PEMODELAN SISTEM Pemodelan & simulasi TM05
Pemodelan Sistem Fisik • Pemodelan matematis dari sebuah sistem diperoleh dg mengaplikasikan hukum-hukum fisika yg scr natural mengatur komponen-komponen yg ada dlm sistem ybs. Misalnya hukum Newton, Kirchoff, dll. • State (keadaan) sistem mengacu ke kondisi sistem secara matematis untuk waktu yg lalu, saat ini, dan waktu yg akan datang. • State (keadaan) dpt didefinisikan sbg satu set variabel keadaan dan persamaan keadaan utk pemodelan sistem dinamis. • Semua persamaan keadaan adl pers. diferensial orde pertama.
Variabel Keadaan • Variabel keadaan didefinisikan sbg satu set variabel minimal yg diperlukan yaitu [x1(t), x2(t), …, xn(t)] dimana informasi ttg variabel tsb pd t=0 dan masukan yg diberikan pd suatu saat tertentu dpt menentukan keadaan sistem pd t > t0. • Variabel keadaan tdk sama dg variabel output. Variabel output dpt diukur namun variabel keadaan tdk sll dmk. • Contoh: Persamaan keadaan Persamaan output • Variabel U(t) dpt diatur pd semua t > t0. Variabel Z(t) dpt diamati pd semua t > t0, namun tdk dpt diatur.
Contoh 1 Terdapat suatu tangki dg volume V yg penuh dg larutan A dg konsentrasi C. Larutan yg sama dg konsentrasi C0 dialirkan ke tangki pd kecepatan F0. Larutan dikeluarkan dr tangki dg kecepatan F1 spt gambar berikut. Tentukan konsentrasi larutan dlm tangki setiap saat. Asumsi: - Larutan tercampur sempurna - Kerapatan larutan konstan - Tinggi permukaan larutan pd tangki konstan Data: - F0 = 0,085 m3/menit, V = 2,1 m3 - Cawal = 0,925 kg/m3, t ≤ 0 - C0 = 1,85 kg/m3, t > 0 - C : konsentasi larutan dlm tangki (selalu berubah).
Penyelesaian: Sistem pd awalnya berada pd keadaan steady state, yaitu C(t) = C0(t) = Cawal untuk t ≤ 0 Utk merumuskan model digunakan hukum kekekalan dan pers terminal komponen (lihat materi sebelumnya). Hukum kekekalan: Pesat akumulasi = pesat masuk – pesat keluar Variabel dan konstanta penting: -
Variabel input: C0, F0 Variabel keadaan: C, F1 Konstanta: V, Nilai awal: Cawal
Volume larutan dlm tangki konstan, maka massa larutan adl V, konsentrasi larutan akan bergantung pd massa A yg ada di dlm larutan. Pesat perubahan massa = pesat masuk – pesat keluar
Maka perubahan massa larutan dlm tangki: d ( V ) F0 F1 dt
Volume larutan selalu tetap (V) shg perubahan volume = 0 dan massa jenis juga konstan atau dinyatakan d ( V ) 0 dt
Sehingga
F0 F1 0 F0 F1 0 F0 F1 F
Analogi dpt digunakan dg mengganti massa jenis dg konsentrasi larutan C. d (CV ) C0 F0 CF1 dt Dlm hal ini hanya volume V yg tetap, namun konsentrasi C selalu berubah (C0 tetap), maka V
d C F (C0 C ) dt dC F F (C0 C ) dC (C0 C ) . dt dt V V
(1)
Penyelesaian umum utk pers. nonhomogen di atas dinyatakan sbg: (Nb: lihat lagi ttg penyelesaian pers. Differensial nonhomogen)
C (t ) C0 ke
F t V
Pada kondisi awal t = 0 maka
C (0) C0 k Cawal k Cawal C0
Sehingga konsentrasi larutan pd t ≥ 0 dpt dinyatakan sbg:
C (t ) C0 (Cawal C0 ) e
F t V
Dg memasukkan besaran yg diketahui maka:
C (t ) ....
( 2)
Simulasi dpt dilakukan berdasarkan persamaan (1) atau persamaan (2). Berdasarkan pers (1) dC
F (C0 C ) . dt V
Yg diketahui dr pers ini adl perubahan konsentrasi (dC) terhadap perubahan waktu (dt). Yg hrs diingat adl bahwa konsentrasi larutan dlm tangki mrpk jumlahan dr konsentrasi pd wkt sblmnya (C) dan perubahan konsentrasi (dC) sehingga C saat ini = C sebelumnya + dC.dt
Berdasarkan pers (2)
C (t ) .... Simulasi berdasarkan persamaan 2 lebih sederhana karena besaranbesaran yg terkait telah diaplikasikan langsung; variabel bebasnya t dan variabel tak bebasnya C. Kesulitan yg ada adl dlm rangka menemukan pers penyelesaian itu sendiri (dari pers diferensial terkait soal). Selain itu program simulasinya cenderung nampak hanya utk menyelesaikan satu persoalan saja (kurang fleksibel utk soal lain yg sejenis dg kondisi awal yg berbeda). Simulasikan………… code_1.m code_2.m
Coding TM 5.docx
PR Kelompok • Buatlah script coding dalam Matlab untuk implementasi penyelesaian soal berdasar persamaan (1) • Buatlah script coding dalam Matlab untuk implementasi penyelesaian soal berdasar persamaan (2)
