PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Disusun Oleh : Maria Febronia Sedho Dheno NIM: 123114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017

i


SOLUTIONS TO NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS BY THE ADOMIAN DECOMPOSITION METHOD

A THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program

Written by : Maria Febronia Sedho Dheno Student ID: 123114008

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017

ii


iii


iv


HALAMAN PERSEMBAHAN

Tugas akhir saya persembahkan untuk orang-orang terkasih: Orang tuaku, Melkhior Dheno dan Rosalina Bate

v


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa tugas akhir yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 25 Januari 2017

Maria Febronia Sedho Dheno

vi


ABSTRAK Persamaan diferensial parsial terdiri dari persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Beberapa model persamaan diferensial parsial nonlinear antara lain adalah persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal (PGAD), persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat dan sederhana, PGAD kemudian disederhanakan ke dalam model lain yang salah satunya adalah persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik. Dalam tugas akhir ini, keempat model persamaan diferensial parsial nonlinear di atas diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian (MDA). Dengan menggunakan MDA, solusi persamaan diferensial diasumsikan sebagai jumlahan fungsi atau deret tak hingga fungsi dengan bantuan polinomial Adomian. Polinomial Adomian digunakan untuk menyelesaikan suku nonlinear dalam persamaan diferensial tersebut. Persamaan diferensial harus disertai dengan kondisi awal agar persamaan diferensial tersebut dapat diselesaikan. Kondisi awal yang diberikan tersebut sangat berpengaruh terhadap solusi yang didapatkan. Sebagai tindak lanjut dari penggunaan konsep MDA dalam keempat persamaan diferensial parsial nonlinear di atas adalah jika terdapat solusi eksak eksplisit dari masalah yang dicari maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi tersebut. Solusi pendekatan MDA merupakan solusi yang berasal dari deret terpotong yaitu yang biasanya melibatkan beberapa suku saja. Secara eksplisit, solusi pendekatan tersebut bergantung pada variabel ruang dan waktu. Penelitian ini menerapkan konsep MDA ke dalam persamaan Burger, PGAD, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Perhitungan dilakukan dengan bantuan program komputer yaitu MAPLE.

vii


ABSTRACT Partial differential equations are of linear and nonlinear. Some models of nonlinear partial differential equations, are Burger equation, Shallow Water Equation (SWE), gravity wave equation, and kinematic wave equation. In order to make the calculation becomes faster and simpler, SWE is simplified into other models, which are gravity wave equation and kinematic wave equation. In this thesis, the four models of nonlinear partial differential equations are solved by using Adomian Decomposition Method (ADM). By using this method, the solution of differential equation is assumed as the sum of functions or infinite series of functions with the help of Adomian polynomials. Adomian polynomial is used for solving the nonlinear term in the differential equation. The differential equation must be accompanied by an initial condition so that the differential equation can be solved. The initial condition which is given greatly affects the obtained solution. As the follow-up of the use of the ADM in the four nonlinear partial differential equations above is that if there is an explicit exact solution of the problem, the series converges quickly into the solution. The approximate solution is the solution derived from a truncated series which is usually involving only several terms. Explicitly, the approximate solution depends on the space and time variables. This research applies ADM concept into the Burger equation, SWE, gravity wave equation, and kinematic wave equation. The calculation is done by the aid of the MAPLE computer software.

viii


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama

: Maria Febronia Sedho Dheno

NIM

: 123114008

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear dengan Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tangggal 25 Januari 2017 Yang menyatakan


ix


KATA PENGANTAR Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma. Banyak tantangan dalam proses penulisan tugas akhir ini, namun dengan penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya skripsi ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, sekaligus selaku dosen pembimbing yang dengan sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses penulisan tugas akhir ini. 2. Bapak Y. G. Hartono, S.Si., M.Sc. selaku Kepala Program Studi Matematika. 3. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis. 4. Kedua orang tuaku, Melkhior Dheno dan Rosalina Bate, serta kedua adikku Maria Theresia Wua Dheno dan Gregorius Hermanus Resi Dheno yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan memberikan masukkan positif kepadaku. 5. Frederikus Yasman yang telah memberikan semangat dan dukungan kepadaku dengan penuh kasih.

x


6. Teman-teman seperjuangan prodi Matematika yaitu Ilga, Happy, Ajeng, Bobi, Rian, Budi, Ega, Amanda, Anggun, Dewi, Lia, Arum, Noni, Putri, Sila, Juli, Risma, Tika, dan Auxi yang selalu membantuku saat aku kesulitan dalam belajar dan dalam penyusunan tugas akhir ini. 7. Teman-teman dan kakak-kakak kece personil Wisma Goreti yaitu, kak Oppy, kak Orry, kak Cici, ka Lenny, Yanzher, dan Elsa yang selalu mendukung dan membantu dalam penyusunan tugas akhir ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan tugas akhir ini.

Yogyakarta, 25 Januari 2017 Penulis,


xi


DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL.............................................................................................. i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi ABSTRAK .......................................................................................................... vii ABSTRACT ....................................................................................................... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................... ix KATA PENGANTAR .......................................................................................... x DAFTAR ISI ....................................................................................................... xii BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1 A. Latar Belakang ......................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah .................................................................................... 6 C. Pembatasan Masalah ................................................................................ 6 D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 6 E. Metode Penulisan ..................................................................................... 7 F. Manfaat Penulisan .................................................................................... 7 G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 7 xii


BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ........................................................... 9 A. Turunan Fungsi ......................................................................................... 9 B. Klasifikasi Persamaan Diferensial .......................................................... 13 C. Integral .................................................................................................... 16 D. Barisan..................................................................................................... 20 E. Deret ........................................................................................................ 20 F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin .......................................................... 22 G. Konvergensi Deret Taylor ....................................................................... 23 BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ......................................... 29 A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Nonlinear ................................................................................................................. 29 B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger ...................... 39 C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air Dangkal ................................................................................................................. 43 D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi ................................................................................................................. 54 E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang KInematik ................................................................................................................. 62 BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ........... 66 A. Perumuman dan Hipotesis Metode Dekomposisi Adomian ................... 66 B. Teorema Konvergensi ............................................................................. 67 C. Kecepatan Konvergensi .......................................................................... 69

xiii


BAB V PENUTUP ............................................................................................. 71 A. Kesimpulan ............................................................................................ 71 B. Saran ........................................................................................................ 72 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 73 LAMPIRAN ....................................................................................................... 74

xiv


BAB I PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaaat penulisan, dan sistematika penulisan.

A.

Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari

satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel bebas (Ross, 1984). Permasalahan yang berhubungan dengan persamaan diferensial sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan tersebut seperti dalam bidang sains dan teknik. Klasifikasi persamaan diferensial bisa di dasarkan pada: banyaknya variabel yang terlibat, derajat persamaan diferensial, linear atau nonlinear, dan homogen atau nonhomogen. Beberapa model dalam bentuk persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Terdapat dua bentuk persamaan diferensial parsial yaitu persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Model umum persamaan diferensial parsial yang sering kita jumpai sehari-hari adalah model arus lalu lintas di jalan yang ramai, aliran darah yang melalui dinding tabung elastis, dan gelombang kejut sebagai kasus khusus dari teori umum dinamika gas dan hidrolik (Wazwaz, 2009).

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Model-model lain dari persamaan diferensial parsial yaitu seperti persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Persamaan Burger, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik merupakan model khusus dari persamaan gelombang air dangkal. Dalam tugas akhir ini dipandang empat model di atas dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian (MDA). Menurut Wazwaz (2009), persamaan Burger adalah persamaan diferensial parsial fundamental dalam mekanika fluida. Persamaan ini pertama kali dikenalkan oleh Johannes Martinus Burger (1895-1981). Persamaan Burger dapat dirumuskan sebagai berikut: (1.1) dengan

adalah kecepatan aliran dan variabel independen

dan secara berturut-

turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu Menurut Dawson dan Mirabito (2008), persamaan gelombang air dangkal adalah sistem persamaan diferensial parsial hiperbolik yang mengatur aliran zat cair di lautan, daerah pesisir, muara, sungai, dan saluran air. Karakteristik umum dari aliran air dangkal adalah dimensi vertikalnya lebih kecil daripada skala horizontalnya. Dalam hal ini, kita dapat mengambil rata-rata kedalaman sebagai pengganti dimensi vertikal. Persamaan gelombang air dangkal dapat digunakan untuk memprediksi pasang surut, gelombang badai dan tingkat perubahan garis pantai dari badai, serta arus laut.


Secara matematis, seperti ditulis oleh Al-Khaled dan Allan (2004) persamaan gelombang air dangkal (PGAD) dapat dirumuskan sebagai berikut

( )

dengan

,

)

(

)

(1.2)

dan memenuhi kondisi awal sebagai berikut:

(

dengan

(

)

(

)

(1.3)

adalah kedalaman air dari permukaan air hingga dasar tanah, adalah kecepatan fluida, dan

adalah kedalaman air dari permukaan

air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen

dan

secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Ilustrasi aliran air dinyatakan dalam Gambar 1.1.

Gambar 1.1 Ilustrasi aliran air.


R. Martins, J. Leandro, dan S. Djordjević memperkenalkan persamaan Saint-Venant (PSV), sebagai bentuk lain dari PGAD. Persamaan ini sering disederhanakan sehingga menjadi sangat praktis, menjadikan perhitungan yang sangat cepat, atau untuk representasi fisis. Untuk mengurangi waktu perhitungan atau meningkatkan stabilitas, PSV sering disederhanakan ke dalam model lain seperti persamaan gelombang kinematik, persamaan gelombang difusif, dan persamaan gelombang gravitasi. Model persamaan gelombang gravitasi adalah sebagai berikut:

(1.4)

dengan

adalah kedalaman air,

adalah debit air dan

adalah percepatan

gravitasi. Dan model persamaan gelombang kinematik adalah sebagai berikut: (1.5) dengan

adalah ketinggian air dan variabel independen

dan

secara berturut-

turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Dalam tulisan ini, metode yang digunakan adalah metode dekomposisi Adomian. Metode ini diperkenalkan oleh seorang ahli yang bernama G. Adomian. Metode dekomposisi Adomian (MDA) merupakan metode yang dapat menyelesaikan persamaan fungsional nonlinear dengan berbagai jenis misalnya: aljabar, diferensial, diferensial parsial, integral, dan lain-lain dengan kondisi awal dan kondisi batas tanpa diskretisasi domain. Dalam tugas akhir ini diambil


persamaan diferensial parsial yang diselesaikan dengan MDA. Dalam MDA, solusi persamaan diferensial diasumsikan sebagai jumlahan fungsi atau deret tak hingga fungsi dengan bantuan polinomial Adomian. Polinomial Adomian digunakan untuk menyelesaikan suku nonlinear dalam persamaan diferensial tersebut. Polinomial Adomian dibentuk menggunakan ekspansi deret Taylor pada fungsi tertentu, yang diasumsikan sebagai fungsi analitik. Persamaan diferensial harus disertai dengan kondisi awal agar persamaan diferensial dapat diselesaikan. Kondisi awal yang diberikan tersebut sangat berpengaruh terhadap solusi yang didapatkan (Adomian,1994). Banyak peneliti mengungkapkan bahwa jika terdapat solusi eksak dari masalah yang dicari maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi tersebut. Konsep konvergensi dari deret dekomposisi telah didiskusikan oleh banyak peneliti untuk menjelaskan konvergensi yang cepat dari deret yang dihasilkan tersebut. Cherruault telah memperkenalkan mengenai konsep konvergensi metode Adomian dalam makalahnya. Selain itu, Cherruault dan Adomian juga menyajikan bukti konvergensi baru dari metode Adomian tersebut. Bukti konvergensi inilah yang digunakan penulis dalam menyelidiki konvergensi dari MDA. Jadi, secara umum solusi MDA adalah solusi analitis pendekatan dari solusi eksaknya.


B. Rumusan Masalah Tugas akhir ini terdiri dari beberapan rumusan-rumusan masalah yang terlihat seperti di bawah ini: 1. Bagaimana menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial dengan MDA? 2. Bagaimana menyelesaikan persamaan Burger dengan MDA? 3. Bagaimana menyelesaikan PGAD dengan MDA? 4. Bagaimana menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi dengan MDA? 5. Bagaimana menyelesaikan persamaan gelombang kinematik dengan MDA? 6. Bagaimana konvergensi dari MDA ?

C. Batasan Masalah Pembahasan masalah dalam tugas akhir ini akan dibatasi pada menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial dengan MDA, yang meliputi: persamaan

Burger,

PGAD,

persamaan

gelombang

gravitasi,

persamaan

gelombang kinematik. Selain itu, akan dibahas juga tentang konvergensi dari MDA.

D. Tujuan Penulisan Tugas akhir ini terdiri dari beberapa tujuan pokok dalam penyelesaiannya yaitu sebagai berikut:


1. Menerapkan MDA untuk memperoleh solusi eksplisit pendekatan untuk persamaan diferensial parsial dengan suku sumber. 2. Menggambarkan bagaimana metode dekomposisi dapat membantu untuk memperoleh solusi yang akurat dan konvergensi yang cepat mengenai hukum konservasi dengan suku sumber.

E. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka dari buku-buku dan jurnal serta praktek simulasi dengan bantuan komputer.

F. Manfaat Penulisan Dengan menerapkan MDA pada persamaan diferensial, diperoleh suatu penyelesaian yang merupakan suatu fungsi eksplisit terhadap variabel bebas. Dengan demikian, jika diberikan sebarang nilai variabel bebas, maka penyelesaian di titik variabel bebas itu dapat dihitung dengan cepat. Perhitungan ini dilakukan tanpa diskretisasi numeris dari domain.

G. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini terdiri dari lima bab yaitu sebagai berikut:

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah


C. Batasan Masalah D. Metode Penulisan E. Tujuan Penulisan F. Manfaat Penulisan BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Turunan Fungsi B. Klasifikasi Persamaan Diferensial C. Integral D. Deret Taylor dan Deret Maclaurin E. Konvergensi Deret Taylor BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air Dangkal. D. Metode Dekomposisi

Adomian untuk

Persamaan

Gelombang

Adomian untuk

Persamaan

Gelombang

Gravitasi. E. Metode Dekomposisi Kinematik BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN A. Teorema Konvergensi B. Kecepatan Konvergensi BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran


BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

Dalam bab ini akan ditulis mengenai konsep-konsep dasar atau teori-teori dasar dalam penyelesaian tugas akhir ini. Teori-teori dasar tersebut meliputi: turunan fungsi, klasifikasi persamaan diferensial, integral, barisan, deret, deret Taylor, deret Maclaurin dan konvergensi deret Taylor.

A. Turunan Fungsi Pada subbab ini akan dibahas mengenai turunan fungsi yang meliputi turunan fungsi satu variabel dan turunan fungsi dua variabel. Berikut akan dijelaskan definisi untuk turunan fungsi. Definisi 2.1 Turunan fungsi

didefinisikan sebagai: ( )

di setiap titik fungsi

(

)

( )

sehingga limit di atas ada dan hingga. Dan jika

( ) ada maka

dikatakan terdiferensial atau mempunyai turunan di .

Turunan Fungsi Eksplisit Fungsi bebas

( ) disebut fungsi eksplisit sebab hubungan antara variabel

dengan variabel takbebas

diberikan secara eksplisit melalui rumus

fungsi . Contoh 2.1 Tentukan turunan dari fungsi ( )

.

9


Penyelesaian: Fungsi di atas bukan merupakan fungsi linear, maka dengan menggunakan definisi 2.1, penyelesaiannya adalah sebagai berikut: (

)

( )

( (

)

)

( )

( (

)

( (

(

) )

) )

Turunan Fungsi Implisit Fungsi variabel bebas

(

)

dikatakan fungsi implisit sebab hubungan antara

dan variabel takbebas

diberikan secara tidak eksplisit. Dalam

mencari turunan untuk fungsi implisit, maka dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi ekplisit dan dengan menggunakan metode penurunan implisit. Contoh 2.2 Tentukan Penyelesaian:

apabila

.


Cara 1 Penurunan Eksplisit Dengan mengubah menjadi fungsi eksplisit, yaitu sebagai berikut:

atau (

)

atau

Dengan menggunakan Definisi 2.1, kita peroleh:

(

)

Cara 2 Penurunan Implisit Dengan menurunan kedua ruas terhadap , maka: (

)

(

atau

atau

atau ( atau

)

)


Solusi yang dihasilkan oleh kedua cara di atas terlihat berbeda. Solusi yang diberikan oleh Cara 1 hanya melibatkan , sedangkan solusi yang diberikan oleh Cara 2 melibatkan

dan . Namun, ingat bahwa dalam Cara 1 telah diubah fungsi

semula ke dalam fungsi eksplisit yaitu dengan mengubah fungsi (

dan diperoleh dalam bentuk

). Lalu dengan mensubsitusikan

dalam bentuk (

) ke

pada solusi yang dihasilkan oleh Cara 2, maka diperoleh: .

/

atau

atau (

)

Sekarang dapat dilihat bahwa solusi yang dihasilkan oleh Cara 1 dan Cara 2 sudah terlihat sama. Yang harus diperhatikan adalah untuk menentukan turunan dari suatu fungsi tidak harus dikerjakan dengan 2 cara di atas karena tidak semua fungsi dapat di ubah ke dalam bentuk fungsi eksplisit misalnya

. Sehingga

untuk menentukan turunannya langsung dikerjakan dengan menggunakan penurunan implisit.


B. Klasifikasi Persamaan Diferensial Pada bagian ini akan dibahas klasifikasi persamaan diferensial yang meliputi contoh dan definisi persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, orde persamaan diferensial, dan kelinearan persamaan diferensial. Definisi 2.2 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel bebas. Contoh 2.2 Contoh persamaan diferensial adalah sebagai berikut: (

)

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5) Definisi 2.3 Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan biasa dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu variabel bebas.


Contoh 2.3 Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.1) dan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa. Dalam persamaan (2.1) variabel satunya variabel bebas, dan

adalah satu-

adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.2)

variabel bebasnya adalah , dengan

adalah variabel terikat.

Definisi 2.4 Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan lebih dari satu variabel bebas. Contoh 2.4 Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.3) dan (2.4) adalah persamaan diferensial parsial. Dalam persamaan (2.3) variabel variabel bebas dan

dan

adalah

adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.4) terdapat

tiga variabel bebas yaitu , , dan

sedangkan


Definisi 2.5 Orde atau derajat dari persamaan diferensial adalah orde atau tingkat tertinggi dari turunan yang terlibat dalam suatu persamaan diferensial. Contoh 2.5 Persamaan diferensial biasa (2.1) adalah persamaan diferensial orde kedua, karena turunan tertinggi yang terlibat adalah turunan kedua. Persamaan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa orde keempat. Persamaan diferensial parsial


(2.3) dan (2.4) secara berturut-turut adalah persamaan diferensial orde pertama dan kedua. Definisi 2.6 Suatu persamaan diferensial biasa linear orde , dengan variabel terikat dan variabel bebas , dapat dinyatakan dalam bentuk ( ) dengan

( )

( )

( )

( )

(2.6)

tidak sama dengan nol.

Contoh 2.7 Kedua persamaan diferensial biasa berikut adalah persamaan diferensial biasa linear. Pada kedua persamaan tersebut, variabel Perhatikan bahwa


dan turunan-turunannya terjadi dengan pangkat pertama saja

dan tidak ada perkalian dari

dan/atau turunan dari .

(2.7)

(2.8)

Definisi 2.8 Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah suatu persamaan diferensial biasa yang tidak linear. Persamaan diferensial biasa yang tidak berbentuk seperti persamaaan (2.6) dikatakan persamaan diferensial biasa nonlinear. Contoh 2.8 Contoh persamaan diferensial biasa nonlinear adalah sebagai berikut:


(2.9)

(

(2.10)

)

(2.11)

Persamaan (2.9) adalah persamaan diferensial biasa nonlinear karena variabel terikat

terdapat pada derajat kedua dalam bentuk

. Persamaan (2.10) juga

merupakan persamaan diferensial biasa nonlinear karena terdapat bentuk . / yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertamanya. Persamaan (2.11) juga nonlinear karena pada bentuk

melibatkan perkalian terhadap variabel

terikat dan turunan pertamanya.

C. Integral Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi integral dan contohcontohnya dari integral tentu. Definisi 2.9 Suatu fungsi ( )

( ) disebut anti turunan dari fungsi ( ) pada selang

( ) untuk suatu

. Dengan kata lain

( )

( ).

Contoh 2.9 Carilah anti turunan dari fungsi ( ) Penyelesaian:

pada interval (

).

jika


( )

Nilai anti turunan dari fungsi di atas bukan adalah

. Dan nilai anti turunan yang memenuhi adalah

turunannya adalah adalah

sebab turunannya

( )

( )

karena

. Dengan demikian, anti turunan dari

.

Suatu anti turunan atau pengintegralan fungsi ( ) terhadap

dapat dinotasikan

sebagai berikut: ∫ ( ) dengan ∫

( ) ,

(2.12) ( ) merupakan fungsi integran, ( )

merupakan fungsi integral umum yang bersifat

( ) dan

( )

merupakan

konstanta. Integral Tentu Definisi 2.10 Misalkan

suatu fungsi pada interval tertutup ,

disebut integral tentu (atau integral Riemann) dari ∫ dengan ̅

,

( ) -

∑ ( ̅)

‖ ‖

sampai

yang

diberikan oleh:

∑ ( ̅)

dan ‖ ‖ adalah

Untuk menghitung luasan di bawah kurva suatu fungsi interval tertutup ,

( )

-, maka ∫

-, seperti pada gambar di bawah ini

. ( ) pada


Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi satu variabel. maka akan dibuat titik-titik

dengan

menunjukan bahwa interval tertutup , subinterval yaitu ,

-,

-,

akan diambil sembarang titik ̅ dan . Disini

dan

- tersebut akan dipartisi menjadi -

,

- Dari setiap subinterval

yang merupakan panjang interval dengan . Seperti contoh

Cara lain untuk menghitung

. Ini

.

adalah dengan menggunakan rumus sebagai

berikut:

Rumus integral tentu pada Definisi 2.10 diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan nilai Jumlahan Riemann atau jumlah luas persegi panjang. Nilai hampiran luas persegi panjang diperoleh dari definisi dasar luas persegi panjang yaitu

dengan ketentuan panjangnya merupakan

( ̅ ) dan lebarnya merupakan persegi panjang grafik

. Sehingga untuk menghitung hampiran luas

( ) diatas adalah

( ̅)

.


Luas daerah di bawah kurva diaproksimasikan dengan total hampiran luas persegi panjang masing-masing subinterval yang dibentuk tersebut, sehingga aproksimasi luas di bawah kurva adalah

Hal ini berarti bahwa total

hampiran luas persegi panjang atau jumlahan Riemann fungsi ,

- sebagai hampiran luas daerah di bawah kurva

pada interval

( ) dan di atas sumbu

dapat ditulis sebagai berikut: ( ̅ )

( ̅ )

( ̅ )

Jika ‖ ‖ diperkecil pada interval tertutup , akan bertambah. Dengan kata lain, jika ‖ ‖ Jika

semakin membesar maka

∑ ( ̅)

-, maka jumlah subinterval atau maka

.

dan berarti bahwa semakin baik

pula aproksimasi luasan dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya. Dengan demikian, ∑ ( ̅)

D. Barisan Pada subbab mengenai konsep barisan ini, hanya dibatasi pada konsep barisan konvergen dan divergen beserta contohnya. Definisi 2.11 Suatu barisan * bilang posistif

+ dikatakan kovergen ke suatu bilangan

terdapat suatu bilang bulat

|

jika untuk setiap

sedemikian sehingga untuk semua

|


Jika tidak terdapat bilang

, maka barisan *

+ tersebut dikatakan barisan

divergen. Jika *

+ konvergen ke

. Dan

, maka

, atau secara sederhana

merupakan limit dari barisan.

Contoh 2.10 Tunjukkan bahwa

.

Penyelesaian Misalkan

Akan ditunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat

sedemikian hingga untuk semua , | Bentuk implikasi di atas terpenuhi jika

| atau

. Jika

adalah sebarang

bilangan bulat yang lebih besar dari , maka bentuk implikasi di atas terpenuhi untuk semua

. Sehingga terbukti bahwa

E. Deret Pada subbab ini hanya dibatasi pada konsep deret konvergen dan divergen beserta contohnya. Definisi 2.12 Diberikan suatu barisan bilangan *

dikatakan deret takhingga. Bilangan * + didefinisikan oleh:

+, suatu ekspresi dalam bentuk

merupakan suku ke- dari deret. Barisan


∑

adalah barisan jumlah parsial dari deret, dengan

adalah jumlah parsial ke- .

Jika barisan jumlah parsial konvergen ke limit , maka deret tersebut konvergen dan jumlahannya adalah . Dalam kasus ini, akan dituliskan sebagai berikut: ∑ Jika barisan jumlah parsial dari suatu deret tidak konvergen, maka deret tersebut dikatakan deret divergen. Contoh 2.11 Selidiki kekonvergenan dari deret dibawah ini:

Penyelesaian Jika diperhatikan

( )

( )


sehingga diperoleh jumlah parsial ke- nya adalah: ( ) . /

dan

Jadi, karena barisan jumlah-jumlah

parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen. F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh-contoh deret Taylor dan deret Maclaurin. Definisi 2.13 Misalkan

adalah sebuah fungsi yang memiliki turunan-turunan dari semua

tingkat pada interval tertentu dengan yang diberikan oleh ( )

∑

( )

adalah titik interior. Maka deret Taylor

di sekitar (

( )

) ( )

adalah:

(

( )

( )

( )

( )

)

(

)

)

Deret Maclaurin yang diberikan oleh ∑

( )(

( )

yaitu deret Taylor yang diberikan oleh

adalah ( )

di sekitar

( )

.

Contoh 2.12 Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh ( ) Penyelesaian:

di sekitar

.


Akan dicari

(

( )

,

( )

)

(

)

( )

( )

( )

. Dengan turunan maka diperoleh

( )

,

( )

, dan seterusnya maka

, sedemikian sehingga

( )

( )

( )

( )

(

)

Deret Taylornya adalah: ( )

( )(

( )

) (

)

(

(

( )

) )

(

)

(

(

) )

Dan ini merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasio

.

G. Konvergensi Deret Taylor Dalam subbab ini akan dibahas mengenai deret Taylor suatu fungsi yang konvergen ke fungsi itu sendiri. Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut. Teorema 2.1 Teorema Taylor Jika

pada interval tertutup antara antara

dan , dan

dan , maka terdapat bilangan

( )

( )

dan turunan-turunan pertama hingga ke-

( )

( )( (

(

)(

)

)

(

terdiferensial pada interval terbuka

antara ( )

)

( )

(

kontinu

dan

sedemikian sehingga:

)

( )(

)

(

)

)

Bukti Untuk membuktikan teorema Taylor maka akan diasumsikan bahwa Dipandang polinomial Taylor berbentuk sebagai berikut:

.


( )

( )

( )(

dan turunan pertama pada

( )

)

( )

(

)

-nya sesuai dengan fungsi

( )

(

)

dan turunan pertama

-nya

. Hal ini tidak mengubah kesesuaian tersebut jika ditambahkan suku (

lain dari bentuk

)

dengan

adalah suatu konsanta, karena suku

tersebut dan turunan pertama -nya semua sama dengan nol pada

. Lalu,

didefinisikan fungsi baru yaitu: ( )

( )

(

)

dengan turunan pertama -nya masih sesuai dengan fungsi -nya pada

dan turunan pertama

.

Sekarang akan dipilih suatu nilai tertentu dari ( ) sesuai dengan kurva asli ( ) dengan

( )

(

( ) pada

, yaitu: ( )

)

(

( )

(2.13)

)

didefinisikan oleh persamaan (2.13), maka fungsi: ( )

( )

yang merupakan selisi antara fungsi asli setiap

yang membuat kurva

di ,

( ) dan fungsi aproksimasi

( ) untuk

-.

Selanjutnya akan digunakan teorema Rolle. Pertama, karena ( )

dan

dan

keduanya kontinu pada , ( )

Lalu, karena

( )

( )

-, maka (

dan

dan

)

keduanya kontinu pada ,

maka ( )

( )

(

)

-,


(

Terlihat bahwa teorema Rolle berhasil diaplikasikan pada

)

yaitu: )

sedemikian sehingga

(

)

sedemikian sehingga

( )(

)

sedemikian sehingga

( )(

)

( ( )

Karena ( )(

)

bilangan

( )

(

)

kontinu pada ,

- dan terdiferensial pada (

( )(

), dan

)

, bahwa teorema Rolle mengimplikasikan bahwa terdapat suatu pada (

) sedemikian sehingga (

Jika diturunkan ( )

)(

( )

)

(2.14)

( )

(

)

total dari

kali, maka

diperoleh: (

)(

(

)

)(

)

(

)

(2.15)

Berdasarkan persamaan (2.14) dan (2.15), diperoleh: (

(

)(

)

(

)

)

(2.16)

Dan berdasarkan persamaan (2.13) dan (2.16), diperoleh: ( )

( )

(

(

)(

)

)

(

)

Maka terbukti. Ketika menggunakan teorema Taylor, maka akan diasumsikan

tetap dan

adalah variabel bebas. Rumus Taylor mudah digunakan saat mengganti

dengan

. Rumus di bawah ini merupakan versi dari teorema Taylor setelah mengubah dengan .


Rumus Taylor Jika

mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval terbuka

yang memuat , maka untuk setiap bilangan bulat positif

dan untuk setiap

di

, ( )

( ) ( )(

( )( )

( )

)

(

) (2.17)

(

( )

)

dengan ( ) untuk antara

(

)(

(

)

)

(

)

(2.18)

dan .

Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa untuk setiap

, maka: ( )

Fungsi

( )

( ) ditentukan oleh nilai dari (

bergantung pada kedua

( ) ) turunan ke

oleh

)

di titik

yang

dan , dan terletak di antara mereka.

Persamaan (2.12) disebut rumus Taylor. Fungsi untuk aproksimasi

(

( ) disebut suku error

( ) terhadap interval .

Definisi 2.14 Jika dibangun oleh

( ) saat

untuk semua

maka deret Taylor yang

pada interval , ditulis sebagai berikut:


( )

( )

∑

( )

(

)

( ) dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai , untuk mengetahuinya dapat dilihat contoh sebagai berikut. Contoh 2.13 Tunjukkan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh ( ) konvergen ke ( ) untuk setiap

saat

.

Penyelesaian: ( ) mempunyai turunan dari semua orde sepanjang interval

Fungsi

). Persamaan (2.12) dan (2.13) dengan ( )

(

dan

, maka:

( ) dan ( ) untuk antara

(

)

dan .

Karena

adalah fungsi naik, maka

berada di antara

nilai

maka nilai

. Ketika nilai

dan

( )

dan

. Dan ketika nilai |

saat

( )|

| | (

dan

)

, dan |

saat

maka

. Lalu, karena

( )|

(

)

dan maka nilai . Maka,

. Ketika


( untuk setiap ,

( )

∑

)

dan deret konvergen untuk setiap , maka:

(2.19)


BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode dekomposisi Adomian (MDA) dan penyelesaian beberapa persamaan diferensial parsial baik linear maupun nonlinear dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Beberapa persamaan diferensial parsial tersebut adalah persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik.

A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear Dalam bagian ini akan dibahas mengenai penerapan metode dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear yang akan diawali dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial orde pertama dengan menggunakan MDA. a. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial Linear Orde Pertama Untuk memberikan gambaran mengenai metode dekomposisi Adomian, maka perhatikan persamaan diferensial linear berikut: (3.1)

29


dengan

adalah suatu fungsi yang diasumsikan mempunyai invers,

fungsi diferensial linear dan fungsi invers

adalah

adalah suku sumber. Dengan mensubsitusikan

pada kedua sisi persamaan (3.1), maka diperoleh: (

)

atau ( Lalu dengan mengoperasikan

) (

(

)

), diperoleh: (

)

atau (

)

Atau ( dengan

)

(3.2)

adalah suku yang dihasilkan dari proses pengintegralan terhadap suku

sumber . Metode Adomian mendefinisikan solusi

berdasarkan suatu deret

takhingga seperti yang dituliskan berikut, yaitu: ∑

(3.3)

Selanjutnya, persamaan (3.3) akan disubsitusikan ke persamaan (3.2) dan diperoleh:

∑

( (∑

))


Atau ( (

))

(3.4)

Sehingga diperoleh skema di bawah ini:

( (

(3.5)

))

atau

( ( Setelah menentukan

( (

))

( (

))

(3.6)

)) lalu akan disubsitusikan ke persamaan

(3.3) untuk memperoleh solusi dalam bentuk deret. Untuk mempermudah dalam memahami konsep metode ini, maka akan diperhatikan persamaan diferensial parsial orde pertama nonhomogen berikut, yaitu: (

)

(3.7)

dengan nilai awal sebagai berikut: (

)

(

)

( )

(3.8)

dan

Misalkan

( )

(3.9)


(3.10) dan (3.11) Dalam bentuk operator, maka persamaan (3.7) dapat ditulis sebagai berikut: (

)

(3.12)

dengan setiap operator di atas diasumsikan dapat diinverskan dan opeator

dan

dimisalkan sebagai berikut: ∫ ()

(3.13)

∫ ()

(3.14)

dan

Ini berarti bahwa: ( Dengan mensubsitusikan

)

(

)

(

)

(3.15)

pada kedua sisi persamaan (3.12) maka diperoleh: (

dengan mengoperasikan

)

, diperoleh:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

atau (

)

atau (

)

( )

(

)

(

)

(3.16)


Hasil pada persamaan (3.16) di atas diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.15) dan dengan nilai awal (

)

( ). Berdasarkan penjelasan sebelumnya

bahwa deret himpunan metode dekomposisi adalah sebagai berikut: (

)

(

∑

)

(3.17)

Subsitusikan persamaan (3.17) pada kedua sisi persamaan (3.16), sehingga menghasilkan:

∑

(

)

( )

(

)

(

(∑

(

)))

(3.18)

Atau dapat dituliskan sebagai berikut:

( )

(

Adomian mengatakan bahwa suku nilai awal dan ditambah hasil dari

)

(

(

))

(3.19)

diidentifikasikan sebagai kondisi awal atau (

) untuk kasus ini, dengan keduanya

diasumsikan diketahui. Berdasarkan penjelasan dan hasil yang diperoleh di atas, maka solusi untuk deret dekomposisi

adalah sebagai berikut:


(

)

( )

(

)

(

)

(

(

))

(

)

(

(

)) (3.20)

(

(

)

(

(

)

))

(

(

))

Hal ini jelas terlihat bahwa keakuratan pendekatan dapat ditingkatkan secara signifikan hanya dengan melakukan iterasi berkali-kali. Sehingga pendekatan suku ke- untuk

dapat ditulis sebagai berikut: ∑

(

)

(3.21)

Untuk masalah konkret, dimana solusi eksak tidak dapat diperoleh dengan mudah maka akan menggunakan deret terpotong (3.21) untuk memperoleh solusi pendekatan. Banyak peneliti menunjukkan bahwa jika terdapat solusi eksak dalam menyelesaikan masalah tertentu maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi eksak tersebut. Mengenai konsep konvergensi akan dibahas di Bab IV.


b. MDA

untuk

Menyelesaikan

Persamaan

Diferensial

Parsial

Nonlinear Orde Tinggi Dalam penjelasan sebelumnya terlihat bahwa MDA diterapkan dalam persamaan diferensial linear orde pertama. Metode ini diterapkan secara langsung dan secara mudah untuk masalah nonhomogen. Subbab ini akan menerapkan MDA untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear. Hal ini sangat penting karena dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial tidak hanya terdapat suku linear saja namun terdapat suku nonlinear juga seperti

,

dan lain sebagainya. Berikut ini akan dijelaskan secara rinci mengenai skema Adomian dalam menghitung suku nonlinear. Untuk memudahkan, maka penjelasan mengenai persamaan diferensial parsial nonlinear akan didukung dengan beberapa contoh ilustratif yang mencakup berbagai bentuk nonlinear. Telah diketahui bahwa metode dekomposisi Adomian menunjukkan bahwa fungsi

yang tak diketahui dapat diwakili oleh deret dekomposisi berikut: ∑

dengan

(3.22)

dapat dihitung dengan cara rekursif. Namun demikian, suku nonlinear

( ) seperti

, dan lain-lain bisa dinyatakan dalam deret terbatas yang

disebut polinomial Adomian yang dituliskan sebagai berikut: ( )

∑

dengan polinomial Adomian

(

)

(3.23)

dapat dihitung untuk semua bentuk nonlinear.


Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan MDA terdapat beberapa cara. Salah satunya adalah polinomial Adomian

untuk suku nonlinear ( ) dapat didefinisikan dengan menggunakan

formula sebagai berikut: [ (∑

)]

Namun, dalam tugas akhir ini penulis tidak menggunakan cara di atas, sebab memerlukan perhitungan yang lebih rumit. Sehingga dalam tugas akhir ini penulis menggunakan cara lain. Cara yang akan diperkenalkan selanjutnya ini merupakan cara sederhana dan dapat mempermudah dalam menghitung polinomial Adomian. Cara ini didasarkan pada aljabar dan identitas trigonometri serta deret Taylor. Cara ini menggunakan operasi dasar dan tidak memerlukan formula tertentu, yang diambil dari buku karangan Wazwaz (2009). Seperti yang didefinisikan oleh metode dekomposisi yaitu cara ini menunjukkan bahwa mensubsitusi ini jelas bahwa dengan

, dan

sebagai jumlahan dari

selalu ditentukan independen dari polinomial

(

ini

. Hal lainnya

didefinisikan sebagai berikut: (

Cara

dengan

mengasumsikan

)

(3.24) bahwa

pertama

memisahkan

) untuk setiap suku nonlinear ( ). Dengan melakukan pemisahan ini

maka komponen sisa ( ) dapat diperluas dengan menggunakan operasi aljabar, identitas trigonometri, dan deret Taylor. Selanjutnya mengumpulkan semua suku


ekspansi yang dihasilkan sedemikian sehingga jumlah subskrip dari komponen dalam setiap suku adalah sama. Setelah melakukan pengumpulan suku-suku tersebut maka perhitungan polinomial Adomian dengan demikian selesai. Untuk

meningkatkan

pemahaman

mengenai

cara

ini

maka

akan

diperkenalkan beberapa contoh berikut.

i.

Kasus Polinomial Nonlinear Misalkan ( )

Akan dimisalkan

.

sebagai berikut, yaitu: ∑

(3.25)

Dengan mensubsitusi persamaan (3.25) kedalam ( ) ( )

(

, maka diperoleh: ) (3.26)

( ) Hasil ekspansi dari persamaan (3.26) dapat disusun kembali

dengan

mengelompokan semua suku dengan jumlah dari subskrip adalah sama. Ini berarti bahwa persamaan (3.26) dapat ditulis sebagai berikut: ( ) (3.27)

Maka polinomial Adomian secara lengkap adalah sebagai berikut:


dan seterusnya.

ii.

Turunan Nonlinear

Misalkan ( ) Akan dimisalkan

.

sebagai berikut, yaitu : ∑

(3.28)

Dengan mensubsitusikan persamaan (3.28) kedalam ( ) ( )

(

maka diperoleh:

) (3.29)

( ) Dengan mengumpulkan suku-suku seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, maka diperoleh: ( ) (3.30)

Sehingga polinomial Adomiannya adalah sebagai berikut:


dan seterusnya. B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger Dipandang persamaan Burger sebagai berikut: (3.31) dengan nilai awal, (

)

Persamaan (3.31) di atas akan ditulis dalam bentuk: (3.32) Misalkan

dan

. Maka persamaan (3.31) di atas ditulis dalam

bentuk sebagai berikut: (3.33) Dengan mensubsitusikan

pada kedua sisi persamaan (3.33), diperoleh:

∫ ()

lalu, dengan menggunakan operasi (

)

(

)

(

)

(

)

maka:

atau

atau (3.34) Misalkan

∑

dan

∑

dengan

merupakan bentuk

polinomial Adomian, sehingga persamaan (3.34) ditulis sebagai berikut:


∑ Karena ∑

∑

(3.35)

, dan ∑

, maka

persamaan (3.35) diatas menjadi: (

) (

)

atau (

) (

)

atau

Oleh sebab itu diperoleh solusi sebagai berikut:

(3.36) Diketahui bahwa

∑

(

Sehingga

dapat ditulis sebagai berikut:

maka: )(

)


dan sebagainya maka diperoleh: (3.37) Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka

dapat ditulis dalam bentuk

sebagai berikut,yaitu: ∑

(3.38)

Sebagai contoh penerapan MDA pada persamaan Burger maka akan dipandang nilai awal sebagai berikut: (

)

Dengan menggunakan program MAPLE maka solusi penyelesaian untuk (

)

adalah sebagai berikut:

(3.39)

Karena telah diketahui bahwa (

) adalah

untuk kecepatan aliran ( bawah ini

∑

maka solusi pendekatan suku ke-4 . Sehingga ilustrasi solusi pendekatan

) dapat dilihat pada gambar 3.1 dan gambar 3.2 di


Gambar 3. 1 Solusi penyelesaian untuk kecepatan aliran (

(a)

).

(b)

Gambar 3.2 Solusi untuk kecepatan aliran ( (b).

) saat

(a) dan saat


Jadi, setiap iterasi pada persamaan (3.39) diatas jika dijumlahkan akan menghasilkan suatu deret, yaitu: (

)

(

)

atau

atau (

)

(3.40)

Akibatnya, diperoleh solusi eksak sebagai berikut: (3.41) dengan | |

atau jaminan kekonvergenan solusi eksak tersebut yaitu

.

C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air Dangkal Dipandang persamaan gelombang air dangkal (PGAD) adalah sebagai berikut: ( )

dengan

,

(

(

)

(

)

(3.42)

, dan memenuhi kondisi awal (

dengan

(

( (

) ) )

(

( ) ) ( )

(3.43)

) adalah ketinggian air dari permukaan air hingga dasar tanah,

) adalah kecepatan fluida, dan

( ) adalah kedalaman air dari permukaan


air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen

dan

secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Persamaan (2.1) dapat ditulis ke bentuk yang lebih sederhana, yaitu: (

)

( )

(

)

(

)

(3.44)

dengan (

)

(

( (

) ) )

( )

(

(

)

)

(

( )

)

(3.45)

Untuk menyelesaikan PGAD dengan menggunakan MDA, maka persamaan di atas akan ditulis sebagai berikut: (3.46) dan ( )

(3.47)

dengan nilai awal: (

)

( )

(

)

( )

dan

Misalkan

dan

sehingga persamaan (3.46) dan (3.47) ditulis

sebagai berikut:

dan ( ) Dengan mensubsitusikan operasi diperoleh:

pada kedua sisi persamaan di atas maka


(3.48) dan ( ) ∫ ()

Lalu, dengan menggunakan operasi

(3.49)

pada persamaan (3.48) maka

diperoleh: (

)

(

)

atau (

)

(

)

atau (

)

( )

(

)

untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk

dan

pada persamaan

diatas akan diubah menjadi: ( (

Misalkan (

)

( )

)dan

)

( )

[

(

).

(

), sehingga diperoleh:

(

)

(

)]

∫ ()

Selanjutnya, dengan menggunakan operasi

(3.50) pada persamaan (3.49)

maka diperoleh: (

)

(

)

(

)

(

)

( )

atau

karena (

)

( )

( ),maka (

)

( )

(

( )

[

])


untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk

pada persamaan diatas akan

diubah menjadi: ( (

Misalkan (

)

)

( )

(

( )

[

])

), maka: ( )

(

( )

[

(

)])

(3.51)

Berdasarkan hasil penurunan persamaan (3.46) dan (3.47) dengan MDA ,maka diperoleh: (

)

( )

[

(

)

(

)]

(3.52)

dan (

)

( )

(

( )

[

(

)])

dengan:

Misalkan (

)

∑

(

(

)

(

)

(

)

), (

)

∑

(

)

∑

(

)

∑

(

)

∑

(

) dan

(3.53)


dengan

,

, dan

adalah bentuk polinomial Adomian. Ketiga permisalan

diatas akan disubsitusikan ke dalam persamaan (3.52) dan (3.53) untuk memperoleh solusi (

) dan (

Untuk mencari solusi (

). ), maka akan disubsitusikan ketiga permisalan

di atas, sehingga di peroleh: (

)

( )

Karena ∑ (

)

[∑

∑

]

dan ∑

, maka:

( ) [(

)

(

)]

Sehingga diperoleh: ( ) (

)

(

)

(

)

(

)

( Lalu untuk mencari solusi (

)

), maka akan disubsitusikan ketiga permisalan di

atas, sehingga di peroleh: (

)

( )

(

( )

[

∑

(

)

∑

])


karena ∑ (

dan ∑ )

, maka:

( ) ( [

( )

(

)

(

)])

sehingga diperoleh: ( ) ( ) (

( )

[

])

[

])

[

])

[

])

( ) (

( ) ( )

(

( ) ( )

(

( )

( ) ( Diketahui bahwa

( (

Sehingga diperoleh:

)

( )

[

])

∑

, maka: )(

)


Karena diketahui

(

)

∑

(

, maka: )(

)

Sehingga diperoleh:

Dan karena diketahui (

Sehingga diperoleh:

( )

∑

, maka: )(

)


Berdasarkan hasil dari penggunaan MDA ke dalam PGAD, maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut: (

)

(

)

dan (

( )

[

])

(

)

( )

(

)

( )

dengan kondisi awal:

dan

Sehingga solusi penyelesaian untuk (

) dan ( (

)

(

)

dan

dengan

) adalah sebagai berikut:


(

)

∑

(

)

(

)

∑

(

)

dan

Untuk lebih memahami mengenai penerapan MDA dalam PGAD maka akan diperlihatkan sebuah contoh. Dengan mengacu pada persamaan (3.44) dan (3.45) maka dipandang ( ) dengan ketinggian awal dan kecepatan awal dari air secara berurut-urut ditentukan oleh: (

)

( )

( )

( )

dan (

)

( )

Dengan menggunakan program MAPLE, maka solusi untuk ketinggian air (

) dan kecepatan fluida (

(


) dapat dihitung. Solusi untuk ketinggian air


( )

( )

( )

(

(

( )

(

( )) (

( )(

dan solusi untuk kecepatan fluida (

(

solusi pendekatan suku ke 3 untuk (

untuk (

) dan (

3.5 di bawah ini

( )

(

∑

( )


(

)

( )

( ) ) )

( )

dan

)

( ))

(

Karena diketahui (

)

(

) )

) dan (

) dan (

)

)

∑

(

) maka

) secara berurut-urut adalah

. Sehingga ilustrasi solusi pendekatan ) dapat dilihat pada gambar 3.3, gambar 3.4, dan gambar


(a)

(b)

Gambar 3. 3 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air ( fluida (

) (a) dan kecepatan

) (b).

(a)

(b)

Gambar 3.4 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air ( saat

(b).

) saat

(a) dan


(a)

(b)

Gambar 3.5 Solusi penyelesaian untuk kecepatan fluida ( saat

) saat

(a) dan

(b)

D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi Dipandang persamaan gelombang gravitasi adalah sebagai berikut:

(3.54)

dengan nilai awal: (

)

(

)

dan

dengan

merupakan kedalaman air,

percepatan gravitasi.

merupakan debit air, dan

merupakan


Untuk menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi dengan menggunakan MDA, maka persamaan (3.54) akan ditulis sebagai berikut: (3.55) dan ( Misalkan

dan

)

(3.56)

sehingga persamaan (3.55) dan (3.56) ditulis

sebagai berikut:

dan ( Dengan mensubsitusikan operasi

) pada kedua persamaan di atas maka

diperoleh: (3.57) dan (

)

(3.58)

∫ ()

Lalu, dengan menggunakan operasi

pada persamaan (3.57) maka

diperoleh: (

)

(

)

atau ( karena (

)

)

(

)

, maka: (

)

(3.59)


∫ ()

Dengan langkah yang sama yaitu menggunakan operasi

pada

persamaan (3.58) maka diperoleh: (

)

(

)

(

)

atau ( (

karena

)

)

(

)

(

)

, maka: (

)

(

)

(3.60)

Sehingga diperoleh persamaan baru yaitu sebagai berikut: ( (

)

(3.61)

)

(

)

(3.62)

Misalkan: (

)

∑

(

)

∑

∑ Maka

(

) dan

(

) akan disubsitusikan ke dalam persamaan (3.61),

sehingga diperoleh: (

)

karena ∑

(∑

)

maka diperoleh: (

)

(

)


atau ( karena

)

(

)

∑

, sehingga diperoleh:

Selanjutnya dengan mensubsitusikan (

) dan

ke dalam persamaan (3.62),

diperoleh: (

)

(∑

karena ∑

maka diperoleh: (

)

(

atau

karena (

)

(

)

)

∑

maka diperoleh:

)


∑

Diketahui bahwa

, sehingga

(

Maka

)(

)

dapat dihitung sebagai berikut:

Berdasarkan hasil dari penggunaan MDA ke dalam persamaan gelombang gravitasi, maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

(3.63) Sehingga penyelesaian untuk (

) dan (



(

)

∑

(

(

)

∑

(

dengan

(

)

)

(

)

)

Dipandang nilai awal untuk kedalaman air dan debit air secara berturut-turut adalah sebagai berikut: (

)

(

)

dan (

)

Dengan adanya nilai awal, maka pendekatan suku kedebit air

dari kedalaman air

dan

dapat ditentukan dengan menggunakan skema persamaan (3.63).

Lalu dengan menggunakan program MAPLE, maka solusi untuk kedalaman air adalah sebagai berikut: (

( (

)

)

) (

Solusi untuk unit-discharge adalah sebagai berikut:

(

) (

) )


(

(

)

(

)

(

) ( (

(

( )

(

)

(

)

(

)

) ) ) )

) (

) )) ∑

, sehingga pendekatan suku ke-4 untuk

kedalaman air adalah ∑

)

(

) (

(

Diketahui bahwa

(

)(

(

(

)

dan diketahui bahwa

(

)

, sehingga pendekatan suku ke-4 untuk unit-discharge adalah Maka ilustrasi solusi pendekatan untuk (

) dan (

) dapat

dilihat pada gambar 3.6, gambar 3.7, dan gambar 3.8 di bawah ini

(b)

(a)

Gambar 3. 6 Solusi penyelesaian untuk kedalaman air ( debit air (

) (b).

) (a) dan


(a)

(b)

Gambar 3.7 Solusi penyelesaian untuk kedalaman air ( saat

) saat

(a) dan

(b).

(a)

(b)

Gambar 3.8 Solusi penyelesaian untuk debit air ( (b)

) saat

(a) dan saat


E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Kinematik Di pandang persamaan gelombang kinematik adalah sebagai berikut: (3.64) dengan nilai awalnya: (

)

Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial parsial nonlinear, dengan (

) menyatakan ketinggian air dan variabel

dan

secara berturut-turut

menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan mengaplikasikan MDA ke persamaan ini, maka dengan memisalkan

sehingga persamaan

(3.64) ditulis sebagai berikut:

atau (3.65)

Dengan mensubsitusikan operasi

ke dalam persamaan (3.65), maka

diperoleh:

∫ ()

Lalu dengan menggunakan operasi diperoleh: (

)

(

)

(

)

(

)

atau

pada persamaan (3.65), maka


karena

(

)

, maka persamaan di atas menjadi: (

Misalkan

(

)

∑

) ∑

dan

, lalu akan disubsitusikan ke

persamaan di atas sehingga diperoleh: (

)

karena ∑

(∑

)

maka diperoleh: (

)

(

)

atau ( Karena (

)

Diketahui bahwa (

) ∑

, maka :

∑

, maka : )(

)


sehingga

dapat dihitung sebagai berikut:

(3.65) Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka

dapat ditulis dalam bentuk

sebagai berikut,yaitu: ∑

(3.66)

Dengan menggunakan program MAPLE, diperoleh:

Diketahui bahwa adalah

(

)

∑

, sehingga pendekatan suku ke-3

. Maka ilustrasi solusi pendekatan untuk (

dilihat pada gambar 3.9 dan gambar 3.10 di bawah ini

(

)

) dapat


Gambar 3.9 Solusi penyelesaian untuk (

(b)

(a) Gambar 3.10 Solusi penyelesaian untuk (

).

) saat

(a) dan saat

.


BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Pada bagian ini akan dibahas mengenai konvergensi metode dekomposisi Adomian. Yang akan dibahas yaitu mengenai bukti konvergensi baru dari metode Adomian yang didasarkan pada sifat-sifat deret konvergen. Dan pada akhirnya akan disimpulkan beberapa hasil kecepatan konvergensi dari metode ini yang memungkinkan dapat menyelesaikan persamaan nonlinear.

A. Perumuman dan Hipotesis Metode Dekomposisi Adomian Pertama, akan diingatkan kembali mengenai prinsip utama metode Adomian yaitu dipandang persamaan fungsional nonlinear umum berikut: ( ) dengan

dan

(4.1)

secara berturut-turut adalah operator nonlinear dan suatu fungsi

yang diberikan. Metode Adomian memungkinkan untuk memperoleh solusi dari persamaan (4.1) sebagai deret berhingga

∑

dengan menggunakan skema berulang

seperti yang ditulis dibawah ini:

(

) (4.2) (

)

66


dengan

adalah polinomial Adomian.

Untuk menentukan konvergensi dari metode dekomposisi Adomian adalah dengan melihat 2 hipotesis berikut, yaitu: 1. Solusi untuk

ditentukan sebagai deret fungsi konvergen mutlak yaitu ∑| |

Selain itu, deret

∑

yaitu

.

.

( ) terdapat dalam setiap deret dengan radius

2. Fungsi nonlinear

konvergensi sama dengan infinity. Dengan kata lain: ( )

∑

( )

| |

( )

(4.3)

Hipotesis ini hampir selalu memenuhi dalam masalah fisis yang konkret.

B. Teorema Konvergensi Pada bagian ini akan dibahas mengenai teorema konvergensi dan pembuktiannya. Teorema 4.1 Berdasarkan hipotesis 1 dan 2, deret Adomian solusi untuk persamaan (4.1) dan

∑

merupakan

memenuhi persamaan (4.2).

Bukti Hipotesis 2 menjamin bahwa deret ∑ sembarang

. Lalu, diketahui bahwa

∑

karena itu,

dapat disubsitusikan dalam ∑

( )(

( )

∑[

( )

( )

(∑

( )(

)(

) konvergen untuk

konvergen mutlak dan oleh )( )

). Sehingga diperoleh: ]

(4.4)


Karena ∑

|

|

( ) dapat ditulis

berkonvergensi mutlak, maka

kembali dalam bentuk ∑

∑

. Dan karena

konvergen mutlak, maka

diperoleh: (∑

)

∑

dengan

hanya bergantung pada

∑ |

.

|

(

)

. Selain itu, diperoleh bahwa

Deret pada persamaan (4.4) adalah konvergen mutlak karena: ( )

( )

∑[

( )

( )

∑

(

)]

Dengan mengambil nilai mutlak untuk

dengan deret ∑ |(

( )

( ))

|

( )

(4.5)

( ), maka: ( )

| ( )|

∑∑

∑|

( )

|

konvergen yang disebabkan oleh hipotesis 2.

Berdasarkan penjelasan diatas maka deret ganda

( ) konvergen mutlak

dan dengan demikian deret pada persamaan (4.5) dapat dibentuk kembali. Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan bahwa: ∑

(

)

∑

(

)

yang membuktikan bahwa deret Adomian ∑ Taylor. Hal ini membuktikan bahwa

( )(

)

( )

(4.6)

merupakan perumuman dari deret

memenuhi persamaan (4.2) diatas.

Dengan mensubsitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (4.1) maka diperoleh:


∑

∑

(4.7)

Persamaan (4.7) di atas dipenuhi jika

. Hal ini

mengakibatkan adanya hubungan Adomian dalam persamaan (4.2). Teorema terbukti.

C. Kecepatan Konvergensi Untuk menunjukkan kecepatan konvergensi dari MDA adalah dengan menggunakan lemma beserta buktinya di bawah ini. Lemma 4.1 ‖ ‖

dan ‖

( )

( )‖

dengan

suatu variabel bebas, maka ∑

merupakan suatu solusi pendekatan persamaan fungsional. Jika deret lengkap diganti dengan deret terpotong yang melibatkan suku ( sama dengan

), maka galatnya

.

Bukti Metode Adomian memberikan hasil yang sangat baik bahkan jika diambil deret terpotong dengan banyaknya suku yang sedikit. Hasil tersebut diperoleh dari analogi deret Adomian dan deret Taylor. Sehingga, diperoleh: ∑

∑

Dipandang deret terpotong (∑ ∑

( )(

∑ )

)

(∑

)

untuk solusi pendekatan

(4.8) (

), maka untuk menghitung galat adalah dengan menggunakan bentuk

dibawah ini, yaitu:


|∑

∑

|

| ∑

∑|

|

( )(

)

|∑

(∑

|

( )(

|∑

)

(∑

) |

) | (4.9)

∑

∑ dengan

∑

|

( )

|

( )

( )|

( )|

|∑

|

(∑| |)

∑

|

( )

( )|

| |.

Misalkan bahwa

( )(

variabel bebas , dan bahwa

) dibatasi dalam norm oleh suatu konstanta juga dibatasi dalam norm oleh suatu

,

, maka galat

yang diberikan dibatasi oleh: (4.10) dengan

dan

secara beturut-turut adalah suatu konstanta posisitif dan suatu

bilangan bulat positif.


BAB V PENUTUP

Pada bab ini diberikan kesimpulan mengenai pembahasan pada bab-bab sebelumnya serta saran untuk penelitian selanjutnya.

A. Kesimpulan Telah dilihat bahwa metode dekomposisi yang ditulis oleh G. Adomian dapat menyelesaikan persamaan nonlinear. Dalam tugas akhir ini penulis menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan MDA tersebut. Penyelesaian dengan menggunakan MDA ini didukung dengan teori-teori dasar seperti persamaan diferensial, turunan, integral, deret Taylor dan deret Maclaurin serta konsep konvergensi deret Taylor. Dalam tugas akhir ini terlihat bahwa MDA dapat menyelesaikan persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Metode ini merupakan metode yang sangat sederhana dengan bantuan polinomial Adomian. Dalam tugas akhir ini penulis menggunakan cara yang sangat sederhana dan dapat mempermudah dalam menghitung polinomial Adomian yang didasarkan pada aljabar, identitas trigonometri, dan deret Taylor. Metode ini digunakan untuk memperoleh solusi yang eksak sebagai deret takhingga dari fungsi. Cara termudah dalam mencari solusi eksak adalah dengan menggunakan deret terpotong. Deret terpotong yang dihasilkan tersebut merupakan solusi pendekatannya.

71


Terlihat bahwa penggunaan MDA pada keempat persamaan di atas memperoleh solusi eksak sehingga deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi eksak tersebut dan galat pemotongannya dapat dihitung. Sehingga, deret terpotong yang biasanya melibatkan beberapa suku merupakan solusi pendekatan. Solusi pendekatan ini secara eksplisit bergantung pada variabel ruang dan waktu.

B. Saran Penulis sadar bahwa dalam penulisan tugas akhir ini masih banyak kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini. Tulisan ini hanya membahas mengenai penyelesaian MDA untuk persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Penulis berharap kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini dengan menggunakan metode lain yang mungkin memberikan hasil yang lebih baik.


DAFTAR PUSTAKA

Adomian, G. (1988). A review of the decomposition method in applied mathematics. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 135 (2): 501-544. Adomian,

G. (1998). Solution of nonlinear partial Applied Mathematics Letters, 11 (3): 121-123.

diferential

equations.

Al-Khaled, K. dan Allan, F. (2004). Construction of solutions for the shallow water equations by the decomposition method. Mathematics and Computers in Simulation, 66 (6): 479-486. Bermudes, A. Dan Vasquez, E.M. (1994). Upwind methods for hyperbolic conservation laws with source terms. Computation Fluids, 23 (8): 1049-1071. Cherruault, Y. and Adomian, G. (1993). Decomposition methods: a new proof of convergence, Mathl. Comput. Modelling, 18 (12): 103-106. Dawson, C. dan Mirabito, M.C. (2008). “The Shallow Water Equations”. http://users.ices.utexas.edu/~arbogast/cam397/dawson_v2.pdf/ Diakses tanggal 28 September 2015. Dispini, M. and Mungkasi, S. (2016). Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations, AIP Conference Proceedings, 1746: 020055. Martins, R., Leandro, J. and Djordjevic, S. (2016). Analytical solution of the classical dam-break problem for the gravity wave-model equations, Journal of Hydraulic Engineering, 142 (4): 06016003. Mungkasi, S dan Dheno, M. F. S. (2016). Adomian decomposition method used to solve the gravity wave equations. International Conference on Engineering, Science and Nanotechnology. To appear in AIP Conference Proceeding. Ross, S.L. (1984). Differential Equations. New Delhi: John Wiley and Sons, Inc. Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Person Education. Wazwaz, A.M. (2009). Partial Differential Equation Method and Applications. Berlin : Springer.

73


Lampiran Berikut ini adalah code program MAPLE untuk perhitungan persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik dengan menggunakan MDA.

1. Perhitungan untuk persamaan Burger >

74


2. Perhitungan untuk persamaan gelombang air dangkal (PGAD) >



>

3. Perhitungan untuk persamaan gelombang gravitasi >


>


>


4. Perhitungan untuk persamaan gelombang kinematik >

>

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Recommend Documents