PENGANTAR GRUP
Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:
[email protected] March 18, 2013
1
Daftar Isi 1 Tujuan
3
2 Pengantar Grup
3
3 Sifat-sifat Grup
6
4 Grup Permutasi
7
5 Grup Siklis
7
6 Latihan
8
2
1
Tujuan
Setelah membaca materi ini diharapkan mahasiswa mampu: • menuliskan definisi grup, • menjelaskan pengertian grup, • memberikan contoh grup, • membuktikan sebuah struktur aljabar merupakan grup atau tidak, • membuktikan sifat-sifat di grup, ketunggalan identitas, ketunggalan invers, • menjelaskan pengertian grup permutasi, • memberikan contoh grup permutasi, • menjelaskan pengertian grup siklis, • memberikan contoh grup siklis, • membuktikan sifat-sifat berkaitan dengan grup siklis.
2
Pengantar Grup
Pada kajian terdahulu sudah dikaji mengenai operasi biner pada suatu himpunan. Operasi biner tersebut ada yang memenuhi sifat asosiatif, komutatif namun juga terkadang tidak. Begitu juga dengan himpunannya dengan operasi yang dimilikinya ada yang memiliki unsur identitas terkadang juga tidak. Unsur-unsur pada himpunannya ada yang memiliki invers ada yang juga yang tidak. Definisi 1. Misal G himpunan yang dilengkapi operasi biner ∗. Struktur matematika (G, ∗) disebut grup jika berlakuk sifat-sifat berikut ini. 1. Operasi binernya berlaku sifat asosiatif. 2. Himpunan G dengan operasi biner ∗ memiliki unsur identitas. 3. Dengan operasi biner ∗, setiap unsur di G memiliki invers. Perhatikan secara seksama pada Definisi 1 di atas. Sepintas bahwa persyaratan sebuah grup hanya tiga syarat, padahal untuk membuktikan sebuah himpunan merupakan grup atau tidak harus sudah dipastikan bahwa himpunan tersebut telah dilengkapi operasi biner. Artinya setiap dua unsur di G bila dikenai operasinya akan menghasilkan unsur di G juga. Sifat semacam ini dinamakan sifat tertutup. Oleh karena itu beberapa buku menuliskan persyaratan grup ada empat yaitu: 3
1. Tertutup 2. Asosiatif 3. Adanya unsur identitas. 4. Setiap unsur memiliki invers. Sifat tertutup pada prinsipnya sudah terpenuhi ketika di G sudah dilengkapi dengan operasi biner. Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan secara seksama contohcontoh yang sudah dikenal dengan baik berikut ini. Contoh 1. Struktur (Z, +) merupakan grup. Penjumlahan bilangan bulat merupakan bilangan bulat, hal ini mengatakan bahwa + merupakan operasi biner di Z. Sudah ditunjukkan bahwa penjumlahan bilangan bulat berlaku sifat asosiatif. Terhadap operasi penjumlahan, himpunan bilangan bulat memiliki unsur identitas yaitu 0. Setiap unsur a ∈ Z maka terdapat inversnya yaitu −a ∈ Z. Contoh 2. Struktur (Z, ∗) , dengan a ∗ b = a + b − 2 untuk a, b di Z, merupakan grup. Untuk melihat bahwa struktur pada Contoh 2 tersebut merupakan grup terlebih dahulu harus dicek apakah operasi ∗ merupakan operasi biner. Setelah itu dilanjutkan dengan mengecek apakah ketiga syarat grup terpenuhi apa tidak. Secara rinci hal tersebut dilakukan dalam langkah-lagkah berikut ini. 0. Sudah diketahui bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan bersifat tertutup di Z. Dengan demikian a ∗ b = a + b − 2 ∈ Z untuk setiap a, b di Z. Jadi ∗ merupakan operasi biner. i. Sifat asosiatif. Misal a, b, c di Z, (a∗b)∗c = (a+b−2)∗c = a+b−2+c−2 = a+b+c−4 dan a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c − 2) = a + b + c − 2 − 2 = a + b + c − 4. Dari sini terlihat bahwa (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). ii. Adanya unsur identitas. Unsur identitas dari Z dengan operasi biner tersebut adalah 2, karena a ∗ 2 = 2 ∗ a = a. iii. Setiap unsur punya invers. Misal a ∈ Z dan pilih b = −a + 4 ∈ Z. Dengan mudah dicek bahwa a ∗ b = b ∗ a = 2 dan dapat disimpulkan bahwa b = −a + 4 merupakan invers dari a. Jadi sebarang unsur di Z memiliki invers terhadap operasi ∗. Empat langkah di atas menunjukkan bahwa struktur (Z, ∗) merupakan operasi grup. Contoh 3. Diberikan himpunan X = {a, b, c}. Apakah struktur (2X , ∪) merupakan grup?
4
Dimisalkan A = {a}, B = {b}, C = {c}, D = {a, b}, E = {a, c}, F = {b, c}. Dengan demikian himpunan kuasa dari X dapat dituliskan sebagai 2X = {∅, A, B, C, D, E, F, X}. Dengan membuat tabel operasi gabungan dapat ditunjukkan bahwa ∪ merupakan operasi biner. Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa (2X , ∪) merupakan grup atau bukan harus ditunjukkan memenuhi ketiga syarat grup atau bukan. Sifat asosiatif jelas terpenuhi pada semua himpunan. Unsur identitas pada operasi gabungan adalah ∅ karena ∅ ∪ Y = Y ∪ ∅ = Y . Selanjutnya harus dicek apakah unsur-unsur di X memiliki invers, artinya untuk A ∈ 2X apakah ada unsur di 2A bila digabung dengan A menghasilkan himpunan kosong, yaitu siapa Y sehingga A ∪ Y = Y ∪ A = ∅. Kalau sudah dibuat tabel tentunya hal ini tidak ada Y semacam itu. Jadi struktur (2X , ∪) bukan merupakan grup. Definisi 2. Misal (G, ∗) sebuah grup. Grup tersebut dikatakan grup komutatif (grup abelian) jika operasi ∗ bersifat komutatif yaitu berlaku a ∗ b = b ∗ a untuk setiap a, b di G. Contoh 1 merupakan grup komutatif yang sudah dikenal dengan baik. Untuk Contoh 2 dapat dilihat bahwa a ∗ b = a + b − 2 = b + a − 2 = b ∗ a. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa grup pada Contoh 2 merupakan grup komutatif. Contoh 4. Diberikan himpunan A = {a, b, c, d}. Di himpunan tersebut didefinisikan operasi seperti ditunjukkan pada tabel berikut ini.
a
b
c
d
a a b c b b c d c c d a d d a b
d a b c
Tabel 1. Definisi operasi . Dari tabel tersebut dapat diamati bahwa (A, ) merupakan grup komutatif. Order suatu grup G dinotasikan dengan |G| merupakan banyaknya unsur di G. Jika |G| < ∞ maka G dikatakan grup berhingga selain itu dikatakan grup takhingga. Contoh 1 dan Contoh 2 merupakan contoh grup takhingga sedangkan Contoh 4 merupakan grup berhingga dengan order grupnya adalah 4. Definisi 3. Misal (G, ∗) sebuah grup dan a ∈ G. Untuk n ∈ Z, didefinisikan pangkat dari a | ∗ a ∗{z· · · ∗ a} jika n > 0 n a yaitu an sebagai berikut. an = i jika n = 0 (a−1 )−n jika n < 0. dengan i unsur identitas di G dan a−1 adalah invers dari a. Contoh 5. Perhatikan Contoh 2, ambil 3 ∈ Z. Identitas dari grup tersebut adalah 2 sehingga 30 = 2. Untuk 34 = 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 dan 3−4 = 14 . 5
3
Sifat-sifat Grup
Perhatikan kembali grup (Z, +), apakah ada bilangan selain 0 yang menjadi identitas? Hal yang sama untuk grup pada Contoh 2, apakah ada bilangan selain 2 yang menjadi unsur identitas? Tentunya kedua pertanyaan di atas mempunyai jawaban yang sama yaitu tidak. Pada sub bab ini akan dikaji beberapa sifat-sifat yang berkaitan dengan grup. Teorema 1. Misal (G, ∗) sebuah grup. Unsur identitas di adalah tunggal. Bukti. Andaikan unsur identitas di G tidak tunggal yaitu ada i1 dan i2 unsur identitas dan i1 6= i2 . Karena i1 unsur identias maka i1 ∗ i2 = i2 . Demikian juga karena i2 unsur identitas maka i1 ∗ i2 = i1 . Dua persamaan tersebut menghasilkan i1 = i2 dan hal ini bertentangan dengan pengandaian i1 6= i2 . Jadi haruslah unsur identitas di G adalah tunggal. Selain unsur identitas yang tunggal, invers suatu unsur juga bersifat tunggal. Hal ini dituangkan dalam teorema berikut ini. Teorema 2. Misal (G, ∗) suatu grup dan a ∈ G. Invers dari a adalah tunggal. Bukti. Andaikan invers dari a tidak tunggal yaitu b dan c invers dari a dan b 6= c. Misalkan i adalah unsur identitas di G, selanjutnya perhatikan persamaan berikut ini: b = b ∗ i = b ∗ (a ∗ c) = (b ∗ a) ∗ c = i ∗ c = c . Hal ini bertentangan dengan pengandaian b 6= c. Jai haruslah invers suatu unsur adalah tunggal. Hukum penghapusan (cancelation) juga berlaku dalam grup dan dituangkan dalam teorema berikut ini. Teorema 3. Misal (G, ∗) suatu grup dan a, b, c unssur-unsur di G. a. Jika a ∗ b = a ∗ c maka b = c. b. Jika b ∗ a = c ∗ a maka b = c. Bukti. Berikut bukti bagian a saja sedangkan b dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Diketahui a ∗ b = a ∗ c, dengan mengalikan kedua ruas dengan invers dari a yaitu a−1 disebelah kiri maka diperoleh a−1 ∗ a ∗ b = a−1 ∗ a ∗ c atau b = c.
6
4
Grup Permutasi
Misal A himpunan yang tidak kosong. Himpunan semua fungsi bijektif dari A ke A dinamakan permutasi. Dalam khusus jika A himpunan berhingga dengan n buah unsur maka himpunan semua permutasi di A dinotasikan dengan Sn . Diambil contoh A = {1, 2, 3, } himpunan semua permutasi dari A ke A dinotasikan dengan S3 . Unsur-unsur dari S3 seperti ditunjukkan sebagai berikut. !
α=
1 2 3 1 2 3
!
δ=
1 2 3 1 3 2
= (1)
!
β=
1 2 3 2 3 1
!
=
1 2 3 3 2 1
= (23)
!
γ=
1 2 3 3 1 2
!
θ=
1 2 3 2 1 3
= (123) = (13)
= (132) = (12)
Dengan demikian S3 = {α, β, γ, δ, , θ}. Himpunan tersebut dengan operasi komposisi membentuk struktur (S3 , ◦) merupakan sebuah grup. Lengkapi tabel berikut ini untuk melihat bahwa struktur (S3 , ◦) merupakan sebuah grup. ◦
α
β
γ
δ
θ
α β γ δ θ
α β γ δ θ
β γ ...... ...... ...... ......
γ ....... ....... ....... ....... .......
δ ...... ...... ...... ...... ......
...... ...... ...... ...... ......
θ ...... ...... ...... ...... ......
Tabel 2. Komposisi permutasi di S3 .
5
Grup Siklis
Ambil 3 ∈ Z. Dengan operasi penjumlahan bilangan bulat maka dapat ditunjukkan bahwa struktur (3Z, +) merupakan sebuah grup. Sesuai dengan definisi dari 3Z bahwa semua unsur di himpunan tersebut merupakan kelipatan 3. Dalam kasus ini bilangan 3 dinamakan pembangkit grup 3Z dan grup ini dinotasikan dengan h3i. Definisi 4. Misalkan (G, ∗) sebuah grup. Jika terdapat a ∈ G sehingga G = hai = {an |n ∈ Z} maka G disebut sebagai grup siklis dengan pembangkit a. Contoh 6. Diberikan himpunan G = {1, −1, i, −i} dengan i2 = −1. Dengan mudah ditunjukkan bahwa (G, ×) merupakan grup dan G = hii.
7
6
Latihan
Kerjakan semua soal di bawah ini sebagai sarana penguatan konsep grup. 1. Selidiki apakah strukur berikut merupakan grup atau bukan. Jika grup jelaskan dan jika bukan jelaskan apa penyebab bukan grupnya. a. Struktur (4Z, +). b. Struktur (Z, −). c. Struktur (G, ×) dengan G = {1, −1, i, −i} serta i2 = −1. 2. Tuliskan secara lengkap bahwa struktur (S3 , ◦) merupakan sebuah grup. 3. Presentasikan pemahaman Anda tentang materi grup ini di masing-masing kelompok.
8
