Penyelesaian Persamaan Differensial dan Persamaan Linear - non Linear dengan Metode Kesamaan

A1 : Penyelesaian Persamaan Differensial..... Abraham Salusu

Penyelesaian Persamaan Differensial dan Persamaan Linear - non Linear dengan Metode Kesamaan. Oleh : Abraham Salusu Jurusan Matematika , Binus University, Jakarta Barat Kampus Angrek , Jl. Kebon Jeruk Raya 27 Jakarta Barat [email protected] Abstrak Penyelesaian persamaan differensial maupun persamaan linear dan non linear selama ini sudah mengikuti cara yang biasa dengan memperhatikan bentuk dari persamaan. Persamaan differensial simultan dan persamaan non linear mempunyai penyelesaian yang berbeda. Metode kesamaan merupakan suatu bentuk penyelesaian persamaan differensial maupun persamaan linear – non linear yang sederhana dan tidak memerlukan banyak pengetahuan tentang teorema persamaan differensial maupun persamaan non linear. Metode kesamaan hanya mengusahakan bentuk persamaan berada dalam bentuk asli yaitu jumlah harus selalu tetap. Kata kunci : Persamaan Differensial, linear, non linear, kesamaan

I. Pendahuluan . Penyelesaian persamaan differensial atau persamaan Differensial parsial maupun mencari akar suatu persamaan linear dan non linear selama ini sudah mengikuti cara yang lasim digunakan misalnya penyelesaian khusus biasanya dilakukan dengan mencoba apakah hasilnya sudah benar.. Penyelesaian persamaan differensialo maupun menacari akar suatu persamaan dapat dilakukan dengan metode kesamaan yaitu mengusahakan bentuk persamaan tetap dalam bentuk kesamaan . Penyelesaian persamaan tidak memerlukan banyak teori , tetapi hanya menterjemahkan maksud dari persaman dan mengusahakan tetap berada dalam bentuk yang selalu sama. II. Persamaan differensial II.1. Mencari Penyelesaian Persamaan Differensial Penyelesaian Khusus Untuk menyelesaikan persamaan

differensial

orde

1

yang

berbentuk

dapat dilakukan dengan membuat 2 bagian dari persamaan yaitu dan

kemudian y disubstitusikan ke persamaan

dan seterusnya

hingga didapat kesamaan sepewrti berikiut : II.1. 1

Bila :

Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”Peningkatan Kontribusi Penelitian dan Pembelajaran Matematika dalam Upaya Pembentukan Karakter Bangsa ” pada tanggal 27 November 2010 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY


Bagilah persamaan tersebut menjadi dua bagian / suku sebagai berikut : dan

0

kedua bagian jumlahnya sama dengan

atau dalam

bentuk tabel seperti berikut :

Kolom sebelah kiri diturunkan setelah dibagi dengan 2 diperoleh x (kolom kanan ), kemudian tandanya diubah dan dimasukkan ke kolom kiri dan bila dijumlahkan hasilnya =

. Kolom kiri - x diturunkan lagi setelah dibagi dengan 2 diperoleh

tandanya diubah masukkan kekolom kiri, turunannya diujumlahkan hasilnya tetap

. Jadi Penyelesaian khusus adalah

:

0 .

dan

Kedua kolom bila (a)

Persamaan Komplementer diubah menjadi :

Untuk penyelesaian kasus (1) x diintegralkan kemudian dikalikan ndengan 2 diletakkan padsa kolom kedua, kemudian diubah tandanyaq dimsukkan dalam kolom pertama dan bila dijumlahkan hasilnya sama dengan nol. Demikian seterusnya hingga didapat :

seperti pada tabel berikut :

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 27 november 2010

25


Selanjutnya penyelesaian kasus (2) Kolom bagian kiri dibagi 2 kemudian diturunkan dan diletakkan pada kolom bagian kanan, selanjutnya tandanya diubah dan diletakkan pada kolom bagian kiri dan seterusnya sehingga didapat

Penyelesaian kasus 1 dan 2 dijumlahkan diperoleh Penyelesaian dari persamaan komplementer. yaitu :

demikian juga bila dkimisalkan

akan diperoleh hasil yang

sama dan hanya akan memberikan nilai C yang berbeda.

Gambar 2-1 Jadi Penyelesaian Umum dari Persamaan


26


adalah

II.1. 2

Bila :

Ini dapat dilakukan dengan 2 cara demikian Tabel 2.4

Tabel 2.5

Hasilnya sama Catatan :

II.1. 3

Bila : g(x) = sin(ax) atau cos (ax)

Tabel 2.6


Tabel 2.7

27


Atau ditukar menjadi

2y =sin(2x)-cos(2x)-sin(2x)+cos(2x)+ sin(2x) -.....

Untuk tabel ke-2

Keduanya sama II.2. Mencari Penyelesaian Persamaan Simultan


28


+ ......

Cara yang biasa (1) (2)

Persamaan (1) dikalikan dengan D dan dijumlahkan dengan

persamaan (2)

diperoleh

mempunyai Penyelesaian khusus masukkan dalam persamaan (1) diperoleh

II.3.

Mencari Akar suatu Persamaan

II.3. 1 Persamaan Polinomial x2 + 2x -6 = 0 hasilnya -3,645751311 dan 1.64575131 Persamaan diubah menjadi x2 + 2x = 6 ambil x2 = 6 . Caranya cari akar dari 6 yaitu hasilnya dikolom (2)

kolom (6) kemudian dikalikan dengan 2


29


Selisih di kolom (5) dikurangkan dengan 6 di kolom (1) diperoleh 1,10102 Demikian seterusnya hingga didapat nilai selisih sama dengan 0 atau cukup kecil bila akar bukan bilangan bulat.

Jadi akarnya adalah II.3. 2 a). Logaritma :

= 1.645755

Persamaan non linear ln(x) + x - 2 = 0


Hasilnya = 1.55715

30


Jadi akarnya adalah

1.5569244

b). Eksponensial

x=

1.0586957

III. Kesimpulan . Penyelesaian Persamaan dengan menggunakan metode kesamaan dapat dilakukan pada Persamaan Differensial maupun Persamaan Differensial Simultan dan juga dalam mencari akar suatu peresamaan. Metode kesamaan tidak memerlukan


31


banyak teori atau rumus-rumus dan lebih mudah untuk dimengerti, hanya biasanya akanmenggunakan waktu yang agak lama. Metode ini justru akan lebih mudah dalam membuat program dalam penyelesaian suatu persamaan. IV. Daftar Pustaka .


32

Penyelesaian Persamaan Differensial dan Persamaan Linear - non Linear dengan Metode Kesamaan

Recommend Documents