PEMODELAN SISTEM MEKANIS Pemodelan & Simulasi TM06
Pemodelan Sistem Mekanik • Model sistem mekanik penting dalam teknik kendali (control engineering) misalnya kendaraan, lengan robot, peluru kendali. • Sistem mekanis dapat dibagi menjadi dua kategori: – Sistem translasional – Sistem rotational • Sistem mekanis dapat murni translasional atau murni rotasional, namun juga bisa campuran (hybrid).
Sistem Mekanis Translasional • Blok dasar sistem mekanis translasional adalah massa, pegas, dan peredam. • Input sistem mekanis translasional dapat berupa gaya F dan output pergeseran y.
Pegas • Pegas menyimpan energi seperti pada gambar berikut, dan seringkali digunakan sebagai elemen tunda.
• Untuk pegas linier, pergeseran y sebanding dengan gaya F menurut persamaan F=ky dengan k adalah konstanta pegas. • Saat pegas ditarik maka akan menyimpan energi E menurut persamaan: E = 0,5 k y2 Energi ini akan dilepaskan saat pegas kembali ke bentuk awal. • Dalam aplikasi, pegas sering dirangkai paralel atau seri. Saat n pegas dirangkai paralel maka konstanta pegas totalnya adalah:
Dan jika dirangkai seri maka
Peredam Elemen peredam direpresentasikan oleh gerakan piston dalam medium pelumas pada sebuah silinder. Gaya F yang membuat piston bergerak sebanding dengan kecepatan piston dan dinyatakan oleh persamaan
Massa Saat sebuah gaya dikenakan pada massa, hubungan antara gaya F dan percepatan dinyatakan dengan hukum kedua Newton yaitu F = ma. Oleh karena percepatan adalah perubahan kecepatan dan kecepatan adalah perubahan jarak, maka
Energi yang tersimpan dalam massa saat massa tsb bergerak disebut energi kinetik, dan dinyatakan sebagai:
Contoh 1: Sistem Mekanis Pada gambar berikut terdapat suatu sistem mekanis yang tersusun dari pegas, peredam, dan massa.
Temukan model matematis dari sistem tersebut. Catatan: Dalam sistem jenis ini digunakan hukum Newton kedua, yaitu:
F ma
Penyelesaian: Resultan gaya pada sistem adalah gaya F, gaya pegas (Fk), gaya redam (Fb) dan gaya yang timbul karena massa m. F – Fk – Fb = ma
atau F – ky – cv = ma
atau
ma + cv + ky = F
dengan y = perpindahan massa m setiap saat k = konstanta pegas c = konstanta redaman v = kecepatan massa m setiap saat Selanjutnya karena
dy v dt
dan
dv d 2 y a 2 dt dt
maka persamaan di atas dapat juga ditulis sebagai:
d2y dy m 2 c ky F dt dt
Dapat juga dituliskan sebagai (ingat bahwa gaya pegas dan peredam berlawanan arah dengan arah F): d2y dy m 2 c ky F dt dt d2y c dy k F y dt 2 m dt m m c k F y (t ) y (t ) y (t ) m m m
Misalnya y(0) = 0 dan y (0) 0 maka dengan F = 1 N, m = 1 kg, c = 0.1, k =0.2 maka dapat disimulasikan dengan mengingat bahwa: y(t) = y = jarak pergeseran = dy * dt dy(t) = dy = perubahan jarak setiap satuan waktu = kecepatan = ddy * dt ddy(t) = ddy = perubahan kecepatan setiap satuan waktu = percepatan Gambarkan grafik pergeseran vs waktu, dan kecepatan vs waktu
code_6.m
Hasil simulasi: 9 8 7
Pergeseran
6 5 4 3 2 1 0
0
20
40
60
80 100 120 Waktu (detik.)
140
160
180
200
Hasil simulasi: 2
1.5
Kecepatan
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 0
20
40
60
80 100 120 Waktu (detik.)
140
160
180
200
Contoh 2: Sistem Mekanis Pada gambar berikut terdapat suatu sistem mekanis yang tersusun dari pegas, peredam, dan massa.
Temukan model matematis dari sistem tersebut. Dalam sistem jenis ini digunakan hukum Newton kedua, yaitu:
F ma
Penyelesaian Akan ditinjau gaya-gaya yang bekerja pada kedua massa secara terpisah untuk keperluan analisis, sebagai berikut: Untuk massa m1 F m1a
dy dy k1 y1 k 2 ( y2 y1 ) b 2 1 m1a dt dt dy dy k1 y1 k 2 ( y1 y2 ) b 1 2 m1a dt dt
Maka berlaku persamaan:
Atau dapat ditulis kembali sebagai: (1)
Untuk massa m2
F m a 2
dy dy F ( k 2 ( y1 y2 )) b 1 2 m2 a dt dt dy dy F k 2 ( y1 y2 ) b 1 2 m2 a dt dt dy2 dy1 F k 2 ( y2 y1 ) b m2 a dt dt dy2 dy1 F k 2 y2 k 2 y1 b b m2 a dt dt dy dy F m2 a k 2 y2 k 2 y1 b 2 1 dt dt
Maka berlaku persamaan:
Atau dapat ditulis kembali sebagai: (2)
Persamaan (1) dan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Dan persamaan keadaan sistem dapat dinyatakan sebagai berikut:
Dari persamaan keadaan ini dapat dibuat simulasinya dengan memberikan konstanta dan nilai-nilai awal yang diperlukan. Misalkan berikut adalah konstanta dan nilai-nilai awal yang diberikan: F=1N m2 = 1.5 kg k1 = 0.2
m1 = 1 kg B = b = c = 0.1% k2 = 0.15
y = [y1 y2] = [0.1 0.1] meter dy = [dy1 dy2] = [0 0]
Ingat bahwa: - Kecepatan adalah perubahan jarak setiap satuan waktu - Percepatan adalah perubahan kecepatan setiap satuan waktu - Redaman = b = c = B code_7.m
Hasil simulasi: 30
y2 25
Pergeseran
20
15
10
5
y1 0
0
20
40
60
80 100 120 Waktu (detik.)
140
160
180
200
Hasil simulasi:
3
2
Kecepatan
1
0
-1
-2
-3
0
20
40
60
80 100 120 Waktu (detik.)
140
160
180
200
Modelling Real System For Your Homework Misalkan sebuah kopel mekanis yang biasa dipakai untuk menggandeng gerbong kereta barang pada gambar berikut. Sistem ini dapat dimodelkan sebagai dua massa, sebuah pegas, sebuah peredam, dan gaya-gaya dorong dan tarik pada masing-masing massa.
Model sistemnya adalah sbb:
m1 dan m2 : gerbong 1 dan 2 y1 dan y2 : pergeseran gerbong 1 dan 2 F1 dan F2 : gaya c : redaman k : konstanta pegas Your homework: -
Temukan persamaan diferensial untuk sistem di atas Simulasikan dengan besaran-besaran sbb: F1=1 N, F2=−1 N, m1=1 kg, m2=1,5 kg, c=0,1%, k=0,2. Kondisi awal y1(0) = y2(0) = 0,1 meter dan y1 (0) y 2 (0) 0 Gambar grafik pergeseran vs waktu dan kecepatan vs waktu
