PENERAPAN FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENENTUAN INVESTASI BANK

PENERAPAN FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENENTUAN INVESTASI BANK Nurul Khotimah*), Farida Hanum, Toni Bakhtiar Departemen Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680 *) [email protected] ABSTRAK Investasi merupakan salah satu upaya untuk memperoleh keuntungan. Pengalokasian dana untuk investasi ke dalam banyak produk investasi yang tidak cermat dapat menimbulkan kerugian. Ada banyak produk investasi, baik yang berisiko maupun yang tidak berisiko. Pada umunya, investasi berisiko menawarkan keuntungan yang lebih besar dibandingkan dengan investasi yang tidak berisiko. Dalam penelitian ini, penentuan investasi dana Bank AXN diselesaikan dengan bantuan metode preemptive goal programming, kemudian ditentukan solusi optimalnya dengan metode fuzzy goal programming. Dalam contoh impementasi diperoleh jenis-jenis investasi yang harus dipilih berikut nilai toleransinya yang memaksimumkan keuntungan.

Katakunci:investasi dana bank, fuzzy goal programming, preemptive goal programming

1 PENDAHULUAN Bank memiliki peranan penting untuk keberlangsungan perekonomian di suatu Negara.Bank tidak hanya sebagai lembaga penghimpun dan penyedia dana saja, akan tetapi juga sebagai perantara keuangan masyarakat. Pada dasarnya, aktivitas utama manajemen bank ialah mengelola dana, baik mengatur dana yang masuk dari masyarakat dalam bentuk giro, deposito, dan tabungan maupun menyalurkannya dalam berbagai bentuk produk investasi. Keberhasilan dalam mengelola dana tersebut merupakan salah satu kunci sukses bagi manajemen bank dalam mengelola sebuah bank. Manajemen dana berkaitan dengan masalah mengoptimalkan dana yang dihimpun dan mengalokasikan dana tersebut untuk mencapai tingkat profitabilitas yang tinggi dengan tetap menjaga agar posisi likuiditas tetap aman sehingga kepercayaan masyarakat terhadap bank tetap terjaga. Oleh karena itu, manajemen bank tidak terlepas dari permasalahan bagaimana memaksimumkan profit, meminimumkan aset berisiko, dan meminimumkan kecukupan modal.

Prosiding Seminar Nasional Sains V; Bogor, 10 November 2012

283

2 GOAL PROGRAMMING Goal programming adalah salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan tujuan lebih dari satu (multiobjektif). Model ini merupakan perluasan dari model pemrograman linear. Model goal programming memiliki sepasang variabel deviasi݆݀െ dan ݆݀൅ yang taknegatif. Variabel ݆݀െ menampung deviasi yang berada di bawah sasaran ke-j sedangkan variabel ݆݀൅merupakan nilai deviasi yang berada di atas sasaran ke-j. Variabelvariabel deviasi ini harus diminimumkan. Suatu tujuan ke-j dianggap berhasil bila variabel deviasi pada fungsi objektif tujuan ke-݆ bernilai 0[1]. 2.1 Preemptive Goal Programming Preemptive goal programming adalah masalah goal programming dengan urutan prioritas peminimuman variabel deviasi. Untuk mengaplikasikan model ini, harus ditentukan peringkat tujuan mulai dari yang paling penting hingga tujuan yang tidak terlalu penting. Dalam [2], preemptive goal programming diselesaikan dengan aturan sebagai berikut: 1 prioritas tujuan ditentukan berdasarkan pada tingkat kepentingan tujuan; tujuan yang menjadi prioritas pertama akan diselesaikan terlebih dahulu, dan seterusnya 2 setelah tujuan pertama terpenuhi, maka fungsi tujuan pada prioritas pertama menjadi kendala tambahan pada prioritas kedua, begitu seterusnya sampai prioritas ke-݊, 3 jika tujuan pada prioritas pertama adalah meminimumkan, maka fungsi tujuan pada prioritas pertama akan menjadi kendala tambahan pada prioritas kedua dengan tanda pertaksamaan ൑ǡ sedangkan jika tujuan pada prioritas pertama adalah memaksimumkan, maka fungsi tujuan pada prioritas pertama akan menjadi kendala tambahan pada prioritas kedua dengan tanda pertaksamaan ≥ begitu seterusnya sampai prioritas ke-n, 4 jika tidak diperoleh solusi fisibel pada prioritas ke-n, maka solusi optimal yang digunakan adalah solusi yang diperoleh pada prioritas ke-(n1). . 2.2 Fuzzy Linear Goal Programming Teori logika fuzzy merupakan perluasan dari teori himpunan tegas (crisp) yang menggunakan derajat keanggotaan {0, 1} menjadi selang [0, 1]. Jika X adalah koleksi dari objek-objek yang dinotasikan dengan x, maka suatu himpunan fuzzy ÃdalamXadalah suatu himpunan pasangan berurutan ‫ܣ‬ሚ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ǡ ߤ‫ܣ‬෨ ሺ‫ݔ‬ሻሻȁ‫ܺ א ݔ‬ሽdengan P A ( x) : X o >0,1@ adalah fungsi

284


keanggotaan dari suatu himpunan fuzzyÃyang memetakan X ke ruang keanggotaan yang terletak pada selang [0,1]. Nilai fungsi P A ( x) menyatakan derajat keanggotaan atau nilai keanggotaan dari x di himpunan Ã[3].Fungsi keanggotaan dalam himpunan fuzzy adalah suatu pemetaan dari suatu objek ke dalam derajat keanggotaannya yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Masalah fuzzy goal programming (FGP)adalah model goal programming dengan fungsi objektif dan fungsi kendala memiliki parameter dan pertaksamaan atau persamaan fuzzy. Parameter FGP memiliki derajat keanggotaan tertentu dalam selang [0, 1] dan dinyatakan dalam pertaksamaan fuzzy, yaitu (hampir lebih besar atau sama dengan), atau  (hampir lebih kecil atau sama dengan) atau persamaan fuzzy, yaitu ≅(hampir sama dengan).Model fuzzy goal programming dapat diformulasikan sebagai berikut: Tentukan X

x1 , x2 ,, xn

T

R n sehingga memenuhi fungsi tujuan ‫ذ‬ ܼ݇ ሺܺሻ ቂ ቃ ݃݇ ǡ ݇ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ‫ܭ‬ǡ ‫د‬

terhadapkendala ‫ذ‬ ‫ ܺܣ‬൥؆൩ ܾǡ ܾ ൌ ሺܾͳ ǡ ܾʹ ǡ ǥ ǡ ܾ݉ ሻܶ ‫݉ ܴ א‬ ‫د‬ denganX : vektor variabel keputusan, ݃݇ : ketidaktepatan level aspirasi (nilai ruas kanan) kek dari tujuan Zk ( X ), k

1, 2,, K , A : matriks koefisien berordo m u n, b : vektor nilai

‫ذ‬ ruas kanan kendala, ܼ݇ ሺܺሻ ቂ ቃ ݃݇ : tujuan fuzzy ke-k.Tanda merupakan bentuk fuzzy dari ‫د‬ tujuan dan kendala tipe ≤, tanda≳ merupakan bentuk fuzzy dari tujuan dan kendala tipe ≥ dan tanda ≅ merupakan bentuk fuzzy dari kendala tipe = (Gupta dan Bhattacharya 2010b). Fungsi tujuan maupun kendala yang fuzzy dapat dicirikan dengan fungsi keanggotaan masing-masing. Selanjutnya ditetapkan derajat tertinggi sebagai level aspirasi dari tujuan fuzzy. Fungsi tujuan fuzzy menggunakan level aspirasi yang bersifat tidak tepat. Model fuzzy ini perlu diubah ke dalam persamaan tegas (crips) dengan menyubstitusikan fungsi tersebut pada fungsi keanggotaan fuzzy linear. Jika pk mendefinisikan toleransi untuk tujuan fuzzy ke-k yaitu konstanta taknegatif yang dipilih secara subjektif dari ketidaktepatan nilai g k yang masih dapat diterima, maka


285

fungsi keanggotaan dari fungsi tujuan fuzzy Z k X , dinyatakan dengan P Z k X , dapat digunakan untuk mendefinisikan tujuan fuzzy Z k X sebagai berikut: x

Fungsi keanggotaan tujuan fuzzy ܼ݇ ሺܺሻ ‫ ݇݃ ذ‬, ݇ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ‫ܭ‬ǡ didefinisikan sebagai berikut:

P Zk X

x

0, °° Z ( X ) ( g p ) k k k , ® pk ° °¯1,

jika Z k ( X ) g k pk jika g k pk d Z k ( X ) g k jika g d Z k ( X ) d g k p k k

Fungsi keanggotaan tujuan fuzzyܼ݇ ሺܺሻ ‫ ݇݃ د‬ǡ ݇ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ‫ܭ‬ǡdidefinisikan sebagai berikut:

1, °° ( g p ) Z ( X ) k P Zk X ® k k , p k ° °¯0,

jika g k pk d Z k ( X ) d g k jika g k Z k ( X ) d g k pk jika Z k ( X ) ! g k pk

Jika ‫ ݅ݍ‬ሺ݅ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݉ሻ mendefinisikan toleransi untuk kendala fuzzy ke-i, yaitu konstanta taknegatif yang dipilih secara subjektif dari ketidaktepatan nilai ܾ݅ yang masih dapat diterima, maka fungsi keanggotaan dari kendala fuzzy ai x ( ai adalah baris ke-i dari matriksAX),

dinyatakan dengan P ai x

dapat digunakan untuk mendefinisikan kendala fuzzy ai x .

x Untuk kendala fuzzy ܽ݅ ሺܺሻ ‫ ܾ݅ ذ‬ǡ ݅ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ݉(ܾ݅ adalah baris ke-݅ dari vektor ܾ), fungsi keanggotaannya didefinisikan sebagai berikut:

0, °° a ( X ) (b q ) i i , P ai ( X ) ® i q i ° °¯1,

jika ai ( X ) bi qi jika bi qi d ai ( X ) bi jika bi d ai ( X ) d bi qi

x fungsi keanggotaankendala fuzzy ܽ݅ ሺܺሻ ‫ ܾ݅ د‬ǡ ݅ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ݉ǡ didefinisikan sebagai berikut:

P ai X

286

1, °° (b q ) a ( X ) i i i , ® q i ° °¯0,

jika b q d ai ( X ) d bi i i jika bi ai ( X ) d bi qi jika ai ( X ) ! bi qi


denganܾ݅ െ ‫ ݅ݍ‬dan ܾ݅ ൅ ‫ ݅ݍ‬masing-masing menunjukkan batas bawah toleransi dan batas atas toleransi untuk kendala fuzzy pertaksamaanܽ݅ ሺܺሻǤ x fungsi keanggotaan kendala fuzzy ܽ݅ ሺܺሻ ؆ ܾ݅ ǡ ݅ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ݉ǡ didefinisikan sebagai berikut:

P ai X

°0, ° a ( X ) (b q ) i i1 °i , qi1 ® °1, ° (b q ) a ( X ) ° i i2 i , qi 2 ¯

jika ai ( X ) bi qi1 atau ai ( X ) ! bi qi 2 jika bi qi1 d ai ( X ) bi jika ai ( X )

bi

jika bi ai ( X ) d bi qi 2

Pada metode fuzzy goal programming, derajat keanggotaan ߤሺܼ݇ ሺܺሻሻdarisuatu tujuan ke-k berada pada selang ሾͲǡ ͳሿǡ sehingga dengan menambahkan variabel deviasi ݀݇െ dan ݀݇൅ǡ fungsi keanggotaan dari tujuan fuzzy dapat direpresentasikan sebagai

ߤ൫ܼ݇ ሺܺሻ൯ ൅ ݀݇െ െ ݀݇൅ ൌ ͳǡ

untuk fungsi keanggotaan dari tujuan tipe ‫ ذ‬dan ‫ د‬dengan ݀݇െǡ ݀݇൅ ൒ Ͳǡ ݀݇൅ ή ݀݇െ ൌ Ͳǡ ݇ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ‫ܭ‬ǤVariabel ݀݇െ dan ݀݇൅ berturut-turut merupakan variabel deviasi yang berada di bawah

dan di atas dari derajat keanggotaan tujuan fuzzy ke-݇Ǥ Suatu tujuan ke-݇ dikatakan berhasil dicapai bila nilai variabel deviasi ݀݇െ dan ݀݇൅ kurang dari satu. Jika nilai variabel deviasi ݀݇െ ൐ ͳǡ maka akan mengakibatkan derajat keanggotaan ߤ൫ܼ݇ ሺܺሻ൯ ൏ ͲǤ Sedangkan jika ݀݇൅ ൐ ͳǡ maka akan mengakibatkan nilai fungsi objektif ܼ݇ ሺܺሻ

melebihi batas toleransi yang diberikan oleh pembuat keputusan. Semakin nilai variabel deviasi ݀݇െ dan ݀݇൅ dekat dengan 0, semakin besar tingkat keberhasilan tujuan ke-݇Ǥ Suatu kendala fuzzy ke-݅ memiliki derajat keanggotaan pada selang ሾͲǡ ͳሿǡ sehingga dengan menambahkan variabel deviasi ݀݅െ dan ݀݅൅ ǡ fungsi keanggotaan dari kendala tipe ‫ ذ‬dan ‫ د‬dapat direpresentasikan sebagai berikut: ߤ൫ܽ݅ ሺܺሻ൯ ൅ ݀݅െ െ ݀݅൅ ൌ ͳ, ݀݅െ ǡ ݀݅൅ ൒ Ͳǡ ݀݅൅ ‫݅݀ ڄ‬െ ൌ Ͳǡ ݅ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݉Ǥ ݀݅െ dan݀݅൅ merupakan variabel deviasi yang berada di bawah dan di atas dari derajat

keanggotaan kendala fuzzy ke-݅. Suatu kendala ke-݅ dikatakan berhasil dicapai bila nilai variabel deviasi ݀݅െ dan ݀݅൅ kurang dari satu. Jika nilai variabel deviasi ݀݅െ ൐ ͳǡ maka akan mengakibatkan derajat keanggotaan ߤ൫ܽ݅ ሺܺሻ൯ ൏ ͲǤ Sedangkan jika ݀݅൅ ൐ ͳǡ maka akan mengakibatkan nilai fungsi objektif ܽ݅ ሺܺሻ melebihi batas toleransi yang diberikan oleh pembuat keputusan. Semakin nilai variabel deviasi ݀݅െ dan ݀݅൅ dekat dengan 0, semakin besar


287

tingkat keberhasilan kendala ke-݅ǤFungsi keanggotaan untuk kendala fuzzy persamaan merupakan gabungan dari fungsikeanggotaan untuk kendala fuzzy pertaksamaan ሺ‫ ذ‬dan ‫د‬ሻǤ Selanjutnya akan digunakan metode min sum fuzzy goal programming, yaitu suatu metode fuzzy goal programming yang menggunakan fungsi keanggotaan dari fungsi objektif dan fungsi kendala yang dianggap sebagai kendala fuzzy dengan menetapkan derajat tertinggi dari level aspirasi. Metode ini akan meminimumkan variabel deviasi yang berada di bawah tujuan dan kendala fuzzy (lihat [2]). Menurut Gupta dan Bhattacharya metode min sumfuzzy goal programmingdengan kendala fuzzy dapat diformulasikan sebagai berikut: K

Tentukan ܺ ൌ ሺ‫ ͳݔ‬ǡ ‫ ʹݔ‬ǡ ǥ ǡ ‫ ݊ݔ‬ሻ ‫ ܴ݊ א‬yang meminimumkan z

k 1

(1) (2) (3) (4) (5)

ܼ݇ ሺܺሻെሺ݃ ݇ െ‫ ݇ ݌‬ሻ ‫݇݌‬ ሺ݃ ݇ ൅‫ ݇ ݌‬ሻെܼ݇ ሺܺሻ ‫݇݌‬ ܽ ݅ ሺܺሻെሺܾ ݅ െ‫ ݅ ݍ‬ሻ ‫݅ݍ‬ ሺܾ ݅ ൅‫ ݅ ݍ‬ሻെܽ ݅ ሺܺሻ ‫݅ݍ‬

k

i

dengan kendala

i 1

൅ ݀݇െ െ ݀݇൅ ൌ ͳǡ(untuk tujuan tipe ‫)ذ‬ ൅݀݇െ െ ݀݇൅ ൌ ͳǡ(untuk tujuan tipe ‫)د‬

൅݀݅െ െ ݀݅൅ ൌ ͳǡ(untuk kendala tipe ‫)ذ‬ ൅݀݅െ െ ݀݅൅ ൌ ͳǡ(untuk kendala tipe ‫)د‬

ሺܾ ݅ ൅‫ ͳ݅ ݍ‬ሻെܽ ݅ ሺܺሻ ‫ͳ݅ ݍ‬

m

¦d ¦d

൅ ݀݅െ െ ݀݅൅ ൌ ͳ dan

ܽ ݅ ሺ‫ݔ‬ሻെሺܾ ݅ െ‫ ʹ݅ ݍ‬ሻ ‫ʹ݅ ݍ‬

൅ ݀݅െ െ ݀݅൅ ൌ ͳ(untuk kendala tipe ؆)

(6) ݃݇ െ ‫ ݇݌‬൑ ܼ݇ ሺܺሻ ൑ ݃݇ ൅ ‫( ݇݌‬kendala batas toleransi untuk tujuan tipe ‫ ذ‬dan ‫)د‬ (7) ܾ݅ െ ‫ ݅ݍ‬൑ ܽ݅ ሺܺሻ ൑ ܾ݅ ൅ ‫( ݅ݍ‬kendala batas toleransi untuk kendala tipe ‫ ذ‬dan ‫)د‬ (8) ܾ݅ െ ‫ ͳ݅ݍ‬൑ ܽ݅ ሺܺሻ ൑ ܾ݅ ൅ ‫( ʹ݅ݍ‬kendala batas toleransi untuk kendala tipe ؆) (9) ܺǡ ݀݇െǡ ݀݇൅ǡ ‫ ݇݌‬൒ ͲǢ ݀݇െǡ ݀݇൅ ൑ ͳǢ݀݇൅ ‫݇݀ ڄ‬െ ൌ ͲǢ ݇ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ‫ܭ‬ ݀݅െǡ ݀݅൅ ǡ ‫ ݅ݍ‬ǡ ‫ ͳ݅ݍ‬ǡ

‫ ʹ݅ݍ‬൒ ͲǢ݀݅െ ǡ ݀݅൅ ൑ ͳǡ

݀݅൅ ‫݅݀ ڄ‬െ ൌ ͲǢ ݅ ൌ ͳǡ ʹǡ ǥ ǡ ݉Ǥ

3 HASIL DAN PEMBAHASAN Produk investasi yang ditawarkan bank ada yang berisiko dan ada yang tidak.Semakin tinggi risiko suatu produk investasi, semakin besar tingkat pendapatan yang diperoleh.Oleh karena itu, bank harus bisa mengalokasikan produk investasi sehingga memaksimumkan profit dan meminimumkan risiko secara bersamaan. Misalkan bahwa setiap bank harus memiliki karakteristik sebagai berikut: 1

Paling sedikit 47% dari giro dan 36% dari deposito berjangka dan tabungan tetap dalam keadaan likuid (liquid part).

288


2

Paling sedikit 14% dari giro dan 4% dari deposito berjangka dan tabungan dialokasikan dalam kategori kas.

3

Paling sedikit 5% dari total sumber dana diinvestasikan ke setiap kategori investasi.

4

Paling sedikit 40% dari total sumber dana diinvestasikan ke pinjaman komersial. Selanjutnyadigunakan 3 fungsi objektif, yaitu memaksimumkan profit, meminimumkan

kecukupan modal, dan meminimumkan rasio aset berisiko (jumlah investasi yang berisiko/modal). Fungsi objektif profit diperoleh dari penjumlahan tingkat pendapatan setiap kategori investasi. Fungsi objektif kecukupan modal diperoleh dari rasio modal wajib untuk memenuhi kebutuhan investasi dengan modal sebenarnya (dana sendiri). Fungsi objektif risiko diperoleh dari rasio jumlah investasi yang berisiko terhadap dana sendiri.Rasio aset berisiko yang rendah mengindikasikan bahwa suatu lembaga keuangan dalam keadaan aman. Kecukupan modal yang rendah mengindikasikan risiko yang minimum, karena kecukupan modal yang rendah memberikan makna bahwa selisih antara dana yang dibutuhkan untuk investasi dan dana sebenarnya (modal sendiri) juga rendah sehingga mengakibatkan risiko yang minimum. 3.1

Contoh Kasus Bank AXN

Tabel 1 Kategori investasi Bank AXN ݆

Kategori Investasi

1 Kas 2 Investasi jangka pendek 3 4

Surat jangka tahun Surat jangka

berharga pemerintah waktu 1 sampai 5 berharga pemerintah waktu 5 sampai 10

5 Pinjaman angsuran 6 Kredit tunai 7 Pinjaman komersial

Tingkat Pendapatan (%)

Bagian Kecukupan Aset Likuid Modal (%) Berisiko? (%) (Ya/Tidak)

0 4

100 99.5

0 1

Tidak Tidak

3.5

96

5

Tidak

7

90

6

Tidak

11.5 12 10.5

0 0 0

17 19 11

Ya Ya Ya

Misalkan sumber dana Bank AXN berasal dari dana sendiri dan dana dari pihak ketiga. Sumber dana sendiri sebesar 250 juta rupiah, sumber dana dari pihak ketiga terdiri atas giro sebesar 125000 juta rupiah, dan deposito berjangka dan tabungan sebesar 225000 juta rupiah.


289

Dana tersebut akan diinvestasikan ke dalam berbagai kategori investasi dengan tingkat pendapatan, bagian likuid, kecukupan modal, dan risiko aset, seperti pada Tabel 1. Misalkan‫ = ݆ݔ‬banyaknya uang (dalam jutaan rupiah) yang akan diinvestasikan ke dalam kategori investasi ke-݆, ݆ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ͹ǤFormulasi pemrograman linear multiobjektif ialah: ͳ

(1) Minimumkan (aset berisiko): ܼͳ ሺܺሻ ؔ ቀʹͷͲ ቁ ሺ‫ݔ‬ͷ ൅ ‫ݔ‬͸ ൅ ‫ݔ‬͹ ሻ (2) Maksimumkan (profit)ܼʹ ሺܺሻ ؔ ͲǤͲͶ‫ ʹݔ‬൅ ͲǤͲ͵ͷ‫ ͵ݔ‬൅ ͲǤͲ͹‫ݔ‬Ͷ ൅ ͲǤͳͳͷ‫ݔ‬ͷ ൅ ͲǤͳʹ‫ݔ‬͸ ൅ ͲǤͳͲͷ‫ݔ‬͹ ͳ

(3) Minimumkan (kecukupan modal)ܼ͵ ሺܺሻ ؔ ቀʹͷͲ ቁ ሺͲǤͲͳ‫ ʹݔ‬൅ ͲǤͲͷ‫ ͵ݔ‬൅ ͲǤͲ͸‫ݔ‬Ͷ ൅ ͲǤͳ͹‫ݔ‬ͷ ൅ ͲǤͳͻ‫ݔ‬͸ ൅ ͲǤͳͳ‫ݔ‬͹ ሻ

dengan kendala (1) Semua dana (dana sendiri dan dana pihak ketiga) diinvestasikan ke setiap kategori investasi:

‫ ͳݔ‬൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ݔ‬͹ ൌ ͵ͷͲʹͷͲ

(2) Kendala likuiditas: ‫ ͳݔ‬൅ ͲǤͻͻͷ‫ ʹݔ‬൅ ͲǤͻ͸‫ ͵ݔ‬൅ ͲǤͻ‫ݔ‬Ͷ ൒ ͲǤͶ͹ ൈ ͳʹͷͲͲͲ ൅ ͲǤ͵͸ ൈ ʹʹͷͲͲͲ (3) Kendala diversifikasi ‫ ͳݔ‬൒ ͲǤͳͶ ൈ ͳʹͷͲͲͲ ൅ ͲǤͲͶ ൈ ʹʹͷͲͲͲ, dan ‫ ݆ݔ‬൒ ͲǤͲͷ ൈ ͵ͷͲʹͷͲǡ ݆ ൌ ʹǡ ǥ ǡ͹

(4) Kendala untuk aset komersial:

‫ݔ‬͹ ൒ ͲǤͶሺʹͷͲ ൅ ͳʹͷͲͲͲ ൅ ʹʹͷͲͲͲሻ

Masalah investasi Bank AXN diselesaikan dengan preemptive goal programming menggunakan software LINGO 11.0. Misalkan prioritas pertama ialah meminimumkan aset berisiko, prioritas kedua ialah memaksimumkan profit, dan prioritas ketiga ialah meminimumkan kecukupan modal.Maka formulasi masalah prioritas pertama ialah: ͳ

Minimumkan (aset berisiko)ܼͳ ሺܺሻ ؔ ቀʹͷͲ ቁ ሺ‫ݔ‬ͷ ൅ ‫ݔ‬͸ ൅ ‫ݔ‬͹ ሻdengan kendala (1)

‫ ͳݔ‬൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ݔ‬͹ ൌ ͵ͷͲʹͷͲ

(2)

‫ ͳݔ‬൅ ͲǤͻͻͷ‫ ʹݔ‬൅ ͲǤͻ͸‫ ͵ݔ‬൅ ͲǤͻ‫ݔ‬Ͷ ൒ ͳ͵ͻ͹ͷͲ

(3)

‫ ͳݔ‬൒ ʹ͸ͷͲͲ, ‫ ݆ݔ‬൒ ͳ͹ͷͳʹǤͷǡ ݆ ൌ ʹǡ ǥ ǡ͹

(4)

‫ݔ‬͹ ൒ ͳͶͲͳͲͲ

Solusi optimal (dalam juta rupiah) masalah ini ialah: ‫ ͳݔ‬ൌ ʹ͸ͷͲͲǡ ‫ ʹݔ‬ൌ ‫ ͵ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ͷ ൌ ‫ݔ‬͸ ൌ ͳ͹ͷͳʹǤͷǡ ‫ݔ‬Ͷ ൌ ͳͳ͵͸ͲͲǡ ‫ݔ‬͹ ൌ ͳͶͲͳͲͲdengan

ܼͳ ൌ ͹ͲͲǤͷǡ ܼʹ ൌ ʹͺͲͻͳǤ͵ͺ

juta rupiah dan

ܼ͵ ൌ ͳͳͺǤ͵ʹͻ.. Kemudian nilai fungsi objektif risiko ܼͳ ൑ ͹ͲͲǤͷ ditambahkan pada kendala di

prioritas kedua, dan diperoleh solusi optimal‫ ͳݔ‬ൌ ʹ͸ͷͲͲǡ ‫ ʹݔ‬ൌ ‫ ͵ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ͷ ൌ ‫ݔ‬͸ ൌ ͳ͹ͷͳʹǤͷǡ ‫ݔ‬Ͷ ൌ ͳͳ͵͸ͲͲǡ ‫ݔ‬͹ ൌ ͳͶͲͳͲͲdengan ܼͳ ൌ ͹ͲͲǤͷǡ ܼʹ ൌ ʹͺͲͻͳǤ͵ͺ juta rupiah dan ܼ͵ ൌ ͳͳͺǤ͵ʹͻDengan

cara serupa, fungsi objektif profit ܼʹ ൒ ʹͺͲͻͳǤ͵ͺ juta rupiah ditambahkan pada kendala di

290


prioritas ketiga. Masalah ini tidak mempunyai solusi fisibel.Jadi solusi optimal diperoleh dari prioritas kedua. Selanjutnya akan digunakan metode goal programming dengan menetapkan secara subjektif tiga level aspirasi dari fungsi objektif aset berisiko, profit, dan kecukupan modal, yaitu ݃ͳ ൌ ͹ͲͲǡ ݃ʹ ൌ ʹͺͳͲͲ juta rupiah, dan ݃͵ ൌ ͳͳͺǤ Penetapan level aspirasi tersebut didasarkan pada solusi nilai fungsi objektif yang diperoleh dari metode preemptive goal programming. Model fuzzy goal programming untuk masalah alokasi investasi Bank AXN sebagai berikut: Tentukan ܺ ൌ ሺ‫ ͳݔ‬ǡ ‫ ʹݔ‬ǡ ǥ ǡ ‫ݔ‬͹ ሻsehingga memenuhi fungsi objektif (1) ܼͳ ሺܺሻ ‫ د‬͹ͲͲ, ܼʹ ሺܺሻ ‫ʹ ذ‬ͺͳͲͲ, ܼ͵ ሺܺሻ ‫ͳͳ د‬ͺterhadap kendala (1) ‫ ͳݔ‬൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ݔ‬͹ ؆ ͵ͷͲʹͷͲ (2) ‫ ͳݔ‬൅ ͲǤͻͻͷ‫ ʹݔ‬൅ ͲǤͻ͸‫ ͵ݔ‬൅ ͲǤͻ‫ݔ‬Ͷ ‫ͻ͵ͳ ذ‬͹ͷͲ (3) ‫ ͳݔ‬൒ ʹ͸ͷͲͲ, ‫ ݆ݔ‬൒ ͳ͹ͷͳʹǤͷǡ ݆ ൌ ʹǡ ǥ ǡ͹ (4) ‫ݔ‬͹ ൒ ͳͶͲͳͲͲ Selanjutnya, didefinisikan fungsi keanggotaan untuk setiap tujuan dan kendala fuzzy, kemudian ditentukan nilai-nilai toleransip dan q. Nilai toleransi ditentukan dengan trial and error, dengan menganggap satu parameter yang berubah nilainya, sedang parameter lainnya tetap. Sebagai contoh, misalkan nilai toleransi ‫ ͳ݌‬selalu berubah dan nilai toleransi ‫ ʹ݌‬ǡ ‫ ͵݌‬ǡ ‫ ͳͳݍ‬ǡ ‫ ʹͳݍ‬ǡ dan ‫ʹݍ‬

konstan, yaitu ‫ ͳ݌‬ൌ ͹ͲͲ‫ݎ‬Ǣ ‫ א ݎ‬ሾͲǤͲͷǡ ͳሿǢ ‫ ʹ݌‬ൌ ͲǤͲͷ ൈ ʹͺͳͲͲǢ

‫ ͵݌‬ൌ ͲǤͲͷ ൈ ͳͳͺǢ ‫ ͳͳݍ‬ൌ ‫ ʹͳݍ‬ൌ ͲǤͲͷ ൈ ͵ͷͲʹͷͲǢ ‫ ʹݍ‬ൌ ͲǤͲͷ ൈ ͳ͵ͻ͹ͷͲǡ maka diperoleh grafik fungsi objektif, aset berisiko, profit, dan kecukupan modal sebagai berikut:


291

Dipilih nilai toleransi ‫ ͳ݌‬ൌ ͳͲͷ sehingga total aset berisiko ada dalam selang ሾͷͻͷǡ ͺͲͷሿǤ Demikian dan seterusnya dilakukan dengan parameter-parameter yang lain, yaitu ‫ ʹ݌‬ൌ ͳͶͲͷǡ ‫ ͵݌‬ൌ ͷ͵Ǥͳǡ‫ ͳͳݍ‬ൌ ͵ͷͲʹͷǡ‫ ʹͳݍ‬ൌ ͳ͹ͷͳʹǤͷǡdan‫ ʹݍ‬ൌ ʹͲͻ͸ʹǤͷ

sehingga

diperoleh

solusi optimal (dalam juta rupiah) ‫ ͳݔ‬ൌ ʹ͸ͷͲͲǡ ‫ ʹݔ‬ൌ ‫ ͵ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ͷ ൌ ‫ݔ‬͸ ൌ ͳ͹ͷͳʹǤͷǡ ‫ݔ‬Ͷ ൌ ͳͳͳͲͺͶǡ ‫ݔ‬͹ ൌ ͳͶͳͺͷͻǤͷdengan nilai fungsi objektif sebesar ͲǤͳͲʹ͹ͻͶ dan total aset berisiko ܼͳ ൌ ͹Ͳ͹ǤͷͶǡ total profit ܼʹ ൌ ʹͺͳͲͲ juta rupiah, dan total kecukupan modal ܼ͵ ൌ ͳͳͺǤͷ

Jadi, Bank AXN akan memperoleh profit sebesar ʹͺͳͲͲ juta rupiah dengan total risiko sebesar ͹Ͳ͹ǤͷͶ dan total kecukupan modal sebesar ͳͳͺǤͷ jika menginvestasikan dana sebesar ʹ͸ͷͲͲ juta rupiah untuk kategori kas, sebesar ͳ͹ͷͳʹǤͷ juta rupiah untuk masing-masing

kategori investasi jangka pendek, surat berharga pemerintah jangka waktu 1 sampai 5 tahun, pinjaman angsuran, dan kredit tunai, sebesar ͳͳͳͲͺͶ juta rupiah untuk kategori investasi surat berharga pemerintah jangka waktu 5 sampai 10 tahun, dan sebesar 141859.5 juta rupiah untuk kategori investasi pinjaman komersial. 4 PUSTAKA

[1]

Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms.Ed ke-4.New York: Duxbury.

[2]

Gupta M, Bhattacharya D. 2010.Goal programming and fuzzy goal programming techniques in the bank investment plans under the scenario of maximizing profit and minimizing risk factor: A case study.Advances in Fuzzy Mathematics5(2):111-119.

[3]

Zimmermann. 1991. Fuzzy Set Theory and Its Applications. Ed ke-2. Massachusetts: Kluwer Academic Publishers.

292


PENERAPAN FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENENTUAN INVESTASI BANK

Recommend Documents