Pendahuluan, Statis Momen, Titik Berat, & Momen Inersia Bahan Kuliah 1, 2, 3 Mekanika Bahan Ir. Elisabeth Yuniarti, MT
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SURYAKANCANA
PENDAHULUAN Mekanika bahan adalah cabang m mekanika ekanika terapan yang membahas perilaku benda padat yang mengalami berbagai pembebanan. Mekanika bahan mempermasalahkan bagaimana gaya gaya-gaya gaya bekerja pada sebuah benda akibat lentur, puntir, atau pada saat benda hancur. Dalam menganalisis masalah, dari sudu sudut pandang statika struktur dianggap badan kaku yang ideal yang tidak berdeformasi maupun gagal/hancur. Pada kenyataannya, struktur dapat berdeformasi atau gagal bergantung pada material pembentuknya dan beban yang diterima struktur. Guna menganalisa baga bagaimana perilaku material sesungguhnya ketika struktur yang bersangkutan menerima beban, perlu diperkenalkan konsep tegangan dan regangan. Dalam rangka menganalisa struktur dari sudut pandang ini, perlu lebih dahulu dipahami statika untuk menyelesaikan semu semuaa gaya internal dan eksternal yang bekerja pada sebuah badan. Kuliah mekanika bahan dalam hal ini akan memberikan gambaran atas berbagai pemahaman dasar beberapa fokus bahasan sebagaimana digambarkan pada diagram berikut.
Gambar 1. Peta Pikiran Fokus Kuliah Mekanika Bahan
1
STATIS MOMEN & TITIK BERAT Besaran atau properti yang pertama kali dibahas adalah titik berat penampang dan inersia penampang. Berkaitan dengan berat sebuah badan dapat dipahami bahwa bumi mengeluarkan gaya gravitasi pada setiap partikel pembentuk sebuah benda. Gaya-gaya ini dapat digantikan oleh sebuah gaya ekivalen yang sama dengan berat benda dan diaplikasikan pada pusat gravitasi (center of gravity) dari benda. Sentroid/titik berat dari sebuah luasan adalah analogi dari pusat gravitasi sebuah benda. Konsep momen pertama (statis momen) atas masa sebuah luasan digunakan untuk mencari lokasi sentroid ini. Untuk menjelaskan pusat grafitasi sebuah pelat dapat digambarkan sebuah pelat tanpa tebal yang memiliki masa merata pada seluruh penampang pelat seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
Atau, sebuah kawat/kabel yang memiliki masa merata sepanjang kawat/kabel tersebut sebagaimana dipresentasikan pada gambar berikut.
Dari gambar-gambar di atas, dapat dibayangkan bahwa seluruh berat badan dapat di wakili oleh sebuah gaya W pada pusat gravitasi badan yang bersangkutan.
2
Jumlah momen pertama dari masa badan terhadap sebuah sumbu sembarang yang ditetapkan dapat diekspresikan sebagai berikut :
∑M
y
∑M
y
∑ x ∆W = ∫ x dW yW = ∑ y ∆W = ∫ y dW
xW =
Dalam perspektif dua dimensi,, momen pertama dari masa penampang badan di atas dapat da digambarkan sebagai : a. luasan
dengan :
∫ x dW x (γ At ) = ∫ x (γ t )dA x A = ∫ x dA = Q xW =
y
= statis momen terh adap sumbu y yA =
∫ y dA = Q
x
= statis momen terh adap sumbu x
b. garis
3
xW =
∫ x dW x (γ La ) = ∫ x (γ a )dL x L = ∫ x dL y L = ∫ y dL
Formulasi di atas dapatt kemudian disebut sebagai momen pertama dari masa badan terhadap suatu sumbu yang ditinjau yang juga dikenal statis momen badan terhadap suatu sumbu yang ditinjau. Keadaan khusus penampang Sebuah area dikatakan simetris terhadap sumbu BB’ jika untuk setiap titik P terdapat sebuah titik P’ sedemikian hingga PP’ tegaklurus terhadap BB’ dan terbagi dua bagian yan yangsama gsama oleh BBSebuah area simetris terhadap sumbu BB’ jika untuk setiap titik P terdapat sebuah titik P’ sedemikian hingga PP’ tegaklurus terhadap BB’ dan terbagi dua bagian yang sama oleh BB.
Demikian halnya dengan penampang berbentuk jajaran genjang yang simetris terhadap sumbu y, di mana pada jarak yang sama dari garis y = 0 dapat ditinjau luasan kecil yang sama sebesar dA Statis momen sebuah luasan terhadap sebuah garis simetri adalah nol yaitu jumlah dari (+x.dA) dan (−xdA). xdA). Jadi, jika ika sebuah luasan memiliki 2 buah garis simetri, sentroidnya berada pada sumbu tersebut tersebut. Dan, jika sebuah luasan memiliki 2 garis simetri, sentroid berada pada potongan keduanya.
Sebaliknya jika untuk setiap elemen dA pada (xy) terdapat sebuah area dA’ yang sama pada (-x, -y) y) atau luasan ini disebut antimetri, maka sentroid dari luasan mempunyai pusat yang sama dengan pusat simetri.
4
Sentroid atau titik berat penampang dapat dicari melalui pemahaman atas statis momen. Jika kita bebani sebuah buah bidang F dengan suatu beban merata q = 1, kemudian kita bagi bidang F atas sembarang jumlah bidang kecil fi , maka fi merupakan suatu gaya resultan akibat beban merata. Titik berat S diketahui sebagai titik tangkap resultan gaya fi dalam arah horizontal horizont dan vertikal.
Atas dasar ketentuan bahwa momen resultante MR sama dengan jumlah momen gaya MP dari gaya-gaya P1, P2, … Pn yang bekerja, maka dapat ditentukan : xs . ∑fi = ∑xi. fi
dan
ys . ∑fi = ∑yi. fi
Titik berat S diketahui sebagai gai titik tangkap resultan gaya fi dalam arah horizontal dan vertikal. Dengan menggunakan dua rumus ini kita bisa menentukan jarak titik berat ys dan xs , seperti berikut : ys = (∑y ∑yi. fi )/∑fi
dan
xs = (∑xi. fi )/∑fi
Untuk bagian luasan yang ng sangat kecil (infinitesimal) maka berlaku hubungan berikut : Luas penampang :
∫
A = dA A
Statis Momen penampang : a. terhadap sumbu x :
∫
S x = y.dA A
b. Terhadap sumbu y :
∫
S y = x.dA A
Maka letak titik berat (sentroid) penampang adalah :
xo =
sy A
=
∫ x.dA A
∫
A
dan dA
s yo = x = A
∫ y.dA A
∫ dA A
5
Analisis letak tak titik berat penampang dapat dilakukan dengan dua cara berikut : a. Cara I : penampang berada dalam sistem sumbu XOY
b. Cara II : penampang berada dalam sistem sumbu koordinat kutub/polar f1 = f (r1 ,θ1 ) f 2 = f (r2 , θ 2 )
Contoh Soal 1 Tentukan statis momen seperempat lingkaran dengan jari-jari R berikut a. Cara I, bidang dalam sistem sumbu XOY Persamaan lingkaran :
Luas Lingkaran : R
R
∫
∫ (R
0
0
A = y.dx =
2
R x 2 − x 2 .dx = R 1 − .dx R 0
)
∫
6
Hubungan ordinat x dan sudut α :
x → x = R. sin α R dx = R cos α .dα x = 0 → sin α = 0 = 0 → α = 0 R x = R → sin α = R = 1 → α = π / 2 R
sin α =
Sehingga Luas adalah : π 2
A=
1 − sin α .(R. cos α .dα ) =
∫ R.
2
0
π 2
A = R2
∫ 0
A=
R 4
∫ R . cos 2
2
α .dα
0
R2 cos 2α + 1 . α = d 2 2
2 π 2
A=
π 2
π 2
∫ [cos 2α + 1]. 0
d (2α ) 2
2
R ∫ (cos 2α + 1).d (2α ) = 4 (sin 2α + 2α )
π 2 0
0
R2 {(sin π + 2.π 2) − (sin 0 + 2.0)} = 1 πR 2 4 4
Statis momen adalah : R
R
2
R
x S y = x( y.dx ) = x. R − x .dx = xR 1 − dx R 0 0 0
∫
π
Sy =
∫
2
∫
2
R
2
3 2 ∫ (R.sin α ).R.(cosα )(. R.cosα .dα ) = R ∫ sin α .cos α .dα 0
0
π
S y = R3
2
∫
R3 cos 3 α 3
{
}
0
Sy = −
(
cos 2 α .(− d cos α ) =
)
3 R3 R3 (0 − 1) = R cos 3 (π 2 ) − cos 3 (0) = − 3 3 3
Karena penampang tersebut simetri terhadap garis l : y = x; maka : Sy = Sx =
R3 3
7
b. Cara II , bidang dalam sistem sumbu polar Luas π
R
∫
2
R
∫
π
A = r.dr. θ = 21 r 2 .θ 0 2 = 41 πR 2 0
0
0
Statis Momen π
R
∫
R
2
0
Sx =
∫ (− cosθ ) 0 2
∫ (R − 0).(− cos π 2 + cos0) =
S x = r .dr. sinθ .dθ = 2
1 3 r 3
0
0
3
1 3
π
1 3 R 3
S x = S y = 31 R 3
Contoh Soal 2 Tentukan statis momen segitiga AOB, jika diketahui sisi OA = b dan OB = h Jawab : Persamaan garis AB: y=
h (b − x ) b
Luas segitiga AOB : A = 12 b.h
Statis momen terhadap sumbu –x : b
Sx =
∫ 0
2
2 h (b − x ) .dx = 12 h 2 b b
1 2
2 b
Sx = Sx =
1 2
1 2
h b2
∫ (b
2
)
b
∫ (b − x ) .dx 2
0
− 2bx + x 2 .dx =
1 2
0
(
(
h2 2 b x − bx + 12 x 3 2 b
)
b 0
)
h2 3 b − b 3 + 13 b 3 = 16 h 2 b 2 b
Statis momen terhadap sumbu –y :
8
b
b
∫
S y = ( y.dx).x = 0
h
∫ b (b − x ).x.dx 0
(
h 1 2 1 3 bx − 3 x b 2 h S x = 12 b 3 − 13 b 3 b S x = 16 hb 2 Sx =
(
)
b 0
)
Contoh Soal 3 Tentukan letak titik beraatt dari penampang kpmposit seep perti terlihat pada gambar di sampingg.. xs =
∑ (x. f ) = x . f
ys =
∑ ( y. f ) = y . f
1
1
F
1
F
1
+ x2 . f 2 + x3 . f 3 F + y 2 . f 2 + y3 . f 3 F
Contoh Soal 4 Untuk sebuah bidang yang ditunjukkan di atas, tentukan statis momen terhadap sumbu x dan y dan lokasi centroidnya. SOLUSI: − − −
Bagi area menjadi segitiga, segiempat, dan setengah lingkaran dengan sebuah lubang lingkaran. Hitung statis momen dari setiap area terhadap sumbusumbunya. Cari luas total dan statis momen dari segitiga, segiempat,
9
dan setengah lingkaran. Kurangi dengan luas dan statis momen lingkarangan yang berlubang. −
Hitung koordinat dari centroid luasan dengan membagi statis momen dengan luas total
−
Cari luas total dan statis momen dari segitiga, segiempat, setengah lingkaran. Kurangi dengan luas dan statis momen potongan lingkaran Qx = +506.2 × 103 mm3 Q y = +757.7 × 103 mm3
−
Hitung koordinat dari centroid luasan dengan membagi statis momen dengan luas total X=
∑ x A = + 757.7 × 10 mm ∑ A 13.828 × 10 mm 3
3
3
2
X = 54.8 mm Y =
∑ y A = + 506.2 × 10 mm ∑ A 13.828 ×10 mm 3
3
3
2
Y = 36.6 mm
10
Menentukan centroid dengan Integrasi Double integrasi untuk mencari stastis momen dapat dihindari denga mendefinisikan dA setipis persegi empat atau pita.
∫ ∫∫ x dx dy = ∫ x dA yA = ∫ y dA = ∫∫ y dx dy = ∫ y dA
x A = x dA =
el
el
∫ = ∫ x ( ydx ) yA = ∫ y dA
x A = xel dA
el
=
y
∫ 2 ( ydx)
∫
x A = xel dA
a+ x
∫ 2 [ (a − x )dx] yA = ∫ y dA = ∫ y [(a − x )dx ] =
el
∫
x A = xel dA =
2r
1
2
1
2
∫ 3 cosθ 2 r dθ ∫
yA = yel dA =
2r
∫ 3 sin θ 2 r
dθ
11
Contoh Soal 5 Tentukan dengan integrasi tunggal locasi penampang yang dibatasi oleh garis y = 0 (sumbu x), garis x = a, dan kurva y= kx2 SOLUSi: •
Tentukan konstanta k.
•
Hitung total luas penampang
•
Menggunakan pita horizontal maupun vertikal, lal lalukan ukan integrasi tunggal untuk mencari statis momen (first first moments moments).
•
Tentukan koordinat centroids
Analisis perhitungan •
konstanta k. y = k x2 b = k a2 ⇒ k = y=
•
b 2 x a2
or
b a2 x=
a 12 y b1 2
total luas penampang
∫
A = dA a
a
b x3 b 2 x dx = y dx = = 2 a2 a 3 0 0 ab = 3
∫
•
∫
integrasi tunggal untuk mencari statis momen ((first moments)) menggunakan pita vertikal
12
a
b Q y = xel dA = xy dx = x 2 x 2 dx a 0
∫
∫
∫
a
b x4 a 2b = 2 = 4 a 4 0
∫
Qx = yel dA =
∫
2
a
y 1 b 2 y dx = 2 x dx 2 2 a 0
∫
a
b2 x5 ab 2 = 4 = 2a 5 0 10
•
integrasi tunggal untuk mencari statis momen (first moments moments) menggunakan pita Horizontal
∫
Q y = xel dA =
∫
b
=
1 2 a2 a − b 2 0
∫
b
2 2 a+x (a − x )dy = a − x dy 2 2 0
∫
a 2b y dy = 4
a Qx = yel dA = y (a − x )dy = y a − 1 2 y1 2 dy b
∫
∫
∫
b
ab 2 a = ay − 1 2 y 3 2 dy = 10 b 0
∫
•
Tentukan koordinat centroid xA = Q y ab a 2 b x = 3 4
x=
3 a 4
y=
3 b 10
yA = Q x ab ab 2 y = 3 10
13
Contoh Soal 6
SOLUSI :
Contoh Soal 7 Tentukan sentroida tongkat yang melengkung ke dalam bentuk busur parabolik, seperti ditunjukkan ditu dalam gambar! SOLUSI : iferensial ditunjukkan dalam gambar di Elemen diferensial atas. Dia ditempatkan pada kurva di titik sembarang (x,y). Panjang diferensial elemen dL dapat dinyatakan dalam diferensial-diferensial diferensial dx dan dy dengan menggunakan teorema Phytagoras. agoras. dx 2 dL = (dx) 2 + (dy ) 2 = ( ( dy ) + 1)dy
Karena x = y2, maka dx/dy = 2y. Karenanya, dengan menyatakan dL dalam y dan dy, kita peroleh : dL = ( (4 y ) 2 + 1)dy
Sentroida terletak pada xi = x, yi = y Pengintegrasian : 1
∫ =∫ x= ∫ dL ∫ xi dL
0
x 4 y 2 + 1dy
1
4 y 2 + 1dy
0
x=
1
∫y = ∫ 0
1
0
2
4 y 2 + 1dy 4 y 2 + 1dy
0,746 = 0,504m 1,479 1
∫ y dL = ∫ y 4 y + 1dy y= ∫ dL ∫ 4 y + 1dy i
2
0
1
2
0
y=
0,848 = 0,573m 1,479
15
Contoh Soal 8 Tentukan jarak y ke sentroida luasan segitiga yang ditunjukkan dalam gambar SOLUSI : Elemen differensial. Perhatikan elemen persegi empat yang mempunyai ketebalan dy dan panjang variabel x’. Dengan segitiga serupa, b/h=x’(h-y) y) atau x’= (b/h)(h-y). (b Elemen memotong sisi-sisi sisi segitiga pada suatu ketinggian y di atas sumbu x. Luas dan lengan momen. Luas elemennya dA = x’dy = (b/h)(h (b/h)(h-y)dy. Sentroida terletak pada yi = y dari sumbu x. Pengintegrasian.
∫ y= ∫ dA y=
1 bh 2 6 1 2 bh
b
h
yi dA
∫ y h (h − y)dy = b ∫ h (h − y)dy 0
h
0
=
h 3
Properti geometris ris dan elemen area
16
17
Centroid dari Bentuk Bidang Umum
18
MOMEN INERSIA Momen inersia atau juga disebut debagai momen kedua ((second moment)) dari sebuah s area penampang dapat digunakan untuk memprediksi ke kemampuan mampuan balok menahan menah lentur dan defleksi. Defleksi balok akibat beban bergantung tidak saja pada beban, tetapi juga pada geometri dari penampang melintang balok. Hal inilah yang menyebabkan balok dengan momen inersia yang lebih tinggi, seperti balok balok-I, seringkali terlihat pada ada konstruksi bangunan. Dengan cara yang sama, momen inersia polar merupakan suatu sifat yang dimiliki benda untuk menilai kemampuannya menahan torsi (momen puntir). Momen inersia didefinisikan sebagai berikut : Yang dimaksud dengan MOMEN INERSIA (momen lembam) dari suatu penampang terhadap suatu sumbu adalah hasil perkalian antara luas penampang tersebut dengan kuadrat jarak tegak lurus antara titik berat penampang terhadap sumbu yang bersangkutan.
dI x = y 2 .dA dI y = x 2 .dA I x = ∫ dI x = ∫ y 2 .dA A
A
I y = ∫ dI y = ∫ x 2 .dA A
A
Ix adalah momen inersia bidang A terhadap sumbu x Iy adalah momen inersia bidang A terhadap sumbu y
MOMEN INERSIA POLAR
19
Momen inersia polar adalah ah sebuah besaran yang digunakan untuk memprediksi kemampuan objek untuk menahan torsi, pada objek atau bagian objek dengan penampang melintang lingkaran yang tak berubah (invariant invariant)) dan tidak ada distorsi atau deformasi di luar bidang yang signifikan. Momen inersia polar digunakan untuk menghitung perpindahan sudut sebuah objek yang dibebani torsi. Momen inersia polar ini serupa dengan momen inersia, yang menun menunjukkan perilaku sebuah objek untuk menahan lentur dan dibutuhkan untuk menghitung perpindahan. Makin besar momen inersia ia polar, puntiran balok makin kecil jika diberi beban torsi. Momen inersia polar tidak boleh dipertukarkan dengan momen inersia, di ma mana karakter akselerasi putaran sudut akibar torsi. Momen inersia polar penampang didefinisikan sebagai berikut : Yang dimaksud dengan MOMEN INERSIA POLAR dari suatu penampang terhadap suatu titik (= O) adalah hasil perkalian antara luas penampang tersebut dengan kuadrat jarak antara titik yang bersangkutan dengan titik berat penampang tersebut.
Ip = momen inersia polar
MOMEN INERSIA PRODUK Momen inersia produk sebuah luasan sangat penting untuk menentukan tegangan lentur pada penampang melintang asimetris. ris. Tidak seperti momen kedua/momen inersia mungkin bernilai positif atau negatif. Sebuah sistem koordinat, di mana momen inersia produk bernilai nol, terarah pada sebuah set sumbu utama, dan momen inersia yang dihitung terhadap sumbu
20
utama akan mengasumsikan sikan maksima dan minima minima-nya. nya. Sistem koordinat dengan titik asalnya pada titik berat penampang melintang dan kedua sumbunya merupakan sumbu simetri akan selalu merupakan sumbu utama. Yang dimaksud dengan MOMEN INERSIA Produk (momen sentrifugal) dari suat suatu penampang terhadap dua buah sumbu adalah hasil perkalian antara luas penampang tersebut dengan jarak tegak lurus antara titik berat penampang tersebut dengan salah satu sumbu dan jarak tegak lurus antara titik berat penampang tersebut terhadap sumbu yang lain .
dI xy = x. y.dA I xy = ∫ x. y.dA A
Ixy = momen inersia produk bidang A
PENAMPANG SIMETRI dan ASIMETRI Penampang Simetri Satu Arah Sumbu simetri merupakan salah satu sumbu utamanya, sedang sumbu utama yang lain adalah tegak lurus dengan sumbu utama simetri dan melalui titik berat penampang
21
Penampang Simetri Dua Arah Kedua sumbu simetri merupakan sumbu utama
Penampang Asimetri
22
MENCARI MOMEN INERSIA PENAMPANG MENGGUNAKAN INTEGRASI Prosedur Analisis Untuk melakukan integrasi tunggal dalam menentukan momen inersia sebuah penampang, maka perlu ditentukan elemen diferensial dA. Seringkali elemen ini berupa persegi panjang [panjang dan lebarnya berhingga]. Elemen ini ditempatkan sedemikian hingga mem memotong penampang pada titik sembarang (x,y). Ada 2 cara. Cara I Panjang elemen diorientasikan paralel terhadap sumbu. Gambar di atas digunakan untuk menghitung Iy penampang. Aplikasi langsung persamaannya, Iy = ∫x2 dA. Dalam hal ini elemen mempunyai tebal infinitesimal dx dan dengan demikian semua bagian elemen berjarak sama dengan : x dari sumbu y.
23
Contoh I Tentukan momen inersia luasan persegi empat yang ditunjukkan dalam gambar terhadap sumbu sentroidal x’ Elemen diferensial yang ditunjukkan dalam ga gambar mbar dipilih untuk pengintegrasian. Karena letak dan orientasinya, seluruh elemen berada pada jarak y’ dari sumbu x’.. Di sini perlu dintegrasi y’ = – h/2 ke y’= h/2. Karena d dA = b . dy’, maka : h
−
I x = ∫ y ' dA = A
h
2
2
2 ∫ y ' (b.dy ' ) = b ∫ y ' dy'
2
2
−h2
−h 2
_
I x = 121 bh 3
Contoh II Tentukan momen inersia luasan yang ditunjukkan ditunjukka dalam gambar di sekitar sumbu x. Elemen diferensial luasan yang paralel dengan sumbu x, seperti ditunjukkan dalam gambar merupakan yang dipilih untuk integrasi. Karena elemen mempunyai tebal dy dan memotong kurva pada titik sembarang (x,y), maka luasannya adalah dA = (100--x) dy. Selanjutnya semua bagian elemen berada pada jarak yang sama y dari sumbu x.. Dengan mengintegrasi terhadap y, dari y = 0 ke y = 200 mm, diperoleh : I x = y 2 dA = y 2 (2 x )dy
∫
∫
A a
Ix =
∫y
−a
A
2
2 a 2 − y 2 dy
24
y2 y 2 2a 1 − 2 dy a −a a
Ix = Ix =
∫
πa 4 4
Contoh III Tentukan momen inersia terhadap sumbu x dari luasan sirkular yang ditunjukkan gambar. Dengan menggunakan elemen diferensial luasan yang ditunjukkan dalam gambar, karena dA = 2x dy, kita peroleh :
Ix
y dA
y
A a
Ix
( x )dy
A
y
(
a
)
y dy
a
Cara II Panjang elemen dapat berorientasi terhadap sumbu. Persamaan Iy = ∫x2 dA karena semua bagian elemen tidak akan berada pada jarak lengan-momen yang sama dari sumbu. Untuk menghitung Ix penampang pada gambar di atas, maka perlu mengambil elemen di sekitar sumbu horizontal melalui sentroida elemen dan mene inersia elemen di sekitar sumbu x.
TEOREMA SUMBU-PARALEL PARALEL SEBUAH LUASAN Jika momen inersia sebuah luasan di sekitar sumbu yang melalui sentroidanya diketahui, maka untuk menentukan momen inersia luasan disekitar sumbu yang paralel dapat digunakan igunakan TEOREMA SUMBU PARALEL (sejajar). Untuk menurunkan teorema ini, perhatikan cara mencari momen inersia suatu luasan di sekitar sumbu x. Dalam hal ini elemen diferensial dA terlihat pada jarak sembarang y’ dari sumbu x’ sentroidal, sebaliknya jarak tetap antara sumbu-sumbu sumbu paralel x dan x’ didefinisikan sebagai dy. Karena momen inersia dari dA di sekitar sumbu x adalah dIx = (y’+dy)2 dA, maka untuk keseluruhan luasan adalah : I x = ∫ ( y '+ d y ) dA 2
A
I x = ∫ y '2 dA + 2d y ∫ y ' dA + d y2 ∫ dA A
A
A
Integral pertama menyatakan momen inersia luasan di sekitar sumbu sentr sentroidal, oidal, Ix’. Integral keduanya nol karena sumbu x’ melalui sentroida luasan C, yakni ʃy’dA = ȳ ʃdA dA = 0 karena ȳ=0. Dengan menyadari bahwa integral ketiga menyatakan luasan total A, hasil akhir dengan demikian adalah :
I x = I x ' + A.d y2 Pernyataan yang sama dengan persamaan Ix dapat dituliskan untuk Iy, yaitu :
I y = I y ' + A.d x2 Untuk momen inersia kutub di sekitar suatu sumbu tegak lurus terhadap bidang x-y x dan melalui O (sumbu z), diperoleh :
I po = I pc + A.d 2 tiap persamaan ini menyatakan bahwa momen inersia sebuah luasan di sekitar Bentuk tiap-tiap sebuah sumbu sama dengan momen inersia luasan di sekitar suatu sumbu paralel yang melalui sentroida luasan ditambah dengan perkalian luasan dan kuadrat jarak tegak lurus antara sumbu-sumbu.
26
Contoh IV Tentukan momen inersia luasan persegi empat yang ditunjukkan dalam gambar terhadap : a. sumbu xb yang melalui alas segiempat , dan b. kutub atau sumbu u z’ yang tegak lurus bidang x’ x’-y’ y’ dan melalui sentroida C Jawab : a. Momen inersia di sekitar sumbu yang melalui alas persegi empat dapat dicari dengan menggunakan hasil bagian pada contoh I dan dengan menerapkan teorema sumbu paralel. I xb = I x ' + Ad y2 2
h I xb = bh + bh = 13 bh 3 2 b. Untuk mendapatkan momen inersia kutub di sekitar titik C, pertama harus mencari Īy’, yang dapat dicari dengan saling menukarkan dimensi b dan h dalam hasil contoh I, yaitu : I y ' = 121 b 3h _
1 12
3
Dengan menggunakan persamaan :
I p = I x' + I y'
Momen inersia kutub di sekitar C menjadi :
I pC = I x ' + I y ' = 121 bh(h 2 + b 2 )
27
Contoh V Elemen diferensial rensial luasan yang paralel dengan sumbu y,, seperti ditunjukkan dalam gambar dipilih untuk integrasi. Elemen memotong kurva pada titik sembarang (x, y). Dalam hal ini semua bagian elemen tidak berada pada jarak yang sama pada sumbu x, dan dengan demikian teorema sumbu-paralel sumbu harus digunakan menentukan momen inersia elemen terhadap sumbu ini. Untuk sebuah persegi panjang yang mempunyai alas b dan tinggi h, momen inersia di sekitar sumbu sentroidalnya telah ditentukan dalam Contoh I. Didapatkan bahwa Ix’ = 1/12 bh3. Untuk elemen diferensial yang ditunjukkan dalam gambar b=dx dan h=y, sehingga dIx’=1/12 dx y3. Karena sentroida elemennya pada ỹ = y/2 dari sumbu x, maka momen inersia elemen sekitar sumbu ini adalah : dI x = dI x ' + dA~y 2 = 121 dxy 3 + ydx
()
y 2 2
Hasil pada contoh II dapat juga dituru diturunkan nkan dari persamaan diatas dengan mengintegrasi x=0 ke x=100 mm, diperoleh : 100
I x = ∫ dIx = ∫ y dx = ∫ 1 3
3
A
I x = 13 .(400 ) . 25 ( x ) 3 2
5 2
1 3
(
)
100
3
400 x dx =
∫ (400 x ) dx 1 3
0
0
100
= 106,67.10 mm 4
0
3 2
6
28
Contoh VI Tentukan momen inersia terhadap sumbu x dari luasan sirkular yang ditunjukkan gambar Bila elemen diferensial yang dipilih seperti yang ditunjukkan dalam gambar, maka ka sentroida elemen yang terjadi berada dalam sumbu x, dengan menerapkan persamaan :
I x = I x ' + A.d y2 dan dengan memperhatikan dy = 0, diperoleh : dI x = 121 dx(2 y ) 3 dI x = 23 y 3dx
dan integrasi terhadap x diperoleh : a
Ix =
∫ (a
−a
2
)
3
− x 2 2 dx =
πa 4 4
29
Contoh Soal 1 Menghitung momen inersia penampang komposit di sekitar sumbu –x. Bagian Paduan
Penampang di atas dapat dibagi menjadi persegi panjang dan lingkaran. Luasan paduan akan diperoleh dengan mengurangkan lingkaran pada persegi panjang. Teorema Sumbu Paralel Momen inersia di sekitar sb-x ditentukan dengan menggunakan teorema sumbu paralel : I x = I x + A.d 2x
Lingkaran : Persegi Panjang :
I x = 14 π(25) + π.252.(75) = 11,4.10 6 mm 4 2
2
I x = 121 (100 )(150 ) + (100.150 )( . 75) = 112,5.10 6 mm 4 3
2
Penjumlahan Maka, momen inersia penampang komposit terhadap sumbu x : I x = −11,4.10 6 + 112,5.10 6 = 101,1.10 6 mm 4
30
Contoh Soal 2 Tentukan momen inersia penampang komposit di sekitar sumbu x dan sumbu y untuk penampang pada gambar di atas. s. PENYELESAIAN : Bagian Paduan Penampang dapat dipandang sebagai 3 penampang A, B, dan D yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Untuk perhitungan, sentroida tiap bagian penampang diberikan.
Teorema sumbu Paralel Momen inersia persegii panjang sekitar sumbu sentroidalnya adalah : Ī = 1/12.bh3. Sehingga, dengan menggunakan teorema sumbu paralel, diperoleh hasil sebagai berikut : Persegi panjang A :
Ix = Īx’ + Ad2y = 1/12 .(100)(300)3 +(100)(300)(200)2 =1,425. 109 mm4
Iy = Īy’ + Ad2x = 1/12 .(300)(100)3 +(300)(100)(250)2 =1,900. 109 mm4
Persegi Panjang B :
Ix = Īx’ + Ad2y = 1/12 .(600)(100)3 + 0 = 0,05. 109 mm4
Iy = Īy’ + Ad2x = 1/12 .(100)(600)3 + 0 = 1,800. 109 mm4
31
Persegi Panjang D :
Ix = Īx’ + Ad2y = 1/12 .(100)(300)3 + (100)(300)(200)2 = 0,05. 109 mm4
Iy = Īy’ + Ad2x = 1/12 .(300)(100)3 + (100)(300)(250)2 = 1,90. 109 mm4
Penjumlahan
Ix = 1,425. 109 + 0,05. 109+0,05. 109 = 2,90.109 mm4
Iy = 1,90. 109 + 1,80. 109+1,90. 109 = 5,60.109 mm4
SOAL-SOAL LATIHAN 1. Tentukan momen inersia penampang komposit di sekitar sumbu x dan sumbu y untuk penampang pada gambar di bawah ini.
32
2. Tentukan momen inersia penampang komposit di sekitar sumbu x dan sumbu y untuk penampang pada gambar di bawah ini.
3. Tentukan momen inersia penampang komposit di sekitar sumbu x dan sumbu y untuk penampang pada gambar di bawah ini.
33
4. Tentukan momen inersia penampang komposit di sekitar sumbu x dan sumbu y untuk penampang pada gambar di bawah ini.
5. Tentukan momen inersia penampang komposit di sekitar sumbu x dan sumbu y untuk penampang pada gambar di bawah ini.
34
6. Tentukan momen inersia penampang komposit di sekitar sumbu x dan sumbu y untuk penampang pada gambar di bawah ini.
35
