PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP) SKRIPSI

PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP)

SKRIPSI

RIDHA VERA HARTATI 060823024

PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Ridha Vera Hartati : Pendekatan Model Fuzzy Goal Programming Dalam Penetapan Pembobotan Prioritas Dari Metode Analytical Hierarchy Process (AHP), 2009. USU Repository © 2009


SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains


PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


PERSETUJUAN Judul

Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas

Komisi Pembimbing

: PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP) : SKRIPSI : RIDHA VERA HARTATI : 060823024 : SARJANA (S1) MATEMATIKA : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Februari 2009 :

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Drs.Sawaluddin, M.IT NIP.132 206 398

Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP.130 422 437

Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo,M.Sc NIP. 131 796 149


PERNYATAAN


SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Februari 2009



PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, dengan limpahan dan karuniaNya kertas kajian ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs.Sawaluddin, M.IT selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas,padat dan professional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya, tidak terlupakan kepada kedua orang tua dan semua ahli keluarga dan rekan terdekat saya yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT memberikan balasan yang layak.


Abstrak

Metode Proses Analisis Hirarkis (Analytical Hierarchy Process-AHP) adalah alat bantu sistem pendukung keputusan yang dikenal luas untuk penyelesaian problem pengambilan keputusan multikriteria. Metode ini pada prinsipnya mensintesa perbandingan “judgment” pengambil keputusan yang berpasangan pada setiap level hirarki keputusan. Sehingga masih diperlukan penetapan bobot prioritas relatif setiap elemen keputusan. Bobot ini merepresentasikan intensitas preferensi atas suatu elemen keputusan. Untuk mendapatkan estimasi pembobotannya,biasanya digunakan metode eigenvector dari Saaty. Telah banyak pendekatan lain dikembangkan dari metode “least-square”sampai linear programming. Tetapi pendekatan tersebut umumnya belum mempertimbangkan ketidakpastian yang bersifat fuzzy mengingat proses penetapan preferensi pada setiap elemen hirarki dari metode AHP ini pada hakekatnya selalu mengandung faktor “imprecise” dan “ambiguity” dari pengambil keputusan.


Abstract

The Analytical Hierarchy Process (AHP) is well known as one of the most powerful techniques for decision aid in modeling of multicriteria problems. The AHP is generally used to derive priorities based on judgment of the decision maker that is obtained by means of pairwise comparison. The most common technique for estimating relative priority weights is originally proposed by Saaty called the eigen vector method. Recently, a variety of alternative approaches ranging from the least square method to linear programming have been developed. However, the weights to be assigned to the decision elements on each hierarchy in the AHP method are imprecise in nature.


DAFTAR ISI

Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstact Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar

Halaman ii iii iv v vi vii ix x

Bab 1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Kontribusi penelitian 1.5 Tinjauan Pustaka 1.6 Metode Penelitian 1.7 Jadwal Penelitian

1 1 3 3 3 3 5 6

Bab 2. Landasan Teori 2.1 Analytical Hirarchy Process (AHP) 2.1.1 Pengertian AHP 2.1.2 Prinsip Dasar AHP 2.1.3 Penghitungan Bobot Elemen dalam Metode AHP 2.2 Model Goal Programming 2.2.1 Konsep Dasar dan Unsur-unsur Goal Programming 2.2.2 Unsur-unsur Goal Programming 2.2.3 Model Keputusan Goal Programming 2.2.4 Formulasi Model Keputusan Goal Programming 2.3 Formulasi Model Keputusan Fuzzy Goal Programming 2.3.1 Model Fuzzy Goal Programming

7 7 7 8 11 15 16 17 22 23 24 24


2.3.2 Fungsi Keanggotaan Fuzzy 2.3.3 Model Fuzzy Goal Programming untuk estimasi penetapan prioritas 2.4 Pengenalan Program QM for Windows

25

Bab 3. Pembahasan 3.1 Penggunaan Metode AHP dalam perhitungan matematis 3.1.1 Menentukan bobot pada tiap elemen 3.1.2 Mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen 3.2 Penyelesaian Pembobotan dengan AHP 3.3 Penyelesaian Pembobotan dengan Goal Programming 3.4 Penyelesaian Pembobotan dengan Fuzzy Goal Programming

31 31 32 33 34 36 40

Bab 4. Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran

47 47 48

26 27

Daftar Pustaka


DAFTAR TABEL Tabel 2. 1 Skala Penilaian Perbandingan Berpasangan

Halaman 10

Tabel 2 .2 Matriks Perbandingan Berpasangan

11

Tabel 2. 3 Matriks Perbandingan Berpasangan dengan nilai intensitas

12

Tabel 2. 4 Indeks Random (RI)

14

Tabel 2. 5 Jenis-jenis Kendala Tujuan

18

Tabel 2. 6 Tabel Awal Goal Programming

21

Tabel 3.1

32

Contoh Matriks Perbandingan Berkebalikan

Tabel 3. 2 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan

32

Tabel 3. 3 Matriks Perbandingan Berkebalikan

34

Tabel 3. 4 Penyelesaian Matrike Perbandingan Berkebalikan

34

Tabel 3. 5 Matriks Penetapan Bobot Pada Tiap Elemen

34

Tabel 3. 6 Tabel Awal Goal Programming

38

Tabel 3. 7 Penyelesaian Goal Programming

38

Tabel 3. 8 Hasil Akhir

38

Tabel 3. 9 Tabel Awal Fuzzy Goal Programming

44

Tabel 3.10 Penyelesaian Fuzzy Goal Programming

44

Tabel 3.11 Hasil Akhir

44


DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Tampilan sementara (splash) dari program QM for Windows 28 Gambar 2.2 Tampilan Awal Program QM for Windows

28

Gambar 2.3 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for Windows 29 Gambar 2.4 Baris menu (menu bar) sebelum dipilih modul tertentu

29

Gambar 2.5 Baris menu (menu bar) sesudah dipilih model tertentu

29

Gambar 2.6 Baris tool (toolbar) sebelum dipilih modul tertentu

29

Gambar 2.7 Baris tool (toolbar) sesudah dipilih modul tertentu

30

Gambar 2.8 Ruang Instruksi

30

Gambar 2.9 Baris utilitas (utility Bar – secara default terletak dibagian bawah)

30


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Proses analisis kebijakan membutuhkan adanya kriteria sebelum memutuskan pilihan dari berbagai alternatif yang ada. Kriteria menunjukkan definisi masalah dalam bentuk yang konkret dan kadang-kadang dianggap sebagai sasaran yang akan dicapai. Setiap orang, tidak harus pimpinan dapat membuat keputusan akan tetapi dampak keputusan yang ditimbulkan berbeda-beda. Pada umumnya suatu keputusan dibuat dalam rangka untuk memecahkan permasalahan atau persoalan ( problem solving), setiap keputusan yang dibuat pasti ada tujuan yang akan dicapai. Adapun tujuan dari keputusan yang dibuat adalah untuk memuaskan atau memenuhi target atau paling tidak mendekati target yang telah ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.

Dalam keadaan dimana seorang pengambil keputusan dihadapkan kepada suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan di dalamnya, maka program linier tidak dapat membantunya untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena program linier hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal.Oleh karena itu, maka diperlukan suatu bantuan program tujuan ganda yang dikenal sebagai goal programming atau multiple objective programming yang merupakan modifikasi atau variasi khusus dari program linier selain itu diperlukan metode analytical hierarchy process(AHP) untuk menyelesaikan problem pengambilan keputusan multikriteria (multicriteria decision making).


AHP dikembangkan oleh Saaty pada pertengahan tahun 1970 (Saaty 1977). Pengembangannya mendasarkan pada kemampuan judgment (pertimbangan)manusia untuk mengkonstruksi persepsi secara hirarkis dari suatu persoalan keputusan multikriteria, juga untuk membuat perbandingan baik yang bersifat tangible (terukur) atau intangible(tak terukur) dari suatu kriteria, atribut atau sifat dari masing-masing elemen keputusan. Untuk bisa memperoleh penetapan bobot prioritas relatif dari setiap elemen keputusan, pendekatan AHP perlu mensintesis judgment pada setiap level hirarki keputusan. Kemudian pada setiap level tersebut, keseluruhan elemen keputusan dikonversikan menjadi keputusan tunggal dimana terjadi hubungan ketergantungan antar elemennya. Karenanya penetapan estimasi bobot prioritas relatif elemen keputusan pada setiap level hirarki menjadi langkah yang terpenting dan menentukan dalam metode AHP.

Umumnya saat pengambil keputusan menetapkan pembobotan relatif antar elemen keputusan dalam metode AHP dilakukan dalam evaluasi lingkungan keputusan yang samar dan subyektif. Misalnya saat harus menetapkan intensitas pembobotan kualitatif kriteria seperti ”sama” penting, ”cukup” penting, ”lebih” penting dan ”sangat ” penting. Dalam kondisi seperti itu tampaknya diperlukan suatu model keputusan yang mempertimbangkan fuzzyness (ketidakpastian) untuk memungkinkan menampung faktor imprecise (tidak jelas) dalam proses penetapan prioritas kriteria.

Penggunaan goal programming sendiri untuk menyelesaikan

problem ini

memerlukan penetapan tingkat aspirasi subyektif untuk mencapai suatu goal. Karenanya model dalam penelitian ini menggunakan konsep fuzzy hanya pada penetapan tingkat pencapaian suatu goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan. Penetapan preferensi berdasarkan judgment manusia untuk memberikan pembobotan,


level aspirasi dan prioritas goal pada suatu elemen keputusan sangat berkaitan dengan konsep fuzzy.

Dalam situasi keputusan seperti itu, validitas pendekatan goal programming untuk estimasi pembobotan relatif pada metode AHP dapat ditingkatkan kualitasnya dengan mengembangkannya menjadi tingkat model fuzzy goal programming. Maka penulis berkeinginan untuk menguraikan penyelesaian model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP.

1.2 Perumusan Masalah

Dari latar belakang masalah di atas maka perumusan masalahnya yaitu : menguraikan penyelesaian untuk model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP dengan menggunakan software QM for Windows version 2.0.

1.3 Tujuan Penelitian

Bertujuan untuk menerapkan suatu konsep dalam penetapan bobot prioritas dari metode AHP kemudian mengembangkannya menjadi model goal programming dan fuzzy goal programming.

1.4 Kontribusi Penelitian

Mempermudah dalam penetapan bobot prioritas dengan model fuzzy goal programming. Bermanfaat bagi pengambil keputusan (decision maker) dalam pengambilan keputusan multikriteria (multicriteria decision making).


Tinjauan Pustaka

Metode AHP menjelaskan tentang pemodelan permasalahan secara bertingkat yang terdiri dari kriteria dan alternatif. [5]

Penggunaan metode AHP untuk menyelesaikan masalah multiobjektif dan multikriteria berdasarkan perbandingan preferensi dari setiap elemen dalam hirarki.[7]

Penggunaan

metode

AHP

dalam

menganalisa

faktor-faktor

yang

mempengaruhi pemilihan moda ke kampus.[8] Ditinjau dari berbagai faktor, alternatif jalan kaki dari pondokan merupakan alternatif terbaik (33,2%). Sedangkan carpool (16%) sedikit lebih rendah daripada penggunaan mobil pribadi (18%). Angkutan kampus antar jemput justru lebih rendah daripada carpool (12,4%).

Analisis pemilihan mitra LSM dan optimasi budgeting dengan menggunakan metode AHP dan goal programming. [1] Hasil analisa dengan menggunakan metode AHP yang diintegrasikan dengan goal programming diperoleh suatu model keputusan multikriteria. Digunakan untuk menyelesaikan problema dan optimasi dalam memilih mitra yang paling baik untuk diajak bekerja sama.

Masalah keputusan multikriteria dengan tujuan-tujuan yang saling terbentur dan tidak dapat dibandingkan diselesaikan dengan model Goal Programming. [3]

Gambaran umum dan pengetahuan dasar yang praktis tentang berbagai model program linier dan variasinya. [4] Sebagai teknik-teknik riset operasi yang dapat digunakan dalam penelitian, pengembangan, dan perumusan perencanaan program serta proyek pembangunan yang dihadapi dalam proses pengambilan keputusan.


Teori himpunan fuzzy dan notasi fuzzy.[9] Misalkan suatu himpunan fuzzy F didalam semesta wacana U dikarakteristikkan dengan fungsi keanggotaan µ F yang bernilai dalam interval [0,1] atau µ F : U

[0,1].

Himpunan fuzzy dan fuzzy mathematical programming. [2] Adapun model ~ ~ fuzzy linier programming untuk kasus maksimisasi yaitu cTx ≥ z, Ax ≤ b x ≥ 0. Dan ~ ~ untuk kasus minimisasi yaitu cTx ≤ z, Ax ≥ b x ≥ 0.

Pendekatan fuzzy AHP dan fuzzy MCDM untuk pengalokasian fasilitas. Fuzzy AHP diterapkan untuk mendefinisikan bobot kriteria keputusan dari setiap evaluator. Fuzzy MCDM diterapkan untuk mensintesa keputusan kolektif. [6]

Panduan Program Aplikasi dengan menggunakan Software QM for Windows versi 2.0 dalam menyelesaikan persoalan model goal programming. [10]

1.5 Metode Penelitian

Secara umum, penelitian dilakukan dengan beberapa tahapan, yaitu: 1. Penetapan pembobotan prioritas dengan metode AHP. 2. Menguraikan masalah estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki yang dinyatakan dalam bentuk Goal Programming. 3. Pengembangan model Goal Programming untuk estimasi pembobotan prioritas relatif dari metode AHP menjadi model Fuzzy Goal Programming.


BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analytical Hierarchy Process (AHP) Metode Analytical Hierarchy Process (AHP) merupakan salah satu metode pengambilan

keputusan

yang

menggunakan

faktor-faktor

logika,instuisi,

pengalaman,pengetahuan,emosi dan rasa untuk dioptimalisasikan dalam suatu proses yang sistematis. Metode AHP ini mulai dikembangkan oleh Thomas L. Saaty, seorang ahli matematika yang bekerja pada Universitas of Pittsburg di Amerika Serikat, pada awal tahun 1970-an.

Pada perkembangannya, AHP dapat memecahkan masalah kompleks atau tidak berkerangka dengan aspek atau kriteria yang cukup banyak. Kompleksitas ini disebabkan oleh struktur masalah yang belum jelas, ketidakpastian persepsi pengambilan keputusan, serta ketidakpastian terjadinya atau bahkan tidak ada sama sekali data statistik yang akurat. Adakalanya timbul masalah keputusan yang dirasakan dan diamati perlu diambil secepatnya, tetapi variasinya rumit sehingga datanya tidak mungkin dapat dicatat secara numerik, hanya secara kualitatif saja yang dapat diukur, yaitu berdasarkan persepsi, pengalaman, dan intuisi. Namun tidak menutup kemungkinan bahwa model-model lainnya ikut dipertimbangkan pada saat proses pengambilan keputusan dengan pendekatan AHP, khususnya dalam memahami para pengambil keputusan individual pada saat proses penerapan pendekatan ini.


AHP mempunyai landasan aksiomatik yang terdiri dari : 1. Resiprocal Comparison, yang mengandung arti bahwa matriks perbandingan berpasangan yang terbentuk harus bersifat berkebalikan. Misalnya A adalah k kali lebih penting daripada B maka B adalah 1/k kali lebih penting dari A. 2. Homogenity, yang mengandung arti kesamaan dalam melakukan perbandingan. Misalnya, tidak dimungkinkan membandingkan jeruk dengan bola tenis dalam hal rasa, akan tetapi lebih relevan jika membandingkan dalam hal berat. 3. Dependence, yang berarti setiap jenjang (level) mempunyai kaitan (complete hierarchy) walaupun mungkin saja terjadi hubungan yang tidak sempurna (incomplete hierarchy). 4. Expectation, yang artinya menonjolkan penilaian yang bersifat ekspektasi dan preferensi dari pengambilan keputusan. Penilaian dapat merupakan data kuantitatif maupun yang bersifat kualitatif. 2.1.1 Prinsip Dasar AHP Dalam menyelesaikan persoalan dengan metode AHP ada beberapa prinsip dasar yang harus dipahami antara lain : 1. Decomposition Pengertian decomposition adalah memecahkan atau membagi problema yang utuh menjadi unsur-unsurnya ke dalam bentuk hirarki proses pengambilan keputusan, dimana setiap unsur atau elemen saling berhubungan. Untuk mendapatkan hasil yang akurat, pemecahan dilakukan terhadap unsur-unsur sampai tidak mungkin dilakukan pemecahan lebih lanjut, sehingga didapatkan beberapa tingkatan dari persoalan yang hendak dipecahkan. Struktur hirarki keputusan tersebut dapat dikategorikan sebagai complete dan incomplete. Suatu hirarki keputusan disebut complete jika semua elemen pada suatu tingkat memiliki hubungan terhadap semua elemen yang ada pada tingkat berikutnya,sementara hirarki keputusan


incomplete kebalikan dari hirarki yang complete.Bentuk struktur dekomposisi yakni : •

Tingkat pertama

: Tujuan keputusan (Goal)

•

Tingkat kedua

: Kriteria-kriteria

•

Tingkat ketiga

: Alternatif-alternatif

Goal

Kriteria I

1

2

M

Kriteria II

1

2

Kriteria III

M

1

2

Kriteria N

M

1

2

M

Alternatif Gambar 2.1 Struktur Hirarki

2. Comparative Judgment Comparative Judgment dilakukan dengan penilaian tentang kepentingan relatif dua elemen pada suatu tingkat tertentu dalam kaitannya dengan tingkatan diatasnya. Penilaian ini merupakan inti dari AHP karena akan berpengaruh terhadap urutan prioritas dari elemen-elemennya. Hasil dari penilaian ini lebih mudah disajikan dalam bentuk matriks pairwise comparisons yaitu matriks perbandingan berpasangan memuat tingkat preferensi beberapa alternatif untuk tiap kriteria . Skala prefrensi yang digunakan yaitu skala 1 yang menunjukkan tingkat yang


paling rendah (equal importance) sampai dengan skala 9 yang menunjukkan tingkatan yang paling tinggi (extreme importance).

3. Synthesis of Priority Synthesis of Priority dilakukan dengan menggunakan eigen vector method untuk mendapatkan bobot relatif bagi unsur-unsur pengambilan keputusan.

4. Logical Consitency Logical Consitency merupakan karakteristik penting AHP. Hal ini dicapai dengan mengagresikan seluruh eigen vektor yang diperoleh dari berbagai tingkatan hirarki dan selanjutnya diperoleh suatu vektor composite tertimbang yang menghasilkan urutan pengambilan keputusan.

Secara naluriah, manusia dapat mengestimasi besaran sederhana melalui inderanya. Proses yang paling mudah adalah membandingkan dua hal dengan keakuratan perbandingan tersebut dapat dipertanggungjawabkan. Penetapan skala kuantitatif 1 sampai 9 untuk menilai secara perbandingan tingkat kepentingan suatu elemen dengan elemen lain.( Saaty,Thomas L. ,and Luis G.Vargas, 1994, The Analytical Hierarchy Process vol.VII).


Tabel 2.1 Skala Penilaian Perbandingan Berpasangan Identitas

Keterangan

Penjelasan

Kepentingan 1

Kedua

elemen

sama Dua elemen mempunyai pengaruh

pentingnya 3

yang sama besar terhadap tujuan

Elemen baris sedikit lebih Pengalaman dan penilaian sedikit penting daripada elemen menyokong suatu elemen dibanding kolom

5

elemen lainnya.

Elemen baris lebih penting Pengalaman dan penilaian sangat kuat daripada elemen kolom

menyokong suatu elemen dibanding elemen lainnya.

7

Elemen baris sangat lebih Satu elemen yang kuat disokong dan penting daripada elemen dominannya kolom

9

telah

terlihat

dalam

praktek.

Elemen baris mutlak lebih Bukti yang mendukung elemen yang penting daripada elemen satu terhadap elemen lain memiliki kolom

tingkat

penegasan

tertinggi

ysng

mungkin menguatkan. Jika suatu aktivitas aij mendapat suatu angka bila dibandingkan dengan aktivitas aij maka aij mempunyai nilai kebalikannya bila dibandingkan dengan aij (aij = 1/ aij )

2.1.2 Penghitungan Bobot Elemen Dalam Metode AHP Pada dasarnya formulasi pada model AHP dilakukan dengan menggunakan suatu matriks. Misalnya dalam suatu subsistem operasi terdapat n elemen operasi


A1,A2,...,An maka hasil perbandingan secara berpasangan elemen-elemen operasi tersebut akan membentuk matriks perbandingan. Perbandingan berpasangan dimulai dari hirarki yang paling tinggi, dengan suatu kriteria digunakan sebagai dasar pembuatan perbandingan. Selanjutnya perhatikan elemen-elemen yang akan dibandingkan pada tabel 2.2 berikut ini :

Tabel 2.2 Matriks Perbandingan Berpasangan A1

A2

...

An

A1

w1 / w1

w1 / w2

...

w1 / wn

A2

w2 / w1

w2 / w2

...

w2 / wn

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

An

wn / w1

wn / w2

...

wn / wn

Contoh matriks yang diperlihatkan dalam tabel 2.2 adalah sebuah matriks A berukuran (nxn) merupakan matriks perbandingan berpasangan. Dan diasumsikan terdapat n elemen yaitu w1 , w2 ,..., wn yang akan dinilai secara perbandingan. Nilai (judgment) perbandingan secara berpasangan antara ( wi , w j ) dapat direpresentasikan seperti matriks pada tabel 2.2. wi = aij wj

untuk i, j = 1,2,..., n

(1)

maka akan diperoleh hubungan persamaan berikut : aij .w j − wi = 0

(2)

dimana :


wi dan w j = variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu. = elemen-elemen yang terdapat dalam matriks dengan i,j = 1,2...,n

aij

indeks Ω ={(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)}sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara berpasangan oleh pengambil keputusan. (1,j)

=Setiap pasangan elemen keputusan yang menyatakan perbandingan preferensi elemen keputusan Ai dengan elemen keputusan Aj.

Dari persamaan (1) bisa diperoleh hubungan berikut ini :

 wj aij .  wi

  = 1 

(3)

atau untuk keseluruhan elemen keputusan ϕ = {1,2,..., n} akan didapat : n

∑a i =1

ij

 wj .  wi

  = n 

(4)

dituliskan dalam bentuk persamaan lain sebagai :

∑a

ij

.w j = n.wi

(5)

Dalam hal ini matriks perbandingan adalah matriks A dengan unsur-unsurnya adalah aij

dengan

i,j

=

1,2,...,n.Unsur-unsur

matriks

tersebut

diperoleh

dengan

membandingkan satu elemen operasi terhadap elemen operasi lainnya untuk tingkat hirarki yang sama. Matriks ini dikenal dengan sebutan Pairwise Comparison Judgment Matrix (PCJM).

Bila vektor pembobotan elemen-elemen operasi dinyatakan sebagai vektor W


→

→

W , dengan W = ( w1 , w2 ,..., wn ),maka intensitas kepentingan elemen operasi A1

terhadap A2 yakni wi / w j yang sama dengan a12 sehingga matriks perbandingan dapat dinyatakan sebagai berikut :

Tabel 2.3 Matriks Perbandingan Berpasangan dengan Nilai Intensitas A1

A2

...

An

A1

w1 / w1

w1 / w2

...

w1 / wn

A2

w2 / w1

w2 / w2

...

w2 / wn

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

An

wn / w1

wn / w2

...

wn / wn

→

Bila matriks ini dikalikan dengan vektor kolom W = ( w1 , w2 ,...wn ) maka diperoleh hubungan : →

→

A W = nW

(6)

Dalam teori matriks, formula tersebut menyatakan bahwa : →

W = eigen vektor dari matriks A

n = eigen value Bila ditulis secara lengkap maka persamaan tersebut akan terlihat seperti rumus berikut ini :


 w1   w1 w  2  w1    wn w  1

w1 w2



w2 w2



 wn w2

 

w1   wn   w1   w1    w2      w2  w  wn  .   = n. 2          w    wn   n wn  wn 

(7)

Variabel n pada persamaan diatas dapat digantikan secara umum dengan sebuah vektor λ sebagai berikut : →

→

AW = λ W

(8)

dimana :

λ i = eigen value dengan λ = ( λ1 , λ2 ,...λn ) →

vektor W = eigen vektor Karena matriks A adalah suatu matriks yang resiprokal dengan nilai aij =

1 untuk a ji

semua i maka : n

∑λ i =1

i

=n

(9)

dimana:

λ i = eigen value dengan λ = ( λ1 , λ2 ,...λn )

untuk i = 1,2...,n

Apabila matriks A adalah matriks yang konsisten maka semua eigen value bernilai nol kecuali satu yang bernilai sama dengan n. Bila matriks A adalah matriks yang tidak konsisten, variasi kecil atas aij akan membuat nilai eigen value terbesar, λ maks dapat dicari dengan persamaan berikut : →

→

A W = λ maks W atau [ A - λ maks I ] = 0

(10)


dimana : I

= matriks identitas

λ maks = nilai eigen value terbesar →

Nilai vektor bobot W dapat dicari dengan mensubsitusikan nilai λ maks ke dalam persamaan tersebut.Dalam prakteknya, konsistensi tidak mungkin didapat. Nilai aij akan menyimpang dari rasio wi / w j dan dengan demikian persamaan diatas tidak dapat dipenuhi. Deviasi maksimum dari n merupakan suatu parameter Consistency Index (CI) sebagai berikut :

CI =

λmaks − n n −1

(11)

dimana : CI

= Consistency Index (Indeks Konsistensi)

λ maks = nilai eigen value terbesar n

= ordo matriks Nilai CI tidak akan berarti bila tidak terdapat acuan untuk menyatakan apakah

CI menunjukkan suatu matriks yang konsisten. Thomas L. Saaty memberikan acuan dengan melakukan perbandingan acak terhadap 500 buah sampel. Thomas L.Saaty berpendapat bahwa suatu matriks yang dihasilkan dari perbandingan yang dilakukan secara acak merupakan suatu matriks yang mutlak tak konsisten. Dari matriks acak tersebut didapat pula nilai Consistensy Index, yang disebut dengan Random Index (RI).

Indeks konsistensi matriks random dengan skala (1-9) beserta kebalikannya disebut sebagai indeks random (Random Index) RI. Berdasarkan perhitungan Thomas


L. Saaty dengan menggunakan 500 sampel diperoleh nilai rata-rata indeks random (RI) untuk setiap ordo matriks tertentu sebagai berikut :

Tabel 2.4 Indeks Random (RI) Ordo

RI

Matriks

Ordo

RI

Matriks

Ordo

RI

Matriks

1

0

6

1,24

11

1,51

2

0

7

1,32

12

1,48

3

0,58

8

1,41

13

1,56

4

0,9

9

1,45

14

1,57

5

1,12

10

1,49

15

1,59

(Sumber : Saaty,Thomas L. ,and Luis G.Vargas, 1994, The Analyitcal Hierarchy Process vol.VII : “Decision Naking in Economic, Political, Social, Technological Environments, 1st Edition,RWS Publication, Pittsburgh,p.9)

2.2. Model Goal Programming Program tujuan ganda yang dalam bahasa asingnya dikenal sebagai Goal Programming atau multiple objective programming merupakan modifikasi atau variasi khusus dari program linier yang sudah kita kenal. Analisis Goal Programming bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi terhadap tujuan, target atau sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mencapai target atau tujuan tersebut secara memuaskan sesuai dengan syarat ikatan yang ada, yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan, dan sebagainya.


Dalam keadaan dimana seseorang pengambil keputusan dihadapkan kepada suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan didalamnya, maka program linier tidak dapat membantunya untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena program linier hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal (single objective function). Oleh karena itu, maka persoalan tersebut memerlukan bantuan program tujuan ganda. Dunia nyata yang kita hadapi ini adalah dunia yang penuh dengan berbagai tujuan sebagai target dan sasaran. Oleh karena itu maka Goal Programming merupakan alat analisis yang tepat untuk itu. Goal Programming berusaha untuk meminimumkan deviasi berbagai tujuan, sasaran, atau target yang telah ditetapkan.

Dengan analisis Goal Programming maka kita mencoba untuk memuaskan atau memenuhi target paling tidak mendekati target yang telah kita tentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.

Charnes dan Cooper yang mengembangkan Goal Programming sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah yang infeasibility (tidak layak) pada program linier yang disebabkan oleh tujuan yang bertentangan. Ijiri dan Jaaskelainen kemudian melanjutkan dan melengkapinya sehingga dapat dipakai secara operasional. Lee mengkontribusikan menjadi ke tingkat yang lebih baik cara kerjanya,prestasi dari Goal Programming. Pada bagian P1 selalu lebih besar dari bagian prioritas ranking yang lebih rendah P2. Ignizio membentuk dan mengaplikasikan bilangan bulat yang tepat pada algoritma Goal Programming dan juga mampu bekerja dalam Program Non Linier.

Goal Programming berusaha untuk meminimumkan deviasi atau simpangan diantara berbagai tujuan atau sasaran yang telah ditetapkan sebagai targetnya, artinya nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sebisa mungkin mendekati nilai ruas


kanannya.Dalam Goal Programming terdapat dua tipe kendala yaitu kendala teknologi (technological constraint) yang merupakan permasalahan kapasitas sumber dan kendala lainnya yang bukan terhadap tujuan, kendala tujuan (goal constraint) yang mewakili atau menggambarkan target dari objek-objek dalam urutan prioritas.

2.2.1 Konsep Dasar dan Unsur-unsur Goal Programming Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari, pembaca selalu harus mengerti istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan dalam bidang studi itu. Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam Goal Programming. Decision variables (Variable keputusan ) merupakan seperangkat variable yang tidak diketahui (dalam model Linier Goal Programming dilambangkan dengan xj, dimana j =1,2,...,n) yang akan dicari nilainya. Right hand side values atau RHS (Nilai sisi kanan ) merupakan nilai-nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dengan bi) yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya. Goal (tujuan) merupakan keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu goal constraint tertentu . Goal Constraint (kendala tujuan) merupakan sinonim dari istilah goal equation, yakni suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematika yang memasukkan variabel simpangan. Preemtive priority factor merupakan suatu sistem urutan yang dilambangkan dengan Pk, dimana k = 1,2,...,k dan k menunjukkan banyaknya tujuan dalam model) yang memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model Linier Goal Programming.


Sistem urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan sebagai berikut : P1> P2 >>>Pk P1 merupakan tujuan yang paling penting P2 merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya Deviational variables (variabel simpangan) merupakan variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif dari suatu nilai RHS kendala tujuan (dalam model Linier Goal Programming dilambangkan dengan d i− , dimana i = 1,2,...,m dan m adalah banyaknya kendala tujuan dalam model) atau penyimpangan positif dari suatu nilai RHS (dilambangkan dengan d i+ ). Variabel-variabel ini serupa dengan slack variable dalam Linier Programming. Differential weight (bobot) merupakan timbangan matematika yang diekspresikan dengan angka kardinal (dilambangkan dengan wki dimana k = 1,2,...,k; i = 1,2,...,m) dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan i didalam suatu tingkat prioritas k. Technological coefficient (koefisien teknologi) merupakan nilai-nilai numerik (dilambangkan dengan aij) yang menunjukkan penggunaan nilai bi per unit untuk menciptakan xj.

2.2.2 Unsur-unsur Goal Programming Setiap model Linier Goal Programming paling sedikit terdiri dari tiga komponen, yaitu : sebuah fungsi tujuan, kendala-kendala tujuan, dan kendala non negatif. 1. Fungsi Tujuan Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam Linier Goal Programming yaitu:


m

1.

Minimumkan Z = ∑ d i− + d i+ i =1

Fungsi tujuan yang pertama digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. Minimumkan Z = ∑ Pk (d i− + d i+ )untuk k = 1,2..., K m

2.

i =1

Fungsi tujuan yang kedua digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan diperlukan, tetapi variabel simapangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki kepentingan yang sama. Minimumkan Z = ∑ wki Pk (d i− + d i+ )untuk k = 1,2..., K m

3.

i =1

Dalam fungsi tujuan ketiga, tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan wki. Jadi, fungsi tujuan yang digunakan akan tergantung pada situasi masalahnya.Perlu diperhatikan bahwa dalam model Linier Goal Programming tidak ditemukan variabel keputusan pada fungsi tujuan.

Penulis masih mencari, seperti yang dilakukan model Linier Programming, nilai xj yang tidak diketahui, tetapi akan melakukannya secara tidak langsung melalui minimisasi simpangan negatif dan positif dari nilai RHS kendala tujuan. Linier Programming

mencari nilai solusi xj secara langsung

melalui minimisasi

penyimpangan-penyimpangan dari nilai RHSnya. 2. Kendala Tujuan Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan.


Tabel 2.5 Jenis-jenis Kendala Tujuan Kendala Tujuan

Variabel

Kemungkinan

Penggunaan Nilai

Simpangan

Simpangan

RHS yang

Dalam

diinginkan

Fungsi Tujuan

aij x j + d i− = bi

d i−

Negatif

= bi

aij x j − d i+ = bi

d i+

Positif

= bi

aij x j + d i− − d i+ = bi

d i−

Negatif dan positif

bi atau lebih


d i−

Negatif dan positif

bi atau kurang


d i− dan d i+

Negatif dan positif

= bi

aij x j − d i+ = bi

d i+ (artf.)

Tidak ada

Pas = bi

Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendalakendala yang tidak memiliki variabel simpangan. Kendala-kendala ini sama seperti kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada tabel 2.5 maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier maksimisasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥ pada masalah program linier minimisasi. Persamaan

ketiga,

keempat

dan

kelima

semuanya

memperbolehkan

penyimpangan dua arah, tetapi persamaan kelima mencari penggunaan sumber daya yang diinginkan sama dengan bi.


Ini serupa dengan kendala persamaan dalam Linier Programming, tetapi tidak menempel pada solusi karena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan positif. Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model Linier Goal Programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel d i+ , seperti pada persamaan keenam. Persamaan ketiga dan keempat memperbolehkan

adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHSnya. Dalam kendala Linier Programming tak ada pembanding untuk persamaan ketiga dan keempat. 3. Kendala Non Negatif Seperti dalam Linier Programming, variabel-variabel model Linier Programming biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model Linier Goal Programming terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non negatif dilambangkan sebagai xj, d i− , d i+ ≥ 0

2.2.3 Kendala Struktural Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model Linier Goal Programming kadang-kadang terdapat komponen yang lain, yaitu, kendala struktural artinya kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuantujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala ini, karena itu, kendala ini tidak diikut sertakan dalam fungsi tujuan. Minimumkan Z = ∑ Wi (d i+ + d i− ) m

i =1 m

=

∑W i =1

+

i

d i+ + Wi − d i−

Syarat ikatan : m

(Kendala Tujuan)

∑a i =1

ij

x j + d i− − d i+ = bi


Untuk i = 1,2,...,m n

Kendala Technologi

∑g j =1

kj

x j ≤ atau ≥ c k

Untuk k = 1,2,...,p j = 1,2,...,n xj, d i− , d i+ ≥ 0

Dan

d i− + d i+ = 0

dimana : d i+ dan d i−

: jumlah unit deviasi yang kekurangan (-) atau kelebihan (+) terhadap tujuan ( bi)

Wi + dan Wi −

: timbangan atau bobot yang diberikan terhadap suatu unit deviasi yang kekurangan atau kelebihan terhadap tujuan ( bi)

aij

: koefisien technologi fungsi kendala tujuan, yaitu yang berhubungan dengan tujuan peubah pengambilan keputusan (xj)

xj

: peubah pengambilan keputusan

bi

: tujuan atau target yang ingin dicapai

gkj

: koefisien teknologi fungsi kendala biasa

ck

: jumlah sumber daya k yang tersedia Model tersebut merupakan persoalan pengoptimuman untuk meminimumkan

jumlah agregat dari semua deviasi positif dan negatif yang individual dari tujuan yang telah ditetapkan.Dalam perumusan Goal Programming dapat dimasukkan satu tujuan atau lebih yang langsung berhubungan dengan fungsi objektif dalam bentuk variabel deviasi. Algoritma simpleks menjamin persyaratan non negatifitas.


Berhubung tidak dapat mencapai deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan atau target yang ditetapkan secara sekaligus atau simultan, maka salah satu dari variabel atau kedua-duanya akan menjadi nol (0),yang berarti target terpenuhi dengan sangat memuaskan dan tepat.

Tabel 2.6 Tabel Awal Goal Programming 1

2

3

x

X1 X2

...

Xk

4 …

Xn

…

dn

Value

1

wn

∑ wi bi

2

0

W1P1

d 1+

a11 a12

…

a1k … a1n

1 …0 …

0

b1

W2P2

d 2+

a21 a22

….

a2k … a2n

0… 0 …

0

b2

...

...

...

WnPn

d n+

…

……………………………………………………

+ 1

...

w1

…

Cb

d

w1 …

d1

WiPi

W1P1

0 ... 0 … 0

d1

5

al1 al2

…

alk

…

aln

0 … 1 …

0

…………………………………………….. an1

an2

…

ank

…

an

0 … 0 …

1

…

3

b1 … bn

Zj - Cj Variabel keputusan Xj dan variabel deviasi d 1−

Baris 1

:

Kolom 5

: Nilai sebelah kanan

Kolom 3

: Koefisien variabel keputusan aij

Kolom 4

: Matriks identitas menunjukkan pemasukan variabel deviasi negatif d 1−


Kolom 1

: Faktor prioritas Pi dan bobot Wi untuk setiap variabel deviasi positif (yakni variabel basis) dan memasukkan variabel deviasi artificial seperti ditampilkan dalam kolom 2.

Kolom 2

: Nilai total deviasi absolut, yang mewakili jumlah total deviasi dari semua tujuan untuk tiap tabel sebagai iterasi proses pendapatan.

Baris 2

: Vektor baris dari penunjuk nol pada proses perhitungan.

Baris 3

: Bobot Wi untuk setiap variabel deviasi yang dimasukkan dalam fungsi objektif.

2.2.4 Model Keputusan Goal Programming Oleh karenanya persamaan (2) dapat dinyatakan sebagai fungsi kendala goal dalam term model Goal Programming yaitu : aij .w j − wi + nij − pij = 0

untuk (i, j ∈ Ω )

(12)

Variabel nij dan pij sebagai variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal. Kendala persamaan (12) merepresentasikan penyimpangan, over atau underachievement dari suatu tingkat aspirasi goal yang ditetapkan. Tujuan pemodelannya adalah menemukan jawab pengambil keputusan yang mendekati konsisten. Artinya melakukan minimalisasi penyimpangan dari deviasi nilai pencapaian aspirasi subyektifnya. Oleh sebab itu, sebagai kriteria optimasi dari fungsi obyektif model ini adalah meminimumkan penjumlahan variabel deviasi nij dan pij. Misal untuk suatu problem diperoleh solusi nij dan pij = 0, maka persamaan (2) dapat terpenuhi. Hal ini berarti diperoleh jawab konsisten sempurna, inkonsistensinya =0. Sebaliknya, bila terjadi deviasi dari tingkat aspirasi yang ditetapkan, diperoleh


nilai nij dan pij ≥ 0, penetapan judgment pengambil keputusan kurang konsisten. Kendala lain yang perlu ditambahkan dalam model : 1. Kendala untuk normalisasi pembobotan wi, penjumlahan keseluruhan bobot prioritas ∑ wi = 1 . 2. Kendala ekivalensi penjumlahan variabel deviasi pada setiap kendala yang relevan, untuk menghindari munculnya dual degeneration.

2.2.5 Formulasi Model Keputusan Goal Programming Secara umum estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki dapat dinyatakan dalam problem Goal Programming sebagai berikut : Minimize Z =

∑

( i , j∈Ω )

pij +

∑n

( i , j∈Ω )

ij

(13)

s.t aij .w j − wi + nij − pij = 0 untuk (i, j ∈ Ω dan i, j ∈ ϕ )

(14)

∑ wi = 1

untuk i ∈ ϕ

(15)

wi ≥ 0

untuk i ∈ ϕ

(16)

nij,pij ≥ 0

untuk (i,j) ∈ Ω

(17)

dimana:


wi dan wj

= variabel keputusan untuk pembobotan relatif dari setiap elemen keputusan 1 dan j yang terkait pada suatu level hirarki tertentu.

nij,pij

= variabel deviasi baru dalam fungsi kendala goal.

Ai

= prioritas judgment relatif dari pengmabil keputusan yang berkaitan dengan perbandingan preferensi antar elemen keputusan 1 dan elemen keputusan j pada suatu level hirarki relevan.

Z

= fungsi obyektif yang mengukur inkonsistensi judgment dari pengambil keputusan.

ϕ

= elemen keputusan ϕ = {1,2,...n}

Ω

= sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara

berpasangan

oleh

pengambil

keputusan

untuk

Ω ={(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)}.

2.3 Model Fuzzy Goal Programming Pemaparan teori himpunan fuzzy untuk masalah Goal Programming pertama kali dikemukakan oleh Hannan (1981) juga Ignizio (1982). Secara komprehensif berbagai aspek teori keputusan dengan menggunakan pendekatan fuzzy goal programming didiskusikan oleh Rubin dan Narasimhan (1984) juga Tiwari dkk (1986). Aplikasinya untuk pemodelan keputusan untuk berbagai aspek yang luas, misalnya untuk persoalan manajemen lingkungan diungkapkan oleh Tiwari dkk (1985).

Model fuzzy goal programming yang dikemukakan dalam tulisan ini menggunakan konsep Tiwari dkk (1987) berupa model simple additive method. Pendekatan

itu

diadopsi

dikarenakan

kesamaan

struktur

keputusan

dan


kesederhanaannya dibandingkan model yang lain. Tiwari dkk (1987) merumuskan persoalan fuzzy goal programming sebagai berikut : Cari nilai X ~

~

Agar memenuhi Gs(X) < gs atau Gs(X) > gs untuk s = 1,2,...,m

(18)

s.t. AX ≥ b

(19)

X≥ 0

(20)

dimana: X = vektor variabel keputusan AX ≥ b sebagai kendala sistem ~

~

~

simbol < dan > menyatakan ketidaksamaan fuzzy kendala goal Gs(X) < gs atau ~

Gs(X) > gs. Gs(X) merupakan fungsi goal gs adalah goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan. Persamaan fuzzy kendala goal mewujudkan aspirasi yang bersifat imprecise. Model fuzzy ini perlu diubah ke dalam persamaan crips dengan mensubstitusikan fungsi tersebut pada fungsi keanggotaan fuzzy liniernya yang relevan.

2.3.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy Fungsi keanggotaan fuzzy linier untuk fungsi kendala goal yang diformulasikan Tiwari dkk (1987) adalah sebagai berikut : ~

1. Untuk problem fungsi kendala fuzzy goal Gs (X) > gs :


1   G ( X ) − Ls µi =  s  g s − Ls 0 

jika Gs ( X ) ≥ g s jika Ls ≤ Gs ( X ) ≤ g s

(21)

jika Gs ( X ) ≤ Ls

dimana: Ls adalah batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh pengambil keputusan untuk fungsi kendala fuzzy goal Gs (X). ~

2. Untuk problem kendala fuzzy goal Gs (X) < gs : 1  U − Gs ( X ) µi =  s  U s − gs 0 

jika Gs ( X ) ≤ g s jika g s ≤ Gs ( X ) ≤ U s

(22)

jika Gs ( X ) ≤ U s

dimana : Us adalah batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif oleh pengambil keputusan.

Model keputusan ini adalah problem optimasi dalam bentuk linier programming yang dapat diselesaikan dengan algoritma standar. Model memiliki fungsi obyektif dengan kriteria tunggal yaitu maksimasi derajat keanggotaan µ s untuk keseluruhan aspirasi goal. Fungsi kendalanya bisa dalam bentuk crisp atau fuzzy. ~

Misalkan untuk aspirasi goal : Gs(X) > gs diperoleh model keputusan sebagai berikut : Maximize V ( µ ) = ∑ µ s

(23)

s =1

s.t.


µi =

G s ( X ) − Ls g s − Ls

(24)

AX ≤ b

(25)

µs ≤ 1

(26)

X , µ s ≥ 0, s = 1,2,..., m dimana : V


AX ≤ b sebagai kendala sistem.

µ

= derajat keanggotaan fuzzy.

Gs(X) = fungsi goal. gs

= goal yang menjadi aspirasi pengambil keputusan.

X

= vektor variabel keputusan.

Ls

= batas toleransi aspirasi terendah yang ditetapkan subyektif oleh pengambil keputusan.

Us

= batas tingkat aspirasi toleransi tertinggi yang ditetapkan subyektif oleh pengambil keputusan.

2.3.2 Model Fuzzy Goal Programming Untuk Estimasi Penetapan Prioritas Telah dipaparkan dari persamaan (13) sampai (17) pengembangan model goal programming untuk estimasi pembobotan prioritas relatif dari metode AHP. Kesulitan utama dari pendekatan ini adalah adanya faktor inkonsistensi penetapan judgment pembobotan elemen keputusan. Karenanya ratio perbandingan judgment


yang disusun tidak selalu bisa memenuhi sifat resiprokalitas dan transitivity dari matriks. Ketidakpastian ini akan berkaitan dengan konsep fuzzy.

Misalkan pengambil keputusan telah menetapkan batas level tertinggi toleransi intensitas jawab konsistensi tertinggi (Us) dan batas level toleransi nilai terendah (gs). Nilai-nilai ini mencerminkan tingkat aspirasi subyektif. Keduanya diasumsikan berkorespodensi dengan intensitas jawab inkonsistensi yang masih bisa ditoleransi oleh pengambil keputusan. Saaty (1977,1980,1990,1994) merekomendasikan nilai rasio konsistensi (CR) sekitar < 10%.

Berdasarkan alasan itu, fungsi obyektif dari model goal dalam persamaan (13) dapat dipandang sebagai fungsi aspirasi goal (fungsi Gs) yang bersifat fuzzy. Fungsi keanggotaan fuzzy linier didapat dengan melakukan substitusi pada setiap fungsi kendala goal (persamaan 13) ke dalam fungsi keanggotaan fuzzy yang relevan (persamaan 21).

Fungsi pencapaiannya berbentuk “additive goal programming” dengan criteria berupa maksimasi nilai keanggotaan fuzzy dengan tambahan pada kendala batas nilai maksimumnya ( µ s ≤ 1 ).

Pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal diperoleh model fuzzy dalam bentuk cara linier programming biasa seperti berikut : Maximize V ( µ ) = ∑ µ s

(27)

s

s.t


Us −

µs =

∑p

( i , j∈Ω )

ij

+

∑n

( i , j∈Ω )

ij

U s − gs

(28)

untuk s = 1,2,…m aij .w j − wi + nij − pij = 0

(29)

untuk (i,j) ∈ Ω dan i, j ∈ ϕ

∑w

untuk i ∈ ϕ

(30)

µs ≤ 1

untuk s = 1,2,..., m

(31)

wi ≥ 0

untuk (i ∈ ϕ )

(32)

i

=1

i

nij . pij ≥ 0 untuk (i, j ) ∈ Ω

(33)

dimana : V


wi dan wj


nij,pij


aij

= elemen-elemen yang terdapat dalam matriks dengan i,j = 1,2...,n

µ


gs


Us


ϕ



Ω

= sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara berpasangan

oleh

pengambil

keputusan

untuk

Ω ={(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)}.

2.4 Pengenalan Program QM for Windows

Program QM for Windows merupakan paket program komputer untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains atau riset operasi. QM for Windows merupakan gabungan dari program terdahulu DS dan POM for Windows, jadi jika dibandingkan dengan program POM for Windows modul-modul yang tersedia di QM for Windows lebih banyak. Namun ada modul-modul yang hanya tersedia di program POM for Windows, atau hanya tersedia di program DS for Windows dan tidak tersedia di QM for Windows.

Program-program QM for Windows, DS dan POM for Windows, disediakan oleh penerbit Prentice Hall (www.prentice-hall.com), dan sebagian program merupakan bawaan dari beberapa buku terbitan Prentice Hall.Tampilan sementara (splash) setelah program QM for Windows dijalankan tampak pada Gambar 2.1 (bagian yang di blok hitam sebenarnya berisi tulisan License to........)


Gambar 2.2 Tampilan sementara (splash) dari program QM for Windows

Setelah tampilan sementara (splash) berakhir, akan muncul tampilan awal seperti Gambar 2.2, yang berarti program sudah siap untuk menjalankan modul-modul yang akan dipilih.Pilihan modul ada pada menu Module yang dapat diaktifkan dengan meng-klik (pakai mouse) tulisan Module di baris menu atau dengan menekan tombol Alt+M. Modul-modul dari Assignment (metode penugasan) hingga Waiting Lines (antrian) dapat dipilih,disesuaikan dengan persoalan yang hendak diselesaikan (Gambar 2.3)


Gambar 2.3 Tampilan Awal program QM for Windows


Gambar 2.4 Pilihan modul yang tersedia pada program QM for Windows

Gambar 2.5 Baris Menu (menu bar) sebelum dipilih Modul tertentu

Gambar 2.6Baris Menu (menu bar) sesudah dipilih Modul tertentu

Gambar 1.6 Baris Tool (toolbar) sebelum dipilih Modul tertentu Gambar 2.7 Baris Tool (toolbar) sebelum dipilih Modul tertentu


Gambar 2.8 Baris Tool (toolbar) sesudah dipilih Modul tertentu

Gambar 2.9 Ruang instruksi (tampilan ruang instruksi ini dapat diatur melalui menu View – Instruction - ........)

Gambar 2.10 Baris Utilitas (utility bar) – secara default terletak di bagian bawah

Baris tool (toolbar) dan baris utilitas (utility bar) dapat diatur sesuai dengan selera/kebutuhan dengan cara meng-klik kanan mouse, ketika kursor mouse berada pada toolbar. Toolbar dan utility bar dapat juga dipindahkan tempatnya dengan cara men-drag & drop bagian paling kiri dari toolbar atau utility bar tersebut; atau dengan menu View –Toolbar – Customize.


BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Penggunaan Metode AHP dalam Perhitungan Matematis

Kaidah pembobotan menyatakan bahwa : 1. Nilai bobot setiap kolom antara 0-1 atau 0% - 100% jika kita menggunakan presentase. 2. Jumlah total bobot harus bernilai 1 (100%) 3. Tidak ada bobot yang bernilai negatif (-) Berikut ini adalah langkah-langkah yang digunakan dalam menentukan bobot dengan menggunakan AHP: 1. Menentukan Prioritas Biasanya orang lebih mudah mengatakan bahwa elemen A lebih penting daripada elemen B, elemen B kurang penting dibanding dengan elemen C dan sebagainya, namun mengalami kesulitan menyebutkan seberapa penting elemen A dibandingkan elemen B atau seberapa kurang pentingnya elemen B dibandingkan dengan elemen C. Untuk itu kita perlu membuat tabel konversi dari pernyataan prioritas ke dlam angka-angka. 2. Membuat Tabel Perbandingan Prioritas Tabel perbandingan prioritas setiap elemen dibentuk dengan membandingkan masing-masing elemen. Sebagai contoh : Jika kita mempunyai 4 elemen, maka kita


membuat matriks perbandingan ke-4 elemen tersebut. Misalkan dari proses membandingkan antar elemen diperoleh nilai prioritas elemen sebagai berikut :

Tabel 3.1 Contoh Matriks Perbandingan Berkebalikan ELEMEN A ELEMEN B ELEMEN C ELEMEN D

ELEMEN A 1 2 5 3

ELEMEN B ½ 1 3 1

ELEMEN C 1/5 1/3 1 2

ELEMEN D 1/3 1 ½ 1

Cara mengisinya adalah dengan menganalisa prioritas antara elemen baris dibandingkan dengan elemen kolom. Sesuai dengan persamaan matematika yang menyebutkan jika A:B = X, maka B:A =1/X. Contoh : jika prioritas elemen B (baris) : elemen A (kolom) = 2, maka prioritas elemen A (baris) : elemen B (kolom) = ½. Sehingga prioritas setiap elemen antara elemen A : elemen A = 1, elemen C : elemen A = 5, elemen C : elemen B = 3,elemen D : elemen A = 3, elemen D : elemen B =1, elemen D : elemen C = 2.

3.1.1 Menentukan Bobot Pada Tiap Elemen Selanjutnya adalah menentukan bobot pada tiap elemen, nilai bobot ini berkisar antara 0-1, dan total bobot untuk setiap kolom adalah 1. Cara menghitung bobot adalah angka pada setiap kotak dibagi dengan menjumlahkan semua angka dalam kolom yang sama. Contoh bobot dari (elemen A,elemen A) = 1/ (1+2+5+3) = 0.090, elemen B,elemen A) = 2/(1+2+5+3) = 0.181. Dengan perhitungan yang sama bobot prioritas tabel ELEMEN diatas menjadi :


Tabel 3.2 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan ELEMEN A ELEMEN B ELEMEN C ELEMEN D

ELEMEN A 0.091 0.182 0.455 0.273

ELEMEN B 0.091 0.182 0.545 0.182

ELEMEN C 0.057 0.094 0.283 0.566

ELEMEN D 0.118 0.353 0.176 0.353

Mencari Nilai Bobot Untuk Masing-masing Elemen Selanjutnya adalah mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen. Caranya adalah dengan melakukan penjumlahan setiap nilai bobot prioritas pada setiap baris tabel dibagi dengan jumlah elemen. Sehingga diperoleh bobot masing-masing elemen adalah : ELEMEN A = (0.091 + 0.091 + 0.057 + 0.118)/ 4 = 0.089 (8.9%) ELEMEN B = (0.182 + 0.182 + 0.094 + 0.353)/ 4 = 0.203 (20.3%) ELEMEN C = (0.455 + 0.545 +0.283 + 0.176 )/ 4 = 0.365 (36.5%) ELEMEN B = (0.273 + 0.182 + 0.566 + 0.353 )/ 4 = 0.343 (34.3%)

3.1.2 Perancangan Flowchart Gambaran secara umum proses yang terjadi dalam model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode AHP yaitu:


Mulai

Data Dasar

Penetapan Bobot

Pembobotan dengan AHP

Pembobotan dengan Goal Programming

Penentuan Prioritas

Perumusan fungsi dan kendala dalam suatu hirarki

Table Perbandingan Prioritas

Perhitungan CI dan CR

Selesai

Penambahan variable deviasi positif (di+) dan deviasi negatif (di-)

Perhitungan pembobotan software QM for Windows

dengan

Pengembangan dalam model fuzzy goal programming

Tampilkan Hasil

Gambar 3.1 Flowchart yang terjadi dalam penetapan bobot prioritas


Pada bab ini akan dibahas pendekatan model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode analytical hierarchy process (AHP). Berikut ini diberikan suatu matriks pairwise comparison (matriks perbandingan berkebalikan) yaitu : 3 1  aij = 1 / 3 1 1 1 / 3 

1  3 1 

3.2 Penyelesaian Pembobotan Dengan AHP Dalam menyelesaikan pembobotan dengan AHP maka yang pertama kali dilakukan adalah menentukan bobot pada tiap elemen dari matriks pairwise comparison (matriks perbandingan berkebalikan ). Tabel 3.3 Matriks Perbandingan Berkebalikan W1

W2

W3

W1

1

3

1

W2

1/3

1

3

W3

1

1/3

1

∑

7/3

13/3

5

Maka bobot pada tiap elemen

dari matriks perbandingan berkebalikan tersebut

sebagai berikut : Tabel 3.4 Penyelesaian Matriks Perbandingan Berkebalikan W1

W2

W3

W1

0.429

0.692

0.2

W2

0.143

0.231

0.6


W3

0.429

0.077

0.2

∑

1

1

1

Selanjutnya adalah mencari nilai bobot untuk masing-masing elemen dengan melakukan penjumlahan setiap nilai bobot prioritas pada setiap baris tabel dibagi dengan jumlah elemen. Sehingga diperoleh hasilnya sebagai berikut : Tabel 3.5 Matriks Penetapan Bobot pada tiap elemen W1

W2

W3

Eigenvector utama

W1

0.429

0.692

0.2

0.440

W2

0.143

0.231

0.6

0.325

W3

0.429

0.077

0.2

0.235

∑

1

1

1

1

dimana : W1

= bobot relatif kriteria ke-1

W2


W3

= bobot relatif kriteria ke-3 Perhitungan secara manual lebih mudah jika jumlah elemen matriks yang

dimiliki hanya sedikit,namun jika jumlah elemen matriks dalam jumlah besar maka perhitungan bobot akan lebih mudah dengan menggunakan software.Ada beberapa software yang bisa digunakan antara lain Expert Choice,Decision Lens,TESS,WebHIPPRE.


Selanjutnya nilai eigen maksimum ( λ maks ) didapat dengan menjumlahkan hasil perkalian jumlah kolom dengan vektor eigen. Nilai eigen maksimum yang diperoleh adalah sebagai berikut : 13 7 x 0.440 + x 0.325 + 5 x 0.235 = 3 3

λ maks

= 1.027 + 1.408 + 1.175 = 3.61 Karena matriks berordo 3 (yakni terdiri dari 3 kriteria), maka nilai indeks konsistensi yang diperoleh adalah :

CI =

CI =

λmaks − n n −1

3.61 − 3 = 0.305 2

Selanjutnya mencari nilai Rasio Konsistensi (CR) : CR =

CI RI

Untuk n = 3, dengan menggunakan tabel Saaty diperoleh nilai RI = 0.58 maka : CR =

CI RI

CR =

0.305 = 0.525 0.58

dimana : CI


CR

= Consistency Ratio (Rasio Konsistensi)

RI

= Random Index



= ordo matriks

3.3 Penyelesaian Pembobotan Dengan Goal Programming Secara umum estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki dapat dinyatakan dalam problem Goal Programming sebagai berikut : Minimize Z =

∑

( i , j∈Ω )

pij +

∑n

( i , j∈Ω )

ij

s.t aij .w j − wi + nij − pij = 0 untuk (i, j ∈ Ω dan i, j ∈ ϕ )

∑ wi = 1

untuk i ∈ ϕ

wi ≥ 0

untuk i ∈ ϕ

nij,pij ≥ 0

untuk (i,j) ∈ Ω

dimana : wi dan wj


Z


aij


nij,pij


ϕ



Ω

= sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara

berpasangan

oleh

pengambil

keputusan

untuk

Ω ={(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)}.

Adapun penyelesaian untuk estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki dalam problem Goal Programming yaitu : 3 1  aij = 1 / 3 1 1 1 / 3 

1  3 1 

Min Z = (d1+ + d1− ) + (d 2+ + d 2− ) + (d 3+ + d 3− ) + (d 4+ + d 4− )

s.t 1. aij .w j − wi + nij − pij = 0 3 1  1 / 3 1 1 1 / 3 

 1   7/3  1/ 3   7/3  1   7/3

3 13 / 3 1 13 / 3 1/ 3 13 / 3

1 W1  W1       3  . W2  - W2  + 1  W3  W3 

 d1− − d1+     d 2− − d 2+  = 0  −   d 3 − d 3+   

1  5  W  W  1 1 3     . W W   2  2+ 5     W3  W3  1  5

 0.429 0.692 0.2  W1  W1         0.143 0.231 0.6  . W2  - W2  +  0.429 0.077 0.2  W  W     3  3

 d1− − d1+     d 2− − d 2+  = 0  −   d 3 − d 3+   

 d1− − d1+     d 2− − d 2+  = 0  −   d 3 − d 3+   


0.429 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 –W1 + (d1− − d1+ ) = 0 0.143 W1 + 0.231W2 + 0.6 W3 – W2 + (d 2− − d 2+ ) = 0 0.429 W1 + 0.077 W2 + 0.2 W3 – W3 + (d 3− − d 3+ ) = 0 2. ∑Wi = 1 s

W1 + W2 + W3 + (d 4− − d 4+ ) = 1 untuk Wi dan dj ≥ 0 untuk s = 1,2,3 Maka menjadi : Min Z = (d1+ + d1− ) + (d 2+ + d 2− ) + (d 3+ + d 3− ) + (d 4+ + d 4− )

s.t 1) – 0.571 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 + (d1− − d1+ ) = 0 2) 0.143 W1 – 0.769 W2 + 0.6 W3 + (d 2− − d 2+ ) = 0 3) 0.429 W1 + 0.077 W2 - 0.8 W3 + (d 3− − d 3+ ) = 0 4) W1 + W2 + W3 + (d 4− − d 4+ ) = 1 untuk Wi dan dj ≥ 0 dimana : W1


W2


W3


d1+ ..., d 4+ = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan positif dari suatu fungsi tujuan.


d1− ..., d 4− = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif dari suatu fungsi tujuan.

Selanjutnya penyelesaian estimasi pembobotan relatif pada AHP untuk suatu level hirarki dalam problem Goal Programming diselesaikan dengan software QM for Windows version 2.0 (Copyright 1996-2000 Howard J.Weiss) untuk memudahkan dalam perhitungan . Program QM for Windows merupakan paket program komputer untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains atau riset operasi. Adapun hasil dari penyelesaian penetapan pembobotan prioritas pada AHP dalam problem Goal programming yang diselesaikan dengan software Windows QM sebagai berikut : Tabel 3.6 Tabel Awal Goal Programming

Tabel 3.7 Penyelesaian Goal Programming



Selanjutnya nilai eigen maksimum ( λ maks ) didapat dengan menjumlahkan hasil perkalian jumlah kolom dengan vektor eigen. Nilai eigen maksimum yang diperoleh adalah sebagai berikut :

λ maks

13 7 x 0.4439 + x 0.2901 + 5 x 0.266 = 3 3

λ maks = 1.036 + 1.2571 + 1.33 λ maks = 3.6231 Karena matriks berordo 3 (yakni terdiri dari 3 kriteria), maka nilai indeks konsistensi yang diperoleh adalah :

CI =

λmaks − n n −1


CI =

3.6231 − 3 = 0.312 2


CI RI


CI RI

CR =

0.312 = 0.537 0.58

dimana : CI


CR


RI

= Random Index


= ordo matriks

3.4 Penyelesaian Pembobotan Dengan Fuzzy Goal Programming Pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal diperoleh model fuzzy dalam bentuk cara linier programming biasa seperti berikut : Maximize V ( µ ) = ∑ µ s s

s.t


Us −

µs =

∑p

( i , j∈Ω )

ij

+

∑n

( i , j∈Ω )

ij

U s − gs

untuk s = 1,2,…m aij .w j − wi + nij − pij = 0

untuk (i,j) ∈ Ω dan i, j ∈ ϕ

∑w

i

=1

untuk i ∈ ϕ

i

µs ≤ 1

untuk s = 1,2,..., m

wi ≥ 0

untuk (i ∈ ϕ )

nij . pij ≥ 0 untuk (i, j ) ∈ Ω dimana : V


wi dan wj


nij,pij


aij


µ


gs


Us


ϕ



Ω

= sebagai himpunan perbandingan judgment yang ditetapkan secara berpasangan

oleh

pengambil

keputusan

untuk

Ω ={(1,2),(1,3),...,(1,n),(2,3),...(2,n),...,(n-1,n)}.

Adapun penyelesaian untuk estimasi pembobotan relatif pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal untuk model fuzzy dalam bentuk cara linier programming yaitu sebagai berikut : 3 1  aij = 1 / 3 1 1 1 / 3 

1  3 1 

Maximize V ( µ ) = ∑ µ s s

s.t Us −

µs =

∑p

( i , j∈Ω )

ij

+

∑n

( i , j∈Ω )

ij

U s − gs

aij .w j − wi + nij − pij = 0

∑w

i

=1

untuk i ∈ ϕ

i

µs ≤ 1

untuk s = 1,2,..., m

wi ≥ 0

untuk (i ∈ ϕ )

nij . pij ≥ 0 untuk (i, j ) ∈ Ω untuk s = 1,2,3 untuk Us = 2.0 dan gs = 0.1


untuk pij = di+ dan nij = di-

Maka menjadi : Max V ( µ ) = µ1 + µ 2 + µ3

s.t

µ1 =

U1 − d1+ + d1− U1 − g1

µ2 =

U 2 − d 2+ + d 2− U 2 − g2

µ3 =

U 3 − d 3+ + d 3− U 3 − g3

W1 + W2 + W3 = 1

µ1 ≤ 1

;

µ2 ≤ 1

;

µ3 ≤ 1

Untuk mencari nilai µ1 , µ 2 , µ3 yaitu sebagai berikut : Diketahui bahwa nilai Us = 2.0 dan gs = 0.1 dan nilai (d1+ + d1− ) , (d 2+ + d 2− ) , (d 3+ + d 3− ) diperoleh dari hasil perhitungan Goal Programming yang telah diselesaikan

sebelumnya maka untuk :

µ1 =

2.0 − 0.266 1.734 U1 − d1+ + d1− = = = 0.912 2.0 − 0.1 1.9 U1 − g1

µ2 =

U 2 − d 2+ + d 2− 2.0 − 0.4439 1.556 = = = 0.819 2.0 − 0.1 1.9 U 2 − g2

µ3 =

2.0 − 0.2901 1.709 U 3 − d 3+ + d 3− = = = 0.899 2.0 − 0.1 1.9 U 3 − g3


Misalkan µ1 = W1 , µ 2 = W2 dan µ3 = W3 untuk Wi ≤ 1 Maka diperoleh : Max V (W ) = W1 + W2 + W3 s.t aij .w j − wi + nij − pij = 0

3 1  1 / 3 1 1 1 / 3 

 1   7/3  1/ 3   7/3  1   7/3

3 13 / 3 1 13 / 3 1/ 3 13 / 3

1 W1  W1       3  . W2  - W2  + 1  W3  W3 

1  5  W  1 3    . W2  5   W3  1  5

 d1− − d1+     d 2− − d 2+  = 0  −   d 3 − d 3+   

− +  0.912W1   d1 − d1    -  0.819W2  +  d 2− − d 2+  = 0   0.899W   − +  − d d 3  3 3  

 0.429 0.692 0.2  W1   0.912W1         0.143 0.231 0.6  . W2  -  0.819W2  +  0.429 0.077 0.2  W   0.899W  3    3 

 d1− − d1+     d 2− − d 2+  = 0  −   d 3 − d 3+   

0.429 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 –0.912W1 + (d1− − d1+ ) = 0 0.143 W1 + 0.231W2 + 0.6 W3 – 0.819W2 + (d 2− − d 2+ ) = 0 0.429 W1 + 0.077 W2 + 0.2 W3 – 0.899W3 + (d 3− − d 3+ ) = 0 diperoleh : -0.483 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 + (d1− − d1+ ) = 0 0.143 W1 - 0.588 W2 + 0.6 W3 + (d 2− − d 2+ ) = 0 0.429 W1 + 0.077 W2 - 0.699 W3 + (d 3− − d 3+ ) = 0


W1 + W2 + W3 + (d 4− − d 4+ ) = 1 untuk Wi ≤ 1 dan Wj ≥ 0 Dengan demikian perumusannya menjadi sbb : Max V (W ) = W1 + W2 + W3 s.t 1) -0.483 W1 + 0.692 W2 + 0.2 W3 + (d1− − d1+ ) = 0 2)

0.143 W1 - 0.588 W2 + 0.6 W3 + (d 2− − d 2+ ) = 0

3)

0.429 W1 + 0.077 W2 - 0.699 W3 + (d 3− − d 3+ ) = 0

4)

W1 + W2 + W3 + (d 4− − d 4+ ) = 1

5)

W1 + 0W2 + 0W3 + (d 5− − d 5+ ) ≤ 1

6)

0W1 + W2 + 0W3 + (d 6− − d 6+ ) ≤ 1

7)

0W1 + 0W2 + W3 + (d 7− − d 7+ ) ≤ 1

dimana : W1


W2


W3


d1+ ..., d 7+ = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan positif

dari suatu fungsi tujuan. d1− ..., d 7− = variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif

dari suatu fungsi tujuan.


Selanjutnya penyelesaian estimasi pembobotan relatif pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal untuk model fuzzy dalam bentuk cara linier programming diselesaikan dengan software QM for Windows version 2.0 (Copyright 1996-2000 Howard J.Weiss) untuk memudahkan dalam perhitungan .

Adapun hasil dari penyelesaian penetapan pembobotan relatif pada setiap level hirarki dan untuk sejumlah s fungsi kendala goal untuk model fuzzy dalam bentuk cara linier programming yang diselesaikan dengan software Windows QM sebagai berikut : Tabel 3.9 Tabel Awal Fuzzy Goal Programming

Tabel 3.10 Penyelesaian Fuzzy Goal Programming



Selanjutnya nilai eigen maksimum ( λ maks ) didapat dengan menjumlahkan hasil perkalian jumlah kolom dengan vektor eigen. Nilai eigen maksimum yang diperoleh adalah sebagai berikut :

λ maks

7 13 x 0.46 + x 0.2321 + 5 x 0.3079 = 3 3

λ maks = 1.0733 + 1.0057 + 1.5395

λ maks = 3.6185

Karena matriks berordo 3 (yakni terdiri dari 3 kriteria), maka nilai indeks konsistensi yang diperoleh adalah :

CI =

CI =

λmaks − n n −1

3.6185 − 3 = 0.30925 2



CI RI


CI RI

CR =

0.30925 = 0.533 0.58

dimana: CI


CR


RI

= Random Index


= ordo matriks


BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal mengenai pendekatan model fuzzy goal programming dalam penetapan pembobotan prioritas dari metode analytical hierarchy process (AHP) yaitu :

1. Model goal programming dan fuzzy goal programming yang dikembangkan dari konsep penetapan bobot prioritas dengan metode AHP mengambil asumsi dan memperhatikan aspek fuzzy hanya pada penetapan level aspirasi toleransi pencapaian goal, bukan pada penentuan prioritas fungsi goal-nya. 2. Model fuzzy goal programming menggunakan batas level toleransi tertinggi yang ditetapkan sebesar 2.0 dan level toleransi terendah pada 0.1,keduanya diasumsikan sebagai kwantifikasi tingkat aspirasi subyektif yang diinginkan pengambil keputusan. 3. Secara umum penggunaan metode fuzzy goal programming memberikan pencapaian nilai bobot prioritas yang relatif tidak berbeda jauh dengan pendekatan metode AHP dan goal programming.


4.2 Saran Sebagai saran yang ditujukan kepada pembaca yaitu : 1. Untuk jumlah elemen matriks yang lebih besar maka perhitungan bobot menggunakan software akan lebih mudah,beberapa software yang dapat digunakan seperti Expert Choice,Decision Lens,TESS,Web-HIPPRE. 2. Kajian perlu dikembangkan lebih lanjut untuk menetapkan metode mana yang mempunyai validitas lebih baik dalam kondisi keputusan, hirarki keputusan yang tidak lengkap dan kesamaran informasi parameter juga masalah keputusan multikriteria yang berhirarki lebih dari 2 level.


DAFTAR PUSTAKA

1. Daihani,D.Umar.2004.” Komputerisasi Pengambilan Keputusan”. Jakarta:PT.Elex Media Komputindo. 2. Gunes,M. Dan Umarosman,N.2005,”Fuzzy Goal Programming Approach on Computation of The Fuzzy Arithmetic Mean”,Mathematical and Computational Application,Vol.10,No.2,pp 211-220. 3. Nasendi,B.D. dan Anwar,Affendi. 1985. “Program Linear dan Variasinya”. Jakarta:PT Gramedia. 4. Nurmianto,Eko.”Perumusan Strategi Kemitraan Menggunakan metode AHP dan SWOT”. Jurnal Teknik Industri,Vol.6,No.1, Juni 2004 : 47-60. 5. Saaty,T.Lorie.1980.”Decision Making With Dependence and fee back, The Analitic Network Process”.MCGraw-Hill,Inc,USA. 6. Supranto,Johannes. 1998. ”Teknik Pengambilan Keputusan “. Jakarta : PT.Rineka Cipta. 7. Widodo,T.S.2005.” Sistem Neuro Fuzzy”. Yogyakarta: Graha Ilmu. 8. Wijayanto,P. 2007. ”Panduan Program Aplikasi”.Jurnal Kuliah Fakultas Ekonomi Universitas Kristen Satya Wacana,Salatiga.


PENDEKATAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING DALAM PENETAPAN PEMBOBOTAN PRIORITAS DARI METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS (AHP) SKRIPSI

Recommend Documents