Penggunaan Penyelesaian Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik dan Sifat-Sifatnya

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520

1

Penggunaan Penyelesaian Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik dan Sifat-Sifatnya Dita Marsa Yuanita, Soleha Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail: [email protected]

Abstrak— Permasalahan kendali optimal linier kuadratik adalah mendapatkan aturan kendali optimal 𝐮(𝐭) yang didapat dengan mendapatkan penyelesaian Persamaan Riccati Waktu Diskrit (PRAWD) 𝐏(𝐭) yang definit positif dan matriks gain umpan balik 𝐊(𝐭). Untuk proses kendali berhingga, matriksmatriks 𝑷 𝒕 dan 𝑲(𝒕) adalah varian waktu. Akan tetapi, jika proses tersebut tidak berhingga maka matriks tersebut menjadi matriks konstan 𝑷 dan 𝑲. Untuk mendapatkan penyelesaian kendali optimal steady state, diperlukan suatu penyelesaian PRAWD steady state. Penyelesaian PRAWD steady state didapat dengan membalik waktu dari PRAWD non steady state. Pendiskritan juga diperlukan untuk menyelesaikan kendali optimal waktu diskrit apabila diberikan sistem waktu kontinu dengan indeks performansi kontinu, contoh kasus adalah sistem servo dengan plant pendulum terbalik. Analisis pada PRAWD menunjukkan sifat invariant dari PRAWD jika matriks pemberat indeks performansi diganti. Perlu diketahui juga bahwa PRAWD memiliki penyelesaian minimum yang unik. Kata Kunci—Kendali optimal linier kuadratik, Pendulum terbalik, Persamaan Riccati aljabar waktu diskrit, Penyelesaian persamaan Riccati aljabar waktu diskrit, Sistem servo

I. PENDAHULUAN

S

ejak awal tahun 60-an, Kalman telah menjelaskan dalam jurnal-jurnal terdahulunya bahwa persamaan Riccati aljabar memiliki peran krusial dalam penyelesaian masalah kendali optimal linier kuadratik, pemfilteran serta estimasi. Bahkan, pada 50 tahun terakhir persamaan Riccati ditemukan muncul dalam permasalahan linear dinamis dengan kriteria indeks performansi kuadratik, masalah faktorisasi spektral, teori perturbasi singular, teori stokastik realisasi dan identifikasi, masalah nilai batas untuk persamaan differensial biasa, teori embedding dan scattering invariant. Untuk alasan tersebut, persamaan Riccati secara universal dianggap sebagai landasan dari teori kendali modern. Pada masalah kendali optimal, persamaan Riccati aljabar muncul pada beberapa permasalahan yaitu masalah optimal kuadratik, Kalman Filter, 𝐻2 dan 𝐻∞ . Penelitian sebelumnya [1], memberikan salah satu bahasan pada kendali optimal yang memunculkan persamaan Riccati aljabar yaitu masalah optimal kuadratik pada sistem yang berupa persamaan differensial yang memenuhi sifat kelinieran, atau disebut sistem linier invariant waktu kontinu. Permasalahan tersebut diselesaikan dengan mengoptimalkan indeks performansi menggunakan penyelesaian persamaan Riccati aljabar waktu

kontinu. Penyelesaian dapat diperoleh apabila sistem dalam keadaan terkontrol dan stabil. Dengan cara sama, penyelesaian persamaan Riccati aljabar waktu diskrit (PRAWD) berbentuk 𝑃 = 𝑄 + 𝐹 ∗ 𝑃𝐹 − 𝐹 ∗ 𝑃𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐺 −1 𝐺 ∗ 𝑋𝐹 (1.1) dengan 𝑃 matriks definit positif, digunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari permasalahan kendali optimal linier kuadratik waktu diskrit. Sistem waktu diskrit berbentuk persamaan beda 𝑥 𝑡 + 1 = 𝐹𝑥 𝑡 + 𝐺𝑢 𝑡 , 𝑥 0 =𝑐 (1.2) Dan asumsikan sistem terkontrol. Permasalahan kendali optimal kuadratik waktu diskrit adalah mendapatkan vektor 𝑢(𝑡) sedemikian hingga indeks performansi kuadratik yang diberikan dapat diminimalkan menggunakan aturan umpan balik 𝑢 𝑡 = −𝐾𝑥 𝑡 (1.3) dengan 𝐾 adalah matriks invarian waktu apabila proses kendali optimal tak berhingga. Misal diberikan salah satu contoh indeks performansi kuadratik ∞

𝑥 ∗ 𝑡 𝑄𝑥 𝑡 + 𝑢 ∗ 𝑡 𝑅𝑢 𝑡

𝐽=

(1.4)

𝑘=0

Matriks 𝑄 dan 𝑅 secara terurut, adalah matriks Hermit (real simetris) definit positif. Matriks tersebut merupakan pemberat dari vektor keadaan 𝑥 𝑡 , dan vektor kendali 𝑢 𝑘 . Diasumsikan bahwa vektor kendali 𝑢(𝑡) tidak memiliki kendala. Pada tugas akhir ini, diberikan salah satu bahasan pada kendali optimal yang memunculkan persamaan Riccati aljabar yakni masalah optimal kuadratik dari sistem (1.2) yaitu kendali optimal kuadratik waktu diskrit, kemudian kendali optimal kuadratik waktu diskrit pada keadaan steady state, dengan contoh kasus pada sistem pendulum terbalik kemudian diberikan sifat-sifat mengenai penyelesaian PRAWD dari jurnal [2]. II. TINJAUAN PUSTAKA A. Inversi Matriks Berikut ini akan diberikan suatu sifat mengenai invers matriks yang akan berguna pada bahasan berikutnya.

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 Sifat 2.1. (Sifat Inversi Matriks) [3] Jika matriks 𝐴 ∈ 𝑀𝑛×𝑛 , 𝐵 ∈ 𝑀𝑛×𝑚 , 𝐶 ∈ 𝑀𝑚 ×𝑛 , 𝐷 ∈ 𝑀𝑚 ×𝑚 , dan matriks (𝐴 + 𝐵𝐷𝐶) mempunyai invers maka berlaku 𝐴 + 𝐵𝐷𝐶 −1 = 𝐴−1 − 𝐴−1 𝐵 𝐷 −1 + 𝐶𝐴−1 𝐵 −1 𝐶𝐴−1 B. Sistem Proses-proses kimiawi, mekanik, elektronik dan lain-lain dapat dimodelkan dengan suatu sistem yang dapat direpresentasikan sebagai berikut 𝑥 𝑡 + 1 = 𝐹𝑥 𝑡 + 𝐺𝑢 𝑡 , 𝑥 0 = 𝑥0 (2.1) 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡 (2.2) Persamaan ini disebut sistem linier invariant waktu diskrit. Persamaan (2.1) disebut persamaan keadaan. Persamaan (2.2) disebut persamaan output. Vektor 𝑥 𝑡 adalah vektor keadaan pada waktu 𝑡. Vektor 𝑢(𝑡) adalah vektor input bebas linier dari sistem. Vektor 𝑦(𝑡) adalah output dari sistem. Matriks 𝐹 ∈ 𝑀𝑛×𝑛 , 𝐺 ∈ 𝑀𝑛×𝑟 , 𝐶 ∈ 𝑀𝑟×𝑛 dan 𝐷 ∈ 𝑀𝑟×𝑚 adalah matriks yang mengandung parameter dari keseluruhan sistem. Sistem di atas memiliki sifat linier dan invariant waktu. Linier artinya untuk suatu operator 𝑇 berlaku jika input 𝑢1 (𝑡) memiliki output 𝑦1 (𝑡) dan 𝑢2 (𝑡) memiliki output 𝑦2 (𝑡), maka 𝑇 𝛼𝑢1 𝑡 + 𝛽𝑢2 𝑡 = 𝛼 𝑦1 𝑡 + 𝛽 𝑦2 𝑡 = 𝛼 𝑇 𝑢1 𝑡 + 𝛽 𝑇 𝑢2 𝑡 Sedangkan invariant waktu berarti jika input 𝑢(𝑡) menghasilkan output 𝑦(𝑡), maka 𝑢(𝑡 − 𝜏) menghasilkan output 𝑦(𝑡 − 𝜏) untuk setiap 𝜏 ∈ ℤ. [4] C. Sistem Pendulum Terbalik Dalam tugas akhir ini, akan diberikan salah satu contoh sistem yang dapat diselesaikan dengan persamaan Riccati, yakni pendulum terbalik.

Gambar 1. Pendulum terbalik Pendulum terbalik adalah pendulum yang porosnya ditempelkan pada kereta yang dapat bergerak dengan arah horizontal. Kereta digerakkan oleh suatu motor kecil yang pada saat 𝑡, bekerja suatu gaya 𝑢(𝑡) pada kereta. Gaya tersebut adalah variabel input pada sistem. Massa kereta dinotasikan dengan 𝑀, sedangkan 𝑚 adalah massa pendulum. Jarak antara titik poros pendulum ke pusat gravitasi massa adalah 𝑙. Sudut yang dibentuk oleh pendulum dengan sumbu vertikal adalah 𝜃. Sudut tersebut selalu diasumsikan bernilai kecil untuk menjaga pendulum terbalik tetap vertikal. (𝑥𝐺 , 𝑧𝐺 ) menyatakan koordinat (𝑥, 𝑧) dari pusat gravitasi. Maka, 𝑥𝐺 = 𝑥 + 𝑙 sin 𝜃 𝑧𝐺 = 𝑙 cos 𝜃

2

Dengan menggunakan hukum kedua Newton, persamaan gerak pendulum pada arah sumbu 𝑥 sebagai berikut 𝑑 2 𝑥𝐺 𝑑2 𝑥 = 𝑢, 𝑀 2 +𝑚 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑 (𝑀 + 𝑚) 2 𝑥 + 𝑙 sin 𝜃 = 𝑢, (2.3) 𝑑𝑡 Persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai berikut 𝑀 + 𝑚 𝑥 − 𝑚𝑙 sin 𝜃 𝜃 2 + 𝑚𝑙 cos 𝜃 𝜃 = 𝑢 (2.4) Kemudian, persamaan gerak massa 𝑚 pada arah 𝑧 didapat dengan menggunakan hukum kedua Newton untuk gerak melingkar sehingga 𝑑 2 𝑥𝐺 𝑑 2 𝑧𝐺 𝑚 𝑙 cos 𝜃 − 𝑚 𝑙 sin 𝜃 = 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃, 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑚𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑙𝜃 = 𝑚𝑔 sin 𝜃 (2.5) Dengan melakukan pendekatan untuk sin 𝜃 = 𝜃, cos 𝜃 = 1, dan 𝜃𝜃 = 0, persamaan (2.4) dan (2.5) dapat dilinierisasi menjadi 𝑀 + 𝑚 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 = 𝑢 (2.6) 𝑚𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 = 𝑚𝑔𝜃 (2.7) Linierisasi tersebut berlaku selama 𝜃 dan 𝜃 bernilai kecil. Persamaan (2.6) dan (2.7) mendefinisikan suatu model matematika dari sistem pendulum terbalik. Didefinisikan variabel keadaan sebagai berikut 𝑥1 = 𝜃 𝑥2 = 𝜃 𝑥3 = 𝑥 𝑥4 = 𝑥 𝑥 adalah lokasi dari kereta, sehingga 𝑥 merupakan output dari sistem, dapat ditulis 𝑦 = 𝑥 = 𝑥3 Dari persamaan (2.6) dan (2.7) didapat bentuk persamaan matriks-vektornya 0 0 1 0 0 𝑥1 1 𝑥1 𝑀+𝑚 − 𝑔 0 0 0 𝑥2 𝑥2 𝑀𝑙 𝑀𝑙 = 𝑢 (2.8) + 𝑥3 0 0 0 0 1 𝑥3 𝑚 1 𝑥4 𝑥4 0 0 0 − 𝑔 𝑀 𝑀 𝑥1 𝑥2 𝑦= 0 0 1 0 𝑥 (2.9) 3 𝑥4 Persamaan (2.8) dan (2.9) memberikan salah satu representasi ruang keadaan dari sistem pendulum terbalik. D. Desain Sistem Servo Pada bagian ini, akan dijelaskan mengenai masalah pendekatan penempatan pole pada desain dari sistem servo.

G F

Gambar 2. Denah Sistem Servo

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 Gambar 2 menunjukkan konfigurasi antara suatu sistem servo dengan keadaan umpan balik dan kontroler integral. Dari gambar tersebut didapat 𝑥 𝑡 + 1 = 𝐹𝑥 𝑡 + 𝐺𝑢 𝑡 (2.10) 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 (2.11) Persamaan keadaan integratornya adalah 𝑣 𝑡 =𝑣 𝑡−1 +𝑟 𝑡 −𝑦 𝑡 Vektor kendali 𝑢(𝑘) diberikan oleh 𝑢 𝑡 = −𝐾2 𝑥 𝑡 + 𝐾1 𝑣 𝑡 (2.12) Desain sistem servo adalah menentukan matriks 𝐾1 dan 𝐾2 sedemikian hingga sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan. Perhatikan bahwa 𝑢 𝑡 adalah kombinasi linier dari vektor keadaan 𝑥(𝑡) dan 𝑣(𝑡), definisikan suatu vektor keadaan baru yang mengandung 𝑥(𝑡) dan 𝑢(𝑡). Kemudian didapat dari (2.10) dan (2.12) persamaan berikut 𝐹 𝐺 𝑥 𝑡+1 𝑥 𝑡 = 𝐾2 − 𝐾2 𝐹 − 𝐾1 𝐶𝐹 𝐼 − 𝐾2 𝐺 − 𝐾1 𝐶𝐺 𝑢 𝑡 𝑢 𝑡+1 0 + 𝑟 𝑡+1 (2.13) 𝐾1 Persamaan output, (2.11), dapat ditulis sebagai berikut 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐶 0 𝑢 𝑡 Untuk persamaan berikutnya, didefinisikan vektor 𝑟(𝑡) adalah vektor konstan 𝑟. Dan didefinisikan vektor error sebagai berikut 𝑥𝐸 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝑥(∞) 𝑢𝐸 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝑢(∞) Perhatikan bahwa, untuk input 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , dan 𝑣(𝑡) mencapai nilai konstan pada 𝑥 ∞ , 𝑢 ∞ , dan 𝑣(∞). Jadi, dari persamaan (2.13), didapatkan persamaan representasi errornya berupa 𝑥𝐸 𝑡 𝑢𝐸 𝑡

=

𝐹 𝐾2 − 𝐾2 𝐹 − 𝐾1 𝐶𝐹

𝑥𝐸 𝑡 𝐺 𝐼 − 𝐾2 𝐺 − 𝐾1 𝐶𝐺 𝑢𝐸 𝑡

Persamaan (2.14) dapat ditulis sebagai 𝑥𝐸 𝑘 + 1 𝐹 𝐺 𝑥𝐸 𝑘 = 𝑢𝐸 𝑘 + 1 0 0 𝑢𝐸 𝑘 jika didefinisikan 𝑤 𝑡 = 𝐾2 − 𝐾2 𝐹 − 𝐾1 𝐶𝐹

⋮

+

(2.14)

0 𝑤 𝑡 (2.15) 𝐼

𝐼 − 𝐾2 𝐺 − 𝐾1 𝐶𝐺

𝑥𝐸 𝑡 𝑢𝐸 𝑡

Kemudian definisikan juga 𝑥 𝑡 𝐹 𝐺 0 𝜉 𝑡 = 𝐸 , 𝐹= , 𝐺= 𝑢𝐸 𝑡 0 0 𝐼 𝐾 = − 𝐾2 − 𝐾2 𝐹 − 𝐾1 𝐶𝐹 ⋮ 𝐼 − 𝐾2 𝐺 − 𝐾1 𝐶𝐺 : Sehingga persamaan (2.15) menjadi 𝜉 𝑡 + 1 = 𝐹𝜉 𝑡 + 𝐺𝑤 𝑡 𝑤 𝑡 = −𝐾 𝜉 𝑡 Perhatikan bahwa 𝐾2 ⋮ 𝐾1 𝐹 − 𝐼 𝐺 = 𝐾 + 0 ⋮ 𝐼 (2.16) 𝐶𝐹 𝐶𝐺 Matriks 𝐾1 dan 𝐾2 yang diinginkan dapat diperoleh dari persamaan (2.16). E. Kendali Optimal Linier Kuadratik Pada bagian ini dianalisis mengenai hubungan kendali optimal linier kuadratik dengan penyelesaian PRAWD. Sebelumnya, pandang suatu sistem terkontrol 𝑥 𝑡 + 1 = 𝐹𝑥 𝑡 + 𝐺𝑢 𝑡 , 𝑥 0 =𝑐

3

dengan 𝑡 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1. Akan ditentukan vektor 𝑢 𝑡 sehingga indeks performansi kuadratik yang diberikan dapat diminimalkan. Misal diberikan indeks performansi kuadratik untuk waktu terbatas adalah 𝑁−1

∗

𝑥 ∗ 𝑡 𝑄𝑥 𝑡 + 𝑢∗ 𝑡 𝑅𝑢 𝑡

𝐽 = 𝑥 𝑁 𝑆𝑥 𝑁 + 𝑡=0

dengan 𝑆 ∈ 𝑀𝑛×𝑛 , 𝑄 ∈ 𝑀𝑛×𝑛 , dan 𝑅 ∈ 𝑀𝑟×𝑟 adalah matriks simetris (Hermit) definit (semidefinit positif). Permasalahan kendali optimal pada bagian ini diselesaikan dengan menggunakan pengali Lagrange 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆(𝑁). Kemudian dapat didefinisikan Indeks Performansi: 𝐿 = 𝑥 ∗ 𝑁 𝑆𝑥 𝑁 +

𝑁−1 𝑡=0

𝑥 ∗ 𝑡 𝑄𝑥 𝑡 + 𝑢∗ 𝑡 𝑅𝑢 𝑡 𝜆∗ 𝑡 + 1 𝐹𝑥 𝑡 + 𝐺𝑢 𝑡 −𝑥 𝑡+1 + 𝐹𝑥 𝑡 − 𝐺𝑢 𝑡 − 𝑥 𝑡 + 1

∗𝜆

𝑡+1

Untuk meminimalkan fungsi 𝐿, 𝐿 didiferensialkan terhadap 𝑥 𝑡 , 𝑢(𝑡) dan 𝜆(𝑡) dengan hasil sama dengan 0. 𝛿𝐿 = 0; 𝜆 𝑡 = 𝑄𝑥 𝑡 + 𝐹 ∗ 𝜆 𝑡 + 1 (2.17) 𝛿𝑥 𝑡 𝛿𝐿 = 0; 𝑆𝑥 𝑁 = 𝜆 𝑁 (2.18) 𝛿𝑥 𝑁 𝛿𝐿 = 0; 𝑢 𝑡 = −𝑅 −1 𝐺 ∗ 𝜆 𝑡 + 1 (2.19) 𝛿𝑢 𝑡 𝛿𝐿 = 0; 𝑥 𝑡 + 1 = 𝐹𝑥 𝑡 + 𝐺𝑢 𝑡 (2.20) 𝛿𝜆 𝑡 Vektor 𝑢(𝑡) dapat ditemukan dari persamaan 𝑢 𝑡 = −𝐾 𝑡 𝑥(𝑡) matriks 𝐾(𝑡) adalah matriks anggota 𝑀𝑟×𝑛 . Asumsikan 𝜆(𝑡) sebagai fungsi dari vektor keadaan 𝑥 𝑡 dalam bentuk berikut: 𝜆 𝑡 =𝑃 𝑡 𝑥 𝑡 𝑃(𝑡) adalah matriks Hermit (real simetris) anggota 𝑀𝑛×𝑛 Dengan menyelesaikan persamaan (2.17) sampai (2.20) secara simultan didapat 𝑃 𝑡 = 𝑄 + 𝐹∗𝑃 𝑡 + 1 𝐹 −𝐹 ∗ 𝑃 𝑡 + 1 𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝑡 + 1 𝐺 −1 𝐺𝑃(𝑡 + 1)𝐹 (2.21) Persamaan (2.21) disebut juga persamaan Riccati dengan 𝑋 𝑁 = 𝑆. Persamaan (2.21) bisa diselesaikan secara mundur dari 𝑡 = 𝑁 ke 𝑡 = 0 sampai didapat nilai yang konstan. Dari persamaan (2.21), vektor kendali optimal menjadi: 𝑢 𝑡 = − 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝑡 + 1 𝐺 −1 𝐺 ∗ 𝑃 𝑡 + 1 𝐹𝑥 𝑡 dengan 𝐾 𝑡 = 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝑡 + 1 𝐺 −1 𝐺 ∗ 𝑃 𝑡 + 1 𝐹 (2.22) matriks 𝐾(𝑡) dinamakan matriks umpan balik. Kemudian, dicari nilai minimum dari indeks performansi 𝑁−1

min 𝐽 = min 𝑥 ∗ 𝑁 𝑆𝑥 𝑁 +

𝑥 ∗ 𝑡 𝑄𝑥 𝑡 + 𝑢∗ 𝑡 𝑅𝑢 𝑡 𝑡=0

dengan mensubtitusikan persamaan yang telah didapatkan pada bagian sebelumnya. 𝑥 ∗ 𝑡 𝑄𝑥 𝑡 + 𝑢∗ 𝑡 𝑅𝑢 𝑡 = 𝑥 ∗ 𝑡 𝑃 𝑡 𝑥 𝑡 − 𝑥 ∗ 𝑡 + 1 𝑃 𝑡 + 1 𝑥 𝑡 + 1 (2.23) Dengan mensubtitusikan persamaan (2.23) ke persamaan indeks performansi 𝐽, diperoleh

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 ∞

𝐽𝑚𝑖𝑛 = 𝑥 ∗ 𝑁 𝑆𝑥 𝑁

∗

𝑥∗ 𝑡

𝐽=

𝑁−1

∗

+

4

∗

𝑥 𝑡 𝑃 𝑡 𝑥 𝑡 −𝑥 𝑡+1 𝑃 𝑡+1 𝑥 𝑡+1 𝑡=0

∗

∗

= 𝑥 𝑁 𝑆𝑥 𝑁 + 𝑥 0 𝑃 0 𝑥 0 − 𝑥 𝑁 𝑃(𝑁) Ingat bahwa 𝑋 𝑁 = 𝑆, sehingga nilai minimum dari indeks performansi 𝐽 adalah 𝐽𝑚𝑖𝑛 = 𝑥 ∗ 0 𝑃 0 𝑥 0 (2.24) F. Penyelesaian PRAWD Setelah mengetahui bentuk dari penyelesaian persamaan Riccati Aljabar, berikut ini diberikan teorema mengenai keberadaan dan keunikan penyelesaian Riccati Aljabar. Terlebih dahulu, definisikan persamaan Riccati Aljabar waktu diskrit sebagai fungsi berikut 𝒟 𝑃 = 𝑃 − 𝐹 ∗ 𝑃𝐹 + 𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐹 ∗ 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐺 −1 𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐹 −𝑄 = 0 (2.25) dengan matriks 𝐹 ∈ ℂ𝑛×𝑛 , 𝑆 ∈ ℂ𝑚 ×𝑛 , 𝐺 ∈ ℂ𝑛×𝑚 , 𝑅 = 𝑅 ∗ ∈ ℂ𝑚 ×𝑚 , 𝑄 = 𝑄 ∗ ∈ ℂ𝑚 ×𝑚 . Suatu matriks 𝑃 ∈ ℂ𝑛×𝑛 disebut penyelesaian dari 𝒟 𝑃 apabila 𝑃 merupakan matriks Hermit, det 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐺 ≠ 0 dan 𝒟 𝑃 = 0. Sehingga didapat vektor kendali optimal −1 𝑢𝑜𝑝𝑡 𝑡 = 𝐹 − 𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝑜𝑝𝑡 𝐺 𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃𝑜𝑝𝑡 𝐹 𝑥 𝑡 yang akan meminimumkan indeks performansi ∞

𝑥 ∗ (𝑡)

𝐽 𝑥0 , 𝑢 = 𝑡=0

𝑢∗ (𝑡)

𝑄 𝑆

𝑆∗ 𝑅

𝑥 𝑡 𝑢(𝑡)

dengan 𝐽 semidefinit positif. Indeks performansi optimal diberikan oleh 𝐽𝑜𝑝𝑡 = 𝑥0∗ 𝑃𝑜𝑝𝑡 𝑥0 𝑃𝑜𝑝𝑡 adalah penyelesaian semidefinit terkecil dari persamaan Riccati aljabar waktu diskrit dan 𝑥 0 = 𝑥0 . Serta definisikan suatu matriks loop tertutup terkait penyelesaian 𝑃 dari (2.25) 𝐹𝑃 = 𝐹 − 𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐺 −1 (𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐹) dan 𝜎(𝐹𝑃 ) adalah himpunan seluruh nilai eigen yang berbeda dari 𝐹𝑃 . Maka keadaan optimal memenuhi 𝑥 𝑡 + 1 = 𝐹𝑃𝑜𝑝𝑡 𝑥(𝑡) Suatu penyelesaian 𝑃 dikatakan sebagai penstabil jika 𝜆 < 1 untuk seluruh nilai eigen 𝜆 dari 𝐹𝑃 . Misal 𝔻 = 𝑧; 𝑧 < 1 adalah unit disk terbuka dan 𝛿𝔻 = {𝑧; 𝑧 = 1} adalah unit circle.

III. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Kendali Optimal Kuadratik Steady State Pada bagian ini diberikan kasus ketika proses kendali tidak berhingga atau 𝑁 = ∞, sehingga matiks gain varian waktu 𝐾(𝑡) menjadi suatu matriks konstan 𝐾. Serta matriks penyelesaian PRAWD 𝑃(𝑡) menjadi 𝑃. Pandang persamaan (1.2) 0 0 1 2 dengan 𝐹 = ,𝐺 = , nilai awal 𝑥 0 = , serta −0.5 1 0 2 indeks performansi yang akan diminimumkan

𝑡=0

1 0

0 𝑥 𝑡 + 𝑢∗ 𝑡 𝑢 𝑡 0.5

(3.4)

Bentuk 𝑥 ∗ 𝑁 𝑆𝑥(𝑁) tidak ada di persamaan (3.4) dikarenakan jika sistem stabil maka 𝑥(∞) bernilai nol sehingga 𝑥 ∗ ∞ 𝑆𝑥 ∞ = 0. Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan Riccati untuk kendali optimal steady state adalah dengan membalik waktu dari persamaan Riccati non steady state pada persamaan (1.1) menjadi 𝑃 𝑡 + 1 = 𝑄 + 𝐹 ∗𝑃 𝑡 𝐹 − 𝐹 ∗ 𝑃 𝑡 𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝑡 𝐺 −1 𝐺𝑃 𝑡 𝐹 dan iterasi persamaan tersebut dengan MATLAB mulai dari 𝑃 0 = 0 hingga 𝑃 mencapai nilai konstan dengan syarat batas 0 0 𝑃= 0 0 dan menghasilkan nilai yang tetap yaitu 1.5664 −1.1328 𝑃= −1.1328 2.7556 Kemudian, matriks gain steady state 𝐾 dapat ditentukan dari persamaan (2.22) dapat diperoleh nilai 𝐾 = 0.2207 −0.4414 Indeks performansi 𝐽 yang bersesuaian dengan aturan kendali optimal steady state didapat dari persamaan (2.24) dengan mensubtitusikan 𝑃 untuk 𝑃(0) 1.5664 −1.1328 2 𝐽𝑚𝑖𝑛 = 2 2 = 8.2656 −1 − 1328 2.7556 2 B. Kendali Optimal Kuadratik dari Sistem Servo Diinginkan untuk mendapatkan model ruang keadaan kontinu kemudian mendiskritkan model tersebut sehingga didapat model diskrit. Misalkan diketahui 𝑀 = 2.5𝑘𝑔, 𝑚 = 0.25𝑘𝑔, 𝑙 = 2𝑚 Pada bab 2 didapat representasi ruang keadaan dari pendulum terbalik pada persamaan (2.8) dan (2.9). Subtitusikan nilai dari 𝑀, 𝑚, 𝑙 dan 𝑔 = 9.81 didapat persamaan keadaan dan output dari pendulum terbalik adalah 𝑥1 0 0 1 0 0 𝑥1 𝑥2 −0.2 5.3955 0 0 0 𝑥2 = + 𝑢 𝑥3 0 0 0 1 𝑥3 0 −0.981 0 0 0 𝑥4 𝑥4 0.4 𝑥1 𝑥2 𝑦= 0 0 1 0 𝑥 3 𝑥4 Untuk mendisain sistem kendali, diperlukan suatu model terdiskritisasi. Persamaan sistem terdiskritisasi adalah 𝐵 𝑥 𝑘 + 1 = 𝑒𝐴𝑥 𝑘 + 𝑒𝐴 − 1 𝑢 𝑘 𝐴 Pendiskritan juga dapat dilakukan dengan menggunakan command pada MATLAB. Perintah ini digunakan untuk mendiskritkan suatu sistem linier invariant waktu kontinu, dengan dimisalkan periode sampel adalah 𝑇 = 0.1 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 𝐹, 𝐺 = 𝑐2𝑑 𝐴, 𝐵, 𝑇 Sehingga, model ruang keadaan terdiskritisasi adalah 𝑥 𝑡 + 1 = 𝐹𝑥 𝑡 + 𝐺𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢(𝑡) dengan

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 −0.0005 1.0271 0.1009 0 0 −0.0101 0.5444 1.0271 0 0 𝐹= , 𝐺= , −0.0049 −0.0002 1 0.1 0.002 −0.0990 −0.0049 0 1 0.04 𝐶 = 0 0 1 0 , dan 𝐷 = 0 Berikutnya adalah mendisain sistem servo dari sistem pendulum terbalik. Disain sistem servo adalah menentukan matriks 𝐾 dan konstanta 𝐾1 sedemikian hingga sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan. Persamaan integrator ditunjukkan oleh persamaan (2.10) sehingga diperoleh 𝑥 𝑡+1 𝐹 0 𝑥 𝑡 𝐺 0 = + 𝑢 𝑡 + 𝑟(𝑡 + 1) 𝑣(𝑡 + 1) −𝐶𝐹 1 𝑣(𝑡) −𝐶𝐺 1 Misalkan 𝑟 adalah fungsi tangga dan definisikan 𝑥𝐸 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝑥 ∞ 𝑣𝐸 𝑡 = 𝑣 𝑡 − 𝑣(∞) Dapat diperoleh persamaan error seperti berbentuk 𝑥𝑒 (𝑡 + 1) 𝐹 0 𝑥𝐸 𝑡 𝐺 = + 𝑢 (𝑡) 𝑣𝑒 (𝑡 + 1) −𝐶𝐹 1 𝑣𝐸 (𝑡) −𝐶𝐺 𝑒 dengan 𝑥 𝑡 𝑢𝑒 𝑡 = −𝐾𝑥𝐸 𝑡 + 𝐾1 𝑣𝐸 𝑡 = − 𝐾 𝐾1 𝐸 𝑣𝐸 (𝑡) Sehingga dapat didefinisikan 𝐹 0 𝐺 𝐹= , 𝐺= , 𝐾 = − 𝐾 𝐾1 −𝐶𝐹 1 −𝐶𝐺 𝑥1𝐸 𝑡 𝑥2𝐸 𝑡 𝑥 (𝑡) 𝑤 𝑡 = 𝑢𝐸 𝑡 , 𝜉 𝑡 = 𝑒 = 𝑥3𝐸 𝑡 𝑣𝑒 (𝑡) 𝑥4𝐸 𝑡 𝑣𝐸 (𝑡) Maka representasi ruang keadaan dari sistem dapat ditulis 𝜉 𝑡 + 1 = 𝐹 𝜉 𝑡 + 𝐺 𝑤(𝑡) 𝑤 𝑡 = −𝐾 𝜉(𝑡) dengan −0.0051 1.1048 0.1035 0 0 −0.1035 2.1316 1.1048 0 0 𝐹= , 𝐺 = 0.0025 −0.0025 −0.0001 1 0.1 0.0501 −0.0508 −0.0025 0 1 −0.0025 Perhatikan bahwa representasi awal sistem pendulum terbalik berada pada waktu kontinu, maka harus dipertimbangkan suatu indeks performansi waktu kontinu. Indeks performansi waktu kontinu berbentuk ∞

𝐽=

5

Dari matriks gain 𝐾 yang diketahui dapat diperoleh respon tangga satuan dengan cara sebagai berikut. Karena 𝑢 𝑡 = −𝐾𝑥 𝑡 + 𝐾1 𝑣(𝑡) maka 𝑥 𝑡+1 𝑥 𝑡 = 𝐹𝐹 + 𝐺𝐺𝑟 (3.11) 𝑣(𝑡 + 1) 𝑣(𝑡) 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐶 0 (3.12) 𝑣(𝑡) dengan 𝑟 = 1. Definisikan 𝐹 − 𝐺𝐾 𝐺𝐾1 0 𝐹𝐹 = , 𝐺𝐺 = −𝐶𝐹 + 𝐶𝐺𝐾 −𝐶𝐺𝐾1 + 1 1 𝐶𝐶 = 𝐶 0 = 0 0 1 0 0 Untuk mendapatkan response 𝑥1 (𝑡), notasikan 𝑥 𝑡 𝑥1 (𝑡) = 1 0 0 0 0 𝑣 𝑡 dengan mendefinisikan 𝐻𝐻 = 1 0 0 0 0 Konversikan persamaan ruang keadaan (3.11) dan (3.12) 𝑋 (𝑧) ke fungsi transfer 1 dengan 𝑅(𝑧)

𝑛𝑢𝑚1, 𝑑𝑒𝑛1 = 𝑠𝑠2𝑡𝑓 𝐹𝐹, 𝐺𝐺, 𝐻𝐻, 0 Kemudian gunakan perintah filter untuk mendapatkan respon tangga 𝑥1 = 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚1, 𝑑𝑒𝑛1, 𝑟 Dengan cara sama, untuk mendapatkan 𝑥2 𝑡 , 𝑥3 𝑡 = 𝑦 𝑡 , 𝑥4 𝑡 , dan 𝑥5 𝑡 = 𝑣(𝑡), kalikan basis liniernya dengan 𝑥 𝑡 dengan mendefinisikan basis linier tersebut sebagai 𝑣(𝑡) 𝐽𝐽 = 0 1 0 0 0 𝐶𝐶 = 0 0 1 0 0 𝐿𝐿 = 0 0 0 1 0 𝑀𝑀 = 0 0 0 0 1 Selanjutnya dilakukan hal yang sama untuk 𝑋2 𝑡 𝑌 𝑡 𝑋4 𝑧 𝑉 𝑧 , , , dan . 𝑅 𝑡

𝑅 𝑡

𝑅 𝑧

𝑅 𝑧

Plot respon tangga satuan versus 𝑡 ditunjukkan pada gambar berikut

𝜉 ∗ 𝑡 𝑄𝜉 𝑡 + 𝑤 ∗ 𝑡 𝑅𝑤 𝑡 𝑑𝑡

0

Indeks performansi tersebut didiskritkan menjadi ∞

∗

Gambar 3. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥1 (𝑡) versus 𝑡

∗

𝜉 𝑡 𝑄𝜉 𝑡 + 𝑤 𝑡 𝑅𝑤(𝑡)

𝐽= 𝑡=0

Ambil

10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 𝑄 = 0 0 100 0 0 , 𝑅=1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Dapat diperoleh matriks gain umpan balik 𝐾 dan konstanta gain integral 𝐾1 sebagai berikut 𝐾 = −116.5430 −74.1883 −17.2665 −20.0594 , 𝐾1 = −0.6623

Gambar 4. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥2 (𝑡) versus 𝑡

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520

6

Dalam jurnal ini dibuktikan (3.14) saja. Pertama, didefinisikan Ψ 𝑧; 𝐹, 𝐺, 𝑅, 𝑆, 𝑄 = 𝐺 ∗ 𝑧 −1 𝐼 − 𝐹 ∗

−1

𝐼

𝑆∗ 𝑅

𝑄 𝑆

𝑧𝐼 − 𝐹 𝐼

−1

𝐺

Maka Ψ 𝑧; 𝐹, 𝐺, 𝑅, 𝑆, 𝑄

Gambar 5. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥3 (𝑡) versus 𝑡

= 𝐺 ∗ 𝑧 −1 𝐼 − 𝐹 ∗

−1

= 𝐺 ∗ 𝑧 −1 𝐼 − 𝐹 ∗

−1

𝐼

+ 𝐺 ∗ 𝑧 −1 𝐼 − 𝐹 ∗

−1

𝐼

𝐼

𝑄 𝑆 ∗

Gambar 6. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥4 (𝑡) versus 𝑡

Gambar 7. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥5 (𝑡) versus 𝑡 Jika dimisalkan periode sampel adalah 0.1 detik, maka dari gambar di atas didapat bahwa keadaan steady state tercapai saat 7 detik. C. Sifat-Sifat Penyelesaian PRAWD Setelah mengetahui bentuk dari persamaan Riccati Aljabar waktu diskrit dan hubungannya dengan masalah kendali optimal linier kuadratik, berikut ini diberikan sifat-sifat penyelesaian Riccati Aljabar. Di bawah ini diberikan sifat invariant dari 𝒟 𝑃 , Φ 𝑃, 𝐹, 𝑅, 𝑆 , dan Ψ 𝑧 apabila diberikan matriks 𝑅, 𝑆, dan 𝑄 yang baru. Pertama-tama, definisikan Φ 𝑃, 𝐹, 𝑅, 𝑆 = 𝐹 − 𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐺 −1 (𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐹) dan 𝑄 𝑆∗ 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 𝐺 Ψ 𝑧 = 𝐺 ∗ 𝑧 −1 𝐼 − 𝐹 ∗ −1 𝐼 𝑆 𝑅 𝐼 Sifat 3.1. [2] Misal 𝑋 matriks Hermit dan

𝑅 = 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑋𝐺,

𝑆 = 𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑋𝐹,

𝑄 = 𝑄 + 𝐹 ∗ 𝑋𝐹 − 𝑋 (3.13)

maka 𝒟 𝑃; 𝐹, 𝐺, 𝑅, 𝑆, 𝑄 = 𝒟 𝑃 − 𝑋; 𝐹, 𝐺, 𝑅, 𝑆, 𝑄 dan 𝛹 𝑧; 𝐹, 𝐺, 𝑅, 𝑆, 𝑄 = 𝛹 𝑧; 𝐹, 𝐺, 𝑅 , 𝑆, 𝑄 (3.14) dan Φ 𝑃, 𝐹, 𝑅, 𝑆 = Φ 𝑃 − 𝑋, 𝐹, 𝐺, 𝑅 , 𝑆 Bukti

𝑧𝐼 − 𝐹 𝐼

𝑄 𝑆 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 𝐺 𝑆 𝑅 𝐼 𝐹 ∗ 𝑋𝐹 − 𝑋 𝐹 ∗ 𝑋𝐺 𝑧𝐼 − 𝐹 ∗ ∗ 𝐺 𝑋𝐹 𝐺 𝑋𝐺 𝐼

Dimisalkan 𝑇 𝑧 = 𝐺 ∗ 𝑧 −1 𝐼 − 𝐹 ∗

𝑆∗ 𝑅

−1

𝐼

𝐹 ∗ 𝑋𝐹 − 𝑋 𝐺 ∗ 𝑋𝐹

−1

−1

𝐺

𝐺 (3.15)

𝐹 ∗ 𝑋𝐺 𝐺 ∗ 𝑋𝐺

𝑧𝐼 − 𝐹 𝐼

−1 𝐺

Sehingga persamaan (3.15) menjadi Ψ 𝑧; 𝐹, 𝐺, 𝑅 , 𝑆, 𝑄 = Ψ 𝑧; 𝐹, 𝐺, 𝑅, 𝑆, 𝑄 + 𝑇(𝑧) Persamaan terakhir menyatakan agar Ψ 𝑧; 𝐹, 𝐺, 𝑅, 𝑆, 𝑄 = Ψ 𝑧; 𝐹, 𝐺, 𝑅, 𝑆, 𝑄 maka harus ditunjukkan 𝑇 𝑧 = 0 𝑇 𝑧 𝐹 ∗ 𝑋𝐹 − 𝑋 𝐹 ∗ 𝑋𝐺 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 𝐺 = 𝐺 ∗ 𝑧 −1 𝐼 − 𝐹 ∗ −1 𝐼 𝐺 ∗ 𝑋𝐹 𝐺 ∗ 𝑋𝐺 𝐼 = 𝐺 ∗ 𝑧 −1 − 𝐹 ∗ −1 𝐹 ∗ 𝑋 𝐹 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 + 𝐼 𝐺 +𝐺 ∗ 𝑋 𝐹 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 + 𝐼 𝐺 −𝐺 ∗ 𝑧 −1 𝐼 − 𝐹 ∗ −1 𝑋 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 𝐺 Sederhanakan 𝐹 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 menjadi 𝐹 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 + 𝐼 = 𝐹 + 𝑧𝐼 − 𝐹 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 = 𝑧 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 Maka 𝑇 𝑧 = 𝐺 ∗ 𝑧 −1 − 𝐹 ∗ −1 𝐹 ∗ 𝑋 𝑧 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 𝐺 + 𝐺 ∗ 𝑋 𝑧 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 𝐺 −𝐺 ∗ 𝑧 −1 𝐼 − 𝐹 ∗ −1 𝑋 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 𝐺 ∗ = 𝐺 𝐼𝑧 + 𝑧 −1 − 𝐹 ∗ −1 𝐹 ∗ 𝑧 − 𝐼 𝑋 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 𝐺 = 𝐺 ∗ 𝐼 − 𝐹 ∗ 𝑧 + 𝐹 ∗ 𝑧 − 𝐼 𝑋 𝑧𝐼 − 𝐹 −1 𝐺 =0 Jadi, terbukti bahwa fungsi Ψ 𝑧 , mampu mempertahankan sifat invariant jika (𝑅, 𝑆, 𝑄) digantikan oleh (𝑅, 𝑆, 𝑄 ). Misalkan terdapat penyelesaian Hermit dari PRAWD 𝑃 . Sekarang, misalkan 𝑃2 adalah penyelesaian unik PRAWD terkait persamaan (2.23). Ditunjukkan bahwa 𝑃2 adalah penyelesaian minimum dari (2.23) dengan 𝑃 = Δ + 𝑃2 sebagai berikut. Sifat 3.2. [2] Misal 𝑃2 adalah penyelesaian dari 𝒟 𝑃 = 0 dan 𝑃 adalah suatu penyelesaian dari 𝒟 𝑃 = 0 dengan 𝐹𝑃2 = 𝐹 − 𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃2 𝐺 −1 𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃2 𝐹 𝑅 = 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃2 𝐺 Maka ∆= 𝑃 − 𝑃2 adalah penyelesaian persamaan ℋ 𝑌 = 𝑌 − FP 𝑌FP 2 + FP 2 𝑌𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑌𝐺

−1 𝐺 ∗ 𝑌F P2

=0

Bukti Dari sifat 3.1, untuk setiap 𝑃2 penyelesaian Hermit dapat dimisalkan 𝑅 = 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃2 𝐺, 𝑆 = 𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃2 𝐹, 𝑈 = 𝑅−1 𝑆 Berlaku juga untuk 𝑃 penyelesaian Hermit 𝑅 = 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝐺, 𝑆 = 𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝐹, 𝑈 = 𝑅 −1 𝑆 Kemudian didapat persamaan berikut ini ∗ 𝑅 − 𝑅 = 𝐺 ∗ 𝑃2 𝐺, 𝑆 − 𝑆 = 𝐹 ∗ 𝑃2 𝐺

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 𝑅 − 𝑅 = 𝐺 ∗ 𝑃𝐺, 𝑅 − 𝑅 = 𝐺 ∗ ∆𝐺,

∗

𝑆 − 𝑆 = 𝐹 ∗ 𝑃𝐺 𝑆 − 𝑆 = 𝐺 ∗ ∆𝐹

Serta 𝐹𝑃2 = 𝐹 − 𝐺𝑈 (3.16) Akan dibuktikan bahwa 𝐻 ∆ = ∆ − FP 2 ∆FP 2 + FP 2 ∆𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ ∆𝐺 −1 𝐺 ∗ ∆FP 2 = 0 Dengan kata lain ∆ − FP 2 ∆FP 2 = −FP 2 ∆𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ ∆𝐺 −1 𝐺 ∗ ∆FP 2 Dari persamaan (3.16) ∆ − 𝐹𝑃∗2 ∆𝐹𝑃2 ∗

= ∆ − 𝐹 − 𝐺𝑈 ∆ 𝐹 − 𝐺𝑈 = ∆ − 𝐹 ∗ ∆𝐹 + 𝑈 ∗ 𝐺 ∗ ∆𝐹 + 𝐹 ∗ ∆𝐺𝑈 − 𝑈 ∗ 𝐺 ∗ ∆𝐺𝑈 = 𝑃 − 𝑃2 − 𝐹 ∗ 𝑃 − 𝑃2 𝐹 + 𝑈 ∗ 𝐺 ∗ 𝑃 − 𝑃2 𝐹 + 𝐹 ∗ 𝑃 − 𝑃2 𝐺𝑈 − 𝑈𝐺 𝑃 − 𝑃2 𝐺𝑈 (3.17) Karena 𝑃 dan 𝑃2 merupakan penyelesaian 𝒟 𝑃 = 0 maka 𝑃2 − 𝐹 ∗ 𝑃2 𝐹 = −𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 Dan 𝑃 − 𝐹 ∗ 𝑃𝐹 = −𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 Sehingga ∆ − 𝐹 ∗ ∆𝐹 = 𝑃 − 𝐹 ∗ 𝑃 𝐹 − 𝑃2 − 𝐹 ∗ 𝑃2 𝐹 = 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 − 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 (3.18) Dan ∗ 𝐹 ∗ ∆𝐺𝑈 = 𝑆 − 𝑆 𝑈 = 𝑆 ∗ − 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 (3.19) 𝑈 ∗ 𝐺 ∗ ∆𝐹 adalah transpose konjugat dari 𝐹 ∗ ∆𝐺𝑈 . Selanjutnya 𝑈 ∗ 𝐺 ∗ ∆𝐺𝑈 = 𝑆 ∗ 𝑅−1 𝐺 ∗ 𝑃 − 𝑃2 𝐺𝑅 −1 𝑆 (3.20) Subtitusikan persamaan 3.18 , (3.19) dan (3.20) ke persamaan (3.17) didapat ∆ − 𝐹𝑃∗2 ∆𝐹𝑃2 = ∆ − 𝐹 ∗ ∆𝐹 + 𝑈 ∗ 𝐺 ∗ ∆𝐹 + 𝐹 ∗ ∆𝐺𝑈 − 𝑈 ∗ 𝐺 ∗ ∆𝐺𝑈 = 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 − 𝑆 ∗ 𝑅−1 𝑆 + 𝑆 ∗ 𝑅−1 𝑆 − 𝑆 + 𝑆 ∗ − 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 − 𝑆 ∗ 𝑅−1 𝐺 ∗ 𝑃 − 𝑃2 𝐺𝑅 −1 𝑆 ∗ −1 ∗ −1 = −𝑆 𝑅 𝑆 + 𝑆 𝑅 𝑆 + 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 − 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 − 𝑆 ∗ 𝑅−1 𝐺 ∗ 𝑃 − 𝑃2 𝐺𝑅 −1 𝑆 = −𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃 − 𝑃2 𝐺 𝑅 −1 𝑆 − 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 + 𝑆 ∗ 𝑅−1 𝑆 + 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 Karena 𝑅 = 𝑅 + 𝐺 ∗ ∆𝐺 maka ∆ − 𝐹𝑃∗2 ∆𝐹𝑃2 = −𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑅𝑅 −1 𝑆 − 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 + 𝑆 ∗ 𝑅−1 𝑆 + 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑆 = − 𝑆 ∗ − 𝑆 ∗ 𝑅 −1 𝑅 𝑅 −1 𝑆 − 𝑅 𝑅−1 𝑆 Perhatikan bahwa 𝑅 𝑅−1 = 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝐺 𝑅 −1 = 𝑅𝑅 −1 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝐺𝑅−1 = 𝑅 − 𝐺 ∗ 𝑃2 𝐺 𝑅−1 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝐺𝑅 −1 = 𝐼 + 𝐺 ∗ ∆𝐺𝑅 −1 Sehingga 𝑆 − 𝑅 𝑅−1 𝑆 = 𝑆 − 𝐼 + 𝐺 ∗ ∆𝐺𝑅 −1 𝑆 = 𝑆 − 𝑆 − 𝐺 ∗ ∆𝐺𝑅 −1 𝑆 = 𝐺 ∗ ∆𝐹 − 𝐺 ∗ ∆𝐺𝑅 −1 𝑆 = 𝐺 ∗ ∆ 𝐹 − 𝐺𝑈 = 𝐺 ∗ ∆𝐹𝑃2 Kemudian didapat

7 ∗

∆ − 𝐹𝑃∗2 ∆𝐹𝑃2 = − 𝐺 ∗ ∆𝐹𝑃2 𝑅−1 𝐺 ∗ ∆𝐹𝑃2 −1

= −𝐹𝑃∗2 ∆𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝐺 𝐺 ∗ ∆𝐹𝑃2 Jelas bahwa ∆ adalah penyelesaian dari ℋ 𝑌 = 0 IV. KESIMPULAN/RINGKASAN A. Kesimpulan 1. Persamaan keadaan dan output dari sistem pendulum terbalik berbentuk persamaan kontinu dengan indeks performansi kontinu, pendiskritan dilakukan untuk membentuk suatu sistem linier invariant waktu diskrit dari sistem. 2. Desain servo diselesaikan dengan mendapatkan penyelesaian PRAWD 𝑃, matriks 𝐾 dan konstanta integral 𝐾1 dari persamaan ruang keadaan 𝜉 𝑡 + 1 = 𝐹 𝜉 𝑡 + 𝐺 𝑤(𝑡) 𝑤 𝑡 = −𝐾 𝜉(𝑡) 3. Dari matriks 𝐾 dan 𝐾1 dapat diperoleh respon tangga satuan 𝑥1 𝑡 , 𝑥2 𝑡 , 𝑥3 𝑡 = 𝑦 𝑡 , 𝑥4 𝑡 , dan 𝑥5 𝑡 = 𝑦(𝑡). Kemudian dapat diberikan grafiknya versus 𝑡 dengan menggunakan software MATLAB. 4. Fungsi 𝒟 𝑃 , Ψ 𝑧 , dan Φ(𝑃) mampu mempertahankan sifat invariant jika (𝑅, 𝑆, 𝑄) digantikan oleh (𝑅, 𝑆, 𝑄 ) dengan 𝑅 = 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑋𝐺,

𝑆 = 𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑋𝐹,

𝑄 = 𝑄 + 𝐹 ∗ 𝑋𝐹 − 𝑋

5. Apabila 𝑃 dan 𝑃2 merupakan penyelesaian 𝒟 𝑃 , maka Δ = P − P2 merupakan penyelesaian dari ℋ 𝑌 = 𝑌 − FP 𝑌FP 2 + FP 2 𝑌𝐺 𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑌𝐺 −1 𝐺 ∗ 𝑌FP 2 = 0 dengan 𝑃2 adalah penyelesaian minimum dari 𝒟 𝑃 . B. Saran 1. Permasalahan kendali optimal dalam tugas akhir ini merupakan masalah waktu diskrit sehingga dapat diteliti lebih lanjut mengenai kasus waktu kontinu. 2. Dapat dianalisis juga mengenai persamaan Riccati aljabar kontinu serta sifat penyelesaiannya. 3. Selanjutnya, dapat juga ditunjukkan mengenai hubungan sifat-sifat penyelesaian persamaan Riccati aljabar dengan masalah kendali optimal. DAFTAR PUSTAKA [1] Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in Optimal Control Theory". Mathematics Theses, Georgia State University. [2] Clements, D. J., Wimmer, H.K. (2003). “Existence and Uniqueness of Unmixed Solutions of The Discrete-time Algebraic Riccati Equations”. Systems and Control Letters, Vol. 50, Hal 343-340. [3] Ogata, K. (1995). “Discrete-Time Control System”. Prentice-Hall International, London. [4] Subiono. (2010). “Matematika Sistem”. Jurusan Matematika, FMIPA ITS.