1
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).
Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.
2
Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear. Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut dengan
adalah koefisien PD.
Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.
Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB 3
(1)
dN = kN , N = N(t) , PDB orde 1 dimana N peubah tak dt bebas, t peubah bebasnya
(2) y ’ + 2 cos 2x = 0 , PDB orde 1 dimana y peubah tak bebas, x peubah bebasnya (3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , PDB orde 2 (4) x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , PDB orde 2
4
Solusi PDB adalah suatu fungsi y = f (x), jika disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas. Solusi umum dan solusi khusus Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
5
(1) y = cos x + c
solusi umum
Persamaan Diferensial y ’ + sin x = 0 Karena (cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
(2) y = cos x + 6 solusi khusus Persamaan Diferensial y ’ + sin x = 0 Karena (cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
6
PDB dengan variabel terpisah PDB Linear PDB dengan koefisien fungsi homogen
7
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB dengan variabel terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruas g ( y) dy f ( x) dx Contoh : 1. tentukan solusi umum PD
dy x3 dx
dy 3 x3 dy x3dx dy x dx dx
y
1 4 x C 4
8
2. tentukan solusi umum PD
( x ln x) y ' y
Jawab:
( x ln x) y ' y
ln y ln cln x
dy x ln x y dx dy dx y x ln x
y cln x
dy dx y x ln x
Jadi solusi umum PD tersebut adalah
y cln x
ln y ln ln x ln c
9
3. Tentukan Solusi Khusus dari y ' x3e y ; y(2) 0
dy x 3e y dx
dy 3 x dx y e y 3 e dy x dx
1 4 e x c 4 y
1 4 y ln x c 4
Diketahui y(2) = 0, sehingga
1 0 ln (2) 4 c 4
1 4 c c 3 Jadi solusi khusus PD tersebut
adalah
1 4 y ln x 3 4 10
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
1.
2.
dy x2 dx 1 y 2
dy e2 x 3 dx 4 y
5.
y ' (1 2 y)(1 x 2 2 x3 )
6.
y ' 2(1 x)(1 y 2 ), y(0) 0
3.
x2 y' y (1 x3 )
7.
dy y cos x , y(0) 1 2 dx 1 2 y
4.
y ' 1 x y 2 xy 2
8.
(1 e x )
dy x e y 0, y(0) 1 dx
11
PDB linear adalah PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : y ' P( x) y r ( x)
Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral
P ( x ) dx e
P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx y 'e P( x) ye r ( x)e P ( x ) dx P ( x ) dx ( ye ) ' r ( x) e
Integralkan kedua ruas terhadap x P ( x ) dx P ( x ) dx ye e r ( x)dx c
Solusi Umum PDB linear : y e h eh r ( x)dx c ; h P( x)dx
12
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
1. xy ' 2 y x3e x Jawab:
2 y ' y x 2e x (bagi kedua ruas dengan x) x 2 2 P( x) h( x) dx 2ln x x x
y e h
e
ln x 2
h e r ( x)dx c
e
ln(x 2 )
.x 2e x dx c x 2
x e dx c
Jadi solusi umumnya adalah y x e c x 2 x
2
13
2. y ' y ( x 1)2 ; y(0) 3 Jawab:
P( x) 1 h( x) 1dx x
y e h
e x e
x
e x
e ( x 1) dx c h e r ( x)dx c
x
x 1
2
2
e x 2( x 1) e x dx
(dengan integral parsial)
x 1 e x 2( x 1) e x 2e x c 2
y x 1 2x 1 2 ce x 2
y x2 1 ce x
y(0) 3 3 1 c c 2 Sehingga SK : y x 2 1 2e x
14
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini: 1. y'2 y e x
2. ( x 1) y' y x 2 1
3. y' y tan x sec x
4. y'
2y 2 x 1 x 1
5. y'2 y x 2
6. xy ' 1 x y e x , y(1) 0 7. y ' e2 x 3 y ; y(0) 1 8. sin x y ' 2 y cos x sin 2 x, y 2 6 15
Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak ! 1. A(x,y) = x + y A(kx,ky) = kx + ky = k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1 2. A(x,y) = x2 + xy A(kx,ky) = k2x2 + kx ky = k2 (x2+xy) = k2 A(x,y) A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2
16
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk
y'
A( x, y ) B ( x, y )
dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen. Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x) dengan
y' u' x u dy du +u =x dx dx dy = x du + u dx
17
Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut 1. y '
x y x
Jawab: dy x y dx x
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx dy y 1 dx x
x du dx
y ln x c x
x du u dx 1 u x du u dx 1 u dx dx dx dx du du u ln x c x x
y x ln x c x
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah y x ln x c x 18
dy y 2 2 xy 0 , y(1)=1 2. x dx 2
Jawab:
2
dy y 2 2 xy dy y y 2 dx x2 dx x x
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx x du u dx u 2 2u dx
x du u u dx 2
du u(u 1) ln x ln c
du dx u2 u x
x du u dx u 2 2u dx
du dx u2 u x
1 1 u u 1 du ln cx
ln u ln u 1 ln cx
19
u ln ln cx u 1 y ln cx ln yx cx 2 y 1 cx
y x ln cx ln y 1 x
y cx yx
y(1 cx) cx
2
Diketahui y(1) = 1, sehingga 1
c 1 c
c
1 2
x2 Jadi solusi khusus PD di atas adalah y 2 x 20
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
1. 2y dx – x dy = 0 2.
3. 4.
dy x 2 3 y 2 dx 2 xy dy y 2 2 xy dx x2 dy x 3 y dx x y
21
Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain. Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:
◦ ◦
Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y. Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi: 1 y'
Df ( x, y )
Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari y'
1 Df ( x, y ) 22
Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva y cx
2
Jawab:
Langkah-langkah menentukan TO :
y 1. Tuliskan y cx dalam bentuk c 2 x 2 Kemudian turunkan y cx yaitu: y y y' 2cx y ' 2 x 2 y ' 2 x x 2
2. TO akan memenuhi PD
1 x y' 2y / x 2y
23
2 y cx 3. TO dari adalah solusi dari PD berikut: y
y'
x 2y
2 ydy xdx
dy x dx 2y
2 x y2 c 2
x
x2 y 2 c (ellips ) 2 2 y cx Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola x2 adalah y 2 c (ellips ) 2
24
Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut : 1.
x2 y 2 c2
4.
y xc
2.
x y c
5.
4 x2 + y2 = c
3.
2
2
2
y = cx
25
Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien. Jika r(x) = 0, maka Persamaan Diferensial diatas disebut homogen, sebaliknya disebut non homogen. Persamaan Diferensial Biasa linier orde dua homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk umum : y + ay + by = 0 dimana a, b merupakan konstanta sebarang.
26
Solusi dari PDB Orde Dua Homogen
ay ' 'by 'cy 0 adalah:: adalah
y C1 y1 C2 y2 dimana C1, C2 konstanta, dan
y1 , y2
solusi basis. 27
disebut solusi basis jika
bebas linear.
disebut bebas linear jika W (Wronskian)≠0.
28
ay ' 'by 'cy 0 Buat Persamaan Karakteristik (PK):
a b c 0 2
Ada 3 kemungkinan akar dari PK : 1. Dua akar real berbeda (Diskriminan > 0)
1 2 Solusi umum PD:
y C1e
1 x
C2e
2 x
29
2. Dua akar real kembar (Diskriminan = 0)
1 2
y C1e
Solusi umum PD:
x
C2 xe
x
3. Akar kompleks konjugate (Diskriminan < 0)
12 i Solusi umum PD:
y e x (C1 cos x C2 sin x) 30
ay ' 'by 'cy 0 Jika PD ini mempunyai akar real berbeda, 1
maka
y1 e
1 x
, y2 e
2 x
2
adalah solusi basis.
Bukti:
31
1. Tentukan solusi umum dari PD y '' 5 y ' 6 y 0 Jawab: PK :
2 5 6 0 ( 3)( 2) 0
(solusi basis)
1 3 ; 2 2 Solusi Umum :
y C1e 32
3 x
(solusi basis)
C2 e
2 x
2. Tentukan solusi umum dari PD y '' 6 y ' 9 y 0 Jawab: PK :
2 6 9 0 ( 3)2 0
1 2 3 Solusi Umum :
y C1e 33
3 x
C2 xe
3 x
3. Tentukan solusi umum dari PD
y '' 4 y 0
Jawab: PK :
2 4 0
0
12 2i
Solusi Umum :
2
y C1 cos 2 x C2 sin 2 x 34
Bentuk umum: dengan r(x) 0
ay + by + cy = r(x) … *)
Solusi total : y = yh + yp dimana yh = solusi PD homogen yp = solusi PD non homogen Menentukan yp : 1. Metode koefisien tak tentu 2. Metode variasi parameter
35
Pilih yp yang sesuai dengan
r(x), substitusikan ke PD (*)
a. Kasus khusus
r(x)
No 1. 2. 3. 4.
yp
Cex
x
Ke
Kn x n Kn 1x n 1 ... K0
K cos x ,
K sin x
An x n An1 x n1 ... A0
Acos x B sin x
Kex cos x , Kex sin x ex ( A cos x B sin x) 36
y' '3 y'2 y e4 x
1.Tentukan Solusi Umum dari Jawab: Persamaan karakteristiknya:
2 3 2 0 ( 2)( 1) 0
2 ; 1 Jadi solusi homogennya adalah Solusi Umum :
y yh y p
Selanjutnya tentukan
yp 37
yh C1e2 x C2e x
Pilih
y p Ce
y p ' 4Ce
4x
4x
y p ' ' 16Ce
4x
Substitusikan ke PD soal
16Ce 3.4Ce 2Ce e 4x
4x
4x
4x
e4 x (16C 12C 2C ) e4 x
6C 1 C 1 / 6 1 4x Jadi yp e 6 1 4x 2x x y C1e C2e e Sehingga SU : 6 38
2. y” – 3y’ + 2y = cos x
Jawab: Solusi PD Homogen yh = C1 e2x + C2 ex Untuk yp dipilih yp = A cos x + B sin x yp’ = - A sinx + B cos x yp” = - A cos x – B sin x Kemudian substitusi ke ke PD semula: (-A cos x – B sin x)–3(-A sin x + B cos x)+2(A cos x +B sin x)= cos x (-A-3B+2A) cos x + (-B+3A+2B) sin x= cos x (-3B + A) cos x + (3A+B) sin x= cos x
-3B + A = 1 dan 3A+B= 0 39
Didapat
A = 1/10 dan B = -3/10
Jadi solusi umum PD di atas adalah
40
b. Jika r(x) merupakan solusi basis PD homogen, maka kalikan yp dengan
x (atau x 2
, jika akar PK PD
Homogen kembar).
Contoh : 1. Tentukan Solusi Umum dari y '' 3 y ' 2 y
ex
Jawab : PK PD homogen :
2 3 2 0 ( 2)( 1) 0
1 2 ; 2 1 Sehingga 1/30/2016
yh C1e2 x C2e x 41
y1 e 2 x
y2 e x
Karena r(x)=solusi basis PD homogen, maka x x x y Cxe y ' C ( e xe ) pilih p p
Substitusi ke soal
y p '' C (e x e x xe x ) C (2e x xe x )
C (2e xe ) 3C (e xe ) 2Cxe e x
x
x
x
e (2C Cx 3C 3Cx 2Cx) e x
x
x
x
C 1 C 1 x y xe Jadi p 2x x x y y C e C e xe Sehingga Solusi Umum: h p 1 2 1/30/2016
42
2. Tentukan solusi khusus dari y” – 3y’ + 2y = ex, y(0)=1, y’(0)=-1 Jawab:
Persamaan karakteristiknya:
2 3 2 0 ( 1)( 2) 0
1 1 ; 2 2 Jadi solusi PD homogennya :
yh C1e x C2 e2 x 43
y p Axe x y p ' Ae x Axe x , y p '' Ae x Ae x Axe x y p '' 2 Ae x Axe x Kemudian substitusi ke PD semula: 2Aex+Axex – 3 (Aex + Axex) + 2 Axex = ex -A ex = ex A = -1 Jadi solusi umum PD di atas adalah y = C1e2x + C2ex – xex 44
Kita punya y(0)=1 dan y’(0)=-1 y = C1 e2x + C2 ex – x ex 1=C1+C2 y’ = 2C1e2x + C2ex – ex – xex 0=2C1+C2 Didapat C1=-1, dan C2 = 2
Jadi solusi khusus PD di atas adalah y = – e2x + 2 ex – x ex 45
1. Tentukan Solusi umum dari PD berikut
a. y '' 3' 2 y cos x
i. y '' 4 y ' 4 y e 2 x
b. y '' 9 y x 2
j. y '' 3 y ' 4 y 3x 2 2
c. y '' 3 y ' 4 y 3 x 2 2
k . y '' 9 y sin 3 x e 2 x
d . y '' 3 y ' 4 y e 2 x
l. y '' y ' e x 3x
e. y '' 4 y 2sin x
m. y '' 6 y ' 9 y 18cos 3 x
f . y '' 4 y 2 cos 2 x
n. y '' 2 y ' 3 y 8e3 x cos 2 x
g . y '' 2 ' 3 x 2
o. y '' 4 y ' 3 y 8e 3 x e3 x
h. y '' 4 y ' 4 y 9 cosh x
p. y '' 4 y 8 x 2
2
1/30/2016
46
2. Tentukan Solusi Khusus dari PD berikut
a. y '' y ' 2 y 3e 2 x ; y (0) 0 , y '(0) 2 b. y '' 4 y ' 3 y 10e
2 x
c. y '' 3 y ' 2 y e e 4x
; y (0) 1 , y '(0) 3 3x
; y (0) 1 , y '(0) 2
d . y '' 4 y 4sin x ; y (0) 4 , y '(0) 0 e. y '' 5 y ' 6 y e
2x
; y (0) 1 , y '(0) 0
f . y '' y ' 2 y 10sin x ; y ( ) 3 , y '( ) 1 2 2 1/30/2016
47
Metoda ini digunakan sebagai alternatif untuk mencari solusi PD non homogen (yp) yang tidak dapat diselesaikan dengan metoda koefisien tak tentu.
ay' 'by'cy r ( x)
Misalkan
y p uy1 vy2 y1 , y2
1/30/2016
(1)
(2)
solusi basis PD homogen
48
y p u ' y1 uy1 ' v ' y2 vy2 ' Pilih
u ' y1 v ' y2 0
Sehingga
(3)
y p ' uy1 ' vy2 '
(4)
y p '' u ' y1 ' uy1 '' v ' y2 ' vy2 ''
(5)
Substitusikan (2),(4),(5) ke (1)
a(u ' y1 'uy1 ' 'v' y2 'vy2 ' ' ) b(uy1 'vy2 ' ) c(uy1 vy2 ) r ( x) 1/30/2016
49
u(ay1 ' 'by1 'cy1 ) v(ay2 ' 'by2 'cy2 ) =0
=0
u' y1 'v' y2 ' ) r ( x) Jadi u ' y1 ' v ' y2 ' r ( x)
(6)
Dari (3) dan (6) tentukan u dan v
u ' y1 v ' y2 0 u ' y1 ' v ' y2 ' r ( x) 1/30/2016
50
Dengan aturan Cramer diperoleh
0
y2
r ( x ) y2 ' u' y1 y2 y1 '
y2 '
y1
0
y2 r ( x ) u dx W
y1 ' r ( x) y1 r ( x) v' v dx , y1 y2 W y1 ' y2 '
1/30/2016
W
51
y1
y2
y1 '
y2 '
Contoh 4x y ' ' 3 y ' 2 y e 1. Tentukan solusi umum dari PD
Jawab: PK PD homogen :
2 3 2 0 ( 2)( 1) 0
1 2 y1 e
2x
2 1 y2 e x yh C1e C2e Solusi non homogen, pilih : y p uy1 vy2 2x
Solusi homogen :
W 1/30/2016
e2 x
ex
2e2 x
ex
52
x
e3 x 2e3 x
e3x
y p uy1 vy2 y2 r ( x) u dx W
y1r ( x) v dx W
e x .e4 x dx 3x e 1 2x 2x e dx e 2 e2 x .e4 x dx 3x e 1 3x e dx e 3 3x
1/30/2016
53
y p uy1 vy2 1 2 x 2 x 1 3x x 1 4 x y p e .e e .e e 2 3 6 Sehingga solusi umum
y yh y p 1 4x C1e C2 e e 6 2x
x
54
2. y '' y tan x Jawab: Persamaan karakteristiknya:
1 0 1 i ; 2 i 2
y1 cos x ; y2 sin x Jadi solusi homogennya adalah Untuk yp dipilih
W 1/30/2016
y1
y2
y1 '
y2 '
yh C1 cos x C2 sin x
y p uy1 vy2
cos x
sin x
sin x cos x
1 55
2 1 cos x sin x tan x sin x dx u dx dx cos x 1 cos x 2
(sec x cos x) dx sec x dx cos x dx
ln sec x tan x sin x
cos x tan x v dx sin x dx cos x 1
56
Sehingga didapat
y p ln sec x tan x cos x sin x cos x sin x cos x ln sec x tan x cos x Jadi solusi umum PD tersebut
y yh y p y C1 cos x C2 sin x ln sec x tan x cos x
1/30/2016
57
Tentukan solusi umum dari PD
a. y '' y csc x 2e 2 x b. y '' 4 y ' 5 y sin x c. y '' y cot x d . y '' 9 y sin x e 2 x 2 x e e. y '' 4 y ' 4 y 2 xx e f . y '' 2 y ' y 1 x2
58