PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN

MATEMATIKA LANJUT

PERSAMAAN DIFERENSIAL

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y” + f(x) y’ + g(x) y = r(x)

( 2- 35)

Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi umum yh(x) dari PD homogen diketahui. PD homogen : y” + f(x) y’ + g(x) y = 0

(2-36)

Kemudian y(x) dibentuk dengan penambahan y yh(x) sembarang solusi termasuk konstanta tak tetapnya. Sehingga

y(x) = yh(x) + y(x)

(2-37)

AGUS R UTOMO, DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO-FAKULTAS TEKNIK-UNIVERSITAS INDONESIA-JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT


Theorema 1 : f(x), g(x) dan r(x) merupakan fungsi kontinyu pada interval I. y(x) merupakan solusi dari PD di atas yang berisikan konstanta yang tetap. y(x) dibentuk oleh dua konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogen) yh(x). Konstanta kedua, tetap,terdapat pada fungsi y(x), yaitu sembarang solusi PD pada interval I. Theorema 2 : Solusi umum dari PD seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaan homogen yh(x) dengan solusi partikular yang tetap (tak berubah-ubah) yP(x). Sehingga

y(x) = yh(x) + yP(x)


(2-38)

MATEMATIKA LANJUT


1. METODE KOEFISIEN TAK TENTU. Bentuk Persamaan Umum : y” + ay’ + by = r(x)

( 2-39 )

⊕ Fungsi r(x) yang merupakan bentuk solusi partikular yP(x) diperoleh dng cara menebak, seperti misalnya : fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari beberapa fungsi. ⊕ r(x) berisikan koefisien tak tentu. ⊕ Turunkan yP sesuai persamaan umum (2-39) di atas. ⊕ Substitusikan yP dan seluruh turunannya ke dalam persamaan (2-39). Tabel 2-1. Metode koefisien tak tentu Bentuk r(x)

Pilihan untuk yP

kepx

Cepx

p

kxn (n=0,1....)

Knxn + kn-1xn-1 +.....+ k1x + k0

0

k cos qx k sin qx

K cos x + M sin x

iq


iq

MATEMATIKA LANJUT


Aturan : ⊕ Bila r(x) merupakan salah satu fungsi seperti dalam tabel, maka pilih bentuk yP yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tentu. Turunan r(x) harus bebas linier pula. ⊕ Bila r(x) merupakan penjumlahan, maka pilih yP yang merupakan penjumlahan fungsi yang sesuai. ⊕ Bila r(x) adalah solusi dari persamaan homogen, maka pilihan dapat dimodifikasi seperti berikut Aturan Modifikasi Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x atau x2 tergantung dari apakah pada kolom 3 berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogen.


MATEMATIKA LANJUT


Contoh-contoh Soal 1. Selesaikan persamaan berikut : y” – 4y’+ 3y = 10e-2x Jawab : Jawab partikular yP Turunan e-2x adalah ke-2x maka yP = ke-2x yP’ = -2ke-2x dan yP”= 4 ke-2x 4ke-2x-4(-2ke-2x ) + 3ke-2x = 10e-2x ; k= 2/3 yP = (2/3)e-2x Jawab homogen yh λ2 - 4λ + 3 = 0 ; λ1 = 3 dan λ2 = 1 yh= k1eλ1x + k2eλ2x = k1e3x+ k2ex Solusi Umum y = y h + yP y = k1e3x + k2ex + (2/3)e-2x AGUS R UTOMO, DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO-FAKULTAS TEKNIK-UNIVERSITAS INDONESIA-JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT


2. Selesaikan y” + 4y = 8x2 Jawab : Jawab homogen : λ2 + 4 = 0 λ1 = p + jq = +j2 ; λ2 = p – jq = -j2 ; p= 0 Solusi umum PD homogen untuk D < 0 : yh = epx[A cos qx + B sin qx] yh = [A cos 2x + B sin 2x] Jawab partikular : Misal 1 : y = kx2 ; y” = 2k 2k + 4 kx2 = 8x2 ; 2k = 0 ; 4k = 8 Gagal, tidak konsisten. Misal 2 : yP = kx2 + Lx + m ; y” = 2k 2k + 4(kx2 + Lx + M) = 8x2 4kx2 + 4Lx +(2k + 4m) = 8x2 dengan metode identifikasi : k=2;L=0;m=1 maka yP = 2x2 + 1 Solusi umum y = yP + yh y = A cos 2x + B sin 2x + 2x2 + 1 AGUS R UTOMO, DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO-FAKULTAS TEKNIK-UNIVERSITAS INDONESIA-JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT


3. Selesaikan y” – y’ – 2y = 10 cos x Jawab : Jawab homogen λ2 - λ - 2 = 0 yh = c1eλ2x + c2 eλ2x yh = c1e2x + c2 e-x Jawab partikular yP = k cos x + m sin x yP’ = -k sin x + m cos x yP” = -k cos x – m sin x (-k cos x – m sin x)-(-k sin x + m cos x)2(k cos x + m sin x) = 10 cos x (-3k – m) cos x + (k-3m) sin x = 10 cos x -3k – m = 10 ; k – 3m = 0 ; k = -3 ; m = -1 yP = -3 cos x – sin x Solusi umum :

y = y h + yP

y = ce2x + ce-x -3 cos x – sin x


MATEMATIKA LANJUT


4. Selesaikan : y” – 3y’+ 2y = 4x + e3x Jawab : Jawab homogen : yh = c1e2x + c2ex Jawab partikular : yP = k1x +k0 + Ce3x yP’ = k1 + 3Ce3x yP” = 9Ce3x (9Ce3x)-3(k1 + 3Ce3x)+2(k1x +k0 + Ce3x) = 4x + e3x k1 = 2 ; k0 = 3 ; C = (1/2) yp = 2x + 3 + (1/2) Ce3x Solusi umum : y = c1e2x + c2ex + 2x + 3 + (1/2) Ce3x 5. Selesaikan : y” – 2y’ + y = (D-1)2 = ex + x Jawab : Jawab homogen yh = c1ex +c2xex = (c1x + c2) ex AGUS R UTOMO, DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO-FAKULTAS TEKNIK-UNIVERSITAS INDONESIA-JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT


Jawab partikular Lihat tabel karena akar ganda sehingga

: k 1x + k 0 cx2ex

yp = k1x + k0 + cx2ex

Bila disubstitusikan ke dalam persamaan : yp” – 2yp’ + yp = ex + x maka didapatkan : 2cex + k1x – 2k1 + k0 = ex + x c = ½ ; k 1 = 1 ; k0 = 2 Solusi umum : y = (c1x + c2) ex + ½ x2ex + x + 2


MATEMATIKA LANJUT


SOAL-SOAL LATIHAN 6 Selesaikan PD non homogen berikut ini : 1. y” + 4y = e-x 2. y” + 2y + y = 2x2 3. y” + y – 2y = 3ex 4. y” + y = 2 sin x 5. y” + y’ – 6y = 52 cos 2x 6. y””-5y” + 4y = 10 cos x 7. y” – 2y’ + 2y = 2ex cos x 8. y” + y = x2 + x 9. y” + 5y + 6y = 9x4 – x 10. y” – 2y’ + y = 2x2 – 8x + 4 11. y’’’+ 2y” – y’ – 2y = 1 – 4x3 12. y” – 4 y’ + 9y = 10 e2x – 12 cos 3x 13. y” + 2y’ + 10y = 4.5 cos x – sin x 14. y” + 2y’ + 2y = -2 cos 2x – 4 sin 2x 15. y” + 4y’ + 8y = 4 cos x + 7 sin x


MATEMATIKA LANJUT


2. METODE KOMPLEKS UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PARTIKULAR Bentuk umumnya seperti persamaan (2-35) Contoh : .. . I + I + 2I = 6 cos t (2-40) Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh : IP(t) = 3 cos t + 3 sin t Menurut hukum Euler, ruas kanan pers (240), 6 cos t, adalah komponen nyata (riel), karena : 6 eit = 6 (cos t + i sin t) Sehingga persamaan (2-40) dapat ditulis dengan : ..

.

I + I + 2I = 6 e it

( 2-41)


MATEMATIKA LANJUT


Solusi partikular kompleks dapat dibuat dalam bentuk : Ip*(t) = keit dan

.

I P* =

ikeit

(2-42) ..

I p* = -keit

Bila disubstitusikan ke dalam pers (2-41) : (-1 + I +2) keit = 6 eit

6 k= 1+i

=3–i3

Sehingga solusi umum pers. (2-41) adalah : IP*(t) =(3-i3)eit = (3-i3)(cos t + i sin t) dan komponen nyatanya adalah : IP(t) = 3 cos t + 3 sin t AGUS R UTOMO, DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO-FAKULTAS TEKNIK-UNIVERSITAS INDONESIA-JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT


3. METODE UMUM Bentuk umum PD non homogen y” + f(x)y’ + g(x)y = r(x)

(2-43)

f, g dan r kontinyu pada interval terbuka I Sedangkan bentuk umum PD homogen : y” + f(x)y’ + g(x)y = 0

(2-44)

maka solusi umumnya yh(x) pada interval terbuka I berbentuk : Yh(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) Bila c1 dan c2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi partikular pada interval terbuka I, sbb : yP(x) = u(x) y1(x) + v(x) y2(x)

(2-45)


MATEMATIKA LANJUT


Jika pers. (2-45) diturunkan, hasilnya : yP’ = u’y1 + uy1‘ + v’y2 + vy2’ Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti c1 dan c2, maka : u’y1 + v’y2 = 0

(2-46)

Sehingga yP’ menjadi : yP’ = uy1’+ vy2’

(2-47)

Bila pers.(2-43) diturunkan, hasilnya : yP” = u’y1’+ uy1”+ v’y2’ + vy2” (2-48) Pers.(2-45), (2-47) dan (2-48) disubstitusikan ke dalam pers.(2-43), dan mengumpulkan komponen yang mengandung u dan v : AGUS R UTOMO, DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO-FAKULTAS TEKNIK-UNIVERSITAS INDONESIA-JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT


u(y1”+ fy1’+ gy1) + v(y2”+ fy2’+ gy2) + u’y1’+v’y2’ = r Bila y1 dan y2 merupakan solusi homogen dari pers. (2-44), sehingga terjadi penyederhanaan persamaan, menjadi ; u’y1’+v’y2’ = r Pers. (2-46) :

u’y1 + v’y2 = 0

Sebuah sistem dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang tak diketahui. Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga :

y2 r u' = W dengan

dan

y1 r v' = W

W = y1 y2’ – y1’y2

(2-49) ; W ≠ 0.

W = Bilangan Wronskian dari y1 dan y2 AGUS R UTOMO, DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO-FAKULTAS TEKNIK-UNIVERSITAS INDONESIA-JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT


Dengan integrasi diperoleh :

u = -∫

y2 r dx dan W

v = -∫

y1 r dx W

substitusikan hasil ini ke dalam pers(2-45), sehingga didapatkan :

y p (x) = -y1 ∫

y2 r yr dx + y 2 ∫ 1 dx W W

(2-50)

Contoh : Selesaikan PD berikut ini : y” + y = sec x Jawab : misalkan y1 = cos x dan y2 = sin x Solusi homogen : Bilangan Wronskian : W(y1,y2) = cos x cos x –(-sin x) sinx =1 Solusi partikular : Dari pers. (2-50),

yp = -cos x ∫ sin x sec x dx + sinx ∫ cos x sec x dx AGUS R UTOMO, DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO-FAKULTAS TEKNIK-UNIVERSITAS INDONESIA-JAKARTA

MATEMATIKA LANJUT


yP = cos x ln|cos x| + x sin x maka solusi umumnya adalah : y = yh + yP y = [c1 + ln|cos x|] cos x + (c2 + x) x sin x SOAL-SOAL LATIHAN 7 Selesaikan PD non homogen berikut ini : 1. y” + y = cosec x + x 2. y”+ 9y = sec 3 x 3. y” – 4y’ + 4y = [e2x]/x 4. y” + 2y’ + y = e-x ln x 5. y” + 6y’ – 9y = [e-3x]/[x2 + 1] 6. y” + 2y’ + y = e-x cos x 7. x2y” – 5xy’ + 9 = 3x2 8. x2y” – 4xy’ + 6y = 1/[x2] 9. x2y” – (1-2x)y’ + (6-4x2)y = x2 cos x 10.2x2y” – xy’ – 2y = x3 ex


PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN

Recommend Documents