611.22.033 Pengantar Proses Stokastik Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel dan Kejadian
Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Contoh: dari pelemparan sebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasa dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel dan Kejadian
Gabungan Kejadian A ∪ B = {a ∈ S : a ∈ A atau a ∈ B}
Irisan Kejadian A ∩ B = {a ∈ S : a ∈ A dan a ∈ B}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel dan Kejadian
Kejadian A dan B bersifat ’mutually exclusive (saling asing)’ jika A ∩ B = φ. Komplemen ¯ = {a ∈ S : a ∈ Ac = A / A}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel dan Kejadian
Partisi Ruang Sampel Sebuah himpunan kejadian {A1 , A2 , . . .} merupakan partisi dari ruang sampel S jika 1
2
Kejadian-kejadian tersebut bersifat ’mutually exclusive’, Ai ∩ Aj = φ jika i 6= j. ∪i Ai = S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Ruang Sampel dan Kejadian
Peluang
Peluang Peluang kejadian A adalah P(A) = lim
n→∞
n(A) n
n(A) : banyaknya keluaran A n : banyaknya percobaan atau P(A) =
n(A) n(S)
n(A) : banyaknya keluaran A n(S) : banyaknya anggota ruang sampel S Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Ruang Sampel dan Kejadian
Peluang
Sifat-sifat peluang 1 2 3
0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1 P(φ) = 0 Untuk himpunan kejadian A1 , A2 , . . . yang ’mutually exclusive’, ! ∞ ∞ [ X P An = P(An ) n=1
4 5 6
n=1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(Ac ) = 1 − P(A) Jika A ⊆ B maka P(A) ≤ P(B)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Ruang Sampel dan Kejadian
Peluang
Misalkan P(A ∪ B) = P(A ∪ B c ) = 0.6. Hitung P(A)!
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Ruang Sampel dan Kejadian
Peluang
Jawab: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.6 P(A ∪ B c ) = P(A) + P(B c ) − P(A ∩ B c ) = 0.6 Jumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh 2P(A) + P(B) + P(B c ) − (P(A ∩ B) + P(A ∩ B c )) = 1.2 2P(A) + 1 − P(A) = 1.2 P(A) = 0.2 Note: P(B) + P(B c ) = 1 P(A ∩ B) + P(A ∩ B c ) = P(A)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak
Peubah Acak Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampel S ke bilangan real. Contoh: Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acak yang bernilai 0, 1, dan2 dengan peluang munculnya P(X = 0) = P(BB) =
1 4
P(X = 1) = P(MB, BM) = P(X = 2) = P(MM) =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
1 2
1 4
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Peubah Acak Diskrit
Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi pada barisan terhitung dari bilangan {xi , i = 1, 2, . . .} sedemikian hingga ! [ X P {X = xi } = P(X = xi ) = 1 i
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
i
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Fungsi peluang ( pi , p(x) = P(X = x) = 0,
jika x = xi . lainnya
Fungsi distribusi FX (x) =
X
p(xi )
i
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Distribusi Binomial
Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuah sukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses dan X = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya p(0) = P(X = 0) = 1 − p p(1) = P(X = 1) = p di mana p merupakan peluang sukses dan 0 ≤ p ≤ 1. Maka X merupakan peubah acak Bernoulli.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupa sukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p) dan fungsi peluangnya n x p(x) = p (1 − p)n−x , x = 0, 1, 2, . . . x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Misalkan sebuah mesin pesawat akan rusak dalam penerbangannya dengan peluang 1 − p, saling bebas antara mesin satu dengan lainnya. Misalkan pesawat akan terbang dengan sukses jika setidaknya 50% mesinnya dapat bekerja dengan baik. Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Peluang bahwa pesawat dengan 4 mesin akan terbang dengan sukses adalah P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) 4 2 4 3 4 4 2 = p (1 − p) + p (1 − p) + p (1 − p)0 2 3 4 = 6p 2 (1 − p)2 + 4p 3 (1 − p) + p 4 Peluang bahwa pesawat dengan 2 mesin akan terbang dengan sukses adalah P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) 2 2 2 = p(1 − p) + p (1 − p)0 1 2 = 2p(1 − p) + p 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Maka, peluang pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin adalah 6p 2 (1 − p)2 + 4p 3 (1 − p) + p 4 ≥ 2p(1 − p) + p 2 6p(1 − p)2 + 4p 2 (1 − p) + p 3 ≥ 2 − p 3p 3 − 8p 2 + 7p − 2 ≥ 0 (p − 1)2 (3p − 2) ≥ 0 2 p≥ 3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Distribusi Geometrik
Misalkan percobaan-percobaan yang saling bebas, masing-masing memiliki peluang sukses p, dilakukan hingga diperoleh sukses pertama. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mencapai sukses pertama, maka X dikatakan sebagai peubah acak Geometrik dengan parameter p dan fungsi peluangnya P(X = n) = (1 − p)n−1 p, n = 1, 2, . . .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Sebuah koin dilemparkan dengan peluang muncul sisi muka sebesar p, sampai muka pertama muncul. Misalkan N menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan, asumsikan bahwa masing-masing pelemparan yang sukses saling bebas. Tentukan P(N)!
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
N merupakan p.a yang menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan sehingga muncul sisi muka yang pertama. Maka P(N = 1) = P(M) = p, P(N = 2) = P(B, M) = (1 − p)p, P(N = 3) = P(B, B, M) = (1 − p)2 p, .. . P(N = n) = P(B, B, . . . , B, M) = (1 − p)n−1 p, n ≥ 1 Note: muncul B sebanyak n − 1 kali
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Distribusi Poisson
Sebuah peubah acak X yang bernilai 0, 1, 2, . . . dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter λ, jika untuk λ > 0, P(X = x) = e −λ
λx , x = 0, 1, 2, . . . x!
Distribusi Poisson menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu selang waktu atau area tertentu.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
Misalkan banyaknya kesalahan penulisan dalam sebuah halaman dari suatu buku berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 1. Hitung peluang bahwa terdapat setidaknya satu kesalahan pada halaman 5!
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − e −1 ≡ 0.633
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Peubah Acak Kontinu
X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatif f (x), terdefinisi untuk semua bilangan real x ∈ (−∞, ∞) sehingga Zx FX (x) =
fX (t)dt −∞
atau fX (x) =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
d FX (x) dx
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Distribusi Uniform
Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi Uniform sepanjang interval (a, b) jika fungsi peluangnya diberikan ( 1 , a<x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Jika X ∼ U(−1, 1). Tentukan P |X | >
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
1 2
!
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
fX (x) =
Peubah Acak Kontinu
1 1 = , −1 < x < 1 1 − (−1) 2
Maka
1 P |X | > 2
1 1 =P X <− +P X > 2 2 −1/2 Z
=
1 dx + 2
−1
=
1 x 2
Z1
1 dx 2
1/2
−1/2
+
−1
1 x 2
1 1/2
1 1 1 1 1 =− + + − = 4 2 2 4 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Distribusi Eksponensial
Sebuah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi peluang sebagai berikut, untuk suatu λ > 0, ( λe −λx , jika x ≥ 0 fX (x) = . 0, jika x < 0 disebut sebagai peubah acak Eksponensial dengan parameter λ.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bank berdistribusi Eksponensial dengan mean 10. Berapa peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
P(X > 15) = 1 − P(X ≤ 15) = 1 − (1 − e −15λ ) 1 3 = e −15( 10 ) = e − 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Distribusi Gamma
Sebuah peubah acak kontinu X dengan fungsi peluang fX (x) =
1 −x x α−1 e β , x ≥ 0 α Γ(α)β
untuk suatu β > 0, α > 0 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter (α, β)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Definisi fungsi Gamma: Z∞ Γ(α) =
e −x x α−1 dx
0
Note: Γ(n) = (n − 1)! Γ(n + 1) = nΓ(n), n > 0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Apa yang dapat kita katakan tentang disribusi Gamma jika α = 1?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Misalkan X ∼ Gamma(α = 1, β) maka 1 −x x 1−1 e β 1 Γ(1) β 1 −x = e β β
f (x) =
Maka X ∼ Eksp λ = β1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Distribusi Normal
X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang X diberikan 1 x−µ 2 1 fX (x) = √ e − 2 ( σ ) , ∞ < x < ∞ σ 2π
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
Jumlah (dalam ons) sereal MILO berdistribusi Normal dengan mean 16.5 dan standar deviasi σ. Jika si pengemas MILO disyaratkan harus mengisi minimal 90 % kotak sereal MILO dengan 16 ons atau lebih, berapa nilai maksimal dari σ?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Peubah Acak
Peubah Acak Kontinu
X ∼ N(16.5, σ 2 ) P(X ≥ 16) ≥ 0.9 16 − 16.5 16 − 16.5 P Z≥ =1−P Z ≤ ≥ 0.9 σ σ −0.5 ≤ 0.1 P Z≤ σ −0.5 Z≤ ≤ −1.28 σ σ ≤ 0.390625
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Parameter Distribusi
Ekspektasi
Ekspektasi
Distribusi Kontinu
Z∞ E (X ) =
x fX (x)dx −∞
Distribusi Diskrit E (X ) =
X
x i pi
i
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Parameter Distribusi
Ekspektasi
Karakteristik ekspektasi: R∞ g (x)f (x) (untuk distribusi kontinu) E (g (X )) = −∞
E (cX ) = cE (X ), c konstan E (aX + b) = aE (X ) + b E (X1 + X2 + . . . + Xn ) = E (X1 ) + E (X2 ) + . . . + E (Xn ) E (X · Y ) = E (X ) · E (Y ), hanya jika X dan Y saling bebas
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Parameter Distribusi
Ekspektasi
Misalkan X menyatakan lama (jam) mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik dan fungsi peluang X adalah sebagai berikut: ( x − 2, 2 ≤ x < 3 f (x) = 1 4<x <6 4, Berapa rata-rata lama waktu mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Parameter Distribusi
Ekspektasi
Z∞ E (X ) =
x f (x) dx −∞
Z2 = −∞
=
x (x − 2) dx +
x (0)dx +
Z4
Z3
1 3 x − x2 3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
+
2
x (0)dx + 3
2
3
Z6
1 2 x 8
6 = 4
x
1 dx 4
4
25 6
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Parameter Distribusi
Variansi
Variansi
Variansi: ¯ )2 ] = E (X 2 ) − [E (X )]2 Var (X ) = E [(X − X Karakteristik variansi: Var (cX ) = c 2 Var (X ), c konstan n P Cov [Xi , Xj ] Var (X1 + X2 + . . . + Xn ) = i,j=1
Var (X1 + X2 + . . . + Xn ) = Var (X1 ) + Var (X2 ) + . . . + Var (Xn ), hanya jika Xi saling bebas
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Parameter Distribusi
Kovariansi
Kovariansi
Kovariansi: ¯ )(Y − Y¯ )] = E (XY ) − E (X )E (Y ) Cov (X , Y ) = E [(X − X Karakteristik kovariansi: Cov (X , X ) = Var (X ) Cov (X , Y ) = 0, jika X dan Y saling bebas Cov (X , Y ) = Cov (Y , X ) Cov (X + Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
Diskusi
1. Diketahui
1 2x, 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = 34 , 2 < x < 3 0, x yang lain
.
Tentukan: a. P X > 14 b. Tentukan F (x)
2. Diketahui fungsi peluang: f (x) = c(4x − 2x 2 ), 0 < x < 2 Hitung E (X ) pada P 12 < X < 23 .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
3. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesan tiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
4. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 100% biaya kesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahui total tagihan kesehatan X /th memiliki fungsi peluang: fX (x) =
x(4 − x) ,0 < x < 3 9
Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y ! Tentukan ekspektasi dari Y !
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
Penyelesaian 1. Pertama, cek apakah fungsi tsb merupakan fungsi peluang 3 Z3 Z1/2 2 1/2 3 3 dx = x 0 + x 2x dx + 4 4 2 2
0
=
a. Nilai P X >
1 4
1 9 6 + − =1 4 4 4
adalah
1 P X > 4
1 =1−P X ≤ 4
Z1/4 =1− 2x dx 0
1/4 1 15 = 1 − x2 0 = 1 − = 16 16 Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
b. F (x) nya adalah Untuk x < 0 dan 0 ≤ x ≤
1 2
Zx F (x) =
Z0 f (t)dt =
−∞
Untuk
1 2
Zx 0 dt +
−∞
2t dt = x 2
0
<x <2 Z0 F (x) = −∞
Z1/2 Zx 2t dt + 0 dt 0 dt + 0
1/2
1/2 1 = 0 + x2 0 + 0 = 4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
Untuk 2 ≤ x ≤ 3 Z0 F (x) =
Z1/2 Z2 Zx 3 dt 0 dt + 2t dt + 0 dt + 4
−∞
0
2
1/2 x
1/2 3 = 0 + t2 0 + 0 + t 4
= 2
1 3 3 3 5 + x− = x− 4 4 2 4 4
Untuk x > 3 Z0 F (x) = −∞
Z1/2 Z2 Z3 Zx 3 0 dt + 2t dt + 0 dt + dt + 0 dt 4 0
1/2 3 = 0 + x2 0 + 0 + t 4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
2
1/2
3 +0= 2
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
3
1 9 3 + − =1 4 4 2
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
1 2 x , 0 ≤ x ≤ 2 1, 1 < x < 2 Jadi, F (x) = 43 2 5 4x − 4, 2 ≤ x ≤ 3 1, x > 3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
2. Pertama, tentukan c berdasarkan sifat
R
f (x) dx = 1
x
Z2
2 c(4x − 2x )dx = 2cx − cx 3 3 2
2
0
8c −
2 =1 0
16 c=1 3 8 c=1 3 3 c= 8
Jadi, kita mempunyai f (x) = 38 (4x − 2x 2 ) = 23 x − 34 x 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
Z3/2 Z3/2 3 3 2 3 2 3 3 E (X ) = x x − x dx = x − x dx 2 4 2 4 1/2
=
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
1/2
1 3 3 x − x4 2 16
3/2 = 1/2
11 16
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
3. Misalkan X merupakan peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang (peluang sukses), maka X ∼ B(52, 0.05) Banyaknya yang tidak datang adalah 5%x52 = 2.6 sehingga peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang adalah jika paling sedikit ada 2 orang yang tidak datang yaitu P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] 52 52 0 52 =1− (0.05) (0.95) − (0.05)1 (0.95)51 0 1 = 0.74
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Diskusi
Diskusi
4. Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, maka nilai yang mungkin untuk Y adalah Y = min{X , 1} dan ekspektasi Y adalah Z3
Z1
1.fX (x) dx
x fX (x) dx +
E (Y ) =
1
0
Z1 =
x(4 − x) x dx + 9
0
Z3 1.
x(4 − x) dx 9
1
.. . =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
101 108 611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55
Pustaka
Pustaka
Pustaka
Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 55