Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 01, No. 1 (2012), hal 9 – 14.
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TAK LINEAR DENGAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Rahayu, Sugiatno, Bayu Prihandono INTISARI Secara umum, persamaan diferensial biasa tak linear dapat diselesaikan dengan linearisasi. Namun, tidak semua persamaan diferensial biasa tak linear dapat langsung dilinearisasi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear adalah metode transformasi diferensial. Metode ini dapat digunakan tanpa linearisasi. Artikel ini membahas penyelesaian persamaan dieferensial biasa tak linear yaitu persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial untuk menentukan solusinya. Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial dilakukan dengan mentrasnformasikan persamaan sesuai dengan definisi transformasi diferensial. Dengan mensubstitusikan setiap bilangan bulat positif dan bilangan 0 pada transfromasi diferensial, diperoleh nilai transformasi yang kemudian disubstitusikan pada invers transformasi diferensial. Invers yang diperoleh merupakan solusi dari persamaan diferensial. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode transformasi diferensial merupakan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear tanpa linearisasi. Kata Kunci: linearisasi, persamaan diferensial Riccati, transformasi diferensial.
PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari, tidak jarang ditemui permasalahan yang dapat dirumuskan dalam bentuk persamaan diferensial biasa tak linear. Pada umumnya, persamaan diferensial biasa tak linear diselesaikan dengan linearisasi terlebih dahulu untuk selanjutnya diselesaikan dengan metode pernyelesaian persamaan diferensial linear. Pada tahun 1986, Zhou memperkenalkan suatu metode yang dapat diterapkan pada persamaan tak linear tanpa linearisasi. Metode ini telah banyak diterapkan untuk menyelesaikan berbagai persamaan, diantaranya masalah Planar Bratu dimensi satu [1], persamaan diferensial Riccati [2], masalah Cauchy Reaction-Diffusion [3], masalah Goursat [4], dan Dispersive Long-Wave Equation [5]. Pada artikel ini, metode transformasi diferensial akan diterapkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear yaitu persamaan diferensial Riccati orde satu dan orde dua. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji sifat-sifat transformasi diferensial dan mempelajari langkah-langkah menentukan penyelesaian persamaan diferensial biasa tak linear dengan metode transformasi diferensial serta menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear dengan metode transformasi diferensial. Rangkaian penelitian yang dilakukan oleh penulis diawali dengan mempelajari definisi dan sifatsifat transformasi diferensial, serta langkah-langkah penyelesaian persamaan diferensial biasa tak linear orde satu dan orde dua dengan metode transformasi diferensial, kemudian menerapkan metode transformasi diferensial pada persamaan diferensial Riccati. Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial dilakukan dengan mentransformasikan persamaan diferensial Riccati sesuai dengan sifat-sifat transformasi diferensial. Nilai awal dari persamaan diferensial biasa yang telah diketahui ditransformasikan sesuai dengan definisi transformasi diferensial. Diambil setiap k suatu bilangan bulat positif dan bilangan 0, kemudian disubstitusikan pada transformasi diferensial dari persamaan diferensial Riccati hingga diperoleh suatu nilai transformasi. Nilai-nilai yang diperoleh disubstitusikan pada invers transformasi diferensial. Invers transformasi diferensial yang diperoleh merupakan solusi dari persamaan diferensial Riccati. 9
10
RAHAYU, SUGIATNO DAN B. PRIHANDONO
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Transformasi diferensial merupakan suatu langkah iteratif untuk memperoleh solusi analitik deret Taylor dari persamaan diferensial [6]. Transformasi diferensial diperkenalkan pertama kali oleh Zhou pada tahun 1986 untuk menyelesaikan permasalahan nilai awal yang linear dan tak linear pada analisis sirkuit listrik. Definisi dasar dari transformasi diferensial untuk suatu fungsi yang analitik pada domain D yaitu fungsi yang mempunyai turunan pada setiap titik di persekitaran domain D yang dinyatakan dalam [6] sebagai berikut.
dengan merupakan fungsi asli dan merupakan fungsi transformasi. Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk deret Taylor, yaitu
Berdasarkan
, maka
di
menjadi
yang disebut sebagai invers transformasi diferensial. Dari dapat dikatakan bahwa konsep dari transformasi diferensial diturunkan dari deret Taylor [1]. Berdasarkan dan dapat ditentukan sifat-sifat operasi dari transformasi diferensial, yaitu sebagai berikut. Sifat 1. Penjumlahan dan Pengurangan Jika , maka . Bukti: Turunan ke- dari adalah:
Dengan mengalikan kedua ruas dengan
Sifat 2. Perkalian dengan Konstanta Jika , maka Bukti: Turunan ke- dari persamaan
Jika dikalikan kedua ruas dengan
, diperoleh:
, untuk
konstanta.
untuk
suatu konstanta adalah:
maka diperoleh:
Sifat 3. Turunan Pertama Jika Bukti:
, maka
.
Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Tak Linear Dengan Metode Transformasi Diferensial
Turunan ke-
dari
adalah
Jika kedua ruas dikalikan dengan
maka akan diperoleh:
Selanjutnya akan dikalikan ruas kanan dengan
.
Sifat 4. Turunan KeJika
, maka
.
Bukti: Turunan ke-
dari
adalah:
Jika dikalikan kedua ruas dengan
maka diperoleh:
Selanjutnya, ruas kanan dikalikan dengan
Sifat 5. Perkalian Jika
Bukti: Turunan ke-
, maka
dari
Jika dikalikan kedua ruas dengan
adalah:
maka diperoleh:
sehingga diperoleh:
11
12
RAHAYU, SUGIATNO DAN B. PRIHANDONO
Sifat 6. Perkalian Jika
fungsi , maka
Bukti: Dimisalkan
Sehingga Berdasarkan sifat 5 diperoleh
.
dengan
Sehingga
Sifat 7. Fungsi Varibel Bebas Jika Bukti: Turunan ke-
, maka dari
adalah:
Kedua ruas dikalikan dengan , sehingga diperoleh:
i. Untuk
ii. Untuk Ambil sebarang
.
Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Tak Linear Dengan Metode Transformasi Diferensial
13
Sifat 8. Fungsi Konstanta Jika
, maka
Bukti: Turunan ke- dari Untuk ,
Untuk
adalah:
,
Pada artikel ini, penggunaan transformasi diferensial digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear orde satu dan orde dua. Salah satu contoh persamaan diferensial biasa tak linear adalah persamaan diferensial Riccati. Persamaan diferensial Riccati merupakan dasar dari persamaan diferensial biasa tak linear yang membentuk banyak persamaan dalam berbagai bidang misalnya matematika dan fisika. Penamaan Riccati diambil dari nama akhir seorang matematikawan Italia yang bernama Jacopo Fransesco Riccati.
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TAK LINEAR ORDE SATU Salah satu contoh bentuk persamaan diferensial Riccati adalah
dengan nilai awal . Berdasarkan sifat transformasi diferensial, diperoleh: 1. Transformasi diferensial dari
adalah
2. Tranformasi diferensial dari 3. Transformasi diferensial dari
4. Transformasi diferensial dari
(sifat 3).
berdasarkan sifat 2 adalah berdasarkan sifat 5 adalah
.
berdasarkan sifat 8 adalah
Sehingga diperoleh transfromasi dari
, berdasarkan sifat 1 yaitu
Berdasarkan diperoleh transformasi diferensial dari nilai awal yaitu Substitusi setiap nilai pada menghasilkan nilai-nilai berikut. , Berdasarkan
,
,
,
. Selanjutnya, ,
, diperoleh
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TAK LINEAR ORDE DUA Persamaan diferensial biasa tak linear orde dua yang akan diselesaikan dengan metode transformasi diferensial adalah persamaan diferensial Riccati orde dua berikut.
14
dengan nilai awal Transformasi dari
RAHAYU, SUGIATNO DAN B. PRIHANDONO
dan adalah
.
Transformasi nilai awalnya adalah Substitusi nilai pada ,
dan menghasilkan ,
,
. ,
,
Sehingga diperoleh
PENUTUP Pada penelitian ini, metode transformasi diferensial diterapkan untuk menyelesaian persamaan diferensial biasa tak linier yaitu persamaan diferensial Riccati orde satu dan orde dua. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode transformasi diferensial merupakan suatu metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa tak linear tanpa linearisasi. DAFTAR PUSTAKA [1] Hasan, I.H.A.H and Ertürk, V.S. Applying Differential Transformation Method to the OneDimensional Planar Bratu Problem. Int. J. Contemp. Math. Sciences. 2007; 30(2):1493-1504. [2] Biazar, J. and Eslami. M. Differential Transformation Method for Quadratic Riccati Differential Equation. International Journal of Nonlinear Science. 2010; 4(9):444-447. [3] Othman, M.I.A. and Mahdy, A.M.S. Differential Transformation Method and Variation Iteration Method for Cauchy Reaction-Diffusion Problems. Journal of Mathematics and Computer Science. 2010; 2(1):61-75. [4] Taghvafard, H. and Erjaee, G. H. Two-Dimensional Differential Transform Method for Solving Linear and Non-linear Goursat Problem. International Journal of Information and Mathematical Sciences. 2010; 6:100-103. [5] Mohamed, M. A., Comparison Differential Transformation Technique with Adomian Decomposition Method for Dispersive Long-Wave Equations in (2+1)-Dimensions. Application and Applied Mathematics: An International Journal (AAM). 2010 Jun; 1(5):148-166. [6] Attarnejad, R. and Shahba, A. Application of Differential Transform Method in Free Vibration Analysis of Rotating Non-Prismatic Beams. World Applied Sciences Journal. 2008; 5(4):441448.
Rahayu : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak,
[email protected] Sugiatno : Jurusan Matematika PMIPA FKIP UNTAN, Pontianak,
[email protected] Bayu Prihandono : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak,
[email protected]
