01/09/2015
Persamaan Non Linier
Oleh: Dr. I
MK: METODE NUMERIK
GL Bagus Eratodi FTI Undiknas University Denpasar
Persamaan Non Linier Metode Tabulasi Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant.
1
01/09/2015
Persamaan Non Linier penentuan akar-akar persamaan non linier. Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang
menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.
Persamaan Non Linier
2
01/09/2015
Persamaan Non Linier Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c
adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0
c m Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.
x=-
x12 =
− b ± b 2 − 4ac 2a
Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Tertutup Mencari akar pada range [a,b] tertentu Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen Metode Terbuka Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1 Hasil dapat konvergen atau divergen
3
01/09/2015
Metode Tertutup Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi
Metode Terbuka Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant.
4
01/09/2015
Theorema Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda
atau memenuhi f(a).f(b)<0 Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut:
Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar.
Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.
Metode Table Metode Table atau pembagian
area. Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masingmasing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel :
X x0=a
f(x) f(a)
x1 x2 x3
f(x1) f(x2) f(x3)
…… xn=b
…… f(b)
5
01/09/2015
Metode Table
Contoh Selesaikan persamaan : x+ex
= 0 dengan range x = [− 1,0]
Untuk mendapatkan
penyelesaian dari persamaan di atas range x = [− 1,0] dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :
X
f(x)
-1,0
-0,63212
-0,9
-0,49343
-0,8
-0,35067
-0,7
-0,20341
-0,6
-0,05119
-0,5
0,10653
-0,4
0,27032
-0,3
0,44082
-0,2
0,61873
-0,1
0,80484
0,0
1,00000
6
01/09/2015
Contoh Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara –0,6
dan –0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x=-0,6. Bila pada range x = [− 0,6,−0,5] dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan F(x) = 0,00447
Kelemahan Metode Table Metode table ini secara umum sulit mendapatkan
penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.
7
01/09/2015
Metode Biseksi Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area
dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
8
01/09/2015
Metode Biseksi Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas
bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian dihitung nilai tengah : x= a + b 2
Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara
matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0
Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas
atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.
Algoritma Biseksi
9
01/09/2015
Contoh Soal Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan
menggunakan range x=[-1,0], maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :
Contoh Soal Dimana x =
a
+ 2
b
Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errorny) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.
10
