PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Persamaan Diferensial Biasa (PDB) 1. PDB Tingkat Satu 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan diferensial eksak 1.4. Persamaan diferensial linear tingkat satu
2. Penggunaan Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Satu 2.1. Model matematika 2.2. Berbagai penggunaan persamaan diferensial tingkat satu 3. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Dua 3.1. Persamaan diferensial homogen tingkat dua 3.2. Persamaan diferensial tak homogen tingkat dua
4. Penggunaan Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Dua 4.1. Gerak harmonis sederhana dan pegas spiral 4.2. Rangkaian listrik 5. Pemetaan Laplace 5.1. Pemetaan Laplace dan sifatsifatnya 5.2. Penggunaan pemetaan Laplace pada persamaan diferensial
1.1. Persamaan Diferensial
Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi dan turunanturunannya atau diferensialnya. Definisi: Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi satu peubah dan turunan atau diferensialnya.
Definisi: Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi dua peubah atau lebih dan turunan atau diferensialnya. Definisi: Orde suatu PDB adalah indeks tertinggi dari turunan yang terlibat dalam persamaannya. Definisi: Derajat suatu PDB adalah pangkat tertinggi dari turunan yang terlibat dalam persamaannya.
Definisi: Solusi PDB adalah suatu fungsi atau keluarga fungsi yang memenuhi persamaannya. Definisi: Solusi Umum PDB adalah suatu keluarga fungsi yang memuat beberapa parameter dan memenuhi persamaannya. Definisi: Solusi Khusus PDB adalah suatu fungsi yang merupakan anggota dari keluarga fungsi solusi umumnya.
METODE PEMISAHAN PEUBAH DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN
Metode pemisahan peubah digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa y’ = f(x,y), yang dengan manipulasi aljabar dapat ditulis dalam bentuk p(x) dx + q(y) dy = 0. Dengan mengintegralkan kedua ruas, maka di-peroleh solusi umum persamaan diferensialnya, yaitu: P(x) + Q(Y) = C.
METODE PEMISAHAN PEUBAH DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN
Jika PDB y’ = f(x,y) dapat ditulis sebagai p(x) dx + q(y) dy = 0, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan
metode pemisahan peubah.
Persamaan Diferensial Homogen Berordo Satu
Definisi: Fungsi z = f(x,y) dikatakan fungsi homogen berderajat-n, n bilangan Cacah, jika t R berlaku f f(tx,ty) = t nf (x,y). Persmaan berbentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 atau M ( x, y) f ( x, y) t 0 f ( x, y) N ( x, y)
disebut persamaan diferensial homogen ordo satu jika M dan N adalah fungsi homogen yang berderajat sama, atau f fungsi homogen berderajat nol.
Cara penyelesaian: Gunakan substitusi z = y/x Dengan substitusi ini, persamaan diferensialnya akan menjadi suatu persamaan diferensial peubah terpisah. Dari y’ = f(x,y), dengan fungsi f homogen berderajat nol, dengan mengambil t = 1/x, x 0 dan z = y/x diperoleh dy dz f(x,y) = f(1,y/x) = f(1,z) dan x z
dx
dx
Substitusikan ke persamaan diferensialnya, diperoleh dz x f (1, z ) z dx
dz f (1, z ) z
dz dx atau f (1, z ) z x
dx x
1.3. Persamaan Diferensial Eksak
Definisi: Pers.dif.yang berbentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut eksak jika terdapat fungsi z = F(x,y), sehingga dz = dF(x,y) = M(x,y) dx + N(x,y) dy Teorema: Misalkan fungsi M, N, MY, NX kontinu pada daerah D. Maka Pers.dif. M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 , (x,y) D disebut eksak , jika dan hanya jika MY = NX
Penyelesaian persamaan diferensial Eksak
Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 PD eksak, maka Fx= M dan Fy = N. Sehingga
F ( x, y) M ( x, y)dx P( x, y) C ( y) dan Fy ( x, y) M ( x, y)dx Py ( x, y) C ( y) N ( x, y) '
sehingga C ( y) [ N ( x, y) Py ( x, y)]dy. F(x,y) dapat juga dicari dengan cara mengintegralkan N(x,y) terhadap y.
Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 PD tidak eksak, yaitu My Nx , kita dapat mencari fungsi u(x,y), sehingga u M dx + u Ndy = 0 menjadi PD eksak, yaitu (uM)y=(uN)x.. Fungsi u(x,y) disebut faktor penginteg- ralan. Jika
1 (M y N x ) N
fungsi dari x saja,
maka fungsi u(x) selalu dapat dicari, yaitu:
u ( x) e
1 ( M y N x ) dx N
Jika
1 (M y N x ) M
fungsi dari y saja,
maka fungsi u(y) selalu dapat dicari, yaitu:
u( y) e
1 ( M y N x ) dy M
Faktor pengintegralan suatu PD tak eksak tidak tunggal, tapi banyak.
Persamaan Diferensial linear ordo satu
Bentuk umum A(x) y’ + B(x)y = C(x), A(x) 0 atau y’ + p(x)y = q(x), p, q kontinu pada Dp Dq Solusi Umum: y e P ( x ) e P ( x ) q( x) dx C , P( x) p( x) dx p ( x ) dx faktor e
disebut faktor integrasi.
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR Definisi: Suatu persamaan diferensial linear orde n adalah persamaan yang berbentuk an x y n an1 x y n1 ... a1 x y a0 x y f x . (1)
Kita selalu misalkan bahwa koefisien-koefisien dan fungsi f(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada selang I dan bahwa koefisien pertama untuk setiap . Selang I disebut selang definisi (selang asal) dari persamaan diferensial itu. Jika fungsi f identik dengan nol, kita sebut Persamaan (1) homogen. Jika f(x) tak identik nol, Persamaan (1) dikatakan sebagai persamaan diferensial linear adalah tetap, Persamaan (1) dikatakan sebagai persamaan diferensial linear dengan koefisien konstanta, di lain pihak, adalah persamaan diferensial dengan koefisien-koefisien peubah.
Contoh-contoh persamaan diferensial linear :
xy 2 y x 3 , x 0
2
y 2 y 3 y cos x
3
y 4 y 0
4
Persamaan (2) adalah suatu persamaan diferensial linear takhomogen orde 1 dengan koefisien konstanta. Persamaan (3) adalah persamaan diferensial linear takhomogen orde 2 dengan koefisien konstanta. Persamaan (4) adalah persamaan diferensial linear homogen orde 4 dengan koefisien konstanta. Istilah linear berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persamaan diferensial itu, peubah-peubah berderajat satu atau nol.
Contoh persamaan-persamaan diferensial taklinear: y y 2 sin x
y yy x y sin y 0.
Persamaan diferensial yang pertama adalah taklinear 2 y karena suku , yang kedua karena suku yy’, dan yang ketiga karena suku
sin y y y 3 3! y 5 5! ....
