PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II

05-May-14

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II

c. Metoda Persamaan Differensial Pasti (Exact) Pada kalkulus bahwa jika suatu fungsi u(x,y) mempunyai turunan parsial yang sifatnya kontinyu, turunan pasti atau total adalah : 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Dari turunan total ini mengatakan jika u(x,y) = c = kontan, maka du = 0. Untuk contoh, jika 𝑢 = 𝑥 + 𝑥 2 𝑦 3 = 𝑐, maka 𝑑𝑢 = 1 + 2𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 Atau

1 + 2𝑥𝑦 3 𝑦 =− 3𝑥 2 𝑦 2 ′

1

05-May-14

Suatu persamaan differensial yang mana kita dapat menyelesaikannya dengan bergerak kebelakang. Suatu persamaan differensial orde satu dengan bentuk : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

(1)

Dikatakan pasti jika sisi sebelah kirinya adalah turunan total atau yang bersifat pasti: 𝑑𝑢 =

𝜕𝑢 𝑑𝑥 𝜕𝑥

+

𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝑑𝑦

(2)

Dari beberapa fungsi u(x,y). Maka PD dapat ditulis du = 0

Lanjutan Dengan integrasi, kita mendapatkan penyelesaian yang bersifat umum dalam bentuk : u(x,y) = c

(3)

Dengan membandingkan 2 persamaan diatas ((1) dan (2)), kita melihat bahwa persamaan (1) bersifat pasti jika ada beberapa fungsi u(x,y) sehingga : 𝜕𝑢 𝜕𝑥

= 𝑀,

𝑎

𝜕𝑢 𝜕𝑦

=𝑁

(b)

(4)

Seandainya bahwa M dan N terdefinisi dan turunan pertama parsial yang bersifat kontinyu dalam suatu daerah bidang x-y yang mana mempunyai batas suatu kurva tertutup tidak mempunyai perpotongan.

2

05-May-14

Lanjutan Maka daripersamaan (4):

𝜕𝑀 𝜕2𝑢 = 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑁 𝜕2𝑢 = 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦

Dengan asumsi kekontinuan dua turunan keduanya adalah sama : 𝜕𝑀 𝜕𝑦

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥

(5)

Kondisi ini sifatnya tidak hanya perlu tetapi juga mencukupi untuk Mdx + Ndy untuk menjadi turunan yang sifatnya pasti.

Jika persamaan (1) sifatnya adalah pasti, fungsi u(x,y) dapat diperoleh dengan menduga atau dalam dalam cara yang sistematik berikut : Dari (4.a) dengan mengintegrasikan thd x kita mempunyai : u(x,y)=

𝑀𝑑𝑥 + 𝑘(𝑦)

(6)

3

05-May-14

Lanjutan Dalam integrasi ini, y dipandang sebagai suatu konstanta k(y) menentukan nilai konstanta dari proses integrasi. 𝜕𝑢

Untuk menentukan k(y), kita menurunkan 𝜕𝑦 dari persamaan (6) menggunakan persamaan (4.b) untuk mendapatkan dk/dy, dan mengintegrasikan dk/dy untuk mendapatkan k. Formula (6) telah diperoleh dari (4.b). Kemudian menggantikan (6) kita mempunyai : u(x,y)=

𝑁𝑑𝑦 + 𝑙(𝑥)

(6*) 𝜕𝑢

Untuk menentukan l(x) kita menurunkan 𝜕𝑥 dari (6*), menggunakan (4.a) untuk mendapatkan dl/dx, dan mengintegrasikan.

Contoh Selesaikan : 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 + 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 𝑑𝑦 = 0

(7)

Penyelesaian : Tahap 1. menguji untuk kepastian. Persamaan tersebut adalah dalam bentuk persamaan (1) dengan : 𝑀 = 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 , 𝑁 = 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 maka 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 6𝑥𝑦, = 6𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Dari persamaan ini dan persamaan (5), kita melihat bahwa persamaan (7) bersifat pasti

4

05-May-14

Lanjutan Tahap 2. Penyelesaian implisit. Dari persamaan (6): 𝑢=

𝑀𝑑𝑥 + 𝑘 𝑦 =

1

𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑘 𝑦 = 4 𝑥 4 +

3 2 2 𝑥 𝑦 2

+ 𝑘(𝑦) (8)

Untuk mendapatkan k(y), kita menurunkan formula ini terhadap y dan dengan menggunakan formula (4.b), mendapatkan : 𝜕𝑢 𝑑𝑘 = 3𝑥 2 𝑦 + = 𝑁 = 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3 𝜕𝑦 𝑑𝑦 Maka dk/dy = 𝑦 3 , sehingga 𝑘 = persamaan (8) 𝑢 𝑥, 𝑦 =

𝑦4 4

+ 𝑐. Dengan menyisipkan nilai dalam

1 4 𝑥 + 6𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4 + 𝑐 4

Lanjutan Tahap 3. Pengujian. Perlu diingat bahwa metoda ini memberikan solusi dalam bentuk implisit, u(x,y) = c, tidak dalam bentuk explisit, y = f(x). Untuk menguji, kita dapat menurunkan u(x,y)=c secara implisit dan melihat apakah penurunan ini menghasilkan 𝑑𝑦 𝑀 = − 𝑁 atau 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦 = 0. 𝑑𝑥

Dalam kasus ini, dengan mendifferensiasikan persamaan (9) secara implisit terhadap x, kita mendapatkan : 1 4𝑥 3 + 12𝑥𝑦 2 + 12𝑥 2 𝑦𝑦 ′ + 4𝑦 3 𝑦′ = 0 4 Dengan mengelompokan komponen-komponennya, kita melihat bahwa ini sama dengan M + Ny’ = 0 dengan M dan N seperti pada persamaan (7)

5

05-May-14

Contoh Selesaikan PDB berikut 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 𝑑𝑦 = 0 IC

(10)

: y(0) = 0

Penyelesaian : Kita dapat memverifikasikan bahwa persamaan adalah bersifat pasti. Dari persamaan (6), kita mendapatkan : 𝑢=

Dari hasil ini,

𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑑𝑥 + 𝑘 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 + 𝑘 𝑦 .

= −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑦 +

𝑑𝑘 . 𝑑𝑦

.

Lanjutan Maka dk/dy = 0, dan k = konstanta. Penyelesaian umum adalah : u = konstanta, yang mana, cosxcoshy = c. Kondisi awal memberikan cos0 cosh0 =1 = c. Maka jawabnya adalah y = 1 Pengujian. (cosx coshy)’ = -sinx coshy + cosx (sinhy)y’ = 0 yang mana memberikan persamaan (10)

6

05-May-14

d. Metoda Faktor Pengintegrasi Kadang-kadang mempunyai suatu persamaan : 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

(1)

Yang sifatnya tidak pasti, tetapi jika mengalikannya dengan suatu fungsi yang sesuai F(x,y), persamaan baru FPdx + FQdy =0

(2)

Adalah bersifat pasti,  dapat diselesaikan dengan metoda sebelumnya. Fungsi F(x,y) disebut dengan faktor pengintegrasi dari persamaan (1)

Lanjutan Contoh 1. Tunjukan bahwa PDB : ydx – xdy = 0 adalah tidak bersifat pasti, tetapi mempunyai faktor pengintegrasi, dengan nama 1 𝐹 = 2 . Kita mendapatkan persamaan yang bersifat pasti. 𝑥

FP dx + FQ dy =

𝑦𝑑𝑥 −𝑥𝑑𝑦 𝑥2

= −𝑑

Penyelesaiannya adalah :

𝑦 𝑥

𝑦 𝑥

=0

=𝑐

7

05-May-14

Lanjutan Fungsi adalah fungsi garis lurus y = cx melalui titik (0,0). Faktor-faktor pengintegrasi yang lain adalah :

1 𝑦2

,

1 𝑥𝑦

,

1 𝑥2 + 𝑦2

karena 𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 𝑥 = 𝑑 , 𝑦2 𝑦 𝑦𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑦 𝑥𝑦 𝑦𝑑𝑥 −𝑥𝑑𝑦 𝑥2+ 𝑦2

= 𝑑 𝑙𝑛

𝑥 𝑦

,

= −𝑑 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛

𝑦 𝑥

Lanjutan Contoh 3. Verifikasi bahwa𝐹(𝑥) = 𝑥 3 adalah suatu faktor pengintegrasi dari PDB berikut : 2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 dx + xy cos 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 Dan kemudian dapatkan penyelesaian umum. Penyelesaian : Perkalikan dengan𝐹(𝑥) = 𝑥 3 memberikan persaman baru : 2 𝑥 3 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 dx + 𝑥 4 y cos 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 Persamaan ini adalah persamaan yang sifatnya pasti karena :

8

05-May-14

Lanjutan •

𝜕 𝜕𝑦

2𝑥 3 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2

= 4𝑥 3 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑦 2 =

𝜕 𝜕𝑥

𝑥 4 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑦 2

• Kita menyelesaikan persamaan ini dengan metoda exact untuk memperoleh 𝑥 4 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 = 𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛

Bagaimana Mendapatkan faktor Pengintegrasi • Dalam kasus-kasus yang lebih sederhana, faktor pengintegrasi dapat diperoleh dengan pemeriksaan atau mungkin setelah beberapa percobaan. Dalam kasus yang umum, idenya adalah sebagaiberikut : • Persamaan (2) adalah𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑀 = 𝐹𝑃, 𝑁 = 𝐹𝑄 , dan adalah bersifat pasti oleh definisi dari faktor pengintegrasi. Maka kriteria kepastian yang ditulis dalam bab sebelumnya sekarang dapat dituliskan sbb :

9

05-May-14

Lanjutan 𝜕 𝜕𝑦

𝐹𝑃 =

𝜕 𝜕𝑥

𝐹𝑄

(5)

Yang mana dapat dituliskan : 𝐹𝑦 𝑃 + 𝐹𝑃𝑦 = 𝐹𝑥 𝑄 + 𝐹𝑄𝑥 Maka kita melihat bahwa faktor pengitegrasi bergantung hanya pada 1 variabel, bila F = F(x). Maka Fy = 0 dan Fx = F’ = dF/dx, sehingga persamaan (5) menjadi : 𝐹𝑃𝑦 = 𝐹𝑥 𝑄 + 𝐹𝑄𝑥 Dengan membaginya dengan FQ kita mendapatkan :

Lanjutan 1 𝑑𝐹 𝐹 𝑑𝑥

=

1

𝜕𝑃

𝑄

𝜕𝑦

−

𝜕𝑄 𝜕𝑥

(6)

Teori 1. FaktorPengintegrasi F(x) Jika persamaan (1) adalah seperti pada sisi kanan dari persamaan (6), menyebutnya R, hanya bergantung pada x, maka persamaan (1) mempunyai suatu faktor pengintegrasi F = F(x), yang mana diperoleh dengan mengintegrasikan pers (6) dan menjadikan exponen pada kedua sisinya.

10

05-May-14

lanjutan 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 𝑅 𝑥 𝑑𝑥

(7)

Dengan cara yang sama jika F = F(y), maka menggantikan pers (6) kita mendapatkan : 1 𝑑𝐹 𝐹 𝑑𝑦

=

1 𝑃

𝜕𝑄 𝜕𝑥

−

𝜕𝑃 𝜕𝑦

(8)

Teori 2. Faktor Pengintegasi F(y) Jika persamaan (1) adalah seperti sisi kanan dari persamaan (8) hanya bergantung pada y, maka persamaan (1) mempunyai faktor pengintegrasi F = F(y), yang mana diperoleh dari persamaan (8) dalam bentuk

Lanjutan 𝐹 𝑦 = 𝑒𝑥𝑝 𝑅 𝑦 𝑑𝑦

(9)

Contoh 3. Selesaikan PDB berikut dengan teori 1. PDB : 2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 dx + xy cos 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0

Penyelesaian : Kita mempunyai P = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 2 , Q = xy cos 𝑦 2 , maka dalam pers (6) pada sisi kanan adalah 1 3 2 2 𝑅= 4𝑦 cos 𝑦 − 𝑦 cos 𝑦 = 𝑥 xy cos 𝑦 2 Maka : 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝

3 𝑥

𝑑𝑥 = 𝑥 3

11

05-May-14

Lanjutan Contoh 4.Aplikasiteori 1 dan 2 Selesaikan PDB dengan kondisi awal berikut : 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 4𝑦 + 3𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 y(0.2) = -1.5 Penyelesaian : Disini P = 2xy, Q = 4y + 3x2, Persamaan adalah tidak bersifat pasti, sisi kanan persamaan (6) bergantung pada x dan y, tetapi sisi kanan dari persamaan (8) adalah : 𝑅=

1 2𝑥𝑦

6𝑥 − 2𝑥 =

2 𝑦

maka F(y) = y2.

Adalah suatu faktor pengintegrasi persamaan (9)

Lanjutan • Perkalian dengan y2 memberikan persamaan yang bersifat pasti. 2𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 + 4𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 Yang mana kita dapat menuliskan sebagai : 4𝑦 3 𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 + 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0 Dan menyelesaikannya dengan pemeriksaan atau dengan metoda dalam bagian sebelumnya untuk mendapatkan 𝑦 4 + 𝑥 2 𝑦 3 = 𝑐 dari persamaan ini kita memperoleh : 𝑦 4 + 𝑥 2 𝑦 3 = 4.9275

12