PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdinintya Athari
2
PERSAMAAN DIFERENSIAL Definisi
•
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
•
Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).
Contoh:
y ' cos x,
•
y " 9 y e
2 x
,
y'y"' 3 y' 0 2
Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.
Contoh : 2u x 2 [MUG1B3] KALKULUS II
2u y 2
0 16-Mar-15
3
PERSAMAAN DIFERENSIAL [2] •
Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunan yang bersifat linear.
•
Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut an(x) y(n) + an-1(x) y(n-1) + … + a0(x) y = f(x) dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah koefisien PD.
•
Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.
•
Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB
[MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
4
CONTOH (1)
dN = kN , N = N(t) , orde 1 dengan N peubah tak bebas dan t peubah bebas, linier, homogen dt
(2) y ’ + 2 cos 2x = 0 , orde 1 dengan y peubah tak bebas dan x peubah bebas, linier, tidak homogen
(3) y” + ex y’ + sin (xy) = ex sin x , orde 2, tidak linier, tidak homogen (4) x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , orde 2, tidak linier, homogen
[MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
5
SOLUSI • Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas. • Solusi umum dan solusi khusus Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
[MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
6
CONTOH (1) y = cos x + c
solusi umum
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena (cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
(2) y = cos x + 6
solusi khusus
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena (cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
[MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
7
PDB ORDE 1
[MUG1B3] KALKULUS II
•
PDB terpisah
•
PDB dengan koefisien fungsi homogen
•
PDB Linier
16-Mar-15
8
PDB TERPISAH PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruas Contoh : tentukan solusi umum PD
[MUG1B3] KALKULUS II
1.
(x ln x) y' = y
2.
y ' x3 e y , y(2) = 0
16-Mar-15
9
CONTOH
1. Jawab: (x ln x) y' = y
dy x ln x y dx dy dx y x ln x
dy dx y x ln x
ln y ln c2 ln x
y cln x
dengan c c2
Jadi solusi umum PD tersebut adalah
y cln x
ln y ln ln x c1
ln y ln ln x ln c2 [MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
10
2. Jawab: y' = x3 e-y
dy x 3e y dx dy 3 x dx y e
Diketahui y(2) = 0, sehingga
y 3 e dy x dx
Jadi solusi khusus PD tersebut
1 4 e x c 4 y
[MUG1B3] KALKULUS II
1 4 y ln x c 4
CONTOH
1 0 ln (2) 4 c 4 1 4 c c 3 adalah
1 2 y ln x 3 4 16-Mar-15
11
LATIHAN
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
dy x2 dx 1 y 2
5.
y' (1 2y)(1 x 2 2x 3 )
2.
dy 3x 2 4x 2 dx 2(y 1)
6.
y' 2(1 x)(1 y 2 ), y(0) 0
3.
x2 y' y(1 x 3 )
7.
1.
4.
[MUG1B3] KALKULUS II
y' 1 x y 2 xy 2
8.
dy y cos x , 2 dx 1 2y
(1 e x )
y(0) 1
dy e x y 0, y(0) 1 dx
16-Mar-15
12
FUNGSI HOMOGEN • Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang
• Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak ! 1. A(x,y) = x + y A(kx,ky) = kx + ky = k (x + y) = k A(x,y) Maka A(x,y) = x + y adalah fungsi homogen dengan derajat 1 2. A(x,y) = x2 + xy A(kx,ky) = k2x2 + kx ky = k2 (x2+xy) = k2 A(x,y) Maka A(x,y) = x2 + xy adalah fungsi homogen dengan derajat 2 [MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
13
PD DENGAN KOEFISIEN FUNGSI HOMOGEN • PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk y'
A( x, y ) B( x, y )
dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen. Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x) dengan
y' u' x u dy du =x +u dx dx
dy = x du + u dx
[MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
14
Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut 1.
y'
CONTOH
x y x
Jawab:
dy x y dx x Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
dy y 1 dx x
x du dx
y ln x c x
x du u dx 1 u x du u dx 1 u dx dx dx dx du u ln x c du x x
y x ln x c x
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah y x ln x c x [MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
15
CONTOH
dy x y 2 2xy 0 , y(1)=1 dx 2
2.
Jawab:
dy y 2 2 xy dy y y 2 dx x2 dx x x 2
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
x du u dx u 2 2u dx
x du u u dx
[MUG1B3] KALKULUS II
2
du u(u 1)
dx x
du dx u2 u x
x du u dx u 2 2u dx
du dx u2 u x
1 1 du u u 1
dx x
ln u ln u 1 ln x ln c 16-Mar-15
16
ln
ln
u ln c | x | u 1
y
y ln c | x | yx
y (1 kx) kx
2
ln
x ln c | x | y 1 x
y c| x| yx
y k ( xy x 2 ); (k c)
kx 2 y 1 kx
Diketahui y(1) = 1, sehingga
1
k 1 k
k
1 2
x2 Jadi solusi khusus PD di atas adalah y 2 x 16
16-Mar-15
17
LATIHAN Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini 1.
2y dx – x dy = 0
2.
dy x 2 3y 2 dx 2xy
3. 4.
[MUG1B3] KALKULUS II
dy y 2 2xy dx x2 dy x 3y dx xy
2 2 dy x xy y 5. dx x2 6. dy 4 x 3y dx 2x y
7.
dy 4y 3x dx 2x y
16-Mar-15
18
PDB LINIER
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : y’+ P(x) y = r(x) disebut PDB linier. Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi P ( x ) dx e
Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh: P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx y 'e P( x) y e r ( x )e '
ye P ( x ) dx r ( x) e P ( x ) dx
Integralkan kedua ruas P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx r ( x) e dx
y
r ( x) e
P ( x ) dx
dx
P ( x ) dx e
Solusi Umum PDB [MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
19
CONTOH
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini 1. xy’ – 2y = x3 ex Jawab:
2 y ' y x 2e x x
(bagi kedua ruas dengan x)
Sehingga diperoleh faktor integrasi:
e
2 dx x
e
2 ln x
e
ln x 2
kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu: '
x 2
1 1 x 1 2 1 x x x y e c y e dx y ' y e y e 2 2 2 x x x2 x3 x y x 2e x c x 2 Jadi solusi umumnya adalah y x 2 e x c x 2
[MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
20
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
CONTOH
2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3 Jawab: Faktor integrasi dari PD di atas adalah: 1dx e ex
kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu: 2 e x y ' e x y e x x 1 (e x y ) ' e x ( x 1) 2 2 e x y e x ( x 1) 2 dx e x y x 1 e x 2( x 1) e x dx
e x y x 1 e x 2( x 1) e x 2e x c 2 x 2 x sehingga y x 1 2 x 1 2 ce y x 1 ce 2
[MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
21
CONTOH (NO. 2 LANJUTAN) Diketahui y(0) = 3, sehingga
3 1 c c 2 Jadi solusi khusus PD di atas adalah
[MUG1B3] KALKULUS II
y x 2 1 2e x
16-Mar-15
22
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
LATIHAN
1. y'2y e x 2. (x 1)y'y x 2 1
3. y'y tan x sec x 2y 2 4. y' x 1 x 1 5. y'2y x 2
6. xy'+ 1+x y=e-x , y(1)=0 7. [MUG1B3] KALKULUS II
sin x y ' 2y cos x sin 2 x, y 2 6 16-Mar-15
23
TRAYEKTORI ORTOGONAL •
Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.
•
Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut: • •
Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y. Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi: 1 y' Df ( x, y) Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari y'
[MUG1B3] KALKULUS II
1 Df ( x, y)
16-Mar-15
24
Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva
y cx
2
CONTOH
Jawab:
Langkah-langkah menentukan TO : 1. Tuliskan
y cx
2
dalam bentuk
c
y cx 2 yaitu: y y y ' 2cx y ' 2 x 2 y ' 2 x x
Kemudian turunkan
y x2
2. TO akan memenuhi PD
1 x y' 2y / x 2y [MUG1B3] KALKULUS II
16-Mar-15
25
CONTOH (LANJUTAN) 3. TO dari y cx 2 adalah solusi dari PD berikut:
x y' 2y
2 ydy xdx
dy x dx 2y
y
2 x y2 c 2
x
x2 y 2 c (ellips) 2 Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola adalah
[MUG1B3] KALKULUS II
y cx 2
x2 y 2 c (ellips) 2 16-Mar-15
26
Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :
[MUG1B3] KALKULUS II
1.
x y c
2
2.
x y c
2
3.
y = cx
2
2
2
2
4.
y xc
5.
4 x2 + y2 = c
LATIHAN
16-Mar-15
