Pertemuan 6
Operasi Himpunan
Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B }
Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B
2. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A
3. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A }
Contoh: Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh : Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu (i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” (E A) (E B) atau E (A B) (ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D (iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” C D B
4. Selisih (difference) Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B
Contoh: (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
Contoh: Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh: Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q (ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q (iii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P Q)
6. Perkalian Kartesian (cartesian product) Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }
Contoh: (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B. 2. (a, b) (b, a). 3. A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } D C C D. 4. Jika A = atau B = , maka A B = B A =
Contoh: Misalkan A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus } B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet } Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? Jawab: A B = AB = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
Perampatan Operasi Himpunan n
A1 A2 ... An Ai i 1
n
A1 A2 ... An Ai i 1
n
A1 A2 ... An i1 Ai n
A1 A2 ... An Ai i 1
Contoh: (i) A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn) n
n
i 1
i 1
A ( Bi ) ( A Bi ) (ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }
Hukum-hukum Himpunan Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan Disebut juga hukum aljabar himpunan
1. Hukum identitas: A = A A U = A
2. Hukum null/dominasi: A = A U = U
3. Hukum komplemen: A A = U A A =
4. Hukum idempoten: A A = A A A = A
5. Hukum involusi: ( A) = A
7. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A
9. Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 11. Hukum 0/1 = U U =
6. Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A 8. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 10. Hukum De Morgan: A B = A B A B = A B
Prinsip Dualitas Prinsip dualitas dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Contoh: AS kemudi mobil di kiri depan Inggris (juga Indonesia) kemudi mobil di kanan depan Peraturan: (a) di Amerika Serikat, - mobil harus berjalan di bagian kanan jalan, - pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung (b) di Inggris, - mobil harus berjalan di bagian kiri jalan, - pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului, - bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung Prinsip dualitas: Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris
(Prinsip Dualitas pada Himpunan) Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti , , U, U , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
1. Hukum identitas: A=A
Dualnya: AU =A
2. Hukum null/dominasi: A=
Dualnya: AU=U
3. Hukum komplemen: A A =U
Dualnya: A A =
4. Hukum idempoten: AA=A
Dualnya: AA=A
5. Hukum penyerapan: A (A B) = A
Dualnya: A (A B) = A
6. Hukum komutatif: AB=BA
Dualnya: AB=BA
7. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C
Dualnya: A (B C) = (A B) C
8. Hukum distributif: Dualnya: A (B C)=(A B) (A A (B C) = (A B) (A C) C) 9. Hukum A B DeAMorgan: B =
Dualnya: A B A =
10. Hukum 0/1 =U
Dualnya: U =
B
Prinsip Inklusi-Eksklusi Untuk dua himpunan A dan B: A B = A + B – A B A B = A +B – 2A B
Contoh: Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Penyelesaian: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15), Yang ditanyakan adalah A B. A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, A B = 100/15 = 6 A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Contoh:
Di antara bilangan bulat antara 101 – 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya?
Penyelesaian: Diketahui: U = 500 A = 600/4 – 100/4 = 150 – 25 = 125 B = 600/5 – 100/5 = 120 – 20 = 100 A B = 600/20 – 100/20 = 30 – 5 = 25 yang ditanyakan A B = ? Hitung terlebih dahulu A B = A + B – 2 A B = 125 + 100 – 50 = 175 untuk mendapatkan A B = U – A B = 500 – 175 = 325
Himpunan Ganda (multiset) Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset). Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}. Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4. Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1. Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Operasi Antara Dua Buah Multiset: Misalkan P dan Q adalah multiset: 1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d } 2. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } P Q = { a, a, c }
3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan: multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif 0, jika selisihnya nol atau negatif. Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }
4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q. Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }
