1
Peramalan Volume Penjualan Total Sepeda Motor di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan dengan Pendekatan Model ARIMAX dan VARX 1
Siti Maghfirotul Ulyah, 2Destri Susilaningrum, 3Suhartono Jurusan Statistika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jalan Arief Rahman Hakim Surabaya 60111 e-mail :
[email protected],
[email protected],
[email protected] Abstrak—Sepeda motor merupakan salah satu alat transportasi yang banyak diminati oleh masyarakat Indonesia. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui karakteristik penjualan total sepeda motor jenis Automatic, Cub, dan Sport di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan, serta mendapatkan model ramalannya untuk tahun 2014. Model yang digunakan adalah model ARIMAX dan VARX. Hasil penelitian menunjukkan bahwa secara umum penjualan total sepeda motor dipengaruhi oleh Hari Raya Idul Fitri dan bulan tahun ajaran baru, serta terdapat siklus musiman. Selain itu, terdapat keterkaitan penjualan sepeda motor antar jenis di kabupaten yang sama, dan juga antar jenis di kabupaten yang berbeda. Hasil ramalan tahun 2014 menunjukkan bahwa masih terdapat kenaikan pada sepeda motor jenis Automaticdan Sport. Sebaliknya, terjadi penurunan pada jenis Cub. Kata Kunci—Penjualan, Sepeda motor, ARIMAX, VARX
I.
I
PENDAHULUAN
ndustri kendaraan roda dua merupakan salah satu industri yang potensial di Indonesia. Penjualan sepeda motor ini diperkirakan masih tumbuh antara 7,5-7,8 persen di tahun 2014 [2]. Tiga jenis sepeda motor yang sedang marak dikalangan masyarakat sekarang ini adalah jenis Automatic, Cub, dan Sport. Pangsa pasar terbesar sepeda motor Indonesia didominasi oleh motor skuter (Automatic) sebesar 63 persen, diikuti motor bebek (Cub) sebesar 23,5 persen, dan sisanya motor Sport sebesar 13,5 persen [5]. Pada tahun 2013, pertumbuhan kendaraan sepeda motor di Jawa Timur mencapai 10,64 persen [6]. Perkembangan industri sepeda motor Jawa Timur yang pesat tersebut diduga akan memiliki prospek yang bagus di masa depan. Oleh karena itu, perlu dilakukan studi mengenai perkembangan penjualan industri sepeda motor di masa depan.Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan merupakan kabupaten yang berada di wilayah Jawa Timur. Kedua kabupaten tersebut merupakan kabupaten di Jawa Timur yang memiliki karakteristik yang hampir sama dan memiliki potensi yang bagus untuk industri ini. Karakteristik tersebut meliputi hasil alam seperti pertanian, dan juga mayoritas penduduk yang beragama islam. Penjualan sepeda motor diduga cenderung naik pada bulan-bulan menjelang dan pasca hari raya Idul Fitri. Hal ini dikarenakan terdapat kebudayaan tertentu seperti adanya THR (Tunjangan Hari Raya) dan kebudayaan untuk mudik atau berkunjung ke sanak saudara. Hal tersebut diduga memberikan pengaruh dalam pola penjualan sepeda motor yang meliputi tren tertentu, variasi musiman atau siklus tertentu. Oleh karena itu, wilayah
tersebut akan menjadi obyek dalam penelitian tugas akhir ini. Hasil dari penelitian ini nantinya diharapkan dapat memberikan manfaat bagi produsen industri sepeda motor di kedua kabupaten tersebut. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui karakteristik penjualan total sepeda motor jenis Automatic, Cub, dan Sport di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan. Selain itu, tujuan utama dari penelitian ini adalah mendapatkan model terbaik untuk meramalkan penjualan sepeda motor di tahun 2014. Model yang digunakan adalah model ARIMAX dan VARX. II.
TINJAUAN PUSTAKA
A. Model Autoregressive Integrated Moving Average with Exogenous Input (ARIMAX) ARIMAX merupakan model ARIMA dengan penambahan variabel tertentu [3]. Dalam penelitian ini, variabel dummy yang digunakan yaitu variabel dummy untuk efek variasi kalender (Hari Raya Idul Fitri), variabel dummy musiman, dan variabel dummy untuk trend deterministik. Model pada persamaan ARIMA musiman dapat dituliskan kembali sebagai berikut [7], Yt
q ( B )Q ( B S ) at P ( B ) p ( B)(1 B) d (1 B S ) D
(1)
S
Model yang pertama dikenal sebagai model ARIMAX dengan tren stokastik yang ditandai dengan implementasi adanya difference non seasonal dan atau seasonal. Model ARIMAX dengan tren stokastik dapat dituliskan sebagai berikut, Yt 1S1,t ... p S p ,t 0Vt ... jVt j
q ( B )Q ( B S ) at p ( B) P ( B S )(1 B)d (1 B S ) D
(2)
Sedangkan model yang kedua adalah model ARIMAX dengan tren deterministik tanpa orde differencing. Model ARIMAX dengan tren deterministik dapat dituliskan sebagai berikut, Yt t 1S1,t ... p S p ,t 0Vt ... jVt j
q ( B ) Q ( B S ) at p ( B ) P ( B S ) D
(3)
dengan S1,t sampai dengan Sp,t merupakan efek musiman, Vt sampai dengan Vt-j merupakan variabel dummy untuk variasi kalender, dan γ merupakan koefisien yang menangkap efek tren. B. Model Vector Input(VARX)
Autoregressive
with
Exogenous
Vector autoregressive (VAR) merupakan generalisasi dari model univariat AR. Model umum untuk VAR(p) adalah sebagai berikut [9], yt Φ1yt 1 ... Φ p yt p at
2 p
y t Φ i y t i a t i 1
Φ( B)y t at
(4) dengan, y t = vektor berukuran m×1dari variabel pada waktu ke t …dengan y t y t μ Φ p = matriks berukuran m×m dari parameter ke p a t = vektor berukuran m×1 dari residual pada waktu ke-t. VARX merupakan model Vector Autoregressive dengan penambahan variabel eksogen, Model untuk VARX(p,s*) dapat dituliskan sebagai berikut, p
s*
i 1
i 0
y t Φi y t i Θ*i xt i at
Φ( B)yt Θ* ( B)xt at
(5)
dengan, Φ( B) I k Φ1 B ... Φ p B yt
((y1t ),..., (ykt ))
at
(a1t ,..., akt ) ( x1t ,..., xrt )
xt
m ,t
indeks i menyatakan lokasi, indeks m menyatakan jenis sepeda motor, dan indeks t menyatakan waktu (bulan). Rincian variabel dalam penelitian ini adalah sebagai berikut, Y1 : Penjualan total sepeda motor AT di Kab. Bojonegoro 1 ,t
pada bulan ke t
Y12 ,t : Penjualan total sepeda motor Cub di Kab. Bojonegoro pada bulan ke t
Y13 ,t : Penjualan total sepeda motor Sport di Kab. Bojonegoro pada bulan ke t : Y21,t Penjualan total sepeda motor AT di Kab. Lamongan pada bulan ke t
Y2 2 ,t : Penjualan total sepeda motor Cub di Kab. Lamongan
p
Θ* ( B) I k Θ1* B ... Θ*s* B s
September 2013 sebagai data training, dan data mulai Oktober 2013-Maret 2014 sebagai data testing. Variabel dalam penelitian ini dinotasikan Yi , dengan
*
pada bulan ke t
Y2 3,t : Penjualan total sepeda motor Sport di Kab. Lamongan
Φi merupakan matriks berukuran k k , sedangkan Θ*i merupakan matriks berukuran k r . C. Identifikasi Model Identifikasi model time series dapat dilakukan dengan membuat plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) untuk model univariat. Kemudian untuk model multivariat dapat dilihat dari Partial Autoregression Matrix Function (MPACF) dan nilai Akaike Information Criterion (AIC) [9]. D. Pemeriksaan Asumsi Pemeriksaan asumsi dilakukan setelah identifikasi model dan estimasi parameter. Hal ini dilakukan untuk mengetahui apakah model tersebut memenuhi asumsi, Asumsi yang harus dipenuhi adalah residual model white noise dan berdistribusi normal (ARIMAX), serta vektor residual model white noise dan berdistribusi multivariat normal (VARX) [9].
pada bulan ke t. Dalam penelitian ini, variabel dummy yang digunakan adalah sebagai berikut, 1. t merupakan variabel tren deterministik. 2. Vt-1 merupakan variabel dummy untuk bulan sebelum hari raya Idul Fitri. 3. Vt merupakan variabel dummy untuk bulan hari raya Idul Fitri. 4. Vt+1 merupakan variabel dummy untuk bulan setelah hari raya Idul Fitri. 5. S1t ,…, S12t merupakan variabel dummy untuk musiman bulanan (Januari-Desember). 6. D1, D2, D3 , D4 merupakan variabel dummy untuk periode waktu tertentu dengan rincian sebagai berikut, a. D1 dan D2 adalah dummy untuk Y1 dan Y2 1 ,t 1 ,t dengan, 1 D1 0 1 D2 0
b.
E. Kriteria Pemilihan Model
| Y Yˆ | 1 n t t n i 1 1 ˆ Yt Yt 2
.
(6)
III. METODOLOGI PENELITIAN A. Sumber Data dan Variabel Penelitian Data yang digunakan dalam penelitiaan ini adalah data sekunder yang diperoleh dari PT.X. Data tersebut meliputi data total market sepeda motor jenis Automatic (AT), Cub, dan Sport di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan. Data tersebut adalah data bulanan mulai Januari 2009-Maret 2014. Dalam penelitian ini data dibedakan menjadi data training dan data testing, Data mulai Januari 2009-
, untuk t yang lain , Nov 2012 t Sept 2013 , untuk t yang lain
D3 adalah dummy untuk Y1 dengan, 3,t 1 , Jan 2012 t Sept 2013 D3 0 , untuk t yang lain
Salah satu kriteria dalam pemilihan model terbaik untuk out sample adalah symmetric Mean Absolute Percentage Error (sMAPE). Kriteria tersebut merupakan penyempurnaan dari MAPE dalam memberikan penalty pada residual positif dan residual negatif [8]. Formula dari sMAPE dapat dituliskan sebagai berikut, sMAPE
, Okt 2010 t Okt 2012
c.
D4 adalah dummy untuk Y1 , Y2 , dan Y2 dengan, 2,t 3,t 2,t 1 , Jan 2011 t Sept 2013 D4 0 , untuk t yang lain
7.
t.D1, t.D2, t.D3, t.D4 merupakan tren lokal yang merupakan perkalian dari variabel tren dengan variabel dummy periode lokal. Rinciannya sebagai berikut, a. t.D1 dan t.D2 adalah tren lokal untuk Y1 dan Y2 1 ,t 1 ,t b.
t.D3 adalah tren lokal untuk Y1 3,t
c.
t.D4 adalah tren lokal untuk Y1 , Y2 , dan Y2 . 2,t 3,t 2,t
B. Metode Analisis Metode analisis dalam penelitian ini adalah sebagai berikut, 1. Melakukan analisis deskriptif pada data total market sepeda motor jenis Automatic (AT), Cub, dan Sport di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan.
3
3.
4.
IV. HASIL PENELITIAN A. Karakteristik Penjualan Total Sepeda Motor Analisis deskriptif penjualan total sepeda motor di Kabupaten Bojonegoro disajikan dalam Tabel 1. Penjualan total sepeda motor tersebut meliputi penjualan total sepeda motor jenis Automatic, Cub, dan Sport. Tabel 1 menggambarkan bahwa rata-rata penjualan total sepeda motor terbesar adalah sepeda motor jenis Automatic, baik di Kabupaten Bojonegoro maupun Kabupaten Lamongan. Kemudian disusul oleh penjualan total sepeda motor jenis Cub (Bebek) dan penjualan total sepeda motor jenis Sport.
Tabel 1. Analisis Deskriptif Penjualan Total Sepeda Motor di Kab. Bojonegoro Deviasi Nilai Nilai Variabel Rata-rata Standar Minimum Maksimum
Y11,t
1156
666
235
3521
Y12 ,t
821
305,1
261
1530
Y13 ,t
330
166,5
134
756
Y21,t
1412
719,7
391
3794
Y22,t
810
432,5
236
1966
Y23,t
404
201,3
152
1123
Identifikasi adanya pengaruh variasi kalender dapat ditunjukkan dengan diagram garis. Diagram garis tersebut disajikan dalam Gambar 1 dan 2. 1 2 3
4 5
6 7 8
Y11t, 2009
Y11t, 2010
Y12t, 2009
Y12t, 2010
9 10 11 12
1000 750 Penjualan Total Sepeda Motor
Melakukan pemodelan secara univariat dengan ARIMAX Langkah-langkahnya sebagai berikut, i. Mengidentifikasi pola data melalui hasil dari time series plot. ii. Menentukan tipe tren, yaitu tren deterministik. iii. Menghilangkan efek variasi kalender dari respon dengan fitting persamaan tren deterministik sehingga akan didapatkan error. iv. Melakukan pemodelan ARIMA dari error jika error tidak memenuhi asumsi white noise. Langkahlangkah pemodelan ARIMA adalah sebagai berikut, a. Melakukan identifikasi model melalui plot ACF dan PACF sehingga didapatkan lag-lag yang signifikan. b. Melakukan estimasi parameter model ARIMA dengan estimasi Conditional Least Square. c. Melakukan pemeriksaan asumsi residual. Jika tidak terpenuhi maka kembali ke langkah a. d. Jika asumsi residual sudah terpenuhi maka dilakukan penggabungan model ARIMA dengan model persamaan pada langkah iii. e. Menghitung kriteria kebaikan dari model yang diperoleh dengan menggunakan sMAPE. f. Melakukan peramalan untuk data out sample dengan model yang terpilih. g. Melakukan interpretasi model. Pemodelan secara multivariat dengan VARX Langkah-langkah untuk pemodelan VARX sebagai berikut, i. Melakukan pemeriksaan stasioneritas data Data yang dianalisis merupakan data penjualan total sepeda motor. Jika data tidak stasioner dalam varian, maka dilakukan transformasi data. Jika data tidak stasioner dalam mean, maka dilakukan differencing. ii. Melakukan identifikasi model melalui MPACF dan nilai AIC minimum sehingga didapatkan order VARX. iii. Melakukan estimasi parameter model VARX dengan estimasi Least Square. iv. Melakukan pemeriksaan asumsi residual, Jika tidak terpenuhi maka kembali ke langkah ii. v. Melakukan peramalan untuk data out sample dengan model yang terpilih. vi. Membandingkan kebaikan peramalan pada model yang dihasilkan pada pemodelan data out sample dengan menggunakan sMAPE. Melakukan perbandingan model terbaik antara model univariat dan multivariat yang telah terpilih.
500 1600 1200 800 Y13t, 2009
Y13t, 2010
250 200 150 1 2
3 4
5 6 7
8 9 10 11 12
Bulan
Gambar 1. Diagram Garis Penjualan Total Sepeda Motor di Kab. Bojonegoro Tahun 2009-2010
Berdasarkan Gambar 1 dan 2, dapat diketahui bahwa pada tahun 2009 dan 2010, bulan Hari Raya Idul Fitri jatuh pada Bulan September. Kemudian untuk 2011-2013, bulan Hari Raya Idul Fitri jatuh pada Bulan Agustus. 1
4000
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Y11t, 2011
Y11t, 2012
Y11t, 2013
Y12t, 2011
Y12t, 2012
Y12t, 2013
2000
Penjualan Total Sepeda Motor
2.
0
1000 750 500 Y13t, 2011
Y13t, 2012
Y13t, 2013
600 400 200 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
2012
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Bulan
Gambar 2. Diagram Garis Penjualan Total Sepeda Motor di Kab. Bojonegoro Tahun 2011-2013
Pada tahun 2009, penjualan total sepeda motor jenis Automatic mengalami penjualan tertinggi pada Bulan Agustus dan Oktober, dimana bulan tersebut merupakan bulan sebelum dan sesudah bulan Hari Raya Idul Fitri. Selain itu, penjualan total sepeda motor jenis Cub dan Sport mengalami penjualan tertinggi pada Bulan Agustus, dimana bulan tersebut merupakan bulan sebelum bulan Hari Raya Idul Fitri. Selanjutnya pada tahun 2013,penjualan total sepeda motor jenis Automatic dan Sport mengalami penjualan tertinggi pada Bulan Juli, sedangkan Cub mengalami penjualan tertinggi pada Bulan Juli dan Agustus, dimana Bulan Juli merupakan bulan sebelum bulan Hari Raya Idul Fitri dan juga bertepatan dengan bulan mulainya tahun ajaran baru di bidang pendidikan.
4 B. Pemodelan ARIMAX pada Penjualan Total Sepeda Motor di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan Dalam makalah ini, hanya ditampilkan salah satu pemodelan dengan ARIMAX, yaitu untuk penjualan total sepeda motor jenis Automatic di Kabupaten Bojonegoro. Sebelum melakukan pemodelan, perlu dilakukan identifikasi pola data dengan plot deret waktu. Plot deret waktu dari penjualan total sepeda motor jenis Automatic di Kabupaten Bojonegoro tahun 2009-2014 disajikan dalam Gambar 3. t1(Okt/2010)
4000
t2(Nov/2012)
Y11t
3000
2000
1000
0 Month Year
Jan 2009
Jul
Jan 2010
Jul
Jan 2011
Jul
Jan 2012
Jul
Jan 2013
Jul
Jan 2014
ARIMA. Persamaan (7) merupakan model terbaik yang akan digunakan dalam peramalan. Tabel 2. Uji Ljung-Box Residual Model Regresi Y 11,t
Sampai Lag ke 6 12 18 24 30 36 42
1,t
db
P-value
2,58 16,6 19 20,65 26,14 33,24 40,02
6 12 18 24 30 36 42
0,8589 0,1654 0,3919 0,6592 0,6678 0,6005 0,5582
dKS 0,099512 p-value >0,15
Asumsi lainnya yang harus dipenuhi adalah residual berdistribusi normal. Tabel 4.2 menjelaskan bahwa residual model (7) sudah memenuhi asumsi berdistribusi normal. Hal ini dapat dilihat dari nilai p-value yang sudah melebihi 10%. Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan (7) adalah model terbaik. Plot sMAPE untuk penjualan total tersebut disajikan pada Gambar 4.
Gambar 3.Deret Waktu untuk Penjualan Total Sepeda Motor Jenis Automatic di Kab. Bojonegoro
0.8 0.7 0.6
0.565177
sMAPE
0.518257
0.582725
0.474049
0.5
0.445865
0.4
0.312662
0.3 0.2 0.1 k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
Gambar 4.Plot sMAPE untuk Model Y 11,t
Model ramalan yang didapatkan setelah semua data digunakan dalam pemodelan adalah sebagai berikut, Yˆ1 49, 22321t 999,50948D1,t 754,37584 D2,t 51,35396t.D1,t 0,10583t.D2,t 440, 75462S7,t 326, 44451S12,t . (8) Plot dari model tersebut serta hasil ramalannya untuk tahun 2014 dapat dilihat pada Gambar 5. 1,t
Oct/2010
4000
Penjualan Total (unit)
Secara umum dapat diketahui bahwa penjualan total sepeda motor jenis Automatic terbagi menjadi 3 periode. Periode-periode tersebut adalah sebagai berikut, a. Periode 1 : Januari 2009-September 2010 Dalam periode ini, terjadi tren kenaikan penjualan total sepeda motor jenis Automatic. Namun kenaikannya tidak terlalu besar. b. Periode 2 : Oktober 2010-Oktober 2012 Dalam periode ini, tidak terdapat tren kenaikan maupun penurunan penjualan. Penjualan total sepeda motor jenis Automatic dapat dikatakan stasioner dalam periode ini, Periode ini akan diwakili oleh variabel dummy D1, dimana D1 akan bernilai 1 untuk periode ini. c. Periode 3 : Desember 2012-Maret 2014 Dalam periode ini, terjadi tren kenaikan yang signifikan jika dibandingkan dengan periode sebelumnya. Periode ini akan diwakili oleh variabel dummy D2, dimana D2 akan bernilai 1 untuk periode ini. Perlu diketahui bahwa penjualan mulai September 2013-Maret 2014 merupakan data out sample sehingga tidak digunakan dalam pemodelan. Langkah pertama untuk pemodelan ini adalah membentuk persamaan regresi dummy. Variabel dummy yang digunakan meliputi variabel tren deterministik, variabel dummy variasi kalender, variabel dummy musiman, variabel dummy untuk periode 2 dan 3 (D1, D2), serta variabel dummy perkalian antara tren deterministik dengan variabel dummy periode 2 dan 3 (t.D1, t.D2). Model regresi terbaik yang dihasilkan adalah sebagai berikut, Yˆ1 49,88754t 967, 26993D1,t 8041,8D2,t 50,9714t.D1,t 142,19419t.D2,t 319,58293S7,t 405, 68453S12,t . (7) Persamaan (7) merupakan model regresi terbaik dengan taraf signifikansi 10%. Kemudian dilakukan pengujian autokorelasi pada residual model (7). Pengujian ini menggunakan statistik uji Ljung-Box. Hasilnya ditampilkan dalam Tabel 2. Berdasarkan Tabel 2 dapat diketahui bahwa dengan taraf signifikansi 10%, residual model sudah memenuhi asumsi white noise. Hal ini dapat dilihat dari nilai p-value yang lebih dari 10%. Oleh karena itu, residual dari persamaan (7) tidak perlu dimodelkan dengan model
Chi-Square
3000
2000
Nov/2012
Variabel B. Bawah B. Atas Model 1 Y11t Model 2 Model 3 Ramalan
--- Periode 1 ---
--- Periode 2 ----- Periode 3 ---
1000
0 Month Jan Year 2009
Jan 2010
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
Gambar 5. Grafik Ramalan Penjualan Total Sepeda Motor Jenis Automatic di Kab. Bojonegoro Tahun 2014
Model (8) dapat dirinci untuk setiap periode. Rinciannya sebagai berikut, Periode 1 : Yˆ1 49, 22321t 440,75462S7,t 326, 44451S12,t 1,t Dalam periode ini, setiap bulan terjadi kenaikan penjualan sebesar 50 unit sepeda motor. Kemudian pada Bulan Juli terdapat peningkatan sebesar 441 unit dan Bulan Desember sebesar 327 unit sepeda motor. Model untuk Bulan Juli dalam periode 1 adalah sebagai berikut, Yˆ11,t 49, 22321t 440, 75462S7,t , t 7,19. Periode 2: Yˆ11,t 49, 2232t 999,50948D1,t 51,35396t.D1,t 440, 7546 S7,t 326, 4445S12,t
5 Dalam periode 2, setiap bulan terjadi penurunan penjualan sebesar (50-52= -2) unit sepeda motor. Namun terdapat penambahan 1000 unit tiap bulannya. Selain itu, pada Bulan Juli terdapat peningkatan sebesar 441 unit dan Bulan Desember sebesar 327 unit sepeda motor. Model untuk Bulan Juli dalam periode ini adalah sebagai berikut, Yˆ11,t 49, 223t 999,5095D1,t 51,3539t.D1,t 440,755S7,t , t 31, 43. Periode 3: Yˆ11,t 49, 223t 754,376 D2,t 0,106t.D2,t 440,755S7,t 326, 444 S12,t Dalam periode 3, setiap bulan terjadi kenaikan penjualan sebesar 49 unit sepeda motor. Namun terdapat pengurangan 755 unit tiap bulannya. Selain itu, pada Bulan Juli terdapat peningkatan sebesar 441 unit dan Bulan Desember sebesar 327 unit sepeda motor. Model untuk bulan Juli dalam periode ini adalah sebagai berikut, Yˆ 49, 223t 754,376 D 0,106t.D 440,755S , t 55,67. 11,t
2,t
2,t
7,t
Secara garis besar,Hari Raya Idul Fitri tidak memiliki dampak yang signifikan pada penjualan total sepeda motor jenis Automatic di Kabupaten Bojonegoro. Namun, Bulan Juli dan Desember memiliki peran yang signifikan dalam penjualan tersebut. Hal ini disebabkan karena Bulan Juli merupakan bulan mulainya tahun ajaran baru di bidang pendidikan dan Bulan Desember merupakan akhir tahun dimana perusahaan akan memberikan banyak diskon untuk menghabiskan stok produk. Selanjutnya dengan cara yang sama, didapatkan model ARIMAX yang ditampilkan dalam Tabel 3. Tabel 3. Hasil Model ARIMAX Variabel
Model
Variabel dummy
Automatic Bojonegoro
Regresi dummy
t, D1, D2, t.D1, t.D2, Bulan Januari, dan Desember
Cub Bojonegoro
Regresi dummy
D4, t. D4, dan Bulan JanuariDesember
Sport Bojonegoro
ARIMAX (1,0,0)(1,0,0)12
D3, t. D3, dan Bulan JanuariDesember
Automatic Lamongan
ARIMAX ([1,8],0,0)
t, D1, D2, t. D1, t. D2, Bulan Juli, dan Bulan Desember.
Cub Lamongan
ARIMAX (0,0,1)
Vt-1, t, D4, dan Bulan JanuariDesember
Sport Lamongan
ARIMAX (0,0,2)
Vt-1, Vt, Vt+1, D4, t. D4, Bulan Januari-Juli, dan Bulan OktoberDesember
C. Pemodelan VARX pada Penjualan Total Sepeda Motor di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan Pada bagian ini, dilakukan pemodelan secara multivariat dengan model VARX. Variabel yang digunakan adalah penjualan total sepeda motor jenis Automatic, Cub, dan Sport di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan, serta variabel dummy Bulan Hari Raya Idul Fitri sebagai variabel eksogen. Sebelum melakukan pemodelan, perlu dilakukan pemeriksaan stasioneritas data. Pemeriksaan ini meliputi pemeriksaan stasioneritas dalam mean dengan uji ADF dan stasioneritas dalam varians dengan plot Box-Cox. Hasil uji stasioneritas menyebutkan bahwa semua variabel memiliki nilai rounded value 0 dan dalam intervalnya tidak mengandung nilai 1. Hal ini mengindikasikan bahwa keenam variabel tersebut tidak stasioner dalam varians. Maka selanjutnya dilakukan transformasi logaritma natural. Setelah dilakukan transformasi, dilakukan pemeriksaan stasioneritas dalam mean dengan uji ADF. Hasil pengujian
dengan ADF menyebutkan bahwa data-data tersebut tidak stasioner dalam mean. Maka selanjutnya dilakukan differencing lag 1.Selain uji ADF, stasioneritas dalam mean juga dapat dilihat dari MACF (Sample Cross CorrelationMatrix) yang disajikan dalam Lampiran. MACF mengindikasikan adanya pola musiman dalam data. Pada lag 12 dan kelipatannya, masih terdapat nilai (+) dan (-) yang artinya order musiman masih belum stasioner, sehingga perlu dilakukan differencing lag 12. Hasilnya ditampilkan dalam Gambar 6. Gambar tersebut sudah mengindikasikan bahwa data telah stasioner dalam mean, baik pada order reguler maupun musiman. Schematic Representation of Cross Correlations Variable/ Lag 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
lny11 lny12 lny13 lny21 lny22 lny23
+..+.. .++... .++.++ +..+++ ..++++ ..++++
...... .-.... ..-+.. ....-..-.-..-.--
...... ........... ...... .-.... ....+.
...... .....+ ...... ...... +..... ....-.
...... -..--. ...... ....++ -..... ......
...... ....++ ....++ ..-........ ..-...
...... ..-.-.+..-...... ...... ......
..+... ..+... .....+ ...... ...... .-....
...... ...... ...... ...... ...... .+....
--.... ...... ...... .-.... ...... ..-...
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... ...... +.++.. .....+ ...... ...+++
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
...... .-.... .--... ...... ....-. .....-
...... .+......... ...... ...... ......
...... .....+ ...... ...... ...... ......
...... ........... ...... ...... ......
...... ....+. ...... ...... ...... ......
...... ....-. ....-. ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ....-. .-....
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... -..... ...... ...... ...... ......
Variable/ Lag lny11 lny12 lny13 lny21 lny22 lny23
+ is > 2*std error,
- is < -2*std error,
. is between
Gambar 6. MACF setelah dilakukan differencing lag 1 dan 12
Langkah pertama yang dilakukan dalam pemodelan ini adalah identifikasi order VARX. Hal ini dapat dilakukan dengan melihat nilai AIC minimum dan MPACF. Karena keterbatasan panjang data, nilai AIC tidak dapat diperoleh. Maka identifikasi order model hanya berdasarkan MPACF yang disajikan dalam Gambar 7. Schematic Representation of Partial Autoregression Variable/ Lag 1 2 3 4 lny11 lny12 lny13 lny21 lny22 lny23
-.+... ...... ...... ..+... ...... ......
...... ...... ...... ...... ...... ......
+ is > 2*std error,
...... ..-... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... .-.... ...... ......
- is < -2*std error,
5
6
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ...... ......
. is between
Gambar 7. Partial Autoregression Matrix Function (MPACF)
Berdasarkan Gambar 7 dapat diketahui bahwa terdapat cut off pada lag 1. Hal ini ditandai dengan adanya tanda (+) dan (-) pada lag tersebut. Maka order VARX yang dipilih adalah order 1. Namun order ini tidak memenuhi asumsi vektor residual white noise. Maka dilakukan penembahan order, yaitu order 2. Dalam penelitian ini digunakan variabel eksogen bulan Hari Raya Idul Fitri. Model yang diperoleh adalah VARX(2,1)-I(1,112). Dalam model ini, tidak ada variabel eksogen yang signifikan dalam model, sehingga model tersebut juga dapat dituliskan sebagai VAR(2,1,0)(0,1,0)12. Asumsi vektor residual model berdistribusi multivariat normal telah terpenuhi. Namun berdasarkan uji Portmanteau, asumsi vektor residual white noise belum terpenuhi. Hasil pengujian tersebut dapat diabaikan karena hal yang paling penting dalam peramalan adalah kemampuan model untuk melakukan peramalan [8,9]. Model VARX(2,1)-I(1,112) dituliskan dalam persamaan (9). Persamaan (9) menunjukkan bahwa terdapat hubungan penjualan sepeda motor antar jenis di kabupaten yang sama, dan juga antar jenis di kabupaten yang berbeda. Selain itu, tidak terdapat pengaruh Bulan Hari Raya Idul Fitri pada penjualan total sepeda motor untuk semua jenis di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan.
6 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1,30262 0,36638 0,59625 1,13509 0 0 1 0 0 0 0 0, 26979 0,30197 0 0,36719 0 0,1774 0 1 0 0 0 0 0,84929 0, 62482 0 0, 45517 0 B 0 0 1 0 0 0, 75325 0 0,54152 0,56176 0 0, 22477 0 0 0 1 0 0 0,58276 0 0 0, 61724 0,34931 0 0 0 0 1 0 0, 63515 0 0 0, 65226 0,33544 (1 B)(1 B12 )Y11,*t 0 0 0 0 0 1, 00941 a1,t (1 B)(1 B12 )Y1*2,t a 0 0 0 0 0, 23837 0 2,t 12 * 0 0, 44772 0 0 0, 48942 0 2 (1 B)(1 B )Y13,t a3,t B 0 0 0,5683 0 0 (1 B)(1 B12 )Y2*1,t a4,t 0, 72521 0,50551 12 * a5,t 0 0 0, 6717 0, 45267 0, 26654 (1 B)(1 B )Y22,t 0 0 0 0 0, 44365 0 12 * a6,t (1 B)(1 B )Y23,t
(9) Misalkan untuk penjualan total sepeda motor jenis Automatic di Kabupaten Bojonegoro, model (9) dapat diuraikan sebagai berikut, Yˆ1*1,t 0,30262Y11,*t1 1,30262Y11,*t2 0,00941Y11,*t12 0,70679Y11,*t13 1,30262Y11,*t14 1,00941Y11,*t24 1,00941Y11,*t25 0,36638Y1*2,t1 0,36638Y1*2,t2 0,36638Y1*2,t13 0,36638Y1*2,t14 0,59625Y1*3,t1 0,59625Y1*3,t13 0,59625Y13,* t14 1,13509Y2*1,t1 1,13509Y2*1,t1 1,13509Y2*1,t13 1,13509Y2*1,t14
Model setelah ditransformasikan kembali adalah sebagai berikut, Yˆ Y 0,30262 Y 1,30262 Y 0,00941 Y 0,70679 Y 1,30262 Y 1,00941 Y 1,00941 11,t
11,t 1
11,t 2
11,t 12
11,t 13
11,t 14
11,t 24
11,t 25
Y12,0,36638 Y12,0,36638 Y10,36638 Y12,0,36638 Y10,59625 Y13,t0,59625 Y13,0,59625 t 1 t 2 2,t 13 t 14 3,t 1 13 t 14 1,13509 1,13509 1,13509 1,13509 Y21,t1 Y21,t1 Y21,t13 Y21,t14 .
Secara umum, selain bergantung pada dirinya sendiri pada beberapa bulan sebelumnya, penjualan ini juga bergantung pada penjualan jenis Cub dan Sport di kabupaten yang sama, serta penjualan jenis Automatic Kabupaten Lamongan pada bulan-bulan sebelumnya. Secara keseluruhan, kriteria kebaikan model ditampilkan dalam Tabel 4. Tabel 4 Perhitungan sMAPE k-step untuk model VARX(2,1)-I(1,12) k
Y11,t
Y12,t
Y13,t
Y21,t
Y22,t
Y23,t
1 2 3 4 5 6
0,095 0,455 0,587 0,674 0,728 0,745
0,126 0,106 0,083 0,111 0,101 0,097
0,373 0,371 0,272 0,230 0,232 0,263
0,058 0,238 0,539 0,657 0,739 0,794
0,663 0,356 0,265 0,347 0,376 0,377
0,567 0,331 0,239 0,210 0,199 0,201
D. Perbandingan Kebaikan Model Model Model terbaik adalah model yang memiliki nilai sMAPE terkecil untuk residual out sample. Plot ramalan untuk data out sampledapat dilihat pada Lampiran D. Hasil perbandingannya ditampilkan dalam Tabel 5. Tabel 5 Perbandingan sMAPE Model Univariat dan Multivariat (%) Model
Y11,t
Y12,t
Y13,t
Y21,t
Y22,t
Y23,t
ARIMAX VARX
58,27 74,48
18,27 9,67
45,56 26,26
54,98 79,45
72,08 37,67
28,40 20,10
Berdasarkan Tabel 5 dapat diketahui bahwa model univariat unggul pada penjulan total sepeda motor Automatic Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan, sedangkan model multivariat unggul pada penjulan total sepeda motor Cub Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan, serta Sport Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan. Hasil ramalan dengan model terbaik menyebutkan hasil bahwa pada tahun 2014, terjadi kenaikan penjualan sepeda motor jenis Automatic dan Sport. Sebaliknya, penjualan untuk jenis Cub cenderung menurun. Hal ini terjadi pada Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan.
V. KESIMPULAN Secara umum, rata-rata penjualan sepeda motor tertingggi adalah sepeda motor jenis Automatic, baik di Kabupaten Bojonegoro maupun Lamongan. Kemudian sebagian besar penjualan sepeda motor perjenis di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan dipengaruhi oleh Hari Raya Idul Fitri. Bulan sebelum Bulan Hari Raya Idul Fitri sebagian besar merupakan penjualan tertinggi. Selain itu, terdapat hubungan linier yang signifikan antar penjualan total sepeda motor di kedua Kabupaten tersebut. Model ARIMAX terbaik menyebutkan bahwa terdapat kontribusi Bulan Juli dan Bulan Desember pada jenisAutomatic, baik di Kabupaten Bojonegoro maupun Lamongan. Kemudian terdapat siklus musiman pada jenis Cubdi kedua kabupaten tersebut. Selain itu, siklus musiman serta efek Hari Raya Idul Fitri juga terdapat pada jenis SportKabupaten Bojonegoro. Selanjutnya, terdapat efekHari Raya Idul Fitri serta kontribusi Bulan Januari-Juli, dan Bulan Oktober-Desember pada jenis Sport Kabupaten Lamongan. Hasil pemodelan dengan VARX untuk model keseluruhan menghasilkan model VARX(2,1)-I(1,112) dengan variabel eksogen berupa variabel dummy Bulan Hari Raya Idul Fitri. Namun, tidak ada variabel eksogen yang signifian dalam model. Model multivariat menunjukkan bahwa terdapat hubungan penjualan sepeda motor antar jenis di kabupaten yang sama, dan juga antar jenis di kabupaten yang berbeda. Selain itu, tidak terdapat pengaruh Bulan Hari Raya Idul Fitri pada penjualan total sepeda motor untuk semua jenis di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan. Berdasarkan kriteria sMAPE, model multivariat unggul jika dibandingkan dengan model univariat. Bagi produsen dan distributor sepeda motor, hendaknya lebih fokus pada sepeda motor jenis Automatic. Hal ini karena pada tahun 2014, sepeda motor jenis Automatic masih mendominasi pangsa pasar. DAFTAR PUSTAKA [1] A. V. Kostenko, and R. J. Hyndman. (2005). Forecasting without Significance Test? http: //robjhyndman.com/ papers/ sst2.pdf. [2] Anonim. Umur Motor Hingga 2020. Ekonomi Bisnis Harian Pagi Padang Ekspres , p. 1. (2014, Januari 9). [3] J. D.Cryer, &K.S.Chan.Time Series Analysis With Application in R, 2nd Edition. New York: Springer. (2008). [4] J. S. Armstrong. (2007). Significance Tests Harm Progress in Forecasting. International Journal of Forecasting (23), 321– 327. [5] S. R Diah, & Setiawan. Industri Sepeda Motor Indonesia Terbesar Ketiga Dunia. (B. P. Jatmiko, Ed.) Ekonomi Harian Kompas . (2013, September 3). [6] Y. Jatnika. Transportasi Jawa Timur Alami Titik Jenuh. Jurnal Nasional , p. 13. (2013, November 26). [7] M. H.Lee and Suhartono. Calendar Variation Model Based on ARIMAX for Forecasting Sales Data with Ramadhan Effect. Proceedings of the Regional Conference on Statistical Sciences (hal. 349-361). Malaysia: Institute of Mathematical Sciences University of Malaya. (2010). [8] S. Makridakis and M. Hibon. The M3-Competition : result, conclusion and implication. Internasional Journal of Forecasting, 16 (1), 451-476. (2000). [9] W. W. Wei. Time Series Analysis (Univariate and Multivariate Methods). United States of America:Pearson Education,Inc. (2006).
7
LAMPIRAN
1.
MACF setelah dilakukan differencing lag 1 Schematic Representation of Cross Correlations Variable/ Lag 0 lny11 lny12 lny13 lny21 lny22 lny23 Variable/ Lag lny11 lny12 lny13 lny21 lny22 lny23
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
++.+.. ++++++ .++.++ ++.+++ .+++++ .+++++
--.-....... ...... -..--..-.-......
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... -.--.. ...... ...... -..... -.....
...... ...... ....+. ...... ..-... ..-...
...... ....-....-...... ....-....--
...... ...... ...... ...... ...... .-....
........... ...... ...-.-..-.. ......
...... ..+... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ..+... ......
...... ...... ..+... ...... .....+ ......
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
...... ++.+++ ...... ...... .+.... .+..++
...... ...-.-..-.. ...... ...... ......
...... .....+ ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... -..... ......
...... ...... ...... ...... ...... ..-...
...... ....-. ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... .-..-. ......
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... -..-.. -..-.. ...... ...... ......
...... +..+.. +..+.. ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... .....+ -.....
+ is > 2*std error,
- is < -2*std error,
. is between
C5. Pemeriksaan asumsi residual model VARX(2,1)-I(1,12) dengan variabel eksogen Vt (Bulan Hari Raya Idul Fitri) Vektor residual white noise Schematic Representation of Partial Autoregression Variable/ Lag 1 2 3 4 5 Res1 ...... Res2 ...... Res3 ...... Res4 ...... Res5 ...... Res6 ...... + is > 2*std error,
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... - is < -2*std error,
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . is between
Vektor residual berdistribusi multivariat normal 18 16 14
Chi-square
12 10 8 6 4 2 0 0
2.
2
4
6 8 10 12 Kuadrat jarak mahalanobis
14
16
18
Hubungan antar variabel dalam model VARX(2,1)-I(1,12)
Y12 ,t Y13,t
Y11,t
Y11,t
Y23,t
Y21,t
Y22,t
8 Plot Perbandingan Ketepatan Hasil Ramalan Data Out Sample 550
7000
Variabel A k tual Reg. Dummy VA RX(2,1)-I(1,12)
6000
700
450
5000
400
Y12t
4000
Y11t
800
Variabel A k tual Reg. Dummy VA RX(2,1)-I(1,12)
500
3000
Y13t
3.
350
500
300
2000
600
250
400
1000
Variabel A k tual A RIMA X(1,0,0)(1,0,0)12 VA RX(2,1)-I(1,12)
200 0 Month Year
Oct 2013
9000
Nov
Dec
Jan 2014
Feb
Mar
Month Oct Year 2013
Dec
Jan 2014
Feb
400
Variabel A k tual A RIMA X([1,8],0,0) VA RX(2,1)-I(1,12)
8000
Nov
300 Month Oct Year 2013
Mar
Dec
Jan 2014
Feb
Mar
800
Variabel A k tual A RIMA X(0,0,1) VA RX(2,1)-I(1,12)
700
300
7000
Nov
5000
Y23t
Y22t
Y21t
6000 200
600
4000 3000
100
500
0
400
Variabel A k tual A RIMA X(0,0,2) VA RX(2,1)-I(1,12)
2000 1000 Month Oct Year 2013
Jan 2014
Feb
Mar
Month Oct Year 2013
Nov
Dec
Jan 2014
Feb
Month Year
Mar
Oct 2013
Nov
Dec
Jan 2014
Feb
Plot Hasil Ramalan Model ARIMAX untuk tahun 2014 Nov/2012
3000
2000
Jan/2011
1600
Variabel B. Bawah B. Atas Model 1 Y11t Model 2 Model 3 Ramalan
Jan/2012 Variabel Y12t Model 1 Model 2 B. Bawah B. Atas Ramalan
1400 1200
--- Periode 1 ---
--- Periode 2 ----- Periode 3 ---
1000
1000 800 600 400 --- Periode 1 ---
--- Periode 2 ---
800
500 --- Periode 1 --400 300 200
0
0
100 Jan 2011
Jan 2012
Oct/2010 5000
4000
Jan 2013
Jan 2014
Month Jan Year 2009
Jan 2010
Dec/2012
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan/2011 Variabel Y22t Model 1 Model 2 B. Bawah B. Atas Ramalan
--- Periode 3 ---
3000 --- Periode 2 ---
--- Periode 1 --2000
1500
1000
500
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
Variabel Y23t Model 1 Model 2 B. Bawah B. Atas Ramalan
1200
Jan 2013
Jan 2014
--- Periode 2 ---
1000 --- Periode 1 --800 600 400
--- Periode 2 --0
0
Jan 2010
Jan 2012
200
--- Periode 1 ---
Month Jan Year 2009
Jan 2011 Jan/2011
1400
1000
0
Jan 2010
1600
2000
Variabel Y21t Model 1 Model 2 Model 3 B. Bawah B. Atas Ramalan
Month Jan Year 2009
Jan 2014
Penjualan Total (unit)
Jan 2010
Penjualan Total (unit)
Month Jan Year 2009
Penjualan Total (unit)
600
--- Periode 2 ---
200
Month Jan Year 2009
Jan 2010
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Month Jan Year 2009
Jan 2014
Jan 2010
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
Plot Hasil Ramalan Model VARX untuk tahun 2014 5000
2000
1000
500
1000
Month Jan Year 2009
0
Jan 2010
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
Month Jan Year 2009
5000
3000
2000
1000
0 Month Jan Year 2009
Variabel Y12t Fits Ramalan B. Bawah B. Atas
Jan 2010
1200
Variabel Y13t Fits Ramalan B. Bawah B. Atas
1000 800 600 400 200
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
0 Month Jan Year 2009
Jan 2014
2000
Variabel Y21t Fits Ramalan B. Bawah B. Atas
Penjualan Total (unit)
Penjualan Total (unit)
4000
Penjualan total (unit)
1500
3000
0
1600 1400
Penjualan Total (unit)
Penjualan Total (unit)
4000
2000
Variabel Y11t Fits Ramalan B. Bawah B. Atas
Variabel Y22t Fits Ramalan B. Bawah B. Atas
1500
1000
500
2500
Penjualan Total (unit)
5.
Variabel Y13t Model 1 Model 2 B. Bawah B. Atas Ramalan
700 Penjualan Total (unit)
Oct/2010
4000
Penjualan Total (unit)
Dec
Penjualan Total (unit)
4.
Nov
2000
Jan 2010
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
Variabel Y23t Fits Ramalan B. Bawah B. Atas
1500
1000
500
0 Jan 2010
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
Month Jan Year 2009
Jan 2010
Jan 2011
Jan 2012
Jan 2013
Jan 2014
0 Month Jan Year 2009
Jan 2010
Mar
