoh Seuatu perusahaan membeli 10 lot komponen elektronik. Sudah menjadi prosedur baku, perusahaan akan memeriksa barang yang dibeli dengan mengambil 3 komponen secara acak, dan dapat menerima barang tersebut jika semuanya dari 3 komponen tersebut tidak ada yang rusak. Jika diketahui 30 persen dari lot terdapat 4 komponen yang rusak, dan 70 persen lot hanya ada 1 yang rusak, tentukan peluang komponen elektronik yang dibeli ditolak oleh perusahaan.

Julio Adisantoso


Peubah Acak (Lanjutan)

Recommend Documents