PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

05-May-14

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

1. Pendahuluan

Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian Contoh-contoh Aplikasi

1

05-May-14

1.1. Pengertian Persamaan Differensial • Secara Garis Besar Persamaan Differensial dibagi menjadi 2 yaitu :

PD Biasa

PD Parsial Persamaan Differensial Biasa mempunyai satu variabel bebas , sedangkan Persamaan Differensial Parsial mempunyai Variabel Bebas lebih dari satu

Contoh • 𝑦 ′ = cos 𝑥 • 𝑦 ′′ + 4 𝑦 = 0 2 ′′′ ′

𝑥 ′′

2

• 𝑥 𝑦 𝑦 + 2𝑒 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑦 •

𝜕𝑇 𝜕𝑡

= −𝑘 𝐴

2

PD Biasa

𝜕2 𝑇 𝜕𝑥 2

PD Parsial

2

05-May-14

• Persamaan Differensial Biasa atau Parsial mempunyai orde dimana orde menunjukan elemen turunan yang paling tinggi dalam suatu Persamaan Differensial. • Persamaan Differensial Biasa atau Parsial dapat mempunyai satu sifat yaitu Linier atau non linier. • Persamaan Differensial dapat muncul dibanyak bidang teknik atau yang lain

Contoh Contoh jika suatu populasi (mis : manusia, bakteri, hewan dll) 𝑑𝑦 tumbuh pada laju 𝑦 ′ = sama dengan jumlah populasi 𝑑𝑡 sekarang, maka model populasinya dapat dituliskan sebagai berikut : 𝑦′ = 𝑦 Dan kalau diselesaikan model ini akan mendapatkan persamaan 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑡

3

05-May-14

Beberapa penerapan Persamaan Differensial : • Benda Jatuh Bebas : 𝑦 ′′ = 𝑔 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛. • Aliran Fluida keluar tangki : ℎ′ = −𝑘 ℎ. • Rangkaian listrik LCR : 𝐿𝐼 ′′ + 𝑅𝐼 ′ +

1 𝐶

𝐼 = 𝐸′

• Vibrasi suatu masa pada pegas : 𝑚𝑦 ′′ + 𝑘𝑦 = 0

Dalam materi ini, PD orde 1 mengandung hanya y’ dan mungkin mengandung y dan fungsi yang dibentuk oleh x, sehingga dapat dituliskan sbb : • 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ = 0 atau dapat dituliskan sbb: • y’ = f(x,y)

4

05-May-14

Penyelesaian Persamaan Differensial 1. Penyelesaian secara analitik (exact) 2. Penyelesaian secara Numerik (Iteratif)

2. Penyelesaian Persamaan Differensial secara Analitik Konsep Penyelesaian : • Penyelesaian PD orde 1 yang diberikan pada interval terbuka a < x < b adalah fungsi y = h(x) yang mempunyai turunan y’ = h’(x) dan memenuhi definisi untuk semua x didalam interval.

5

05-May-14

Contoh Verifikasi bahwa y = x2 adalah solusi dari PD xy’ = 2y untuk semua x. y = x2 maka y’ = 2x Substitusi y’ = 2 x dalam PD xy’ = 2y, x(2x) = 2y

2x2 = 2y y = x2

Kadang-kadang suatu penyelesaian PD akan membentuk sebagai suatu fungsi implisit, secara implisit diberikan dalam bentuk : 𝐻 𝑥, 𝑦 = 0 Contoh. Fungsi y dari x secara implisit dituliskan sebagai x2 + y2 -1 = 0, (y > 0), yang merepresentasikan setengah lingkaran pada setengah bidang, adalah suatu penyelesaian implisit dari PD yy’ = -x, pada interval -1 < x < 1

6

05-May-14

• Suatu PD mungkin akan mempunyai banyak solusi. Hal ini seharusnya tidak mengherankan karena kita mengetahui bahwa dari calculus bahwa integrasi memberikan konstanta sembarang. Contoh Persamaan y’ = cos x dapat diselesaikan dengan calculus. Integrasi memberikan kurva sinus : y = sin x + c dengan nilai c adalah sembarang.

a. Metoda Pemisahan Variabel Banyak Persamaan Differensial Biasa (PDB) orde 1 dengan manipulasi secara aljabar dapat disederhanakan bentuknya menjadi : g(y)y’ = f(x) Karena y’ = dy/dx, kita dapat menuliskan lebih sesuai dalam bentuk g(y) dy = f(x)dx

Bentuk ini dikatakan sebagai bentuk persamaan yang sudah dipisahkan variabelnya. Bentuk penyelesaiannya : 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

7

05-May-14

Contoh Selesaikan PD berikut : 9yy’ + 4x = 0 Dengan memisahkan variabel-variabelnya maka menjadi : 9y dy = -4x dx Dengan mengintegrasikan pada kedua sisinya kita mendapatkan : 9 2

𝑦 2 = −2𝑥 2 + 𝑐 maka

𝑥2 9

+

𝑦2 4

=𝑐

Contoh Selesaikan PD berikut : y’ = 1 + y2 Dengan memisahkan variabel dan mengintegralkan kita mendapatkan : 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 1 + 𝑦2 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑦 = 𝑥 + 𝑐 y = tan (x + c)

8

05-May-14

 dx  x  C x n 1  x dx  n  1  cos ax  sin axdx  a  C sin ax  cos axdx  a  C n

 sec xdx  tan x  C  sec x tan xdx  sec x  C  csc x cot xdx   csc x  C  csc xdx   cot x  C 2

kx  e dx 

e kx C k

dx  ln x  C x dx  1  x 2  arcsin x  C dx  1  x 2  arctan x  C dx  x x 2  1  arcsec x  C



2

Contoh permasalahan Nilai awal Selesaikan permasalahan PD dengan nilai awal sbb : y’ + 5x4y2 = 0

y(0) = 1

Penyelesaian : 𝑑𝑦 𝑦2

-

1 𝑦

= −5𝑥 4 𝑑𝑥 = −𝑥 5 + 𝑐

𝑦=

1 𝑥 5 −𝑐

9

05-May-14

Lanjutan Dari hasil ini dan nilai awal kita mendapatkan : 𝑦 0 =

1 −𝑐

= 1,

c = -1

Dengan melakukan pengujian : 5𝑥 4 ′ 4 2 𝑦 + 5𝑥 𝑦 = − 5 𝑥 +1

maka 𝑦 =

+ 5𝑥 4 2

1 𝑥 5 +1

1 𝑥2 + 1

2

=0

Contoh Selesaikan PD berikut 𝑦′ =

𝑥 𝑦

y(1) = 3

Penyelesaian dengan pemisahan dan integrasi dan penggunaan kondisi nilai awal memberikan : y dy = x dx

½ y2 = ½ x2 + c

½ . 32 = ½ . 12 + c

dan c = 4

Maka y2 – x2 = 8

10

05-May-14

b. Metoda Penyederhanaan pemisahan variabel. PD orde 1 tertentu tidak dapat dipisahkan tetapi dapat dibuat terpisah dengan suatu perubahan variabel yang sederhana. Membentuk PD orde 1 menjadi : 𝑦 𝑦′ = 𝑔 𝑥 Dimana g adalah suatu fungsi dari y/x. Contoh (y/x)3, sin (y/x) dll. Bentuk persamaan menyarankan kepada kita untuk menyusun persamaan sbb : 𝑦 =𝑢 𝑥

Lanjutan Maka y = xu. Hasil penurunan total memberikan : y’ = u + xu’ dimana u’ = du/dx

Dari persamaan ini disubtitusikan ke persamaan g menjadi u + xu’ = g(u), sekarang kita dapat memisahkan variabel u dan x, mendapatkan: 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑢 −𝑢 𝑥

11

05-May-14

Integrasi pada kedua sisi dan dalam hasilnya menggantikan u dengan y/x, kita mendapatkan solusi umum Contoh Selesaikan 2xyy’ – y2 +x2 = 0 Dengan membagi dg x2, kita mendapatkan 𝑦 𝑦 2 2 𝑦, − +1 = 0 𝑥 𝑥

𝑦 𝑦 2 𝑦, − 𝑥 𝑥

2

+1 = 0

Jika mengatur u = y/x dan menggunakan nilai turunannya, persamaan tersebut menjadi : 2𝑢 𝑢 + 𝑢′ 𝑥 − 𝑢2 + 1 = 0 Maka

2𝑥𝑢𝑢′ + 𝑢2 + 1 = 0

12

05-May-14

Dengan memisahkan variabel, kita mendapatkan : 2𝑢𝑑𝑢 𝑑𝑥 = − 1 + 𝑢2 𝑥 Dengan pengintegrasian 𝑙𝑛 1 + 𝑢2 = −𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐 ∗ Jadi 1 + 𝑢2 =

𝑐 𝑥

Dengan menggantikan u dengan y/x, di dapatkan: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑐𝑥,

Contoh Selesaikan PDB dengan nilai awal 𝑦′ =

𝑦 𝑥

+

2𝑥 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 𝑦

dan 𝑦

𝜋 =0

Penyelesaian : Kita mengatur u = y/x. Maka y =ux, y’ = xu’ + u, dan persamaan menjadi : 2𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 𝑥𝑢′ + 𝑢 = 𝑢 + 𝑢 Kita menyederhanakan secara aljabar dan mengintegrasikan : 𝑢𝑢′ = 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 2 ,

1 2 𝑢 2

= 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 + 𝑐

13

05-May-14

Lanjutan Karena u = y/x, inimemberikan 𝑦 = 𝑢𝑥 = 𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥 2 + 2𝑐 Karena sinπ = 0, kondisi awal menghasilkan c = 0. Maka jawabannya adalah 𝑦 = 𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥 2 Kadang-kadang dari suatu bentuk persamaan differensial menyarankan pensubtitusian sederhana yang lain, seperti contoh berikut mengilustrasikannya :

Contoh 3 :

2𝑥 − 4𝑦 + 5 𝑦 ′ + 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0

Penyelesaian : Kita mengatur x – 2y = v. Maka 1 𝑦′= 1 − 𝑣′ 2 dan persamaan tersebut menjadi bentuk

14

05-May-14

2𝑣 + 5 𝑣 ′ = 4𝑣 + 11 Dengan memisahkan variabel dan dengan mengintegrasikan, kita mendapatkan : 1 1 − 𝑑𝑣 = 2𝑑𝑥 4𝑣 + 11 dan 𝑣 −

1 𝑙𝑛 4𝑣 + 11 = 2𝑥 + 𝑐 ∗ 4

Karena v = x – 2y, persamaan ini akan dituliskan 4𝑥 + 8𝑦 + 𝑙𝑛 4𝑥 − 8𝑦 + 11 = 𝑐

15