Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 140 – 147 ISSN : 2303–2910 c
Jurusan Matematika FMIPA UNAND
PENURUNAN METODE NICKALLS DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN KUBIK MISNAWATI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, email :
[email protected]
Abstrak. Pada paper akan dibahas penurunan metode Nickalls dan implementasi perhitungannya pada MATLAB dalam menyelesaikan persamaan kubik. Metode ini merupakan modifikasi dari metode Cardan dengan terlebih dahulu mendefinisikan parameterparameter tertentu yang dapat mendeskripsikan solusi yang diperoleh dengan bentuk geometri dari kurva fungsi kubik. Penyelesaian persamaan kubik dengan metode ini menghasilkan akar-akar bernilai riil yang dibagi atas tiga kasus berdasarkan hubungan parameter-parameter didefinisikan. Kata Kunci: Cardan, Titik belok, Kecekungan
1. Pendahuluan Persamaan kubik sudah dikenal sejak zaman Mesir dan Yunani kuno. Persamaan tersebut muncul dari masalah-masalah yang mereka hadapi pada pengukuran tanah. Beberapa matematikawan Yunani yang berperan dalam pengembangan metode penyelesaian persamaan kubik adalah Hippocrates, Men-aechmus, dan Diophantus. Metode-metode yang mereka gagas kemudian diperbaiki oleh matematikawan Arab seperti Al-Mahani, Abu Jafar Al-Hazin dan Ummar Khayam. Perkembangan selanjutnya tentang metode penyelesaian persamaan kubik berasal dari matematikawan Eropa seperti Leonardo Pisa, Lucas Pacioli, Scipo Ferro dan Nicolo Brescia. Metode yang lebih populer untuk masalah kubik ini dikembangkan oleh Tartaglia pada tahun 1541 yang menemukan solusi umum untuk persamaan x3 + px2 = q dengan melakukan transformasi sedemikian sehingga diperoleh bentuk x3 + mx = n. Metode ini sebetulnya sudah digagas sebelumnya oleh Cardan yang dipublikasikan di Ars Magna. Pada paper ini akan dibahas metode alternatif lain dari penyelesaian persamaan kubik yang merupakan modifikasi dari metode Cardan. Metode alternatif ini digagas oleh Nickalls [2]. 2. Parameter-Parameter pada Fungsi Kubik Perhatikan kembali bentuk umum fungsi polinomial berderajat n berikut: f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , an 6= 0, 140
(2.1)
Metode Nickalls untuk Persamaan Kubik
141
dengan n adalah bilangan bulat positif dan ai adalah koefisien polinomial dengan i = 0, 1, 2, · · · , n. Misalkan x1 , x2 , · · · , xn adalah akar-akar dari persamaan f (x) = 0 maka x1 + x2 + x3 + · · · + xn = − an−1 an . Sekarang misalkan N (xN , yN ) adalah suatu titik yang terdapat pada kurva polinomial f (x) sedemikian sehingga dengan menggeser sumbu−x sejauh xN , yaitu menggunakan transformasi z = x − xN , membuat jumlah akar-akar dari polinomial baru f (z) sama dengan nol, yaitu z1 + z2 + · · · + zn = 0. Dari hubungan ini berlaku an−1 xN = − . (2.2) nan Dari persamaan (2.2) diperoleh bahwa jika f (x) merupakan fungsi kubik dengan bentuk umum f (x) = ax3 + bx2 + cx + d,
(2.3)
b maka xN = − 3a . Dengan mensubstitusi x = z + xN ke persamaan (2.3), diperoleh b2 cb 2b3 f (z) = az 3 + c − z− +d+ , 3a 3a 27a2
yang merupakan fungsi kubik tereduksi. Perhatikan bahwa f 00 (x) > 0 dipenuhi oleh b x < xN , dan f 00 (x) < 0 dipenuhi oleh x > xN dengan xN = − 3a . Dari kenyataan ini, maka N adalah titik belok pada kurva fungsi kubik (2.3). Selanjutnya misalkan δ, λ, h didefinisikan sebagai parameter-parameter jarak. Dengan menyelesaikan persamaan f 0 (x) = 0, dimana f (x) adalah fungsi kubik (2.3), diperoleh titik ekstrim pada 1p 2 b − 3ac. x1 ,2 = xN ± 3a √ 1 Tulis δ = 3a b2 − 3ac, sehingga berlaku δ 2 = nilai h diberikan oleh
b2 −3ac 9a2
dan c =
b2 +9a2 δ 2 . 3a
Selanjutnya,
h = −3ax2N δ − 3axN δ 2 − aδ 3 − bδ 2 − cδ. b dan c = Dengan mensubstitusikan xN = − 3a oleh
2
2 2
b +9a δ 3a
(2.4)
ke persamaan (2.4), diper-
h = 2aδ 3 .
(2.5)
Selanjutnya, nilai λ dapat ditentukan dari hubungan ax3N + (3aλ + b)x2N + (3aλ2 + 2bλ + c)xN + bλ2 + cλ + d = 0 Dengan mensubstitusikan xN =
b − 3a
(2.6)
ke persamaan (2.6), diperoleh solusi √
λ = 0, ±
3b2 −9ac . 3a
Karena λ haruslah positif dan dengan menggunakan hubungan δ = maka √ λ = 3δ.
1 3a
√
b2 − 3ac, (2.7)
142
Misnawati
Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa bentuk fungsi kubik f (x) dikarakterisasi oleh parameter δ, yaitu mempunyai nilai maksimum dan minimum yang berbeda (untuk δ 2 > 0), atau berimpit di N (untuk δ 2 = 0), atau tidak ada titik ekstrim (untuk δ 2 < 0). Lebih lanjut, 3 aδλ2 aδ3δ 2 = , = 3 h 2aδ 2 aδλ2 h
yang menunjukkan bahwa ax3 + bx2 + cx + d.
(2.8)
bernilai konstan pada sebarang fungsi kubik f (x) =
3. Pendekatan Nickalls Pandang kembali persamaan kubik f (x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0.
(3.1)
Misalkan akar-akar dari persamaan (3.1) adalah α, β, dan γ. Dengan menggunakan substitusi x = xN + z, diperoleh persamaan kubik tereduksi az 3 − 3aδ 2 z + yN = 0,
(3.2)
√
1 dimana δ = 3a b2 − 3ac dan yN = f (xN ) = ax3N + bx2N + cxN + d. Jelas bahwa akar-akar dari persamaan kubik (3.2) adalah α − xN , β − xN , dan γ − xN . Misalkan z = p + q adalah solusi dari persamaan (3.2). Dengan menggunakan substitusi yN pq = δ 2 dan p3 + q 3 = − , (3.3) a maka persamaan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk
(p + q)3 − 3pq(p + q) − (p3 + q 3 ) = 0. Selanjutnya dari persamaan (3.3) diperoleh hubungan p3 +
δ6 yN =− ⇔ a(p3 )2 + yN p3 + aδ 6 = 0. 3 p a
(3.4)
Solusi persamaan (3.4) diberikan oleh 3
p =
−yN ±
p
2 − 4a2 δ 6 yN . 2a
Berdasarkan persamaan (2.5) yaitu h2 = 4a2 δ 6 , maka q 1 3 2 2 p = −yN ± yN − h . 2a
(3.5)
Akibatnya q3 =
1 2a
n o p 2 − h2 . −yN ∓ yN
Dari kedua persamaan terakhir, jelas bahwa solusi persamaan kubik (3.2) mempunyai satu solusi riil jika 2 yN > h2 .
Metode Nickalls untuk Persamaan Kubik
143
2 Selanjutnya karena yN − h2 = (yN + h)(yN − h), maka persamaan (3.5) dapat ditulis kembali dalam bentuk o p 1 n p3 = −yN ± (yN + h)(yN − h) . (3.6) 2a
Jika ordinat dari titik ekstrim adalah yT1 dan yT2 , maka berdasarkan Gambar 3.1.1 dapat ditulis yN + h = yT1 dan yN − h = yT2 . Dengan demikian persamaan (3.6) menjadi √ 1 −yN ± yT1 yT2 . p3 = 2a Jika diskriminan dari persamaan kubik didefinisikan sebagai berikut : 2 ∆3 = yT1 yT2 = yN − h2 ,
maka nilai diskriminan ∆3 ini membedakan akar-akar persamaan kubik atas tiga kasus berikut: 2 > h2 , dimana persamaan kubik memiliki 1 akar riil (1) Kasus yN 2 (2) Kasus yN = h2 , dimana persamaan kubik memiliki 3 akar riil (dengan 2 atau 3 akar yang sama) 2 (3) Kasus yN < h2 , dimana persamaan kubik memiliki 3 akar riil yang berbeda
Berikut penjelasan masing-masing kasus. 2 > h2 3.0.1. Kasus yN
Jelas bahwa pada kasus ini hanya terdapat 1 akar riil. Karena diskriminan ∆3 bernilai positif, maka nilai akar riil α diberikan oleh α = xN + z = xN + p + q, dimana nilai p diperoleh dari persamaan (3.6), yaitu s q 1 2 − h2 , −yN ± yN p= 3 2a sedangkan nilai q diperoleh dari persamaan (3.2.11), yaitu s q 1 3 2 2 q= −yN ∓ yN − h . 2a Jadi nilai α adalah s α = xN +
3
1 2a
s q q 1 2 2 − h2 . 2 −yN + yN − h + 3 −yN − yN 2a
144
Misnawati
2 3.0.2. Kasus yN = h2
Jika h 6= 0, maka terdapat dua subkasus : (i) Subkasus yN = h. Pada subkasus ini diperoleh p3 =
−h 2a
dan q3 = −
h . 2a
Jadi r 3 −h 3 −2aδ =2 = −2δ. z =p+q =2 2a 2a Misalkan −2δ adalah untuk z3 . Nilai z1 dan z2 dapat ditentukan dari sifat penjumlahan dan perkalian akar-akar dari persamaan (3.2), yaitu r 3
z1 + z2 + z3 = 0 dan yN . a = h = 2aδ 3 , maka z1 z2 z3 = −
Karena z1 = −2δ dan yN
z1 + z2 = 2δ dan z1 z2 =
−2aδ 3 −2aδ
= δ2 ,
yang memberikan solusi z1 ,2 = δ. (ii) Subkasus yN = −h. Pada subkasus ini diperoleh p3 =
h 2a
q3 =
h . 2a
dan
Jadi r z =p+q =2
3
r 3 h 3 2aδ =2 = 2δ. 2a 2a
Misalkan 2δ adalah untuk z3 . Dengan melakukan cara yang serupa pada subkasus sebelumnya diperoleh z1 ,2 = −δ. 2 Dengan demikian untuk kasus yN = h2 diperoleh: (i) x1 ,2 = xN + δ dan x3 = xN − 2δ (untuk yN = h), (ii) x1 ,2 = xN − δ dan x3 = xN − 2δ (untuk yN = −h). Selanjutnya jika yN = h = 0, maka δ = 0, sehingga pada kasus ini terdapat tiga akar kembar di x = xN .
Metode Nickalls untuk Persamaan Kubik
145
2 3.0.3. Kasus yN < h2
Pada kasus ini terdapat tiga akar riil yang berbeda. Namun, solusi tersebut memuat akar pangkat tiga dari bilangan kompleks, sehingga untuk menyelesaikan persamaan kubik tereduksi pada persamaan (3.2) akan lebih mudah menggunakan substitusi z = 2δ cos θ¯ ke persamaan (3.2), sehingga diperoleh ¯ + yN = 0 ¯ 3 − 3aδ 2 (2δ cos θ) a(2δ cos θ) ¯ + yN = 0. ⇔ 2aδ 3 (4 cos3 θ¯ − 3 cos θ)
(3.7)
¯ cos θ, ¯ maka persamaan (3.7) menghasilkan Karena h = 2aδ 3 dan cos 3θ¯ = 4 cos3 θ−3 yN cos 3θ¯ = − , (3.8) h sehingga diperoleh 2k ⇔ θ¯ = θ + π, k = 0, 1, 2, 3 dimana θ =
arccos( 3
−yN h
)
(3.9)
. Jadi akar-akar α, β, γ diberikan oleh: α = xN + 2δ cos θ, β = xN + 2δ cos(2π/3 + θ), γ = xN + 2δ cos(4π/3 + θ).
Posisi akar-akar tersebut ditunjukkan pada Gambar 3.1.4 dalam lingkaran dengan jari-jari 2δ dan berpusat N . Selanjutnya perhatikan juga bahwa dari persamaan (3.8) diperoleh hubungan yN −1 < < 1. h 4. Algoritma Metode Nickalls Berikut ini adalah algoritma metode Nickalls. Masukan : a, b, c, d (koefisien persamaan kubik). Keluaran : α, β, γ (akar-akar riil persamaan kubik). Langkah-langkah: 1. 2. 3. 4. 5.
xN := −b/(3a); 3 2 yN := ax √N + bxN + cxN + d; 1 2 δ := 3a b − 3ac; h := 2aδ 3 ; 2 Jika yN − h2 > 0 maka s s q q 1 1 3 2 2 − h2 ; α := xN + −yN + yN − h2 + 3 −yN − yN 2a 2a β := xN + 2δ cos(2π/3 + θ); γ := xN + 2δ cos(4π/3 + θ); Jika tidak maka
146
Misnawati 2 jika yN − h2 < 0 maka
θ := [arccos(−yN /h)]/3; α := xN + 2δ cos θ; β := xN + 2δ cos(2π/3 + θ); γ := xN + 2δ cos(4π/3 + θ); jika tidak maka jika yN = h maka α := xN + δ; β := xN + δ; γ := xN − 2δ; jika tidak maka α := xN − δ; β := xN − δ; γ := xN + 2δ; 5. Pemrograman dan Hasil Sintaks pemrograman metode Nickalls pada MATLAB yang diberikan dalam bentuk program fungsi >> x = nickallskubik (a,b,c,d) dimana {a, b, c, d} adalah koefisien-koefisien persamaan kubik (3.1) dan akarakarnya diberikan oleh array x. Berikut diberikan contoh penyelesaian tiga persamaan kubik yang merepresentasikan masing-masing kasus. (i) Untuk persamaan kubik x3 − 3x2 + x − 1 = 0,
(5.1)
2 diperoleh yN − h2 > 0. Pada MATLAB, akar persamaan kubik (5.1) dapat dihitung dengan memanggil perintah berikut:
>> x = nickallskubik(1,-3,1,-1). maka diperoleh akar x = 2.7693 (dua akar lainnya bernilai kompleks). (ii) Untuk persamaan kubik x3 − 7x2 + 14x − 8 = 0,
(5.2)
2 diperoleh yN − h2 < 0. Pada MATLAB, akar persamaan kubik (5.2) dapat dihitung dengan memanggil perintah berikut:
>> x = nickallskubik(1,-7,14,-8) maka diperoleh akar-akar x1 = 4, x2 = 1, x3 = 2.
Metode Nickalls untuk Persamaan Kubik
147
(iii) Untuk persamaan kubik x3 − 3x + 2 = 0,
(5.3)
2 diperoleh yN = h2 . Pada MATLAB, akar persamaan kubik (5.3) dapat dihitung dengan memanggil perintah berikut:
>> x = nickallskubik(1,0,-3,2) maka diperoleh akar-akar x1,2 = 1 dan x2 = −2 6. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan, Ibu Riri Lestari, M.Si, Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Bapak Efendi, M.Si, dan Bapak Narwen, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Katz, Victor J. 2012. A History of Mathematics. 2th edition. Pearson, New York. [2] Nickalls, R. W. D. 1993. A new approach to solving the cubic: Cardan’s solution revealed. The Mathematical Gazette 77 : 354 – 359 [3] Varberg, D., Purcell, E.J., dan Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9th edition. Pearson, New York. [4] Burnside, W. S dan Panton, A. W. 1881. Theory of Equations. Dublin University Press, Dublin.
