JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
1
Pengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya Nabila Asyiqotur Rohmah, Erna Apriliani. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail:
[email protected]
Abstrak— Hama pada jumlah yang berlebih dapat mengakibatkan kerugian pada manusia. Pengendalian populasi hama dengan musuh alaminya adalah cara yang aman untuk mengendalikan populasinya karena tidak merusak ekosistem. Pada penulisan ilmiah ini dibahas analisis stabilitas lokal dan pengendalian untuk model Lotka-Volterra dua mangsa-satu pemangsa. Analisis stabilitas lokal dilakukan untuk mengetahui titik setimbang yang stabil pada model untuk selanjutnya diteliti pengendalian optimalnya. Metode pengendalian optimal dilakukan untuk mengetahui pengontrol untuk sistem. Dari persamaan-persamaannya diketahui sistem tidak dapat dikontrol agar jumlah hama tetap dibawah economic injury level sehingga teori kendali optimal tidak dapat diterapkan. Simulasi dilakukan untuk melihat perilaku sistem. Hasil simulasi menunjukkan bahwa pengendalian hama dengan musuh alaminya dapat menekan populasi hama tetapi masih menimbulkan kerugian. Kata Kunci—Pengendalian hama, model mangsa-pemangsa, persamaan Lotka-Volterra, kestabilan lokal.
I. PENDAHULUAN AMA adalah spesies hewan yang mengganggu aktivitas manusia karena menyebabkan kerusakan, kerugian, atau gangguan pada tanaman, hasil pertanian, binatang ternak, atau manusia itu sendiri. Pengendalian populasi hama selama ini sering dilakukan dengan penggunaan pestisida kimia sehingga mengakibatkan efek samping yang tak diinginkan yang terjadi kepada hama dan juga kepada ekosistem yang ada di sekitarnya. Karena banyak dampak negatif penggunaan pestisida kimia, sehingga akan dicoba pengendalian hama secara biologis. Pengendalian yang dimaksud adalah penggunaan organisme hidup untuk menekan populasi hama hingga jumlah tertentu, sehingga mengurangi kerugian yang mungkin ditimbulkan. Ada tiga metode untuk pengendalian secara biologis yaitu (1) melindungi musuh alami yang telah ada dalam ekosistem, (2) menambahkan jenis musuh alami yang baru dan menetapkan populasi permanen, dan (3) memperbanyak jumlah musuh alami dan frekuensi pelepasannya [1]. Pemodelan matematika yang diterapkan pada masalah pengendalian hama secara biologis memungkinkan evaluasi kualitatif dan kuantitatif dari dampak interaksi antara hama dan musuh alaminya. Dengan demikian, model matematis dapat digunakan untuk menetapkan keadaan steady yang diinginkan untuk sistem jenis mangsa-pemangsa. Hal ini dapat diperoleh dengan mencari musuh alami yang mampu
H
membawa sistem ke keadaan yang diinginkan. Bentuk lain di mana model matematis dapat digunakan dalam pengendalian hama adalah melalui perumusan strategi pengendalian yang optimal. Pada penelitian terdahulu yang dilakukan oleh Noveria Charina (2011), model interaksi predator-prey yang dipengaruhi penyebaran penyakit menular tipe SIS pada prey pada lingkungan yang terkena racun dianalisis kestabilannya [2]. Hasilnya diperoleh titik setimbang dan pengaruhnya pada kestabilan lokal. Sementara Nur Aini (2010) telah melakukan penelitian tentang pengendalian optimal hama secara kimia dengan penyemprotan insektisida dan secara biologi dengan cara menginfeksi hama dengan virus yang merupakan patogen untuk hama [3] dengan menggunakan teori singular control dan bang-bang control. Hasil yang diperoleh berupa bentuk optimal control u* dari model pengendalian hama serangga dan kondisi yang diperlukan supaya fungsi keuntungan menjadi maksimal menggunakan performance index yang linear. Siklus biologis yang identik dengan kenyataan menyebabkan ekosistem dapat dideskripsikan oleh persamaan Lotka-Volterra. Dari alasan tersebut pada tugas akhir ini akan dibahas mengenai kestabilan dan pengendalian sistem dari persamaan Lotka-Volterra untuk dua mangsa-satu pemangsa agar populasi hama tetap di bawah economic injury level (tingkat populasi hama terendah yang telah dapat menimbulkan kerugian secara ekonomik). II. METODE PENELITIAN A. Tahap Studi Literatur Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dengana mencari referensi yang menunjang penelitian. Pemahaman mengenai masalah kestabilan dan pengendalian sangat membantu dalam penyelesaian model tersebut dalam mencari bentuk kendali. B. Tahap Analisis Model Pada tahap ini model dari persamaan Lotka-Volterra dianalisis dengan cara mencari titik setimbang kemudian diperiksa kestabilannya. Karena persamaan Lotka-Volterra adalah persamaan diferensial tak linear maka model perlu dilinearisasikan terlebih dahulu dengan membentuk matriks
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) Jacobian, selanjutnya diteliti kestabilitannya dengan melihat nilai eigen atau menggunakan metode Routh-Hurwitz. C. Tahap Pengendaluan pada Model Setelah kestabilan sistem dianalisa, kemudian dicari pengontrol yang akan membawa sistem ke bentuk yang diinginkan. Untuk mendapatkan pengendali yang tepat digunakan teori optimal control. D. Tahap Simulasi Model Pada tahap ini simulasi dilakukan untuk melihat perilaku model. Simulasi dilakukan dengan software pemrograman yaitu MATLAB.
( 4.
III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A. Model Prey-Predator Lotka-Volterra Populasi mangsa dipengaruhi oleh tingkat kelahirannya, tingkat kematiannya karena persaingan dengan sesama jenis, tingkat kematiannya karena persaingan dengan mangsa jenis lain, dan tingkat kematian karena dimangsa predator. Populasi pemangsa dipengaruhi oleh tingkat kematian pemangsa karena ketiadaan mangsa dan bertambah karena adanya mangsa. Pada model ini populasi dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu dua kelompok mangsa dan satu kelompok pemangsa. Model mangsa-pemangsanya adalah
dan ). ), terjadi ketika mangsa 1 ada, sedangkan
(
mangsa II dan pemangsa tidak ada. 5. ( ), terjadi ketika populasi mangsa I dan pemangsa ada, sedang mangsa II tidak ada ( , dan .
6.
(
),
, terjadi
ketika mangsa I dan mangsa II ada sementara pemangsa tidak ada.
7.
E. Tahap Analisis Hasil Simulasi Pada tahap ini dilakukan analisis terhadap hasil yang telah diperoleh dari simulasi. F. Tahap Kesimpulan dan Saran Pada tahap ini kesimpulan ditarik dari model yang telah dianalisis kestabilan dan.dicari bentuk kendalinya serta hasil dari simulasi. Selanjutnya, saran-saran akan diberikan untuk penelitian selanjutanya.
2
, terjadi ketika mangsa I ada, mangsa II ada, dan pemangsa ada, dengan
Setelah diperoleh titik kesetimbangan, selanjutnya setiap titik akan dianalisa kestabilannya. C. Analisa Kestabilan Lokal Model Lotka-Volterra Setelah menentukan titik setimbang model Lotka-Volterra, selajutnya kestabilan setiap titik setimbang akan ditentukan dengan cara melihat nilai eigen matriks Jacobian. Karena sistem (1) merupakan persamaan diferensial tak linear, persamaan-persamaan tersebut perlu dilinearisasikan terlebih dahulu untuk kemudian ditentukan kestabilannya. Kestabilan lokal pada setiap titik setimbang akan diperiksa sebagai berikut: . 1. Kestabilan lokal titik setimbang Matriks Jacobian model (1) pada adalah (
)
Nilai eigen diperoleh dari |
(1)
|
, maka
. Karena maka titik
dengan adalah populasi mangsa I, adalah populasi mangsa II, dan adalah populasi predator pada waktu t [5]. B. Titik Kesetimbangan Model Lotka-Volterra Titik setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu. Titik-titik setimbang diperoleh dari ̇ , ̇ , ̇ Ada beberapa kemungkinan yang terjadi untuk jumlah populasi masing-masing jenis, sehingga ada beberapa kemungkinan titik setimbang berdasarkan keadaan populasinya. Dari model (1) diperoleh tujuh titik kesetimbangan yaitu 1. , yaitu keadaan dimana populasi mangsa I dan mangsa II tidak ada, sehingga populasi pemangsa akan musnah karena tidak ada makanan. 2. , dimana populasi mangsa I dan 3.
pemangsa tidak ada, sementara populasi mangsa II ada. ( ), dimana populasi mangsa I tidak ada sementara populasi mangsa II dan predator ada
2.
adalah parameter yang bernilai positif, tidak stabil karena . (
Kestabilan lokal titik setimbang Matriks Jacobian model (1) pada
(
Nilai eigen diperoleh dari | (
sehingga (
adalah:
| )(
)
).
)
, maka )
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
Sehingga
Nilai eigen , , dan dapat bernilai positif atau negatif tergantung dari nilai-nilai parameternya. Titik stabil jika semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga . titik stabil jika (
3. Kestabilan lokal titik setimbang Matriks Jacobian model (1) pada
√
Nilai eigen dapat bernilai positif atau negatif tergantung dari nilai-nilai parameternya, sementara bernilai negatif karena bagian realnya bernilai negatif. Titik stabil jika semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik setimbang stabil jika
).
adalah )
(
6.
dengan
,
,
Nilai eigen diperoleh dari |
|
3
Kestabilan (
lokal
titik ).
setimbang
, maka )
(
dengan
Sehingga
Nilai eigen diperoleh dari |
|
, maka
√
sehingga
Nilai eigen dapat bernilai positif atau negatif tergantung dari nilai-nilai parameternya, sementara bernilai negatif karena bagian realnya bernilai negatif. Titik stabil jika semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik setimbang stabil jika
4.
(
Kestabilan lokal titik setimbang Matriks Jacobian model (1) pada
(
Nilai eigen diperoleh dari | (
√
Titik stabil jika semua nilai eigennya harus bernilai negatif, sehingga titik setimbang stabil jika ( ) ( ) dan
) 7.
adalah
. Kestabilan lokal titik setimbang dan telah disebutkan pada kasus 7. Matriks Jacobian model (1) pada adalah
dengan
)
|
, maka
)(
(
)
)
dengan memisalkan
Karena , maka . Sementara nilai eigen , dan dapat bernilai positif atau negatif tergantung dari nilai-nilai parameternya. Titik stabil jika semua nilai eigennya bernilai negatif, sehingga titik setimbang stabil jika . 5.
adalah
(
dengan
)
,
, dan
Nilai eigen diperoleh dari |
|
, maka
) )
Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz diperoleh sebagai berikut
).
Matriks Jacobian model (1) pada
( (
Kestabilan lokal titik setimbang (
Nilai eigen yang diperoleh dari |
. |
, maka
Sehingga
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
4
Tabel 1. Nilai parameter pada sistem dinamik dari persamaan Lotka-Volterra (1) Parameter
Dengan tabel Routh-Hurwitz pada titik setimbang , sistem stabil jika , karena bertanda positif. Maka sistem stabil jika ketika Atau ketika dan
Nilai (1)
Nilai (2)
Nilai (3)
0,170000 0,170000 0,119000 0,000170 0,000170 0,001700 0,000255 0,000170 0,001700 0,000850
0,170000 0,200000 0,120000 0,000170 0,000171 0,001700 0,002000 0,001800 0,001710 0,008500
0,20000 0,17000 0,12000 0,00200 0,00180 0,00170 0,00017 0,00017 0,00171 0,00085
0,000085
0,001000
0,00085
.
(9) Terlihat bahwa beberapa titik setimbang stabil jika memenuhi batas-batasnya. Dalam model ini yang diinginkan adalah mempertahankan populasi hama pada jumlah tertentu dengan cara mengendalikan populasi hama lewat kehadiran populasi pemangsa. Untuk mendapatkan pengendali yang tepat digunakan teori optimal control. D.
Pengendalian pada Model Pada bagian ini akan dibahas tentang penyelesaian menggunakan kontrol optimal untuk menunjukkan pengendalian hama dengan menggunakan musuh alaminya yang optimal. Sistem Lotka-Volterra (1) dengan pengontrol yaitu
(2)
Tujuan dilakukan pengendalian hama adalah menjaga populasi hama pada jumlah tertentu, yaitu (3) yang dikendalikan oleh , dimana adalah jumlah populasi hama dibawah economic injury level. Keadaan steady yang diinginkan adalah [ ] (4) Keadaan steady (4) yang diinginkan dapat dicari ketika (5)
tidak mungkin bernilai negatif, maka tidak ada nilai yang memenuhi persamaan (8) dan (9) dari perhitungan di atas terlihat bahwa perlu jumlah hama yang sangat besar agar memenuhi persamaan-persamaan di atas. Dapat disimpulkan bahwa sistem tidak dapat dikontrol. Secara biologi berarti tidak ada jumlah pemangsa yang tepat yang dapat mengontrol populasi hama dibawah economic injury level. Karena
E. Simulasi Simulasi sistem dinamik persamaan Lotka-Volterra dua mangsa-satu pemangsa dilakukan untuk melihat pengaruh populasi pemangsa pada mangsa dalam suatu ekosistem. Untuk simulasi digunakan parameter-parameter dari Tabel 1 Nilai parameter (1) berasal dari jurnal [5] sementara nilai parameter (2) dan (3) ditambahkan untuk melihat perilaku sistem ketika parameternya berbeda. Simulasi pertama dilakukan tanpa adanya populasi mangsa sebagai pengendali atau karena . Hasil simulasi ditunjukkan oleh Gambar 1.
Gambar 1a. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (1) pada keadaan awal (10,10,0)
Dari persamaan ketiga pada (5) kita dapatkan nilai pengontrol adalah (6)
Asumsikan dan . Dengan menggunakan parameter-parameter pada Tabel 1, didapatkan (7) Eliminasi
sehingga didapatkan Gambar 1b. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (2) pada keadaan awal (10,10,0)
Sederhanakan sehingga (8) Bandingkan (3) dan (8) dengan
, sehingga
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
5
Pada kasus ketiga, simulasi dilakukan saat keadaan awal mangsa kedua ada sementara mangsa pertama tidak ada sehingga karena . Hasil simulasi ditunjukkan oleh Gambar 3.
Gambar 1c. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (3) pada keadaan awal (10,10,0).
Gambar 1 menunjukkan tanpa adanya pemangsa, populasi hama mencapai jumlah yang sangat besar setelah beberapa hari, selanjutnya populasi hama total tetap pada titik . Karena terdapat dua jenis mangsa, mangsa yang kalah dalam persaingan perebutan makanan akan cepat habis sehingga populasi mangsa tersebut akhirnya bisa tereliminasi. Pada kasus kedua, simulasi dilakukan saat keadaan awal mangsa pertama dan pemangsa ada sementara mangsa kedua tidak ada sehingga karena . Hasil simulasi ditunjukkan oleh Gambar 2.
Gambar 3a. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (1) pada keadaan awal (0,10,10).
Gambar 3b. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (2) pada keadaan awal (0,10,10).
Gambar 2a. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (1) pada keadaan awal (10,0,10). Gambar 3c. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (3) pada keadaan awal (0,10,10).
Gambar 2b. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (2) pada keadaan awal (10,0,10).
Gambar 3 menunjukkan bahwa (1) adanya populasi pemangsa membuat populasi mangsa pertama turun dan (2) nilai parameter yang menuntukan kelangsungan hidup suatu populasi. Seperti simulasi kedua, Gambar 3 menunjukkan, setelah beberapa waktu, populasi mangsa dan pemangsa tetap dikarenakan sumber makanan cukup untuk jumlah mangsa tertentu dan jumlah mangsa cukup untuk jumlah pemangsa tersebut sehingga populasinya tetap meskipun ada peristiwa mangsa-memangsa. Pada kasus keempat, model disimulasikan dengan keadaan awal tiap kelompok populasi ada sehingga . Hasil simulasi ditunjukkan oleh Gambar 4.
Gambar 2c. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (3) pada keadaan awal (10,0,10).
Gambar 2 menunjukkan adanya populasi pemangsa membuat populasi mangsa pertama turun Setelah beberapa waktu, populasi mangsa dan pemangsa tetap, hal ini dikarenakan sumber makanan cukup untuk jumlah mangsa tertentu dan jumlah mangsa cukup untuk jumlah pemangsa tersebut sehingga populasinya tetap meskipun ada peristiwa mangsa-memangsa.
Gambar 4a. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (1) pada keadaan awal (250,250,10).
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
Gambar 4b. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (2) pada keadaan awal (250,250,10).
6
tetap tak terpengaruh. Karena terdapat dua jenis mangsa, mangsa yang kalah dalam persaingan persebutan makanan dan mudah ditangkap predator populasinya akan cepat habis sehingga populasi mangsa tersebut akhirnya bisa tereliminasi. Dari keempat simulasi dapat ditarik dua kesimpulan yaitu (1) pengendalian hama yang tepat adalah menggunakan populasi pemangsa yang sedikit karena jumlah pemangsa yang banyak tidak berpengaruh besar populasi mangsa dan (2) mangsa hanya dapat dikendalikan ke keadaan yang diinginkan ketika persaingan antar mangsa besar sekaligus pertumbuhan pemangsa akibat predasi tidak terlalu kecil jika dibandingkan dengan nilai parameter-parameter yang berkaitan dengan pertumbuhan pemangsa. IV. KESIMPULAN
Gambar 4c. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (3) pada keadaan awal (250,250,10).
Berdasarkan analisis dan pembahasan beberapa kesimpulan dapat diambil: 1. Pada analisis stabilitas sistem dinamik dari persamaan Lotka-Volterra untuk dua mangsa-satu pemangsa terdapat tujuh titik setimbang, dengan tiga titik yang berkaitan dengan pengendalian mangsa menggunakan musuh alaminya. 2. Hasil simulasi menunjukkan bahwa pengendalian
hama dengan musuh alaminya dapat menekan populasi hama tetapi masih menimbulkan kerugian karena jumlah akhir hama tetap berada di atas economic injury level. Gambar 4d. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (1) pada keadaan awal (10,10,250).
V. DAFTAR PUSTAKA [1] [2]
[3]
Gambar 4e. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (2) pada keadaan awal (10,10,250).
[4] [5]
[6]
Gambar 4f. Simulasi model (1) dengan nilai parameter (3) pada keadaan awal (10,10,250).
Gambar 4a-4c adalah simulasi model saat keadaan awal populasi mangsa lebih besar daripada pemangsa. menunjukkan bahwa jumlah pemangsa yang sedikit sudah mampu menurunkan populasi mangsa. Gambar 4d-4f adalah simulasi model saat keadaan awal populasi mangsa sedikit sedangkan populasi pemangsa besar, yang menunjukkan meskipun jumlah awal pemangsa sangat besar (250), populasi mangsa
. Van den Bosh, R., Messenger, P.S., dan Gutierrez, A.P. (1982). “An Introduction to Biological Control”. Plenum Press. Putri, N. C. (2011). “Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa dengan Mangsa yang Terinfeksi di Lingkungan Tercemar”. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Surabaya Aini, S. N. (2010). “Pengendalian Optimal Penggunaan Insektisida dan Virus Penginfeksi pada Hama Serangga”. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Surabaya. Boyce, W. E., dan DiPrima, R. C. (2009). “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems”. John Wiley & Sons. Rafikov, M., Balthazar, J.M., dan von Bremen, H.F. (2008). “Mathematical Modeling and Control of Population System: Applications ini Biological Pest Control”. Elsevier Inc. Subiono. (2013). “Sistem Linear dan Kontrol Optimal”. Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
