PERLUASAN HARNACK DAN SIFAT CAUCHY INTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA RUANG EUCLIDE ¡ n Solikhin Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang e-mail :
[email protected] Abstract. In this paper we study Henstock-Dunford integral on the Euclidean space ¡ n . We discuss some properties of the integrable. We prove the Harnack Extension theorems and the Cauchy extension theorems for Henstock-Dunford integral on the Euclidean space ¡ n . Keyword : Henstock-Dunford integral, Harnack extension and Cauchy extension.
1. PENDAHULUAN Sejak diperkenalkan oleh Ralph Henstock pada tahun 1960-an, yang merupakan pengintlakan dari integral Riemann, integral Henstock telah mengalami perkembangan baik dari segi teori maupun aplikasinya [1], [4], [6]. berdasarkan kajian tentang integral Henstock banyak sifat-sifat yang telah diungkap baik dalam ruang real ¡ [2], [7] maupun ruang Euclide ¡ n [5]. Dunford mendefinisikan integralnya pada fungsi terukur lemah f dari ¡ n ke ruang Banach X ( X * ruang dualnya) dan untuk setiap x* Î X * fungsi bernilai real x* f terintegral Lebesgue. Integral ini dikenal dengan integral Dunford [10]. Kajian integral Dunford telah diperluas ke dalam integral tipe Riemann (integral Henstock) pada ruang ¡ , yaitu dengan mendefinisikan fungsi bernilai realnya x* f terintegral Henstock. Hasilnya dikenal dengan integral Henstock-Dunford pada ruang ¡ [3]. Penelitian selanjutnya, integral Henstock-Dunford pada ruang ¡ digeneralisasi ke dalam ruang Euclide ¡ n [9]. Pembahasannya meliputi sifat-sifat sederhana dan beberapa teorema kekonvergenan [9]. Berdasarkan uraian tersebut, penulis akan meneliti sifat-sifat lebih lanjut dari integral Henstock-Dunford pada ruang Euclide ¡ n . Sifat-sifat ini digeneralisasi dari integral Henstock pada ruang real ¡ . 8
2. INTEGRAL HENSTOCKDUNFORD PADA RUANG EUCLIDE ¡n Pada tulisan ini, dibahas definisi integral Henstock-Dunford pada ruang Euclide ¡ n , sifat-sifat sederhana, dan fungsi primitifnya mengacu pada [9]. Definisi 2.1 [9] Diberikan X ruang Banach dan X * ruang dualnya, volume- a pada ¡ n dan sel E Ì ¡ n . Fungsi f : E ® X dikatakan terintegral Henstock -Dunford pada E jika untuk setiap x* Î X * fungsi x* f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A Ì E terdapat vektor x(**f , A,a ) Î X ** sehingga
x(**f , A,a ) ( x* ) = ( H ) ò x* f .
Selanjutnya vektor
A ** ( f , A,a )
x
Î X ** di atas
disebut nilai integral Henstock-Dunford fungsi f pada A dan ditulis
x(**f , A,a ) = ( HD ) ò f . A
Jika f terintegral Henstock-Dunford pada E , ditulis f Î HD ( E , a ) . Teorema 2.2 [9] Jika f Î HD( E , a ) maka f Î HD( A, a ) untuk setiap sel bagian AÌ E. Bukti : Jelas berdasarkan definisi. ■
Jurnal Matematika, Vol 16, No. 1, April 2013 : 8 - 12
Definisi 2.3 [9] Diberikan f Î HD( E , a ) dan I ( E ) koleksi semua sel bagian di dalam E . Fungsi F : I ( E ) ® X dengan rumus F ( A) = x(**f , A,a ) = ( HD ) ò f A
dan F (Æ ) = 0 , untuk setiap A Î I ( E ) disebut fungsi primitif-HD fungsi f . Berdasarkan Definisi 2.3 maka fungsi F merupakan fungsi aditif. Teorema 2.4 [9] Jika f Î HD( E , a ) dengan F sebagai primitif-HDnya maka F merupakan fungsi aditif pada E . Bukti : Fungsi f Î HD( E , a ) berarti untuk setiap
( x ) = ( H ) ò x f dan
** ( f , B ,a )
( x ) = ( H ) ò x* f .
x
*
*
B
Dengan demikian diperoleh x(**f , A,a ) ( x* ) + x(**f , B ,a ) ( x* ) =
(H )ò x A
= (H )
*
p
*
B
*
x f
=x
Ei0 Ç E 0j = Æ untuk setiap i ¹ j maka
diperoleh
æ p ö F ( E ) = F ç U Ei ÷ è i =1 ø ** = xæ p ö ç f ,U Ei ,a ÷ ç ÷ è i=1 ø ** ( f , E1 ,a )
=x
+ x(**f , E2 ,a ) + ... + x(**f , E ,a ) p = F ( E1 ) + F ( E2 ) + ... + F ( E p ) p
= å F ( Ei ) i =1 p
= å x(**f , Ei ,a ) . ■ i =1
p
*
å x ( f ( x )a ( D ) - F ( D ) ) < e
(x )
untuk setiap x* Î X * . Jadi x(**f , A,a ) + x(**f , B ,a ) = x(**f , AÈ B ,a )
dengan
i =1
partisi Perron d -fine pada A berlaku
AÈ B ** ( f , AÈ B ,a )
E = U Ei
bilangan e > 0 dan x* Î X * terdapat fungsi positif d pada E sehingga jika A Ì E sel dan D = {( Di , xi ) : i = 1, 2,..., p}
f + (H )ò x f
ò
i =1
Selanjutnya berdasarkan Definisi 2.1 maka integral Henstock-Dunford pada E dapat dinyatakan seperti dalam teorema berikut. Teorema 2.6 [9] Fungsi f Î HD( E , a ) jika dan hanya jika terdapat fungsi aditif F : I ( E ) ® X sehingga untuk setiap
*
A
x
i =1
primitif-HDnya,
turut terdapat vektor x(**f , A,a ) Î X ** dan ** ( f , A,a )
p
Bukti : Karena f Î HD( E , a ) dengan F sebagai
x* Î X * fungsi x* f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A Ì E dan sel B Ì E dengan ma ( A Ç B) = 0 berturutx(**f , B ,a ) Î X ** sehingga
p
F ( E ) = å F ( Ei ) = å x(**f , Ei ,a ) .
*
i
i =1 p
atau
åx i =1
*
i
i
atau
f ( xi )a ( Di ) - x* F ( Di ) < e . ■
F ( A) + F ( B) = F ( A È B) . ■ Akibat 2.5 [9] Jika f Î HD( E , a ) dengan sebagai primitif-HDnya dan F E1 , E2 ,..., E p sel-sel di dalam E yang p
tidak saling tumpang-tindih dan E = U Ei i =1
maka
3. PERLUASAN HARNACK DAN SIFAT CAUCHY Berikut ini dibahas perluasan Harnack dan Sifat Cauchy integral HenstockDunford pada ruang Euclide ¡ n . Teorema 3.1 [3], [5], [8] (Ekstensi Harnack) Diberikan X ruang Banach dan X * ruang dualnya, volume- a pada 9
Solikin (Perluasan Harnack dan Sifat Cauchy Integral Henstock-Dunford pada Ruang Euclide
¡ n , sel E Ì ¡ n , dan fungsi Himpunan G merupakan tertutup di dalam E dan { Ei } barisan himpunan sederhana saling tumpang-tindih ¥
UE
i
f :E ®¡ . himpunan i = 1, 2,3,... yang tidak dengan
Jika f Î HD(G, a )
= E -G.
dan
i =1
f Î HD( Ei , a ) untuk setiap i Î ¥ dengan ¥
å(H ) ò x i =1
*
f <¥
Ei
untuk setiap x* Î X * maka f Î HD( E , a ) dan
ì min {d 0 ( x ), d1 ( x ),..., d N ( x )} , ï æN ö ï x Î G È ç U Ei ÷ ïï è i =1 ø d (x ) = í ï min {d 0 ( x ), d N + k ( x )} , ï ¥ ï x Î U Ei , k = 1, 2,... ïî i=N +k
Dengan demikian untuk setiap partisi Perron d -fine D = {( D, x )} pada E diperoleh ( D ) å x* f ( x )a ( D) -
æ ç ( H ) ò x* f + å ( H ) ò x* f ç i>N G Ei è
¥
( HD ) ò f = ( HD ) ò f c G + å ( HD ) ò A
i =1
E
f.
Ei
Bukti : Diberikan bilangan e > 0 sebarang. Karena f Î HD(G, a ) maka terdapat fungsi positif d 0 pada G sehingga untuk setiap partisi Perron d 0 -fine D0 = {( D, x )}
e ( D0 ) å x f ( x )a ( D) - ( H ) ò x f < 4 G
Ei
+
n0
å(D ) å x
sehingga untuk setiap partisi Perron d i fine Di = {( D, x )} pada Ei berlaku
( Di ) å x* f ( x )a ( D) - ( H ) ò x* f Ei
<
e . 4
¥
å ( H ) ò x* f < ¥
i< N
å(H ) ò x
i > n0
<
*
Ei
f
Ei
e e e + + =e . 4 4 2
Hal ini berarti x* f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A Ì E terdapat vektor x(**f , A,a ) Î X ** sehingga x(**f , A,a ) ( x* ) = ( H ) ò x* f + å ( H ) ò x* f . i =1
G
Ei
Dengan kata lain f Î HD( E , a ) dan ¥
x(**f , A,a ) ( x* ) = ( H ) ò x* f + å ( H ) ò x* f i =1
G
Ei
Untuk setiap x Î X . *
*
Ei
maka untuk setiap bilangan e > 0 di atas terdapat bilangan asli n sehingga untuk i > N berlaku
e (H ) ò x f < . å 2 i> N Ei *
Dibentuk fungsi positif d pada E dengan rumus 10
+
f ( x )a ( D) - å ( H ) ò x* f
¥
Kemudian, karena diketahui i =1
*
i
i =1
*
untuk setiap x* Î X * . Karena f Î HD( Ei , a ) untuk setiap i maka untuk bilangan e > 0 di atas dan x* Î X * terdapat fungsi positif d i pada Ei
ö ÷ ÷ ø
£ ( D0 ) å x* f ( x )a ( D) - ( H ) ò x* f
pada G berlaku *
¡n )
Jadi untuk setiap x* Î X * diperoleh ¥
x(**f , A,a ) = ( HD ) ò f c G + å ( HD ) ò f . E
Ekuivalen
i =1
Ei
Jurnal Matematika, Vol 16, No. 1, April 2013 : 8 - 12
¥
( HD ) ò f = ( HD ) ò f c G + å ( HD ) ò A
i =1
E
f .■
Ei
Teorema 3.2 [5], [8] (Sifat Cauchy) Diberikan X ruang Banach dan X * ruang dualnya, volume- a pada ¡ n ,dan sel E Ì ¡ n . Jika f Î HD( E ' , a ) untuk setiap E ' Ì E 0 dan ¥
lim ( HD ) ò f = å ( HD ) ò f
E' ®E
i =1
E'
( HD ) ò f = å ( HD ) ò
*
e . 3
Diketahui bahwa ¥
lim ( HD ) ò f = å ( HD ) ò f ' i =1
ada, berarti untuk setiap bilangan e > 0 dan x* Î X * di atas terdapat bilangan h > 0 sehingga untuk E ' Ì E 0 dengan
a ( E - E ) < h berlaku '
i =1
+ ( H ) ò x* f - å ( H ) ò x* f i =1
E'
Ei
<
Ei
+ ( D" ) å x* f ( x )a ( D) x ÏE '
e e + + ( D " ) x* f ( x ) å a ( D ) 3 3 x ÏE ' 2e e £ + x* f ( x ) * 3 3 x f (x ) +1 £
<e . Hal ini berarti x* f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A Ì E terdapat vektor x(**f , A,a ) Î X ** sehingga x(**f , A,a ) ( x* ) = å ( H ) ò x* f . i =1
e . 3
Untuk sebarang bilangan e > 0 dan x* Î X * di atas, dibentuk fungsi d pada E dengan rumus ìmin {d ' ( x )} , x Î E ' ïï d (x ) = í ìï üï e ' ' ïmin íd ( x ), ý, x Ï E * 3 x f ( x ) + 1 ïþ ïî ïî .
Ei
Jadi f Î HD( E , a ) dan ¥
( H ) ò x* f = å ( H ) ò x* f . i =1
A
( H ) ò x* f - å ( H ) ò x* f E'
E'
¥
Ei
¥
Ei
¥
f ( x )a ( D ) - ( H ) ò x* f <
E'
¥
( D' È D" ) å x* f ( x )a ( D) - å ( H ) ò x* f
Ei
E'
E ®E
=
Ei
x ÎE '
f .
E ' berlaku '
i =1
£ ( D ' ) å x* f ( x )a ( D ) - ( H ) ò x* f
Bukti : Diberikan bilangan e > 0 sebarang dan x* Î X * . Karena f Î HD( E ' , a ) untuk setiap E ' Ì E 0 maka terdapat fungsi positif d ' pada E ' sehingga untuk setiap partisi Perron d ' -fine D' = {( D, x )} pada
(D ) å x
¥
( D ) å x* f ( x )a ( D) - å ( H ) ò x* f i =1
¥
i =1
D ' dan D" berturut-turut partisi yang terkait dengan x Î E ' dan x Ï E ' . Dengan demikian diperoleh
Ei
ada maka f Î HD( E , a ) dan
A
Diambil sebarang partisi Perron d -fine D = D' È D" = {( D, x )} pada E , dengan
Ei
Jadi untuk setiap x Î X diperoleh *
*
¥
( HD ) ò f = å ( HD ) ò A
i =1
f .■
Ei
4. PENUTUP Dari pembahasan di muka diperoleh kesimpulan bahwa perluasan Harnack dan sifat Cauchy pada integral Henstock dapat digeneralisasi untuk integral HenstockDunford pada ruang Euclide ¡ n . Untuk penelitian lebih lanjut, dapat dikaji mengenai sifat-sifat smal Riemann sums 11
Solikin (Perluasan Harnack dan Sifat Cauchy Integral Henstock-Dunford pada Ruang Euclide
fungsi terintegral Henstock-Dunford pada ruang Euclide ¡ n . 5. DAFTAR PUSTAKA [1] Boccuto, A., Skvortsov, A.V. (2004), Henstock-Kurzweil Type Integration of Riesz-Space-Valued Functions and Applications to Walsh Series, Real Analysis Echange, 29(1): 419-439. [2] Gordon, R.A. (1994), The Integral of lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Mathematical Society, USA. [3] Guoju, Ye., Tianqing, An. (2001), On Henstock-Dunford and HenstockPettis Integrals, IJMMS, 25(7): 467478. [4] Heikkila, S. (2011), Monotone Convergence Theorems for HenstockKurzweil Integrable Functions and Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 377(1): 286-295.
12
¡n )
[5] Indrati, Ch. R. (2002), Integral Henstock-Kurzweil di dalam Ruang Euclide Berdimensi-n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. [6] Indrati, Ch.R., Surodjo, Budi. (2000), Aplikasi Integral Henstock-Kurzweil pada Medan Vektor, Lembaga Penelitian UGM, Yogyakarta. [7] Lee P.Y. (1989), Lanzhou Lectures on Henstock Integration, World Scientific, Singapore. [8] Rahman, Hairur. (2005), Integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide ¡ n , Tesis, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. [9] Saifullah. (2003), Integral HenstockDunford pada Ruang Euclide ¡ n , Tesis, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. [10] Schwabik, S., Guoju, Ye. (2004), Topics in Banach Space Integration, Manuscrip in Preparation.
