PENGARUH KERAGAMAN SUKU BUNGA TERHADAP KERAGAMAN FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
WINA FATMILA SARI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pengaruh Keragaman Suku Bunga terhadap Keragaman Future Value suatu Anuitas adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juli 2013 Wina Fatmila Sari NRP G551090221
RINGKASAN WINA FATMILA SARI. Pengaruh Keragaman Suku Bunga terhadap Keragaman FutureValue suatu Anuitas. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI. Time value of money merupakan suatu konsep yang mengacu pada perbedaan nilai uang yang disebabkan karena perbedaan waktu, bahwa nilai uang sekarang tidak akan sama dengan nilai uang yang akan datang. Nilai uang sekarang dinyatakan sebagai Present Value (PV) dari uang tersebut, sedangkan nilai uang di masa yang akan datang dinyatakan sebagai Future Value (FV) dari uang tersebut. Penentuan nilai uang, baik nilai uang sekarang maupun nilai uang yang akan datang bergantung pada waktu dan tingkat pengembalian. Perubahan nilai uang dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain inflasi, perubahan suku bunga, kebijakan pemerintah dalam bidang sekuritas dan dalam hal perpajakan. Karena perubahan nilai uang tersebut maka dibutuhkan suatu perumusan FV, hal tersebut berguna untuk mengetahui apakah sebuah investasi dapat menguntungkan atau tidak, dan untuk analisis anggaran. Anuitas didefinisikan sebagai rangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan secara berkala pada jangka waktu tertentu. Pembayaran dapat dilakukan pada awal atau pada akhir periode, dengan jumlah tetap atau bervariasi. Anuitas yang dibayarkan pada awal periode disebut anuitas awal dan yang dibayarkan pada akhir periode disebut anuitas pasti. Nilai akumulasi dari anuitas tersebut setelah beberapa tahun kemudian disebut nilai akhir atau future value. Burnecki et al. (2003) telah membahas tentang FV suatu anuitas dengan suku bunga tetap yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri. Kemudian dikaji pula FV untuk anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan suku bunga acak. Dalam tulisan ini dikaji FV anuitas awal yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri dengan suku bunga sebagai peubah acak yang menyebar normal , . Formula dari FV dinyatakan dalam bentuk rekursif. Perhitungan FV dari anuitas awal yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri dengan suku bunga acak dilakukan secara teoritis maupun simulasi. Suku bunga acak dinotasikan dengan ik i k di mana ik merupakan peubah acak independen, i adalah konstanta dan k peubah acak yang menyebar normal , . Dengan parameter-parameter yang telah ditentukan, dibangkitkan satu barisan suku bunga acak untuk perhitungan secara teoritis, sedangkan untuk perhitungan secara simulasi dibangkitkan barisan suku bunga acak sebanyak 1000 kali. Perhitungan tersebut masing-masing akan mendapatkan nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku. Kemudian akan dihitung galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku hasil teoritis dan hasil simulasi. Perhitungan galat menggunakan Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE). Semakin kecil nilai SMAPE, maka semakin akurat nilai simulasinya. Selanjutnya dengan memvariasikan keragaman tingkat suku bunga
dari 0.000036 sampai 0.0001 diperoleh hubungan antara keragaman suku bunga dan keragaman FV. Hasil perhitungan secara teoritis maupun simulasi menunjukkan bahwa ketika ragam dari barisan suku bunga acak meningkat maka ragam dari FV juga meningkat secara linear. FV dari anuitas awal yang pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan tingkat suku bunga acak secara teoritis maupun simulasi tidak berbeda secara signifikan, karena nilai SMAPE kurang dari 5%. Kata kunci: anuitas, future value, suku bunga acak
SUMMARY WINA FATMILA SARI. The Effects of Variance of Interest rate to Variance of Annuity Future Values. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI. Time value of money is a concept that refers to the difference of the value of money due to time difference. The value of money for present time would not be the same as the value of money in the future. The value of money for present time is called as Present Value (PV) of the money and the value of money for future time is called Future Value (FV) of the money. Determination the value of money, for present and future time, depends on the time and rate of return. The value of money is determined by several factors such as inflation, fluctuation of interest rates, and government policy in securities and taxation. Due to fluctuation of the value of money we need a FV formulation, it is useful for knowing whether an investment can be profitable or not, and this information is useful also in budget analysis. Annuity is defined as a series of payments made for a specific period. The payment, fixed or varied, can be made at the beginning or at the end of the period. Annuity paid at the beginning of the period is called annuity-due and annuity paid at the end of the period is called immediate annuity-certain. The accumulated value of the annuity after few years later is called as a final value or a future value. Burnecki et al. (2003) have discussed about the FV of a fixed-rate annuity in which payments are made according to the arithmetic or geometric series. They have also examined FV for annuities in which payments are made according to arithmetic or geometric series with random rates of interest. This paper examines FV for annuity-due in which payments are made according to arithmetic or geometric series with interest rates as a random variable, which is normal distribution , . Future value formula is expressed in recursive form. FV for annuity-due which payments are made according to the arithmetic or geometric series with random rates of interest is calculated by theoretical way and simulation way. The random rates of interest is denoted as ik i k , where ik an independent random variable; i is a constant and k is a random variable which
has normal distribution , . By using the determined parameters, a sequence of random rates of interest are generated for theoretical calculation. Meanwhile for the simulation, the random rates of interest is generated 1000 times for the simulation. The generated data give mean value, variance, and standard deviation. Moreover, error of mean value, variance, and standard deviation from the theoretical and simulation results are calculated. Error calculation uses Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE). The smaller the value of SMAPE is the more accurate the simulation. The interest rate variances are varied from 0.000036 to 0.0001 to study the relationship between variance of rates of interest and variance of future value.
The theoretical and simulation results show that when the variance of random rates of interest increases, then the variance of FV increases linearly. FV of the annuity-due in which payments are made according to the arithmetic or geometric series, the random rates of interest in theory and simulation are not significantly different, because the value of SMAPE is less than 5%. Keywords: annuity, future value, random rates of interest.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2013 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PENGARUH KERAGAMAN SUKU BUNGA TERHADAP KERAGAMAN FUTURE VALUE SUATU ANUITAS
WINA FATMILA SARI
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Judul Tesis : Pengaruh Keragaman Suku Bunga terhadap Keragaman Future Value suatu Anuitas Nama : Wina Fatmila Sari NRP : G551090221
Disetujui oleh Komisi Pembimbing
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Ketua
Ir Retno Budiarti, MS Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
Tanggal Ujian: 01 Juli 2013
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Pebruari 2011 ini ialah future value dari suatu anuitas, dengan judul Pengaruh Keragaman Suku Bunga terhadap Keragaman Future Value suatu Anuitas. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku pembimbing, serta Ibu Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Ayah (Alm), Emak (Alm), Ce’ Danil, adek Nathania serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013 Wina Fatmila Sari
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
xiv
DAFTAR GAMBAR
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
xiv
PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian Sistematika Penulisan
1 1 1 2
LANDASAN TEORI Percobaan Acak Ruang Contoh dan Kejadian Peubah Acak Peubah Acak Diskret Fungsi Sebaran Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak Fungsi Kerapatan Peluang Sebaran Normal Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan) Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret Suku Bunga Anuitas dan Future Value
2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5
FUTURE VALUE SUATU ANUITAS Anuitas dengan Suku Bunga Tetap Anuitas Awal Sebesar 1 Satuan Selama k Tahun Anuitas Awal Sebesar 1, 2, , k Selama k Tahun Anuitas Awal Sebesar 1, 22 , , k 2 Selama k Tahun Anuitas Awal yang Menurun Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri Anuitas dengan Suku Bunga Acak Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
5 6 6 7 8 9 11 12 12 13 17
SIMULASI Future Value Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika Future Value Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri
20
SIMPULAN
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
53
21 23
DAFTAR TABEL 1 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas yang pembayarannya tetap tiga satuan dengan suku bunga acak 2 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas yang pembayarannya meningkat dengan suku bunga acak 3 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret geometri dengan suku bunga acak
21 22
23
DAFTAR GAMBAR 1 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang pembayarannya tetap tiga satuan dengan suku bunga acak 2 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang pembayarannya meningkat dengan suku bunga acak 3 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret geometri dengan suku bunga acak
22 23
24
DAFTAR LAMPIRAN 1 Bukti Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan) 2 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas dengan tingkat suku bunga tetap 3 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas yang pembayarannya dalam bentuk deret aritmatika dengan tingkat suku bunga acak 4 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas yang pembayarannya dalam bentuk deret geometri dengan tingkat suku bunga acak 5 Pemrograman menggunakan software Mathematica 8.0
26 28 30 47 50
PENDAHULUAN Latar Belakang Time value of money atau dalam bahasa Indonesia disebut nilai uang menurut waktu merupakan suatu konsep yang mengacu pada perbedaan nilai uang yang disebabkan karena perbedaan waktu. Jika seseorang diminta memilih untuk menerima 1 juta rupiah saat ini ataukah, misalnya 1 juta rupiah sepuluh tahun yang akan datang maka biasanya orang tersebut akan memilih untuk menerima 1 juta rupiah saat ini. Hal ini menunjukkan bahwa nilai uang 1 juta rupiah yang kita punya saat ini atau sekarang tidak sama dengan 1 juta rupiah pada sepuluh tahun yang lalu atau sepuluh tahun kemudian. Sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai uang sekarang tidak akan sama dengan nilai uang yang akan datang. Nilai uang sekarang dinyatakan sebagai Present Value (PV) dari uang tersebut, sedangkan nilai uang di masa yang akan datang dinyatakan sebagai Future Value (FV) dari uang tersebut. Penentuan nilai uang, baik nilai uang sekarang maupun nilai uang yang akan datang bergantung pada waktu dan tingkat pengembalian. Perubahan nilai uang dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain inflasi, perubahan suku bunga, kebijakan pemerintah dalam bidang sekuritas dan dalam hal perpajakan. Karena perubahan nilai uang tersebut maka dibutuhkan suatu rumusan FV, hal tersebut berguna untuk mengetahui apakah sebuah investasi dapat menguntungkan atau tidak, dan untuk analisis anggaran. Pembahasan tentang FV sudah banyak dilakukan di antaranya oleh McCutcheon dan Scott (1986), Zaks (2001) membahas tentang FV suatu anuitas dengan suku bunga acak, sedangkan Burnecki et al. (2003) telah membahas tentang FV suatu anuitas dengan suku bunga tetap yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri. Kemudian dikaji pula FV untuk anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan suku bunga acak. Dalam tulisannya tersebut Burnecki et al. (2003) juga mengoreksi hasil penelitian Zaks (2001). Dalam penelitian ini dikaji FV anuitas awal yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri sebagai fungsi dari tingkat suku bunga dengan suku bunga sebagai peubah acak yang menyebar normal dengan parameter dan .
Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mengkaji Future Value (FV) menggunakan formula rekursif dari suatu anuitas dengan suku bunga tetap dan suku bunga acak. 2. Menentukan Future Value (FV) dari suatu anuitas dengan suku bunga acak menggunakan simulasi.
2 Sistematika Penulisan Karya ilmiah ini terdiri atas lima Bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan penelitian, dan sistematika penulisan. Bab kedua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Bab ketiga merupakan pembahasan secara teoritis mengenai future value suatu anuitas dengan tingkat suku bunga tetap dan suku bunga acak menggunakan formula rekursif. Bab keempat berisi simulasi future value suatu anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri dengan tingkat suku bunga acak. Bab terakhir pada tulisan ini berisi simpulan dari keseluruhan penulisan karya ilmiah ini.
LANDASAN TEORI Landasan teori berikut merupakan beberapa landasan yang akan digunakan untuk menganalisis nilai akhir atau future value dari suatu anuitas dengan suku bunga acak. Di antara landasan tersebut ialah percobaan acak, ruang contoh, kejadian, peubah acak, fungsi sebaran, fungsi kerapatan peluang, sebaran normal, nilai harapan (expected value), simpangan baku (standard deviation), ragam (variance), anuitas, bunga dan nilai yang akan datang (future value). Percobaan Acak Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul adalah diketahui, namun hasil dari percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak (Hogg et al. 2005).
Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Himpunan bagian dari suatu ruang contoh disebut kejadian (Grimmett dan Stirzaker 2001).
Peubah Acak Misalnya , , P adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable) merupakan fungsi X :
di mana : X x
untuk setiap
X . Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil (Grimmett dan Stirzaker 2001).
3 Peubah Acak Diskret Peubah acak X disebut peubah acak diskret jika himpunan semua kemungkinan nilai x1 , x2 , x3 , dari peubah acak tersebut merupakan himpunan terhitung dari (Grimmett dan Stirzaker 2001). Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan bulat terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
Fungsi Sebaran Fungsi sebaran (distribution function) dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX : 0,1 yang diberikan oleh FX x P X x . (Ghahramani 2005)
Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
F:
Fungsi sebaran bersama dua peubah acak X dan Y merupakan suatu fungsi 0,1 yang didefinisikan oleh: FXY x, y P X x, Y y . (Grimmett dan Stirzaker 2001)
2
Fungsi Kerapatan Peluang
p:
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi 0,1 yaitu pX ( x) P X x . (Grimmett dan Stirzaker 2001)
Sebaran Normal Peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan parameter dan jika X memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai berikut: x 2 1 , f x exp x . 2 2 2 (Ghahramani 2005)
4 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang mungkin adalah A. Jika pX x adalah fungsi massa peluang dari X, maka nilai harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai: E X x pX x xA
dan E X dikatakan ada jika
x p x konvergen mutlak (Ghahramani 2005). xA
X
Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan) 1. Jika X 0 , maka E X 0. 2. Jika a, b
maka E aX bY aE X bE Y .
3. Jika X adalah peubah acak konstan, dengan P X c 1 untuk
suatu
konstanta, maka E X c. 4. Jika
dan
adalah independen maka E XY E X E Y .
5. Jika X dan Y dependen maka E XY E X E Y Cov X , Y . (Grimmett dan Stirzaker 2001) Bukti pada Lampiran 1
Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan semua kemungkinan nilai X adalah A. Jika pX x adalah fungsi massa peluang dari X dan E X adalah nilai harapan dari X, X dan Var X masing-masing adalah simpangan baku (standard daviation) dan ragam (variance) dari X dan didefinisikan sebagai: 2 X E X
dan 2 2 Var X E X X pX x . xA
(Ghahramani 2005)
5 Suku Bunga Bunga dapat dianggap sebagai imbalan yang dibayar oleh satu orang atau organisasi (peminjam) untuk penggunaan aset yang disebut sebagai modal, milik orang lain atau organisasi (McCutcheon & Scott 1986).
Anuitas dan Future Value Anuitas adalah pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu, secara berkelanjutan (Futami 1993). Berdasarkan waktu pembayaran, anuitas dibedakan atas: a. Anuitas awal adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada awal periode, misal jika periodenya tahun, artinya pembayaran dilakukan pada awal tahun, dan seterusnya. b. Anuitas akhir adalah anuitas yang pembayarannya dilakukan pada akhir periode, misal jika periodenya tahun, artinya pembayaran dilakukan pada akhir tahun, dan seterusnya. Future Value adalah nilai uang di masa yang akan datang dari uang yang diterima atau dibayarkan pada masa sekarang dengan memperhitungkan tingkat bunga setiap periode selama jangka waktu tertentu. Anuitas awal yang dibayarkan selama n tahun sebesar 1 satuan, maka nilai akumulasi anuitas tersebut n tahun kemudian disebut nilai akhir atau future value dinotasikan dengan sn| .
FUTURE VALUE SUATU ANUITAS Anuitas bukan sesuatu yang baru dalam kehidupan ekonomi saat ini, dengan mudah dapat ditemui contoh-contoh anuitas di antaranya orang tua yang membelikan motor untuk anaknya secara kredit, tetangga yang membeli rumah secara kredit, atau orang tua yang mempersiapkan tabungan pendidikan untuk anak-anaknya, semuanya merupakan contoh kongkrit dari anuitas. Anuitas dari annuity dapat didefinisikan sebagai rangkaian pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan secara berkala pada jangka waktu tertentu. Kata annuity asalnya berarti pembayaran annual (tahunan), akan tetapi seiring dengan berjalannya waktu kata anuitas juga mencakup pembayaran yang dilakukan pada interval waktu yang lain juga, seperti pembayaran bulanan, tiga bulanan, dan seterusnya. Pembayaran dapat dilakukan pada awal atau pada akhir periode, dengan jumlah tetap atau bervariasi. Jika dibayarkan pada awal periode disebut anuitas awal dan jika dibayarkan pada akhir periode disebut anuitas pasti. Nilai akumulasi dari anuitas tersebut setelah beberapa tahun kemudian disebut nilai akhir atau future value. Burnecki et al. (2003) telah membahas tentang future value suatu anuitas dengan suku bunga tetap yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika
6 atau deret geometri. Kemudian dikaji pula FV suatu anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan suku bunga acak. Pada Bab ini akan mengkaji ulang tentang future value anuitas awal yang pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri dengan tingkat suku bunga tetap dan suku bunga acak yang dibayarkan selama k tahun. Anuitas dengan suku bunga tetap terdapat berbagai macam variasi pembayaran di antaranya anuitas awal dengan pembayaran sebesar 1 satuan, anuitas awal yang meningkat sebesar 1 satuan, anuitas awal sebesar 1, 22 , , k 2 , anuitas awal yang menurun, serta anuitas awal yang pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri. Selanjutnya, anuitas dengan tingkat suku bunga acak terdapat anuitas awal yang pembayarannya bervarisi mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri.
Anuitas dengan Suku Bunga Tetap Notasi dasar yang digunakan dalam teori anuitas adalah sebagai berikut: j : Tingkat bunga tahunan dan tetap selama periode k tahun. 1 v : Faktor diskon tahunan dengan v 1 j . d : Tingkat diskon tahunan dengan d 1 v. Selanjutnya akan dibahas mengenai future value atau nilai akhir dari anuitas awal dengan berbagai macam bentuk pembayaran.
Anuitas Awal Sebesar 1 Satuan Selama k Tahun Jika anuitas awal sebesar 1 satuan dibayarkan selama k tahun, maka future value anuitas awal tersebut dinotasikan oleh sk | j dan diberikan oleh rumus sk | j 1 j 1 j k
1 j
1
k
d
k 1
1 j
(1)
.
Bukti:
sk | j 1 j 1 j k
v sk | j 1 j
k 1
1 v sk| j 1 j
k
k 1
1 j
1 j
k 2
1 j 1
1
d sk | j 1 j 1 k
sk | j
1 j d
k
1
.
Selain persamaan (1), sk | j juga dapat dinyatakan secara rekursif sebagai
sk| j 1 j 1 sk 1| j .
(2)
7 Bukti:
sk | j 1 j 1 j k
sk 1| j 1 j
k 1
k 1
1 j
1 j 1 j
2
k 2
1 j ,
sehingga
sk | j 1 j 1 j k
1 j 1 j
k 1
1 j 1 j
2
1 j
k 1
k 2
1 j 1
sk| j 1 j 1 sk 1| j .
Anuitas Awal Sebesar 1, 2,
, k Selama k Tahun
Jika besarnya pembayaran anuitas awal meningkat masing-masing 1, 2, , k yang dibayarkan selama k tahun, maka future value anuitas awal tersebut dinotasikan dengan Is k | j dan diberikan oleh rumus
Is k| j 1 j
Bukti:
2 1 j
k
sk | j k d
k 1 j
(3)
.
Is k| j 1 j
v Is k | j 1 j
k
2 1 j
k 1
k
sk | j k d
k 1
2 1 j
1 v Is k| j 1 j 1 j d Is k | j sk | j k
Is k| j
k 1
k 1
k 1 j
k 2
k 11 j k
1 j k
.
Persamaan berikut merupakan formula rekursif untuk Is k | j yaitu
Is k| j 1 j k Is k 1| j .
Bukti:
Is k| j 1 j
k
Is k 1| j 1 j
2 1 j k 1
k 1
2 1 j
(4)
k 2
sehingga k k 1 Is k| j 1 j 2 1 j
2
k 1
k 1| j
k 11 j ,
k 11 j k 1 j
2 1 j 1 j k Is . 1 j 1 j
Is k| j
k 11 j k 1 j
2
k 2
k 11 j k
8 Anuitas Awal Sebesar 1, 22 ,
, k 2 Selama k Tahun
Future value dari anuitas awal dengan pembayaran meningkat masingmasing 1, 22 , , k 2 dinotasikan dengan I 2 s dan diberikan oleh rumus
I s
k| j
1 j 2 1 j k
2
k| j
Bukti:
2
2 Is k | j sk | j k 2
2
k
k| j
22 1 j
k 1
2
k| j
1 v I 2 s k| j 1 j
k
k 1
22 1 j
3 1 j
k 1
d I 2 s 2 1 j 4 1 j
(5)
k 2
k 1 1 j k 2
2
5 1 j
k 1
1 j
d I 2 s 2 1 j 2 1 j k| j 2 Is k | j sk | j k 2 2 . I s k | j d k
k 1
k 2
2k 11 j k 2
2k 1 j
k 1
k
k
k 2 1 j
k| j
1 j 1 j
k 2 1 j
.
d
I s 1 j v I s 1 j
k 1
k 2
1 j k 2
k 1 j sk | j k 2
Selain persamaan (5), I 2 s juga dapat dinyatakan secara rekursif sebagai k| j
I s
k| j
1 j k 2 I 2 s
k| j
1 j 22 1 j
2
k 1| j
.
(6)
Bukti:
I s I s
k
2
2
sehingga I 2s
k 1| j
1 j
k 1
1 j 22 1 j
1 j 1 j
I s 2
k| j
22 1 j
k
k| j
k 1
k 1
k 1
k 2
k 1 1 j k 2 1 j 2
k 1| j
k 1 1 j ,
2
k 1 1 j k 2 1 j
22 1 j
1 j k 2 I 2 s
2
2
k 2
.
2
k 1 1 j k 2 2
Persamaan berikut diperoleh dari persamaan (5) dan (3) yang mengatur hubungan antara I 2 s dan sk | j . k| j
I s 2
1 v sk| j k 2 2k 2k 2
d2 Bukti pada Lampiran 2 sub 2.1 k| j
.
(7)
9 Selanjutnya dari beberapa persamaan yang diperoleh berlaku hubungan berikut (8) Is k 1| j Is k| j sk| j ,
I s 2
k 1| j
I 2 s 2 Is k | j sk| j . k| j
(9)
Bukti persamaan (8) dan (9) Untuk membuktikan persamaan (8) gunakan persamaan (4) sehingga:
Is k| j
1 j k Is k 1| j
Is k| j k 1 j v Is k | j k
Is k 1| j
substitusi persamaan (3), sehingga didapat: sk | j k k d sk | j k sk | j k k d Is k| j sk | j .
Is k 1| j 1 d
Is k 1| j
Untuk membuktikan persamaan (9) gunakan persamaan (6) sehingga:
I s 2
I s
k| j
1 j k 2 I 2 s
I s
k 1| j
2
2
k 1| j
k| j
1 j
v I 2s
k2
k| j
k2
substitusi persamaan (5), sehingga didapat:
I s 2
k 1| j
I s 2
k 1| j
2 Is k | j sk | j k 2 2 k 1 d d 2 2 Is k | j sk | j k 2 Is k | j sk | j k 2 k 2 d I 2 s 2 Is k | j sk | j . k| j
Anuitas Awal yang Menurun Future value dari anuitas awal dengan pembayaran menurun masing-masing n, n 1, , n k 1 yang dibayarkan selama k tahun dinotasikan dengan Ds n,k | j dan diberikan oleh rumus:
10
Ds n,k| j n 1 j n 11 j n sk | j Is k 1| j . k
k 1
n k 11 j
(10)
Bukti:
Ds n,k| j n 1 j n 11 j k
v Ds n ,k | j n 1 j
k 1
n 11 j
1 v Ds n,k| j n 1 j 1 j k
k 1
d Ds n ,k | j n 1 j 1 j k
k 2
n k 2 1 j n k 1
1 j
k 1
n k 11 j
k 2
1 j
n 1 j n sk 1| j k 1 k
Ds n,k| j
k 1
k 2
s
n 1 j 1
k 1| j
d
k
k 1
1 j n k 1 1 j n k 1
d d substitusi persamaan (1) dan (3), sehingga didapat: Ds n,k| j n sk| j Is k 1| j .
Formula rekursif dari Ds n,k | j diberikan sebagai berikut:
Ds n,k| j 1 j Ds n,k 1| j n k 1 .
(11)
Bukti:
Ds n,k| j n 1 j n 11 j k
Ds n,k 1| j n 1 j
k 1
n 11 j
maka k k 1 Ds n,k| j n 1 j n 11 j 1 j n 1 j
k 1
k 1
k 2
n k 11 j
n k 2 1 j ,
n k 11 j
n 11 j
k 2
Ds n,k| j 1 j Ds n,k 1| j n k 1 .
n k 2 1 j n k 1
Dari beberapa persamaan tersebut, diperoleh persamaan yang mengatur hubungan antara Ds n,k | j , Is k | j dan sk | j sebagai berikut:
Ds n,k| j n 1 sk| j Is k| j . Bukti: Dari persamaan (10) dan (8) maka: Ds n,k| j n sk| j Is k 1| j
n sk | j Is k | j sk | j n sk | j sk | j Is k | j
Ds n,k| j n 1 sk| j Is k| j .
(12)
11 Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika Anuitas awal dengan pembayaran bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika, misalkan pembayaran pertama adalah p satuan dan kemudian pembayaran berikutnya meningkat q satuan per periode, sehingga pembayaran tersebut membentuk urutan p, p q, p 2q, , p k 1 q dengan p harus positif tetapi q dapat berupa positif atau negatif, dan p k 1 q 0 untuk menghindari pembayaran negatif, maka nilai akhir anuitas tersebut akan p ,q dinotasikan dengan sa k | j dan didefinisikan oleh
sa k| j
p ,q
p 1 j p q 1 j k
k 1
p k 1 q 1 j
p sk | j q ( Is )k 1| j .
(13)
Bukti:
sa k| j p 1 j p q 1 j p ,q
k
p ,q
v sa k | j p 1 j
1 v sa k| j p 1 j
k 1
p ,q
k
p ,q
k
p q 1 j
q 1 j
k 1
d sa k | j p 1 j q 1 j
sa k| j
p k 1 q 1 j
k 2
p k 2 q 1 j p k 1 q
k 2
q 1 j p k 1 q
k 2
1 j p q k 1
q 1 j
k 1
1 j
p 1 j p q sk 1|| j q k 1 k
p ,q
k 1
d
qs
p 1 j 1 k
d
k 1|| j
k 1
d
substitusi persamaan (4) dan (6), sehingga didapat: p ,q sa k| j p sk| j q Is k 1| j . p ,q
Formula lain dari sa k | j
sa k| j
p ,q
ditunjukkan oleh persamaan berikut
p q sk| j q( Is )k | j .
Bukti: Dari persamaan (13) dan (8) maka p ,q sa k| j p sk| j q( Is )k 1| j
p sk | j q ( Is )k | j sk | j p sk | j q sk | j q ( Is ) k | j
sa k| j
p ,q
p q sk| j q( Is )k | j .
(14)
12 Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri Anuitas awal dengan pembayaran bervariasi mengikuti bentuk deret geometri, misalkan pembayaran pertama adalah p dan kemudian pembayaran berikutnya meningkat sehingga membentuk deret geometri dengan q q 1 j rasio per periode, yaitu p, pq, pq 2 ,
, pq k 1 dengan p dan q harus positif untuk
menghindari pembayaran negatif, maka nilai akumulasi anuitas tersebut akan dinotasikan dengan sg
s
p ,q
g k| j
p ,q k| j
dan didefinisikan oleh
p 1 j p q 1 j k
1 j p(1 j )
k 1
p q 2 1 j
k 2
p q k 1 1 j
qk . 1 j q Bukti pada Lampiran 2 sub 2.2 k
(15)
Anuitas dengan Suku Bunga Acak Andaikan tingkat suku bunga tahunan pada tahun ke-k adalah peubah acak ik . Diasumsikan juga untuk masing-masing k, memiliki E ik j dan
Var ik s 2 serta i1 , i2 , , in adalah peubah acak independen. Berdasarkan asumsi ini maka E 1 ik 1 j dan E 1 ik 1 j s 2 1 f m , di mana 2 f 2 j j s2. Bukti pada Lampiran 3 sub 3.1 2
2
(16)
Sehingga diperoleh
Var 1 ik E 1 ik E 1 ik 2 m . Selanjutnya didefinisikan sebagai solusi 1 f , 1 r 1 j dengan mensubstitusi persamaan (16) ke persamaan (17) maka didapat s2 r j . 1 j 2
2
(17)
13 Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika Untuk anuitas awal dengan pembayaran c1 , c2 , , ck yang dibayarkan selama k tahun, maka nilai akumulasi atau future value anuitas tersebut dinotasikan dengan Ck . Dalam kasus pembayaran yang berbeda-beda mengikuti bentuk deret aritmatika di mana ck p k 1 q untuk k 1, 2,3, , n maka future value dari suatu anuitas dengan pembayaran tersebut diberikan secara rekursif: Ck 1 ik Ck 1 p k 1 q , untuk k 1, 2,3,
(18)
,n
Bukti: Pada tahun pertama maka C1 c1 1 i1 pada tahun ke-2 maka C2 C1 1 i2 c2 1 i2 1 i2 C1 c2 pada tahun ke-3 maka C3 C2 1 i3 c3 1 i3 1 i3 C2 c3 pada tahun ke-k maka Ck Ck 1 1 ik ck 1 ik 1 ik Ck 1 ck , sehingga Ck 1 ik Ck 1 p k 1 q , untuk k 1, 2,3,
,n
Selanjutnya, karena ik peubah acak independen maka didapat persamaan nilai harapan E Ck k secara rekursif untuk k 2,3,
E Ck E 1 ik Ck 1 p k 1 q
, n sebagai berikut:
E 1 ik E Ck 1 p k 1 q
k k 1 p k 1 q , sehingga 1 p 1 j p. Lema berikut ini berasal dari persamaan (19) dan (13)
(19)
Lema 1 Jika Ck menunjukkan nilai akumulasi atau future value dari suatu anuitas awal dengan pembayaran tahunan bervariasi dalam bentuk deret aritmatika, masingmasing: p, p q, p 2q, , p k 1 q , dan apabila suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j dan
Var 1 ik s 2 , serta i1 , i2 ,
, in adalah peubah acak independen, maka:
p ,q
k E Ck sa k| j . Bukti: Dari persamaan (19) k k 1 p k 1 q , didapat
1 p
2 p 2 p q
(20)
14
3 p 3 p q 2 p 2 q 4 p 4 p q 3 p 2q 2 p 3q p k 1 q
k p k p q k 1 p 2q k 2 substitusi 1 j dan persamaan (13), maka:
k p 1 j p q 1 j k
k 1
p k 1 q 1 j
p ,q
k sa k | j . Selanjutnya, karena ik peubah acak independen maka didapat persamaan rekursif momen kedua E Ck2 mk untuk k 2,3,
, n sebagai berikut:
E Ck2 E 1 ik Ck 1 p k 1 q
2
E 1 ik E Ck21 2 p k 1 q Ck 1 p k 1 q 2
2
2 mk m mk 1 2 p k 1 q k 1 p k 1 q , 2 sehingga m1 p m .
(21)
Untuk menghitung momen kedua diperlukan Lema berikut. Lema 2 Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat mk p 2 mk p q mk 1 2
p k 1 q m 2
2 p q mk 11 p 2q mk 2 2
Jika M1.k p 2 mk p q mk 1 2
p k 1 q mk 1 .
p k 1 q m 2
p k 1 q mk 1 ,
dan M 2.k p q mk 11 p 2q mk 2 2
maka mk M1.k 2M 2.k . Dengan menggunakan persamaan (23) dan 1 f m didapat M1.k p 2 sk| f 2 p q Is k 1| f q 2 I 2 s
k 1| f
.
(22) (23) (24) (25) (26)
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.2 Lema 3 Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat 2 M1.k p q sk | f 2 q p q Is k | f q 2 I 2 s . k| f
Dari persamaan (14), (24) dan fakta bahwa 1 f m sehingga didapat:
(27)
15
M 2.k
p q 1 f k 1 1 j p 2q 1 f k 2 1 j 2 p k 1 q 1 f 1 j k 1 d p q q 2 k 1 k 2 p q 1 f d p 2q 1 f p k 1 q 1 f 1 j k 1
q p q 1 f 2 p 2q 1 f d k 1 p k 1 q 1 f Bukti pada Lampiran 3 sub 3.3 k 1
k 2
.
Lema 4 Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat p q d p q q 1 j k s k |r q d p q q 1 j k Is 1 k |r . M 2k 2 d p q d p q qv s k| f q 2d p q qv Is q 2 d I 2 s k| f k| f Bukti pada Lampiran 3 sub 3.4 Lema 5 Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat q p d p q 1 v 2qv s k| f 1 2 2 . mk 2 2q d p q 1 v qv Is k | f dq 1 v I s k| f d k k 2 p q d p q q 1 j sk |r 2q d p q q 1 j Is k |r Bukti pada Lampiran 3 sub 3.5 Lema 6 Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat 2q p q k pq 2q k2 sk | j p q s2 k | j 2sk | j d d d
(28)
(29)
(30)
2
q Is 2 k | j 2 1 kd Is k | j k 2 . d Bukti pada Lampiran 3 sub 3.6 Teorema 2 Berdasarkan asumsi pada Lema 1 didapat p ,q E Ck sa k | j dan Var Ck mk k2 . Bukti: Berdasarkan pada Lema 1, Lema 5 dan Lema 6 maka Teorema 1 terbukti.
(31)
16 Corollary 1 Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan pembayaran sebesar 1 satuan selama k tahun dan jika tingkat suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j dan Var 1 ik s 2 serta i1 , i2 ,
, in adalah peubah acak independen, maka:
a. Ck 1 ik Ck 1 1 , untuk k 2,3,
,n
b. E Ck sk | j , c. mk
2 1 j
k 1
sk |r 2 j sk | f j
d. Var Ck
2 1 j
k 1
,
sk |r 2 j sk | f 1 j s2 k | j 2 1 j sk | j j
.
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.7 Corollary 2 Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan pembayaran masing-masing sebesar 1, 2, , k selama k tahun dan jika tingkat suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j dan Var 1 ik s 2 serta i1 , i2 , independen, maka: a. Ck 1 ik Ck 1 k , untuk k 2,3, , n
, in adalah peubah acak
b. E Ck Is k | j , c. M1.k I 2 s , k| f
1 j Is k|r 1 j Is k| f k 2
d. M 2.k e. mk
j
2 1 j
f. Var Ck
k 2
j 1 j I 2 s
Is k|r 2 1 j Is k| f j
2 1 j
k 2
k| f
2
j 2 j I 2s
2
, k| f
,
( Is ) k |r 2 1 j ( Is ) k | f j 2 j ( I 2 s ) k | f j2
Is 2k| j 2 1 kd Is k| j k 2 d2
.
Bukti pada Lampiran 3 sub 3.8 Corollary 3 Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan pembayaran masing-masing sebesar n, n 1, , n k 1 selama k tahun dan jika tingkat suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik sedemikian
17 sehingga E 1 ik 1 j dan Var 1 ik s 2 serta i1 , i2 , , in adalah peubah acak independen, maka: a. Ck 1 ik Ck 1 n k 1 , untuk k 2,3, , n b. E Ck Ds n,k| j ,
c. M1.k n 1 sk | j 2 n 1 Is k | j I 2 s , 2
k| j
jn 11 j Ds n,k|r 1 j jn j 1 Ds n,k| f k 1
d. M 2.k
e. mk
j2
j 1 j n 1 Is k | f I 2 s
k| f
j2
2 jn 11 j
k 1
,
Ds n,k|r 2 1 j jn j 1 Ds n,k| f j2
j n 1
2
sk | f 2 j n 1 Is k | f 3 j 2 2 j I 2 s j
2
k| f
,
f. Var Ck mk k2 . Bukti pada Lampiran 3 sub 3.9
Anuitas dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri Dalam kasus anuitas awal dengan pembayaran yang berbeda-beda seperti mengikuti bentuk deret geometri terdapat ck p q k 1 dengan k 1, 2, , n dan diasumsikan p dan q positif, q 1 j, q 2 1 f , dan q 1 r . Nilai akumulasi atau future value dari anuitas dengan pembayaran tersebut dinotasikan dengan Ck dan diberikan secara rekursif Ck 1 ik Ck 1 p q k 1 , untuk k 1, 2,
(32)
,n
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.1 Selanjutnya, karena ik peubah acak independen maka didapat persamaan nilai harapan E Ck k secara rekursif untuk k 2,3,
E Ck E 1 ik Ck 1 pq k 1
, n sebagai berikut:
E 1 ik E Ck 1 pq k 1
k k 1 pq k 1 , sehingga 1 p 1 j p.
(33)
Dengan cara yang sama didapat persamaan rekursif momen kedua E Ck2 mk
untuk k 2,3,
, n sebagai berikut:
18
E Ck2 E 1 ik Ck 1 pq k 1
2
2 2 k 1 E 1 ik E Ck21 pq 2 k 1 mk m mk 1 2 pq k 1k 1 p 2 q , didapat m1 p 2 m.
(34)
Lema 7 Jika Ck menunjukkan nilai akhir atau future value dari sebuah anuitas awal dengan pembayaran bervariasi mengikuti bentuk deret geometri: p, pq, pq 2 , , pq k 1 selama k tahun dan jika tingkat suku bunga tahunan selama tahun ke-k
peubah acak ik sedemikian sehingga E 1 ik 1 j dan
adalah
Var 1 ik s 2 , serta i1 , i2 ,
, in adalah peubah acak independen, maka
k E Ck sg k| j . p ,q
(35)
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.2 Lema 8 Berdasarkan asumsi pada Lema 7 didapat 2 k 1 mk p 2 mk p 2 q 2 mk 1 p 2 q m
2 pqmk 11 pq 2 mk 2 2 Jika M1.k p 2 mk p 2 q 2mk 1 dan M 2.k pqm 1 pq m maka mk M1.k 2M 2.k . k 1
2
p 2q
k 2
2
2 k 1
pq k 1mk 1 .
m
pq mk 1 ,
(36) (37)
k 1
(38) (39)
Bukti pada Lampiran 4 sub 4.3 Lema 9 Dari persamaan (37) dan fakta 1 f m maka didapat
M1k p 1 f 2
p
sg
2
k| f
,q2
1 f
q2k 1 f q2 k
.
(40)
Kemudian dari persamaan (38), 1 f m dan 1 f 1 j 1 r maka didapat:
p2 ,q2 k k s g p 2 1 j 1 r q k k| f M 2.k 1 j 1 r 2 . 1 j q 1 j q p Bukti pada Lampiran 4 sub 4.4
(41)
19 Lema 10 Berdasarkan asumsi pada Lema 7, didapat
M 2.k
p 1 j
k 1
sg
p ,q k |r
p
1 j sg
2
,q2
k| f
(42) . 1 j q Bukti pada Lampiran 4 sub 4.5 Berdasarkan pada Lema 9 dan Lema 10, serta fakta bahwa mk M1.k 2M 2.k sehingga didapat Lema berikut: Lema 11 Berdasarkan asumsi pada Lema 7, didapat
mk
2 p 1 j
k 1
sg
p ,q k |r
p
q 1 j sg
2
,q2
k| f
(43)
.
1 j q
Bukti : Dari persamaan (39) kemudian substitusi persamaan (40) dan Lema 10 maka: mk M 1.k 2M 2.k sg
mk
p
2
,q
k| f
2
p ,q p2 ,q2 k 1 p 1 j s 1 j s g k|r g k| f 2 1 j q
2 p 1 j
k 1
s
p ,q
g k |r
1 j q 2 2 j sg
p
2
,q2
k|f
1 j q
2 p 1 j
k 1
s
p ,q
g k |r
p
q 1 j sg
2
k| f
1 j q
,q2
.
Lema 12 Berdasarkan asumsi pada Lema 7 didapat p 1 j p ,q p ,q k2 sg 2q k s g . 2 k | j k| j 1 j q Bukti: Dari Lema 7 dan persamaan (15) maka
k2 sg k | j
p ,q
2
k 1 j qk p 1 j 1 j q
p 1 j 2
(44)
2
1 j
2k
2
2 1 j q k q 2 k k
1 j q
2
k k k 2 2k p 2 1 j 1 j q 2 k 2q 1 j q 1 j q 1 j q 1 j q
20
k 2k 2q k 1 j q k p 1 j 1 j q2k p 1 j p 1 j 1 j q 1 j q 1 j q
k2
p 1 j p ,q p ,q sg 2q k s g . 2| j k| j 1 j q
Teorema 3 Berdasarkan asumsi pada Lema 7 didapat
Var Ck
2 p 1 j
k 1
s
p ,q
g k |r
1 j q sg
1 j q
p 1 j sg
p ,q 2k| j
2q s g k
p ,q k| j
1 j q
p
2
,q2
k|f
.
(45)
Bukti: Substitusi persamaan (43) dan (44) maka: Var Ck mk k2 Var Ck
2 p 1 j
k 1
s
p ,q
g k |r
p
q 1 j sg
1 j q
2
,q2
k|f
p 1 j p ,q p ,q sg 2q k s g . 2 k | j k| j 1 j q
SIMULASI Telah diuraikan tentang formula future value anuitas awal yang pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan tingkat suku bunga tetap dan suku bunga acak. Perhitungan FV dari anuitas awal yang pembayarannya mengikuti bentuk deret aritmatika dan deret geometri dengan suku bunga acak dilakukan secara teoritis maupun simulasi. Suku bunga acak dinotasikan dengan ik i k di mana ik merupakan peubah acak independen, i adalah konstanta dan k peubah acak yang menyebar normal
, .
Perhitungan secara teoritis akan dibangkitkan satu barisan suku bunga acak, sedangkan untuk perhitungan secara simulasi akan dibangkitkan barisan suku bunga acak sebanyak 1000 kali. Simulasi ini menggunakan software Mathematica 8.0. Dari perhitungan secara teoritis dan simulasi, maka masing-masing akan mendapatkan nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku. Kemudian akan dihitung galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku hasil teoritis dan hasil simulasi. Selain itu akan digambarkan pengaruh peningkatan keragaman suku
21 bunga atau Var ik terhadap keragaman future value atau Var Ck . Perhitungan galat menggunakan Symmetric Mean Absolute Percentage Error (SMAPE) dengan rumus 1 n Tt St , Tt 0 atau St 0 SMAPE= n t 1 Tt St 0 , Tt St 0 Tt nilai teoritis dan St nilai simulasi. Nilai SMAPE tersebut berada pada interval [0%, 100%]. Semakin kecil nilai SMAPE, maka semakin akurat nilai simulasinya.
Future Value Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Aritmatika Untuk mensimulasikan model future value dari anuitas awal yang pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika dengan tingkat suku bunga acak, terlebih dahulu ditentukan besaran parameter model sebagaimana disajikan: (46) 0.01, 0.006, i 0.05, k 10, p 3, q 0. Parameter-parameter pada (46) menunjukkan bahwa suatu anuitas dibayarkan secara tetap sebesar tiga satuan selama sepuluh tahun. Dari simulasi yang dilakukan diperoleh galat untuk nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku masing-masing sebesar 0.005%, 3.079% dan 1.54% sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 1 berikut. Tabel 1 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas yang pembayarannya tetap tiga satuan dengan suku bunga acak Nilai Rata-rata
Ragam
Simpangan Baku
C10 Teori
41.9149
0.244715
0.494686
C10 Simulasi
41.9107
0.230092
0.479679
0.00509349
3.07973
1.54023
Galat (%)
Selanjutnya dengan menggunakan parameter yang sama, tetapi nilai dibuat meningkat dari 0.006 sampai 0.01 dengan peningkatan sebesar 0.001 yang artinya keragaman suku bunga bervariasi dari 0.000036 sampai dengan 0.0001 sehingga diperoleh hubungan antara keragaman suku bunga atau Var ik terhadap keragaman future value atau Var C10 yang ditampilkan dalam grafik. Secara teoritis hubungan antara Var ik dan Var C10 adalah linear, sedangkan secara simulasi menghasilkan hubungan bahwa ketika nilai Var ik meningkat maka nilai dari Var C10 pun meningkat seperti yang terlihat pada Gambar 1 berikut.
22 Var C10 0.7
Simulasi Teoritis
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.00002
0.00004
0.00006
0.00008
0.0001
Var ik
Gambar 1 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang pembayarannya tetap tiga satuan dengan suku bunga acak. Kemudian simulasi yang kedua dengan menetapkan: (47) 0.01, 0.006, i 0.05, k 10, p 2, q 3. Parameter-parameter pada (47) hampir sama dengan parameter (46), kecuali besaran pembayaran pertama dan peningkatan pembayaran per tahun diubah. Parameter tersebut menunjukkan bahwa anuitas dibayarkan selama sepuluh tahun dengan pembayaran pertama sebesar dua satuan kemudian setiap tahunnya meningkat sebesar tiga satuan. Dari simulasi yang dilakukan diperoleh galat untuk nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku masing-masing sebesar 0.015%, 2.655% dan 1.327% sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 2 berikut. Tabel 2 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas yang pembayarannya meningkat dengan suku bunga acak Nilai Rata-rata
Ragam
Simpangan Baku
C10 Teori
196.525
3.52278
1.87691
C10 Simulasi
196.585
3.71496
1.92742
0.0150692
2.65525
1.32786
Galat (%)
Selanjutnya dengan parameter yang sama, tetapi nilai meningkat menjadi 0.006, 0.007, 0.008, 0.009, dan 0.01 diperoleh hubungan antara Var ik dan
Var C10 . Secara teoritis hubungan antara Var ik dan Var C10 adalah linear, sedangkan secara simulasi menghasilkan hubungan bahwa ketika nilai Var ik meningkat maka nilai dari Var C10 pun meningkat seperti yang terlihat pada Gambar 2 berikut.
23 Var C10 10
Simulasi Teoritis
8
6
4
2
0.00002
0.00004
0.00006
0.00008
0.0001
Var ik
Gambar 2 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang pembayarannya meningkat dengan suku bunga acak.
Future Value Anuitas Awal dengan Pembayaran dalam Bentuk Deret Geometri Untuk mensimulasikan model future value dari anuitas awal yang pembayarannya bervariasi dalam bentuk deret geometri dengan tingkat suku bunga acak, terlebih dahulu ditentukan besaran parameter model sebagaimana disajikan: (48) 0.01, 0.006, i 0.05, k 10, p 2, q 1.1. Parameter-parameter pada (48) hampir sama dengan besaran yang dilakukan terhadap simulasi yang kedua, hanya mengubah peningkatan rasio pembayaran per tahun, parameter tersebut menunjukkan bahwa anuitas dibayarkan selama 10 tahun dengan pembayaran pertama sebesar dua satuan kemudian pembayaran berikutnya meningkat sehingga membentuk deret geometri dengan rasio 1.1 satuan per tahun. Dari simulasi yang dilakukan diperoleh galat untuk nilai ratarata, ragam dan simpangan baku masing-masing sebesar 0.003%, 2.199% dan 1.099% sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 3 berikut. Tabel 3 Nilai galat dari nilai rata-rata, ragam dan simpangan baku untuk anuitas yang pembayarannya mengikuti bentuk deret geometri dengan suku bunga acak Nilai Rata-rata
Ragam
Simpangan Baku
C10 Teori
42.5534
0.206143
0.45403
C10 Simulasi
42.5562
0.197269
0.44415
0.00325993
2.1997
1.09998
Galat (%)
24 Selanjutnya dengan parameter yang sama, tetapi nilai meningkat menjadi 0.006, 0.007, 0.008, 0.009, dan 0.01 diperoleh hubungan antara Var ik dan
Var C10 . Secara teoritis hubungan antara Var ik dan Var C10 adalah linear, sedangkan secara simulasi menghasilkan hubungan bahwa ketika nilai Var ik meningkat maka nilai Var C10 pun meningkat seperti yang terlihat pada Gambar 3 berikut. Var C10 0.6
Simulasi Teoritis
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.00002
0.00004
0.00006
0.00008
0.0001
Var ik
Gambar 3 Pengaruh perubahan Var ik terhadap Var C10 untuk anuitas yang pembayarannya dalam bentuk deret geometri dengan suku bunga acak.
SIMPULAN 1.
2.
Nilai akhir atau future value dari anuitas awal yang pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan tingkat suku bunga tetap dan suku bunga acak dapat diformulasikan dalam bentuk rekursif. Dari studi simulasi diperoleh bahwa: a. Nilai future value dari anuitas awal yang pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri dengan tingkat suku bunga acak secara teori maupun simulasi tidak berbeda secara signifikan, karena nilai SMAPE (Symmetric Mean Absolute Percentage Error) kurang dari 5%. b. Jika nilai ragam dari suku bunga acak meningkat maka nilai ragam dari future value suatu anuitas awal yang pembayarannya bervariasi mengikuti bentuk deret aritmatika atau deret geometri juga akan meningkat secara linear.
25
DAFTAR PUSTAKA Burnecki K, Marciniuk A, Weron A. 2003. Annuities under random rates of interest – revisited. Insurance: Mathematics and Economics 32: 457- 460. Futami T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa, Bagian I. Gatot H, penerjemah. Tokyo (JP): Chuo-Ku. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Ed ke-5. New Jersey (US): Pearson Prentice Hall. Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3. Oxford (GB): University Press. Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-6. New Jersey (US): Person Prentice Hall. McCutcheon JJ, Scott WF. 1986. An Introduction to the Mathematics of Finance. London (GB): Butterworth-Heinemann. Zaks A. 2001. Annuities under random rates of interest. Insurance: Mathematics and Economics 28: 1 – 11.
26 Lampiran 1 Bukti Teorema 1 (Sifat-sifat Nilai Harapan) 1. Misal Ax X x , dengan x 0
X x I Ax sehingga E X x P Ax x
x
karena x 0 maka E X x P Ax 0, x
sehingga E X 0.
Jadi, jika X 0 , maka E X 0 . 2. Misal Ax X x , By Y y
aX bY aX bY I Ax By x, y
sehingga
E aX bY aX bY P Ax By x, y
dengan,
P A B P A x
y
x
y
y
By P Ax P Ax
dengan cara yang sama maka
P A B P x
y
x
x
Ax By P By P By
sehingga didapat E aX bY ax P Ax By by P Ax By x
y
y
x
a xP Ax b yP By x
y
aE X bE Y . Jadi, jika a, b
maka E aX bY aE X bE Y .
3. Misal X adalah peubah acak konstan, dengan P X c 1 untuk konstanta, E X x P X c
suatu
x
E X c 1 c x
Jadi, jika X adalah peubah acak konstan, dengan P X c 1 untuk konstanta, maka ( ) .
suatu
27 4. Misal Ax X x , By Y y
XY x y I Ax By x, y
sehingga E XY x y P Ax By x, y
jika
dan
saling bebas, maka
E XY x y P Ax P By x, y
E XY x P Ax y P By x
y
E XY E X E Y . Jadi, jika X dan Y adalah independen maka E XY E X E Y . 5. Definisi covariance didapat: Cov X , Y E X EX Y EY
E XY EX Y EY X EX EY E XY E X E Y E Y E X E X E Y E XY E X E Y E XY E X E Y Cov X , Y Jadi, jika X dan Y dependen maka E XY E X E Y Cov X , Y
28 Lampiran 2 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas dengan tingkat suku bunga tetap 2.1 Bukti Persamaan (7) Akan dibuktikan: ( I s )k | j 2
1 v sk| j k 2 2k 2k 2 d2
Bukti: Dari persamaan (5) substitusi persamaan (3) maka 2 Is k | j sk | j k 2 2 ( I s )k| j d Is k | j Is k | j sk | j k 2 d 1 sk | j k 1 sk | j k sk | j k 2 d d d 1 sk | j k 1 1 1 1 sk | j k k 2 sk | j k 2 k 2 d d d d d d 1 sk | j k 1 1 1 1 sk | j k 2 s k | j k 2 k k 2 d d d d d d 1 sk | j k 1 1 1 1 sk | j k 2 k k 2 d d d d d 1 2 sk | j k 1 d sk | j k 2 k k 2 d
I s 2
k| j
sk | j k 2
v s k 2k 2k 2
k|j
d2 1 v sk| j k 2 2k 2k 2
d
2
.
2
29 2.2 Bukti Persamaan (15) Akan dibuktikan:
s
p ,q
g k| j
p 1 j pq 1 j k
p 1 j
1 j
k
k 1
pq 2 1 j
k 1
pq 2 1 j
pq k 1 1 j
k 2
qk
1 j q
Bukti:
s
p ,q
g k| j
p 1 j pq 1 j k
pq k 1 1 j 1 q 1 1 j 1 q 1 1 j
pq k 1 1 j 1 q k 1 j 1
1 j
k
k
q
pq k 1 1 j pq 1 1 j 1 j q 1 j q
k
k
p 1 j q k 1 j
q q 1 j q
q p 1 j
k
1 j q 1 j
1 j q s p 1 j 1 j q . k
p,q
g k| j
k
k
k 2
pq k 1 1 j
30 Lampiran 3 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas yang pembayarannya dalam bentuk deret aritmatika dengan tingkat suku bunga acak 3.1 Bukti Persamaan (16) Akan dibuktikan: 2 2 E 1 ik 1 j s 2 1 f m , di mana 2 f 2 j j s2 Bukti:
Var ik E ik E ik 2
2
s 2 E ik j 2 2
E ik s 2 j 2 , sehingga 2 2 E 1 ik E 1 2ik ik 2
E 1 2E ik E ik
2
1 2 j j 2 s2 1 f 2 E 1 ik m.
3.2 Bukti Lema 2 Persaman (22) Akan dibuktikan: mk p 2 mk p q mk 1 2
p k 1 q m 2
2 p q mk 11 p 2q mk 2 2
p k 1 q mk 1
Bukti: Berdasarkan Lema 1 (persamaan (21)) 2 mk m mk 1 2 p k 1 q k 1 p k 1 q , didapat m1 p 2 m m2 p 2 m 2 p q m 2 p q m1 2
m3 p 2 m3 p q m 2 p 2q m 2 p q m 2 1 p 2q m2 2
2
mk p 2 m k p q m k 1 p 2q m k 2 2
2
2 p q mk 11 p 2q mk 2 2
Persamaan (26) Akan dibuktikan: M1.k p 2 sk| f 2 pq Is k 1| f q 2 I 2 s
k 1| f
p k 1 q m 2
p k 1 q mk 1 .
31 Bukti: Dari persamaan (23) dan 1 f m , maka
M 1.k p 2 m k p q m k 1 p k 1 q m 2
2
p 2 1 f p q 1 f p 2q 1 f k
k 1
2
2
k 2
p k 1 q 1 f
p 2 1 f p 2 2 pq q 2 1 f p 2 4 pq 4q 2 1 f k 1
k
2
k 2
p 2 2 pq k 1 k 1 q 2 1 f 2
k k 1 p 2 1 f 1 f 1 f
2 pq 1 f 2 1 f k 1
k 2
k 11 f
k 1 k 2 2 q 2 1 f 22 1 f k 1 1 f substitusi persamaan (1), (3), dan (5), sehingga didapat: M1.k p 2 sk| f 2 pq Is k 1| f q 2 I 2 s . k 1| f
Persamaan (22) dan (26) terbukti, jadi Lema 2 terbukti. 3.3 Bukti Lema 3 Persamaan (27) Akan dibuktikan: 2 M1.k p q sk | f 2q p q Is k | f q 2 I 2 s
k| f
Bukti: Dari persamaan (26), substitusi persamaan (8) dan (9) maka M 1.k p 2 sk | f 2 pq Is k 1| f q 2 I 2 s k 1| f
p 2 sk | f 2 pq Is k | f sk | f q 2
I s 2
k| f
2 Is k | f sk | f
p 2 sk | f 2 pqsk | f q 2 sk | f 2 pq Is k | f 2q 2 Is k | f q 2 I 2 s M1.k p q sk | f 2q p q Is k | f q I s 2
2
k| f
2
k| f
Persamaan (28) Akan dibuktikan:
M 2.k
p q 1 f k 1 1 j p 2q 1 f k 2 1 j 2 p k 1 q 1 f 1 j k 1 d p q q 2 k 1 k 2 p q 1 f d p 2q 1 f p k 1 q 1 f 1 j k 1 q k 1 k 2 p q 1 f 2 p 2q 1 f k 1 p k 1 q 1 f d
32 Bukti: Dari persamaan (24), 1 f m , Lema 1 dan persamaan (14), maka: M 2.k p q m k 11 p 2q m k 2 2 p q 1 f
k 1
p 2q 1 f
p k 1 q mk 1
p q s q Is 1| j 1| j
k 2
p q s q Is 2| j 2| j
p k 1 q 1 f p q sk 1| j q Is k 1| j substitusi persamaan (1) dan (3), sehingga didapat: 1 j 1 1 j 1 1 k 1 M 2.k p q 1 f p q q 2 d d d
p 2q 1 f
k 2
1 j 2 1 1 j 2 1 2 p q q 2 d d d
1 j k 1 1 1 j k 1 1 k 1 p k 1 q 1 f p q q d d2 d p q 1 f
k 1
p q q q 1 j 1 2 1 j 1 d d d
p 2q 1 f
k 2
p q q q 2 1 j 1 2 1 j 1 2 d d d
p q q q k 1 k 1 p k 1 q 1 f 1 j 1 2 1 j 1 k 1 d d d q k 1 d p q q p q 1 f 1 j 1 2 d d
d p q q 1 j 2 1 2 q 2 d d d p q q 1 j k 1 1 k 1 q p k 1 q 1 f 2 d d p 2q 1 f
M 2.k
k 2
p q 1 f k 1 1 j p 2q 1 f k 2 1 j 2 p k 1 q 1 f 1 j k 1 d p q q 2 k 1 k 2 p q 1 f d p 2q 1 f p k 1 q 1 f 1 j k 1 q p q 1 f 2 p 2q 1 f d k 1 p k 1 q 1 f k 1
k 2
.
33 3.4 Bukti Lema 4 Akan dibuktikan: p q d p q q 1 j k s k |r q d p q q 1 j k Is 1 k |r M 2.k 2 d p q d p q qv s k| f q 2d p q qv Is q 2 d I 2 s k| f k| f Bukti: Dari persamaan (28) maka p q 1 f k 1 1 j p 2q 1 f k 2 1 j 2 p k 1 q 1 f 1 j k 1 d p q q M 2.k 2 k 1 k 2 p q 1 f d p 2q 1 f p k 1 q 1 f 1 j k 1 k 1 k 2 q p q 1 f 2 p 2q 1 f d k 1 p k 1 q 1 f p q 1 r k 1 p 2q 1 r k 2 d p q q k 1 j d2 p k 1 q 1 r p 1 f k p q 1 f k 1 p 2q 1 f k 2 1 2 d p q q d p k 1 q 1 f 1 j k 1 p 1 f k
k 1 k 2 dq p 1 f 2 1 f k 11 f 2 k 1 k 2 2 2 d q 1 f 2 1 f k 1 1 f substitusi persamaan (13), (14), (3), (5), (8), dan (9) sehingga 1 k k p ,q M 2.k 2 d p q q 1 j sa k |r p 1 r d 1 dq k p ,q 2 d p q q sa k | f p 1 f 2 p Is k 1| f q I 2 s k 1| f d d
d p q q d
2
p q 1 j
k
k sk |r q 1 j Is k |r p q sk | f q Is k | f
dq p Is k | f sk | f q I 2 s 2 Is k | f sk | f 2 k || f d d p q q p q 1 j k s q 1 j k Is p q s q Is k|r k|r k | f k | f d2 dq 2 p 2q Is k | f p q sk | f q I 2 s k| f d
34 1 k k p q d p q q 1 j sk |r q d p q q 1 j Is k |r 2 d 1 p q d p q q dq p q sk | f 2 d q d p q q dq p 2q Is q 2 d I 2 s k| f k| f 1 k k 2 p q d p q q 1 j sk |r q d p q q 1 j Is k |r d 1 p q d p q q dq sk | f 2 d q d p q q dq d p q Is k | f q 2 d I 2 s k| f 1 k k 2 p q d p q q 1 j sk |r q d p q q 1 j Is k |r d 1 p q d p q q 1 d sk | f 2 d q 2d p q q 1 d Is k | f q 2 d I 2 s k| f
M 2.k
p q d p q q 1 j k s k |r k 1 q d p q q 1 j Is k |r 2 d p q d p q qv s k| f q 2d p q qv Is q 2 d I 2 s k| f k| f
3.5 Bukti Lema 5 Akan dibuktikan: q p d p q 1 v 2qv s k| f 1 2 2 mk 2 2q d p q 1 v qv Is k | f dq 1 v I s k| f d k k 2 p q d p q q 1 j sk |r 2q d p q q 1 j Is k |r Bukti: Dari persamaan (25), (27), dan (29) maka mk M 1.k 2M 2.k p q sk | f 2q p q Is k | f q 2 I 2 s 2
k| f
k k 1 p q d p q q 1 j sk |r q d p q q 1 j Is k |r 2 2 d p q d p q qv s q 2d p q qv Is q 2d I 2 s k| f k| f k| f
d p q 2 s 2qd 2 p q Is q 2 d 2 I 2 s k| f k| f k| f 1 2 2 2 2 p q d p q qv sk | f 2q 2d p q qv Is k | f 2q d I s k| f d k k 2 p q d p q q 1 j sk |r 2q d p q q 1 j Is k |r
35
d 2 p q 2 2 p q d p q qv s k| f 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2qd p q 2q 2d p q qv Is k | f q d 2q d q d I s k| f d k k 2 p q d p q q 1 j sk |r 2q d p q q 1 j Is k |r q p d p q 1 v 2qv s k| f 1 2 2 mk 2 2q d p q 1 v qv Is k | f d q 1 v I s k| f d k k 2 p q d p q q 1 j sk |r 2q d p q q 1 j Is k |r
3.6 Bukti Lema 6 Akan dibuktikan: k2
2q p q k pq 2q sk | j pq s2 k | j 2sk | j d d d
2
q Is 2 k | j 2 1 kd Is k | j k 2 d
Bukti:
Untuk membuktikan Lema 6 dibutuhkan persamaan sk | j
2
dan
Is
2
k| j
sebagai berikut:
s
2
k| j
1 j k 1 d
1 j
2k
2
2 1 j 1 d2 k
2k k 1 1 j 1 2 1 j 2 d d 2k k 1 j 1 1 1 j 1 2 d d d
sk | j
2
s2 k | j 2sk | j d
dan
Is k| j
2
sk | j k d
s k| j
2
2
2k sk | j k 2
d2 1 s2 k | j 2sk | j 2 2k sk | j 2k 2 k 2 d d
( )
36 2 1 s2 k | j 2k 2sk | j 2k 2d k sk | j 2d k 2 k2 d d
Is k| j
2
sk | j k 1 s2 k | j 2k 2 2 2 1 k d k d d d 2 Is 2k| j 2 1 k d Is k| j k . d2
( )
Dari persamaan (20) dan (14) maka: p ,q k2 sa k | j
2
p q sk | j q Is k | j
p q sk | j 2
2
2
2q p q sk | j Is k | j q 2
Is
2
k| j
substitusi ( ) dan ( ) maka Is 2 k | j 2 1 k d Is k | j k 2 2 s2 k | j 2 sk | j 2 2 k p q 2q p q sk | j Is k | j q 2 d d sk | j k 2 s2 k | j 2 sk | j p q 2q p q sk | j d d q d
k2
2
Is
2k| j
2 1 k d Is k | j k 2
2q p q k pq 2q sk | j p q s2 k | j 2sk | j d d d
q d
2
Is
2k| j
2 1 kd Is k | j k 2
3.7 Bukti Corollary 1 Akan dibuktikan: a. Ck 1 ik Ck 1 1 Bukti: Ck adalah nilai akhir atau future value dari suatu anuitas awal dengan pembayaran sebesar 1 satuan selama k tahun dengan tingkat suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik maka: Pada tahun pertama didapat C1 1 i1
pada tahun ke-2 didapat C2 C1 1 i2 1 i2 1 i2 C1 1 pada tahun ke-3 didapat C3 C2 1 i3 1 i3 1 i3 C2 1
37 pada tahun ke-k didapat Ck Ck 1 1 ik 1 ik 1 ik Ck 1 1 sehingga Ck 1 ik Ck 1 1 , untuk k 2,3,
,n
b. k E Ck sk | j Bukti: E Ck E 1 ik Ck 1 1 E 1 ik E Ck 1 1
k k 1 1 , didapat 1 2 2 3 3 2
k k k 1 k 2 , substitusikan 1 j dan persamaan (4) maka k 1 j 1 j k
k 1
1 j
k 2
1 j
k E Ck sk| j . c. mk
2 1 j
k 1
sk |r 2 j sk | f j
Bukti: Akan ditentukan momen kedua E Ck2 sebagai berikut: E Ck2 E 1 ik Ck 1 1
2
E 1 ik E Ck21 2Ck 1 1 mk m mk 1 2k 1 1 , didapat 2
m1 m m2 m 2 m 2m1 m3 m3 m2 m 2 m2 1 m2 mk mk m k 1 m k 2
m 2 mk 11 mk 2 2
substitusi m 1 f , k sk | j dan persamaan (4) maka mk 1 f 1 f k
k 1
1 f
k 2
mk 1
1 f
2 k 1 1 j 1 k 2 1 j 1 2 1 f 1 f d d
1 j k 1 1 1 f d
38 k 1 k 1 k 2 2 k 2 2 1 f 1 j 1 f 1 f 1 j 1 f sk | f d 1 f 1 j k 1 1 f 2 k 1 k 2 2 k 1 sk | f 1 f 1 j 1 f 1 j 1 f 1 j d 2 k 1 k 2 1 f 1 f 1 f d 2 2 k k 1 k 2 sk | f 1 j 1 r 1 r 1 r sk 1| f d d 2 2 k k 1 j sk 1|r sk | f sk | f 1 f , d d j substitusi d sehingga 1 j
mk mk
2 1 j
k 1
s
k |r
1 r
j 2 1 j
k 1
k
js
k| f
2 1 j sk | f 2 1 j 1 f j
sk |r 2 1 j 1 f 2 j sk | f 2 1 j 1 f k
j 2 1 j
k 1
sk |r 2 j sk | f j
d. Var Ck
2 1 j
k 1
.
sk |r 2 j sk | f 1 j s2 k | j 2 1 j sk | j j
Bukti: Substitusi persamaan (c) dan ( ) Var Ck mk k2
Var Ck
2 1 j
k 1
sk |r 2 j sk | f
sk | j
j 2 1 j
k 1
sk |r 2 j sk | f
j 2 1 j
k 1
2
s2 k | j 2sk | j d
sk |r 2 j sk | f 1 j s2 k | j 2sk | j
j
2 1 j
k 1
Jadi Corollary 1 terbukti. 3.8 Bukti Corollary 2 Akan dibuktikan: a. Ck 1 ik Ck 1 k
sk |r 2 j sk | f 1 j s2 k | j 2 1 j sk | j j
.
k
k
39 Bukti: Ck adalah nilai akhir atau future value dari sebuah anuitas awal dengan pembayaran masing-masing sebesar 1, 2, , k selama k tahun dengan tingkat suku bunga tahunan selama tahun ke-k adalah peubah acak ik maka: Pada tahun pertama didapat C1 1 i1 pada tahun ke-2 didapat C2 C1 1 i2 2 1 i2 1 i2 C1 2 pada tahun ke-3 didapat C3 C2 1 i3 3 1 i3 1 i3 C2 3 pada tahun ke-k didapat Ck Ck 1 1 ik k 1 ik 1 ik Ck 1 k , sehingga Ck 1 ik Ck 1 k , untuk k 2,3,
, n.
b. E Ck Is k | j Bukti: E Ck E 1 ik Ck 1 k E 1 ik E Ck 1 k
k k 1 k , didapat
1 2 2 2 3 3 2 2 3
k k 2 k 1 3 k 2 k , substitusi 1 j dan berdasarkan persamaan (3) maka
k 1 j 2 1 j k
k 1
3 1 j
k 2
k E Ck Is k| j .
k 1 j
Selanjutnya akan ditentukan momen kedua E Ck2 E Ck2 E 1 ik Ck 1 k
2
E 1 ik E Ck21 2kCk 1 k 2 mk m mk 1 2k k 1 k 2 , 2
didapat m1 m m2 m2 22 m 4m1 m3 m3 22 m 2 32 m 4m 2 1 6m2
40
k 2 m 2 2mk 11 3mk 2 2
mk mk 22 mk 1 32 mk 2
Jika M1.k mk 22 mk 1 32 mk 2 dan M 2.k 2mk 11 3mk 2 2 maka: mk M1.k 2M 2.k . c. M1.k I 2 s
k mk 1 .
k 2m
k mk 1 ,
k| f
Bukti: M1.k mk 22 mk 1 32 mk 2 substitusi m 1 f , maka:
k 2m
M1.k mk 22 mk 1 32 mk 2
k 2m
1 f 22 1 f k
M1.k I 2 s .
k 1
32 1 f
k 2
k 2 1 f
k| f
1 j Is k|r 1 j Is k| f k 2
d.
M 2.k
j
j 1 j I 2 s
k| f
2
Bukti: Substitusi m 1 f , k Is k | j dan persamaan (6), maka: M 2.k 2 m k 11 3 m k 2 2 2 1 f
k 1
2 1 f
k 1
k m k 1
Is 1| j 3 1 f Is 2| j k 2
k 1 f Is k 1| j sk 1| j k 1 k 1 f d
s1| j 1 k 2 s2| j 2 3 1 f d d
k 1 k 2 1 2 1 f s1| j 3 1 f s2| j k 1 f sk 1| j d 2 1 f k 1 6 1 f k 2 k k 11 f
2 1 k 1 1 j 1 k 2 1 j 1 2 1 f 3 1 f d d d
k 1 k 2 2 2 2 1 2 1 f 3 1 f k 1 f d 2 1 f k 1 3 1 f k 2 k 1 f
1 j k 1 1 k 1 f d
k 1 k 2 2 k 1 1 2 1 f 1 j 3 1 f 1 j k 1 f 1 j 2 d 2 1 f k 1 3 1 f k 2 k 1 f 1 k k I 2 s 1 f Is k | f 1 f k| f d
41
1 k k 1 k 2 1 j 2 1 r 3 1 r k 1 r 2 d 1 d k 2 Is k | f 1 f 2 I 2 s Is k | f k| f d d 1 1 d k k k 2 1 j Is k |r 1 r 2 Is k | f 1 f 2 I 2 s Is k | f k| f d d d
1 j
k 2
Is 1 r k 1 j 2 Is 1 f k k |r k| f 2 j
j 1 j I 2 s Is k | f k| f 2 j
1 j Is k|r 1 f 1 j 1 j Is k| f 1 f 1 j k 2
2
2
2
j2 j 1 j I 2 s j 1 j Is k | f
k| f
j2
1 j Is k|r 1 j Is k| f j 1 j I 2 s k| f k 2
M 2.k
e. mk
j2
2 1 j
k 2
j 2 j I 2s
Is k|r 2 1 j Is k| f j
.
k| f
2
Bukti: mk M 1.k 2M 2.k I s 2
mk
k| f
2 1 j
1 j k 2 Is 1 j Is j 1 j I 2 s k |r k| f k| f 2 2 j k 2
Is k|r 2 1 j Is k | f j
2 1 j
f. Var Ck
k 2
2 1 j
k 2
k| f
j 2 I 2s
2
Is k|r 2 1 j Is k| f j
2 j 1 j I 2 s
j 2 j I 2s
2
k| f
.
( Is ) k |r 2 1 j ( Is ) k | f j 2 j ( I 2 s ) k | f
j2 Is 2k| j 2 1 kd Is k| j k 2 d2
k| f
42 Bukti: Var Ck mk k2 Var Ck
2 1 j
sk |r 2 1 j Is k | f j 2 j I 2 s
k 2
j 2 1 j
k 2
sk |r 2 1 j Is k | f j 2 j I 2 s j
k| f
2
Is k | j
2
k| f
2
Is 2k| j 2 1 kd Is k| j k 2 d2
.
Jadi, Corollary 2 terbukti. 3.9 Bukti Corollary 3 Akan dibuktikan: a. Ck 1 ik Ck 1 n k 1 Bukti: c1 , c2 , , ck adalah pembayaran anuitas awal selama k tahun dengan ck n k 1 untuk k 1, 2,3, , n dan Ck adalah akumulasi nilai akhir, maka: Pada tahun pertama didapat C1 n 1 i1 pada tahun ke-2 didapat C2 C1 1 i2 n 11 i2 1 i2 C1 n 1 pada tahun ke-3 didapat C3 C2 1 i3 n 21 i3 1 i3 C2 n 2 pada tahun ke-k didapat Ck Ck 1 1 ik n k 11 ik 1 ik Ck 1 n k 1 Sehingga Ck 1 ik Ck 1 n k 1 , untuk k 2,3, b. E Ck Ds n,k | j Bukti: E Ck E 1 ik Ck 1 n k 1
k E 1 ik E Ck 1 n k 1 k k 1 n k 1 didapat 1 n
2 n 2 n 1 3 n 3 n 1 2 n 2 4 n 4 n 1 3 n 2 2 n 3 k n k n 1 k 1 n 2 k 2
n k 1
,n .
43 substitusikan 1 j dan persamaan (13), maka:
k n 1 j n 11 j k
k 1
n 2 1 j
k 2
n k 11 j
k E Ck Ds n,k| j .
Selanjutnya akan ditentukan momen kedua E Ck2 sebagai berikut
E Ck2 E 1 ik Ck 1 n k 1
2
2 2 E 1 ik E Ck21 2 n k 1 Ck 1 n k 1 2 mk m mk 1 2 n k 1 k 1 n k 1 didapat m1 n 2 m
m2 n 2 m 2 n 1 m 2 n 1 m1 2
m3 n 2 m3 n 1 m 2 n 2 m 2 n 1 m 2 1 n 2 m2 2
2
mk n 2 m k n 1 m k 1 n 2 m k 2 2
2
2 n 1 m k 11 n 2 m k 2 2
n k 1 m 2
n k 1 mk 1 .
Jika M1.k n2 mk n 1 mk 1 n 2 mk 2 2
2
k 1 k 2 dan M 2.k n 1 m 1 n 2 m 2
n k 1 m 2
n k 1 mk 1 ,
maka: mk M1.k 2M 2.k .
c. M1.k n 1 sk | f 2 n 1 Is k | f I 2 s 2
k| f
Bukti: substitusi m 1 f dan persamaan (15), maka M 1.k n 2 m k n 1 m k 1 n 2 m k 2 2
n 2 1 f n 1 1 f k
2
k 1
k
n 2 2n k 1 k 1
n 2 1 f 1 f k
2n 1 f 1 f
k 1
k 1
k 1
2
2
2 1 f
22 1 f
k 2
k 1
1 f
k 2
M 1.k n 2 sk | f 2 n Is k 1| f I 2 s
k 2
n k 1 1 f
n 2 4n 22 1 f
1 f
2
n 2 1 f
n 2 1 f n 2 2n 1 1 f
n k 1 m
2
k 11 f k 1 1 f
k 1| f
substitusi persamaan (8) dan (9) didapat
2
2
k 2
44
M 1.k n 2 sk | f 2 n Is k | f sk | f I 2 s
2 Is k | f sk | f
k| f
n 2 sk | f 2n Is k | f 2n sk | f I 2 s
2 Is k | f sk | f
k| f
n 2 sk | f 2n sk | f sk | f 2n Is k | f 2 Is k | f I 2 s
M1.k n 1 sk| f 2 n 1 Is k| f I s . 2
k| f
2
k| f
jn 11 j Ds n,k|r 1 j jn j 1 Ds n,k| f k 1
d. M 2.k
j2
j 1 j n 1 Is k | f I 2 s
k| f
j2
Bukti: M 2.k n 1 mk 11 n 2 m k 2 2
n 11 f
n k 1 mk 1
Ds n,1| j n 2 1 f Ds n,2| j n k 11 f Ds n,k 1| j substitusi persamaan m 1 f , k Ds n,k | j dan (12) didapat M 2.k n 11 f
k 1
k 1
k 2
n 1 s Is n 2 1 f k 2 n 1 s Is 1| j 2| j 1| j 2| j
n k 11 f n 1 sk 1| j Is k 1| j substitusi persamaan (1) dan (3), maka didapat 1 j 1 s1| j 1 k 1 M 2.k n 11 f n 1 d d 1 j 2 1 s2| j 2 k 2 n 2 1 f n 1 d d 1 j k 1 1 sk 1| j k 1 n k 11 f n 1 d d n 11 f k 1 1 j n 2 1 f k 2 1 j 2 n 1 k 1 n k 11 f 1 j d k 1 k 2 n 11 f n 2 1 f n k 11 f
n 11 f k 1 s n 2 1 f k 2 s 1| j 2| j 1 n k 1 1 f s k 1| j d k 1 k 2 n 1 1 f 2 n 2 1 f k 1 n k 11 f substitusi persamaan (10), sehingga
45
M 2.k
n 11 j
k
n 11 r k 1 n 2 1 r k 2
n k 11 r d n 1 Ds n 1 f k n ,k | f d n 11 f k 1 1 j n 2 1 f k 2 1 j 2 k 1 1 2 n k 11 f 1 j d n 11 f k 1 n 2 1 f k 2 n k 11 f
n 1 f k 1 2 1 f k 2 k 11 f 1 k 1 k 2 k 3 2 d 1 f 22 1 f 32 1 f k 1 1 f substitusi persamaan (3) dan (5)
n 11 j Ds n,k|r n 1 r k
M 2.k
1 j Ds n,k|r n 1 r k
d
n 1 Ds
k
n 1 f
n,k | f
d
k
Ds
n,k| f
n 1 f
k
k
2
1 n Is k 1| f I 2 s k 1| f d k n 1 1 j Ds n,k |r Ds n,k| f 1 j k Ds n,k|r Ds n,k| f d d2 1 n Is k | f sk | f I 2 s 2 Is k | f sk | f k| f d
j 1 j n 1 1 j 1 j Ds 2
k
n , k |r
Ds n ,k | f
j2
n 1 Is k| f
I 2s
k| f
n 1 sk | f Is k | f
d 1 j jn 1 1 j Ds n,k|r Ds n,k| f
k
k| f
Ds n ,k | f
j2
jn 11 j Ds n,k|r 1 j jn j 1 Ds n,k| f k 1
M 2.k
j2
j 1 j n 1 Is k | f I 2 s
j2
j 1 j n 1 Is k | f I 2 s j
2
k| f
.
46 e. mk
2 jn 11 j
k 1
Ds n,k|r 2 1 j jn j 1 Ds n,k| f j2
j n 1
2
sk | f 2 j n 1 Is k | f 3 j 2 2 j I 2 s j
k| f
2
Bukti: mk M 1.k 2M 2.k
n 1 sk | f 2 n 1 Is k | f I 2 s 2
k| f
jn 11 j Ds 1 j jn j 1 Ds n , k |r n,k| f 2 j 2 j 1 j n 1 Is k | f I 2 s k | f j2 k 1
2 jn 11 j
Ds n,k|r 2 1 j jn j 1 Ds n,k| f j2
mk
k 1
j n 1
2
sk | f 2 j 2 2 j 1 j n 1 Is k | f j 2 2 j 1 j I 2 s j
2 jn 11 j
k 1
2
Ds n,k|r 2 1 j jn j 1 Ds n,k| f j2
j n 1
2
sk | f 2 j n 1 Is k | f 3 j 2 2 j I 2 s j
2
k| f
.
k| f
47 Lampiran 4 Pembuktian persamaan-persamaan pada anuitas yang pembayarannya dalam bentuk deret geometri dengan tingkat suku bunga acak 4.1 Bukti Persamaan (48) Akan dibuktikan: Ck 1 ik Ck 1 pq k 1 , untuk k 2,3,
,n
Bukti: c1 , c2 , , ck adalah pembayaran anuitas awal selama k tahun mengikuti deret geometri, di mana ck pq k 1 untuk k 1, 2,3, akumulasi nilai akhir, sehingga: Pada tahun pertama didapat C1 c1 1 i1
, n dan Ck merupakan
pada tahun ke-2 didapat C2 C1 1 i2 c2 1 i2 1 i2 C1 c2
pada tahun ke-3 didapat C3 C2 1 i3 c3 1 i3 1 i3 C2 c3 pada tahun ke-k didapat Ck Ck 1 1 ik ck 1 ik 1 ik Ck 1 ck Sehingga Ck 1 ik Ck 1 pq k 1 , untuk k 2,3,
, n.
4.2 Bukti Lema 7 Akan dibuktikan:
k E Ck sg k | j
p ,q
Bukti: Dari persamaan (42) k k 1 pq k 1 , didapat
1 p 2 p 2 pq 3 p 3 pq 2 pq 2
k p k pq k 1 pq k 1 , substitusi 1 j dan persamaan (16) maka didapat :
k p 1 j pq 1 j k
k 1
pq k 1 1 j
k sg k | j . p ,q
4.3 Bukti Lema 8 Akan dibuktikan:
mk p 2 mk p 2 q 2 mk 1
p 2q
2 k 1
2 pqmk 11 pq 2 mk 2 2
m pq k 1mk 1
48 Bukti: Ditentukan momen kedua E Ck2 mk sebagai berikut
E Ck2 E 1 ik Ck 1 pq k 1
2
2 2 k 1 mk E 1 ik E Ck21 2 pq k 1Ck 1 p 2 q 2 k 1 mk m mk 1 2 pq k 1k 1 p 2 q , didapat m1 p 2 m
m2 p 2 m2 p 2 q 2 m 2mpq 1 m3 p 2 m3 p 2 q 2 m 2 p 2 q 5 m 2m 2 pq 1 2mpq 2 2 mk p 2 m k p 2 q 2 m k 1
p2q
2 k 1
2 pqmk 11 pq 2 mk 2 2
m
pq k 1mk 1 .
4.4 Bukti Lema 9 Persamaan (40) Akan dibuktikan:
M 1k p 1 f 2
sg
p
2
,q2
1 f
q2k 1 f q2 k
k| f
Bukti: Dari persamaan (37) dan 1 f m , maka
M 1.k p 2 m k p 2 q 2 m k 1
p 2q
p 2 1 f p 2 q 2 1 f k
k 1
p p 1 f pq 2 1 f
k
k 1
k 1 j q2k p p 1 j 1 j q2
1 j p 1 j 2
2 k 1
k
q2k
m p 2q
2 k 1
1 f
pq 2 k 1 1 f
1 j q2
p ,q
M1.k sg
2
2
k| f
.
Persamaan (41) M 2.k
p2 ,q2 k p 2 1 j 1 r q 2 sa k | j k 1 j 1 r 1 j q 1 j q p2
49 Bukti: Dari persamaan (38), substitusi 1 f m dan persamaan (15), maka M 2.k pqm k 11 pq 2 m k 2 2 pq k 1mk 1 pq 1 f pq
k 1
k 1
p 1 j
1 j q pq 2 1 j q
1 f p 1 j
1 j
k 1
1 f
k 2
p 1 j
1 j
q2 1 j q
q k 1
1 j q
q 1 f k 1 1 j q 2 1 f k 2 1 j 2 k 1 k k k 1 2 p 1 j q 1 f 1 j 1 f 1 f 1 j q q 2 1 f k 1 q 4 1 f k 2 q 2 k 1 1 f 1 f k 1 f k
p2 ,q2 k k s p 1 j 1 r q g k| f k M 2k 1 j 1 r . 1 j q 1 j q p2 Jadi, Lema 9 terbukti. 2
4.5 Bukti Lema 10 Akan dibuktikan:
M 2k
p 1 j
k 1
s
p ,q
g k |r
p
1 j sg
2
,q2
k|f
1 j q
Bukti: Dari persamaan (41) p2 ,q2 k 2 k s p 1 j 1 r q g k| f k M 2.k 1 j 1 r 1 j q 1 j q p2
p2 ,q2 s p 1 j 1 r q p 1 j g k| f p 1 r 1 j q 1 j q 1 j q p2 k 1
M 2k
p 1 j
k 1
k
sg
p ,q k |r
k
2
p
1 j sg
1 j q
2
k| f
,q2
.
2
50 Lampiran 5 Pemrograman menggunakan software Mathematica 8.0 5.1 Program untuk Anuitas yang Pembayarannya Tetap dengan Suku Bunga Acak
51 5.2 Program untuk Anuitas yang Pembayarannya Meningkat dengan Suku Bunga Acak
52 5.3 Program untuk Anuitas yang Pembayarannya mengikuti Bentuk Deret Geometri dengan Suku Bunga Acak
53
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Lampung pada tanggal 27 Pebruari 1983 dari Ayah H. Sakheroh, HS (Alm) dan Ibu Rohani (Alm). Penulis merupakan putri ke tujuh dari tujuh bersaudara. Tahun 2001 penulis lulus dari SMU Muhammadiyah 7 Yogyakarta dan pada tahun yang sama penulis menempuh pendidikan sarjana di Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Ahmad Dahlan,Yogyakarta dan lulus pada tahun 2005. Sejak tahun 2006 sampai 2009 penulis bekerja sebagai guru honorer di MAN Pringsewu dan MAN Kedondong, Lampung. Pada tahun 2010 penulis diterima sebagai Pegawai Negeri Sipil (PNS) di SMA Negeri 1 Tegineneng Kabupaten Pesawaran, Provinsi Lampung. Pada tahun 2009, penulis mengikuti seleksi beasiswa S-2 dari Kementerian Agama Republik Indonesia, dan alhamdulillah penulis berkesempatan mendapatkan beasiswa tersebut. Bulan Juli 2009 penulis mengikuti perkuliahan di Program Studi Matematika pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.
