Pertemuan 12
INVERS
MATRIKS
9
–
Metode Partisi
+++++++++++++++++++++++++
5.4. MENeARI
MATRIKS INVERS DENGAN SEKATAN (PARTlSI)
Kalau matriks berukuran besar, kadang-kadang lebih mudah bila dikerjakan sccara bertahap, dengan membagi matriks tersebut menjadi submatriks-submatriks (membuat sekatan/partisi}. Sebuah submatriks (matrik bagian) dari matriks A adalah suatu rnatrik yang diperoleh dari A dengan menghapuskan beberapa baris/kolom A (ataupun sarna sckali tidak menghapuskannya, artinya A merupakan submatriks A sendiri).
Mr-ulnya
: b e h
, misalnya
bentuk submatriks
(a, b) dengan
111l'll~hapll~kanbaris 2, baris 3, dan kolom 3, ataupun
tiq)l'J"I)kh dcngan menghapuskan baris 2 dan kolom 2 . .\pabda xuatu matriks Akita pecah-pecah menjadi submatriks-submatriks mcmbcri sekatan-sekatan garis horizontal di antara dua baris dan garis c'l I 11--,11 dl antura dua kolorn, maka matriks A tadi dikatakan telah dipartisi.
ckll~,11\ \
('til/tahuya: ,I
b
d
L'
f CJ
~
h
J
.uaupun ataupun
~ j_ ~ -j_--[g I h
~J
j
211
dan lain-lain. Jadi kita mempunyai dari suatu matriks.
banyak cara untuk membentuk
partisi-partisi
Pemecahan (*)
a
b
c~
h
J
dT-;-~
[
g
I
ataupun a
b
I
(**)
del
----i ~
g
h
I
bukan suatu partisi, sebab misalnya pada (*) garis vertikal ndak rnemisahkan seluruh kolom I dan 2 dan pad a (**) sekarang matriks-rnatriks yang telah dipartisi A
dan B
==
rnaka : (I) Jumlah
A +B
==
[p
+T
R+V
UJ
Q + S +W
asalkan syarat-syarat penjumlahan rnatriks terpenuhi (artinya ukuran-ukuran P == T, Q == U, R == V, S == w). (2) Perkalian AB
= PT + QV [ RT + SV
PU +
QWl
RU + SWJ
asalkan segal a syarat untuk perkalian dan penjumlahan dapat dipenuhi. 212
Contohnya:
~2_!__l_~l 4 I IJ
l2 _3_'-...!. I I 3J _1
o =
I
2
o
7
[~ ~J[~ ~J +[~J (0
~J
2) [~
+ (7)
0
I
(0
0)
(0
0)
0
~[~+ [~ ~J[I~J + [~J I10OJ
(2 4)
=
r~ L2
(0 0) (6) +
+
(21)
[~~J [~] + [~J (3) [~J +
(0 2)
=
(7) (3)
[~ :~][::J] (2
4) (27)
10
I:J13
10
27
4
Perkalian dan penjumlahan seperti di atas berlaku pula untuk matriks partisi dengan ukuran-ukuran yang lain. Yang penting diperhatikan cara melakukan partisi supaya perkalian dapat dilakukan. (3) Det(A) == det(P) det(S) - det(Q) deteR). (asalkan p. Q. R. S bujur sangkar). Pandang sekarang matriks bujur sangkar A berordo n yang mempunyai invers A-I B. Kita lakukan partisi sebagai berikut :
=
A=
All
I
AI2
A21
I
A22
~~~L~~q) (q
X
p):
(q x q)
B ==
BII (p x p)
I I
BI2 (p x q)
B21 (q x p)
I
B22 (q x p)
---,--I
213
~------------
--~~-
._-
-
=n
dimana p + q Karena AB
=
(i)
+ Al2B21
=
Ip
(ii) AllB 12 + AI2B22
=
0
(iii) B21AII + B22Azl
=
0
(iv) B21Al2 + B22A22
=
Iq
AlIBl1
Misalkan
BA = In maka diperoleh
= =
B22
dari (ii) B12
:
L-I, -(AII-1AdL-I,
dari (iii) B21 = _L-I(A21Alltl, dari (i)
BII
=
All-I - AII-IAI2BZI
=
All-I
+
(AII-IAI2)
L-1(A2IAll-l) dan bila disubstitusikan
ke (iv) :
AJ2 + VI A22
-L-I(AzIAII-I)
=
Iq ~ L
=
A22 - (A2IAII-l)
AI2
= An - A21(AII-IAI2)'
Jadi harus diperhatikan
bahwa All harus nonsinguiar.
Contoh (5.12) :
J
3
3
4
3 4
3 Hitunglah
A-I dengan partisi. Akita
I
I 3: 3J3
.L _4_J 1
214
3
I
4
partisikan
sebagai berikut :
berarti
All
~~
=
A11-1
=
[: :J -~J 4 =
~
-1
3 4
[ :]
-3J
,A21
=
(l 3), A22 = (4).
(dengan menggunakan matriks adjoin).
1
[:]
=
14 -3l IJ
L-I L
=
A" - A,,(A,,-'
Ad
=
~ (4) - (1.3) [~]
(I
0)
~ (I) dan
L-
I
= (I).
~ ~~ -~J ~ BI2
=
~~
-~]
-(A,,-' Ad
0) +
[~]
+ [~ L'
~ -
(I)
(I
~]
=
G]
~~
-~]
(I)
=
[~]
215
------------------
-
,
B21
= -L-1(A2IAII-I) = (-I
B22
= L-I =
Jadi A-I
._
.
0)
(1)
= [BII B21
:::J
=
-3
[
-~
o
-1
5.5. INVERS KIRI DAN INVERS KANAN DARI MATRIKS YANG TIDAK BUJUR SANGKAR DEFINlSl: Matriks A berukuran (m x n) disebut invers kiri, bila ada matriks B sedemikian sehingga BA = In dan disebut mempunyai invers kanan bila ada matriks C sedemikian sehingga AC = 1m.
Catatan (7) : Matriks Amxn hanya mempunyai invers kiri, bila ranknya rCA) mempunyai invers kanan bila rCA) = m.
=
n dan
Catatan (8) : Ukuran dari invers kiri maupun kanan adalah (n x m),
Catatan (9) : Kalau matriks A tersebut mempunyai invers, maka invers tersebut salah satu : lovers kiri atau invers kanan, hal ini jelas karena kalau A mempunyai invers, rCA) harus salah satu = n atau m.
Catatan (10) : lnvers kiri atau invers kanan tidak tunggal.
Contoh (5.13) : Carilah invers dari A
216
=
[:
3 4 3
2 1 5
~
Ukuran A
=
(3 x 4).
Di sini r(A) = 3. Jadi A mempunyai invers kanan. Kita boleh mengambil suatu submatriks dari A yang nonsingular R berukuran (3 x 3) :
:3 R
=
l: rl 4
maka invers kanan dari A yaitu :
3
A-I
R-I
=
'/3
[~-J
=
befukuran (4 x 3)
-9
[:
-:]
3
0
-I
, jadi A-I
=
'/3
17
-9
-4 -1
3
0
0 0
-5 1 0
Kita boleh mengambil submatriks yang lain dari matriks A, misalnya : S
=
r: S-I =
A-I =
l-~
3 4 3
-2 1
!l ~l
, asalkan submatriks tersebut nonsingular
' kita tulis invers kanan dari A :
-I
0
7
-2
3
(perhatikan baris dimana harus kita tulis vektor
-I
1
baris nol dari A-I tersebut).
0
0 0
0 0
-I
Jadi invers kanan dari A tidak tunggal.
217
5.6. SOAL DAN PEMECAHANNYA 5.14. Matriks A adalah matriks bujur sangkar.
Buktikan : (a)
Invers dari matnks A (bila ada) adalah tunggal.
(b)
(A-Itl
= A.
(c)
(ABt'
= B-' A-I
Bukti (a)
: B dan C adalah invers-invers dari A. Maka : AB = BA = I dan AC = CA = L sedangkan BAC = (BA)C = IC = C dan BAC = B(AC) = BI = B. Berarti C = B. Atau invers dari A adalah
Misalkan
tunggal. (Di sini kita memakai sifat asosiatif dari perkahan matriks). (b)
Kalau B
=
A-I maka BA
=
AB
=
I
(I)
Sedangkan B-1 mempunyai sifat BB--I = B-'B = I.
(2)
Jadi mengingat sifat matriks invers yang tunggal dari (2) dan (I) dapar dirarik kesimpulan bahwa B-1 = A, atau (A-I)-' = A. (c)
c:)
(B-'A-')AB
C':')
AB(B-'A-')
= =
B-1(A-'A)B = B-'IB = B-IB ~ I A(B.B-I)A
=
AIA-I
=
AA-' = 1.
Judi (B-'A-1) adalah invers dari AB atau B-'A-'
= (ABr'
5.15. BU"-II"-anbahwa bila A adalah matriks bujur sangkar ordo n : adj.A -\ I -
•
dett A) -:;:.O.
dd(A)
Penyelesaian
:
Misalkan A = (ail) dan misalkan pula A (AdJ.A) = (hll). Baris ke-I dari A adalah (a,[, a,:'., ..., a,n) dan karena adj.A adalah transpose dari matriks kofaktor-kofaktor dan A, kolom ke-j dari adj.A adalah hasil transpose dari baris ke-j dari matriks kofaktor A tersebut : (A", A,:'., ..., A,n)' Jadi elemen bl, dari A. (adj.A) adalah :
218
CI,
BII =
a12, ..., am)
Ajl = ailAjl +
• •
•
Kita ingat sifat kofaktor (pada deterrninan Bab 4, Catatab 8) :
b., = IAI untuk i = j. = 0 untuk i :t: j. Berarti A.(adj.A) adalah sebuah rnatriks diagonal sebagai berikut : riAl
0
0
1.0
IAI
0
0
()
IAI
l
=
IAI. I
Dengan cara yang sama diperoleh (adj.A).A = IAI . I adj.A Jadi, bila IAI :t: 0 maka A . --IAI atau A-I
=
adj.A IAI
.A =
1
adj.A
= ---
IAI
5.16. Carilah rnatriks adjoin dari : (i)
A =
(ii)
[~
:]
[~~l 219
Penyelesaian (i)
All
=
:
I, A22 = 1, Al2
det(A) =
= -2,A21 = -I, adj.A =
-1 berarti A-I = 1-1 II
11 -ll L-2 IJ
L2 -~
(ii)
All
= 4,
A22
adj.A ~
= 3, Al2 = -2, A21 = -6
~:
~ ] dan karena del(A) ~ [~
~
~ 0
A matriks yang singular dan tidak mempunyai invers,
5.17. Carilah x dan y dari susunan persamaan linier berikut :
X+Y:Ij 2x + Y
=
1
dengan menggunakan invers dari matriks koefisien.
Penyelesaian : Secara matriks, susunan persamaan di atas dapat ditulis A
x
B
=
[ :]
r
L~_~ L~-~][:] ~[~]
dan dad Soal 5.16:
awn[;] ~ atau x 220
= 0, y =
[:]
1
~
~
-I ~
