Dimensi dari Suatu Ruang Vektor Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S.
Teorema 1.10 Misalkan V adalah suatu ruang vektor. Jika vektor-vektor 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 adalah bebas linier dan vektor-vektor 𝑠1 , … , 𝑠𝑚 merentang V, maka 𝑛 ≤ 𝑚. Buktinya: Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan: 𝑠1 , … , 𝑠𝑚 ; 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 pindahkan vektor pertama 𝑣1 ke urutan paling pertama dari daftar. 𝑣1 , 𝑠1 , … , 𝑠𝑚 ; 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 Karena 𝑠1 , … , 𝑠𝑚 merentang V, lalu 𝑣1 merupakan suatu kombinasi linier dari 𝑠𝑖 maka salah satu dari 𝑠𝑖 dapat dihilangkan, dengan cara mengindeks ulang dengan mengambil 𝑠1 dari daftar pertama dan tetap memiliki himpunan yang merentang yaitu 𝑣1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑚 ; 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 Ingat bahwa himpunan yang pertama pasti tetap merentang V dan himpunan yang kedua tetap bebas linier. Sekarang ulangi proses ini, pindahkan 𝑣2 dari daftar kedua ke daftar pertama 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑚 ; 𝑣3 , … , 𝑣𝑛 Seperti pada proses sebelumnya, vektor-vektor pada daftar pertama pasti bebas linier, karena mereka merentang V sebelum dicampur dengan 𝑣2 . Bagaimanapun juga, karena 𝑣𝑖 bebas linier, maka kombinasi yang nontrivial dari vektor-vektor pada daftar pertama yang sama dengan 0 harus melibatkan paling sedikit satu dari 𝑠𝑖 . Sehingga vektor tersebut dapat dipindahkan, lalu kembali diindeks ulang dengan mengambil 𝑠1 dan tetap memiliki himpunan yang merentang yaitu 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑚 ; 𝑣3 , … , 𝑣𝑛 Sekali lagi, himpunan vektor yang pertama merentang V dan himpunan yang kedua tetap bebas linier.
Andaikan 𝑚 < 𝑛, maka proses ini akan menghilangkan semua 𝑠𝑖 dan menuju ke daftar 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑚 ; 𝑣𝑚 +1 , … , 𝑣𝑛 dimana 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑚 merentang V dan ini tidak mungkin terjadi karena 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑚 tidak berada di dalam rentangan dari 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑚 . kesimpulannya 𝑛 ≤ 𝑚.
Akibat 1.11 Jika V memiliki suatu himpunan terentang yang berhingga, maka sembarang dua basis dari V akan berukuran sama.
Teorema 1.12 Jika V suatu ruang vektor, maka sembarang dua basis dari V akan berukuran sama. Buktinya: Diasumsikan bahwa semua basis untuk V adalah himpunan tak-hingga, jika sembarang basisnya berhingga, maka V memiliki suatu himpunan terentang yang berhingga dan akibat 1.11 akan berlaku. Misalkan ℬ = 𝑏𝑖 𝑖 ∈ 𝐼 adalah suatu basis untuk V, dan misalkan 𝒞 adalah basis lain untuk V. Sembarang vektor 𝑐 ∈ 𝒞 dapat ditulis sebagai suatu kombinasi linier berhingga dari vektor-vektor di ℬ, dimana semua koefisiennya tidak nol, misalkan 𝑐=
𝑟𝑖 𝑏𝑖 𝑖∈𝑈𝑐
Namun karena 𝒞 merupakan suatu basis, maka juga berlaku 𝑈𝑐 = 𝐼 𝑐∈𝒞
Untuk vektor-vektor di 𝒞 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier berhingga dari vektor-vektor di suatu subset sejati ℬ ′ dari ℬ, maka ℬ ′ merentang V, dan kenyataannya bukan seperti ini. Karena 𝑈𝑐 < ℵ0 untuk setiap 𝑐 ∈ 𝒞, Teorema 0.17 mengakibatkan ℬ = 𝐼 ≤ ℵ0 𝒞 = 𝒞
Namun karena berlaku juga untuk kebalikannya dan mengakibatkan 𝒞 ≤ ℬ dan sehingga 𝒞 = ℬ .
Definisi Suatu ruang vektor V adalah berdimensi-hingga jika ia adalah ruang nol {0} , atau ia memiliki suatu basis yang berhingga. Semua ruang vektor selain itu adalah berdimensi-takhingga. Dimensi dari ruang nol adalah 0 dan dimensi dari ruang vektor taknol V adalah kardinalitas dari setiap basis untuk V. Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu basis berkardinalitas 𝜅, maka V disebut berdimensi-𝜿 dan ditulis dim(V) = 𝜅.
Catatan: Jika S adalah suatu subruang dari V, maka dim(S) ≤ dim(V). Dan dim(S) = dim(V) < ∞, maka S = V.
Teorema 1.13 Misalkan V suatu ruang vektor. 1. Jika ℬ adalah suatu basis untuk V dan jika ℬ = ℬ1 ∪ ℬ2 dimana ℬ1 ∩ ℬ2 = ∅, maka 𝑉 = ℬ1 ⨁ ℬ2 2. Misalkan 𝑉 = 𝑆⨁𝑇. Jika ℬ1 adalah suatu basis untuk S dan ℬ2 adalah suatu basis untuk T, maka ℬ1 ∩ ℬ2 = ∅ dan ℬ = ℬ1 ∪ ℬ2 adalah suatu basis untuk V. Bukti: 1. Misal ℬ = 𝑏1 , … , 𝑏𝑘 , 𝑏𝑘+1 , 𝑏𝑛 adalah basis untuk V, ℬ1 = 𝑏1 , … , 𝑏𝑘 dan ℬ2 = 𝑏𝑘+1 , … , 𝑏𝑛 . maka untuk sembarang 𝑣 ∈ 𝑉, 𝛼𝑖 ∈ 𝐹 𝑣 = 𝛼1 𝑏1 + … 𝛼𝑘 𝑏𝑘 + 𝛼𝑘+1 𝑏𝑘+1 … + 𝛼𝑛 𝑏𝑛 sehingga 𝑣 ∈ ℬ1 ⨁ ℬ2 . Misal untuk sembarang 𝑣 ∈ ℬ1 ⨁ ℬ2 , maka
𝑣 = 𝛼1 𝑏1 + … 𝛼𝑘 𝑏𝑘 + 𝛼𝑘+1 𝑏𝑘+1 … + 𝛼𝑛 𝑏𝑛 sehingga 𝑣 ∈ 𝑉. Jadi, 𝑉 = ℬ1 ⨁ ℬ2 .
Teorema 1.14 Misalkan S dan T adalah subruang dari suatu ruang vektor V. Maka dim 𝑆 + dim 𝑇 = dim 𝑆 + 𝑇 + dim(𝑆 ∩ 𝑇) Khususnya, jika T adalah sembarang komplemen dari S pada V, maka dim 𝑆 + dim 𝑇 = dim 𝑉 yaitu, dim 𝑆⨁𝑇 = dim 𝑆 + dim 𝑇 Bukti Misalkan ℬ = 𝑏𝑖 𝑖 ∈ 𝐼 adalah suatu basis untuk 𝑆 ∩ 𝑇. ℬ ini akan diperluas menjadi 𝒜 ∪ ℬ , suatu basis untuk S dimana 𝒜 = 𝑎𝑗 𝑗 ∈ 𝐽 dan ℬ saling lepas. ℬ ini juga akan diperluas menjadi ℬ ∪ 𝒞 , suatu basis untuk S dimana 𝒞 = 𝑐𝑘 𝑘 ∈ 𝐾 dan ℬ saling lepas. Lalu klaim bahwa 𝒜 ∪ ℬ ∪ 𝒞 merupakan suatu basis untuk 𝑆 + 𝑇. Jelas bahwa 𝒜 ∪ ℬ ∪ 𝒞 = 𝑆 + 𝑇. Untuk 𝒜 ∪ ℬ ∪ 𝒞 menunjukkan adalah bebas linier, andaikan 𝛼1 𝑣1 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑣𝑛 = 0 dimana 𝑣𝑖 ∈ 𝒜 ∪ ℬ ∪ 𝒞 dan 𝛼𝑖 ≠ 0 untuk setiap 𝑖. Maka vektor-vektor 𝑣𝑖 di dalam 𝒜 dan 𝒞, karena 𝒜 ∪ ℬ dan ℬ ∪ 𝒞 bebas linier. Memisahkan suku-suku yang melibatkan vektor-vektor dari 𝒜 pada salah satu ruas persamaan menujukkan bahwa terdapat vektor taknol 𝑥 ∈ 𝒜 ∩ ℬ ∪ 𝒞 . Tapi 𝑥 ∈ 𝑆 ∩ 𝑇 dan 𝑥 ∈ 𝒜 ∩ ℬ , mengakibatkan 𝑥 = 0. Terjadi suatu kontradiksi. Sehingga disimpulkan bahwa 𝒜 ∪ ℬ ∪ 𝒞 adalah bebas linier lalu menjadi suatu basis untuk 𝑆 + 𝑇. Sehingga dim 𝑆 + dim 𝑇 = 𝒜 ∪ ℬ + ℬ ∪ 𝒞
= 𝒜 + ℬ + ℬ + 𝒞 = 𝒜 + ℬ + 𝒞 + dim 𝑆 ∩ 𝑇 = dim 𝑆 + 𝑇 + dim 𝑆 ∩ 𝑇 Meskipun persamaan dim 𝑆 + dim 𝑇 = dim 𝑆 + 𝑇 + dim(𝑆 ∩ 𝑇) berlaku untuk seluruh ruang vektor, tapi pernyataan dim 𝑆 + 𝑇 = dim 𝑆 + dim 𝑇 − dim(𝑆 ∩ 𝑇) belum tentu berlaku, kecuali jika 𝑆 + 𝑇 berdimensi-hingga.
Basis Terurut dan Matriks Koordinat
Definisi Misalkan V adalah suatu ruang vektor berdimensi-n. Suatu basis terurut untuk V adalah n-pasangan terurut 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 dari vektor-vektor dimana himpunan 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 adalah suatu basis untuk V. Jika ℬ = 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 adalah suatu basis terurut untuk V, maka untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉 akan terdapat suatu n-pasangan skalar terurut 𝑟1 , … , 𝑟𝑛 yang tunggal dimana 𝑣 = 𝑟1 𝑣1 + ⋯ + 𝑟𝑛 𝑣𝑛 Dari situ dapat didefinisikan pemetaan koordinat 𝜙ℬ : 𝑉 → 𝐹 𝑛 Yaitu 𝜙ℬ 𝑣 = 𝑣 Dimana matriks kolom 𝑣 terurut ℬ. Sehingga jika diketahui 𝑣 ℬ sudah diketahui).
ℬ
ℬ
𝑟1 = ⋮ 𝑟𝑛
disebut sebagai matriks koordinat dari 𝑣 terhadap basis
ℬ
maka otomatis 𝑣 juga diketahui (tentunya diasumsikan
Pemetaan 𝜙ℬ adalah suatu pemetaan yang bijektif dan memenuhi operasi pada ruang vektor sebagai berikut 𝜙ℬ 𝑟1 𝑣1 + ⋯ + 𝑟𝑛 𝑣𝑛 = 𝑟1 𝜙ℬ 𝑣1 + ⋯ + 𝑟𝑛 𝜙ℬ 𝑣𝑛 atau 𝑟1 𝑣1 + ⋯ + 𝑟𝑛 𝑣𝑛
ℬ
= 𝑟1 𝑣1
ℬ
+ ⋯ + 𝑟𝑛 𝑣𝑛
ℬ
Bijektif = satu-satu dan pada 𝜙ℬ Satu-satu. Karena untuk sembarang 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 jika 𝜙ℬ 𝑢 = 𝜙ℬ 𝑣 , mengakibatkan 𝑢 ℬ = 𝑣 ℬ , dan karena 𝜙ℬ akan selalu menyatakan koordinat yang tunggal untuk setiap vektor, maka 𝑢 = 𝑣. 𝜙ℬ Pada. Ambil sembarang 𝑣 ℬ ∈ 𝐹 𝑛 , maka pasti akan terdapat 𝑣 ∈ 𝑉 sedemikian hingga 𝜙ℬ 𝑣 = 𝑣 ℬ .
Keterangan Catatan 1: Karena S subruang dari V, maka pasti S ⊂ V atau S = V. Untuk S ⊂ V, maka kardinalitas basis untuk S < kardinalitas basis untuk V, sehingga dim(S) < dim(V). Untuk S = V, maka kardinalitas basis untuk S = kardinalitas basis untuk V, sehingga dim(S) = dim(V).
Bukti teorema 1.12 Misalkan ℬ dan 𝒞 adalah basis untuk V. Karena ℬ adalah suatu basis dan 𝒞 adalah suatu himpunan yang bebas linier, maka teorema 1.10 menunjukkan bahwa 𝒞 ≤ ℬ . Vice versa. Sehingga ℬ = 𝒞 .
