Teori Antrian Model-model Antrian
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik Bab 7: Teori Antrian Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Pendahuluan
Pendahuluan
Beberapa contoh antrian: 1
Nasabah bank menunggu pelayanan di teller atau customer service
2
Pelanggan menunggu layanan pembayaran di kasih
3
Pembeli menunggu giliran membeli tiket kereta di loket kereta api
4
Mahasiswa menunggu registrasi dan pembayaran uang semester
5
Pengendara menunggu pengisian bahan bakar
6
dll
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Pendahuluan
Struktur Model Antrian
Di dalam model antrian, secara umum terdapat tiga komponen dalam sistem antrian, yaitu 1
Kedatangan pelanggan (pelanggan masuk ke dalam sistem)
2
Garis tunggu (sering disebut antrian/queue)
3
Fasilitas pelayanan (service fasility )
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Pendahuluan
Figure: Struktur Sistem Antrian
Sumber: Materi Kuliah Model Antrian, Rosihan Asmara UB
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Pendahuluan
Desain Sistem Antrian
SINGLE CHANNEL, SINGLE PHASE
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Pendahuluan
SINGLE CHANNEL, MULTIPHASE
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Pendahuluan
MULTICHANNEL, SINGLE PHASE
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Pendahuluan
MULTICHANNEL, MULTIPHASE
Sumber: Bab 10 Teori Antrian (KODE MK/STEKPI/BAB 10)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Pendahuluan
Notasi-notasi dalam Sistem Antrian
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Pendahuluan
Perhitungan untuk beberapa notasi LS =
∞ X
n Pn
n=0
WS =
LS λ
WQ = WS − E (S) = WS −
1 µ
LQ = λ WQ
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
Single-Server Exponential Queueing System
Misalkan pelanggan datang pada suatu stasiun layanan dengan server tunggal berdasarkan proses Poisson dengan laju λ. Waktu layanan server tersebut berdistribusi eksponensial dengan laju µ. Sistem seperti ini dinamakan dengan sistem antrian server tunggal atau biasa dinotasikan dengan sistem antrian M/M/1.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Keadaan 0 n, n ≥ 1
Laju Saat Proses Meninggalkan Sistem λP0 (λ + µ)Pn
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
= = =
Laju Saat Proses Masuk ke dalam Sistem µP1 λPn−1 + µPn+1
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, maka kita dapat menuliskannya sebagai λ P0 µ λ λ = Pn + Pn − Pn−1 , n ≥ 1 µ µ
P1 = Pn+1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
Kemudian substitusikan dalam bentuk P0 , maka diperoleh P1 =
λ P0 µ
2 λ λ λ λ P1 + P1 − P0 = P1 = P0 µ µ µ µ 3 λ λ λ λ P3 = P2 + P2 − P1 = P2 = P0 µ µ µ µ .. . n+1 λ λ λ λ Pn+1 = Pn + Pn − Pn−1 = Pn = P0 µ µ µ µ P2 =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
Untuk menentukan P0 kita gunakan fakta bahwa penjumlahan seluruh Pn bernilai 1, maka 1=
∞ X n=0
Pn =
∞ n+1 X λ n=0
µ
P0 =
P0 1 − µλ
λ P0 = 1 − µ n λ λ Pn = 1− , n≥1 µ µ
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
1. Rata-rata banyaknya pelanggan di dalam sistem adalah LS = =
∞ X n=0 ∞ X n=0
=
n Pn n λ λ n 1− µ µ
λ µ−λ
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
2. Rata-rata lamanya waktu yang dihabiskan seorang pelanggan di dalam sistem adalah WS =
1 LS = λ µ−λ
3. Rata-rata lamanya waktu yang dihabiskan seorang pelanggan menunggu di dalam antrian adalah WQ = WS −
1 λ = µ µ(µ − λ)
4. Rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu di dalam antrian adalah λ2 LQ = λWQ = µ(µ − λ)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
M/M/s Queueing System
Misalkan sebuah sistem dengan s server di mana pelanggan datang berdasarkan proses Poisson dengan laju λ. Seorang pelanggan masuk ke dalam fasilitas pelayanan jika salah satu dari s server sedang kosong. Jika keseluruhan s server kosong, maka pelanggan yang datang masuk ke dalam antrian. Ketika sebuah fasilitas pelayanan selesai melayani pelanggan, maka pelanggan keluar dari sistem dan jika terdapat pelanggan yang berada dalam antrian, maka pelanggan yang telah menunggu paling lama akan dilayani oleh server tersebut.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
Laju kedatangan, λn = λ, n ≥ 1 Laju layanan ( nµ, 0 < n < s µn = sµ, n ≥ s
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Keadaan 0 n, 0 < n ≤ s n>s
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
Laju Saat Proses Meninggalkan Sistem λP0 (λ + nµ)Pn (λ + sµ)Pn
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
= = = =
Laju Saat Proses Masuk ke dalam Sistem µP1 λPn−1 + (n + 1)µPn+1 λPn−1 + sµPn
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
Berdasarkan proses kelahiran kematian, kita memiliki persamaan kesetimbangan λn Pn = µn+1 Pn+1 , n = 0, 1, 2, . . . Selanjutnya kita peroleh bentuk rekursif Pn+1 =
λn Pn µn+1
Berdasarkan persamaan rekursif di atas, kita bisa menuliskan semua peluang keadaan dalam bentuk P0 yaitu n−1 Y λi λn−1 λn−2 . . . λ0 Pn = P0 = P0 µn µn−1 . . . µ1 µi+1 i=0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Ingat!
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
∞ P
Peluang keadaan memiliki sifat
Pn = 1. Dengan menggunakan
n=0
sifat tersebut, kita peroleh ∞ X
∞ n−1 X Y λi Pn = P0 + P0 µ n=0 n=1 i=0 i+1 " # ∞ n−1 X Y λi 1 = P0 1 + µi+1 n=1 i=0
1
P0 = 1+
∞ n−1 P Q
1+
n=1 i=0 n−1 Q λi µi+1 i=0 ∞ n−1 P Q
Pn =
n=1 i=0 Atina Ahdika, S.Si, M.Si
λi µi+1
λi µi+1
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
Untuk sistem antrian M/M/s n n−1 µλ Y λi n! , jika n ≤ s = µi+1 λn , jika n > s i=0 µn s! s n−s
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
Jadi, 1
P0 = 1+
s P n=1
n λ µ
n!
+
∞ P
n=s+1
λ sµ
n
ss
s!
n λ µ
, jika n ≤ s n! n λ ss sµ Pn = P0 , jika n > s s! Pn = P0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
A Shoe Shine Shop
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Teori Antrian Model-model Antrian
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Single-Server Exponential Queueing System M/M/s Queueing System
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik