PEMBELAJARAN EKSPONENSIAL

USAID SMART Lab Program 2014

PEMBELAJARAN EKSPONENSIAL

sumber: http://static.ddmcdn.com/gif/water-slide-ex-2.jpg

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah Kompetensi Dasar: Setelah mengikuti pembelajaran eksponensial, siswa diharapkan mampu: 1. memilih dan menerapkan aturan eksponen sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkahlangkahnya; 2. menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.

Modul Matematika Kelas X

1


Pengalaman Belajar : Melalui pembelajaran materi eksponen, siswa memperoleh pengalaman belajar: 1. mengomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait eksponen; 2. merancang model Matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan dengan eksponen; 3. menyelesaikan model Matematika untukmemperoleh solusi permasalahan yang diberikan; 4. menafsirkan hasil pemecahan masalah. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi eksponensial dibuat berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu. Model 5E tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.


2


Siklus pembelajaran Model 5E dapat dilihat pada gambar berikut:

MATERI EKSPONENSIAL Eksponen didefinisikan sebagai pangkat dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia. Keberadaan bilangan Eksponen sangat dibutuhkan di berbagai bidang ilmu pengetahuan baik berkenaan dengan alam maupun sosial. Bilangan Eksponen meluas penggunaannya dalam ekonomi, sains, dan kependudukan. Misalnya, kita dapat memprediksi hasil investasi uang yang kita simpan dalam beberapa tahun kedepan dengan sistem bunga majemuk; kita dapat memprediksi peluruhan sebuah atom; ahli kependudukan juga dapat memprediksi tingkat populasi penduduk dari masa ke masa. Selain itu kita juga dapat menemukan aplikasi Eksponensial dalam papan seluncur di kolam renang. Semakin tinggi dan semakin curam papan seluncur, akan semakin tinggi kecepatan kita saat meluncur. Bentuk dari papan seluncur ini dapat dimodelkan dengan menggunakan fungsi eksponen. Topik Eksponensial akan sangat menarik bagi para siswa di sekolah tingkat menengah atas (SMA), apabila guru dalam pembelajaran di kelas dapat menyampaikan berbagai aplikasi dari konsep Eksponensial dalam kehidupan sehari-hari siswa. Misalnya, siswa diajak untuk memprediksi jumlah bakteri hasil dari pembelahan sejumlah bakteri, siswa diajak untuk menuliskan jumlah hasil pembelahan bakteri tersebut dalam notasi matematika, dan lainnya. Lebih lanjut, topik Eksponensial sebagai salah satu materi yang esensial pada Mata Pelajaran Matematika di SMA mencakup beberapa konsep dasar yang direpresentasikan oleh bagan berikut ini:


3


Peta Konsep Topik Eksponensial pada Kelas X SMA


4


Bentuk Eksponen 1. Bentuk Eksponen Bulat Positif Bilangan berpangkat dapat dituliskan dalam bentuk umum, yaitu 𝑎𝑛 , dengan 𝑎 disebut bilangan pokok dan n disebut eksponen(pangkat) serta dibaca a pangkat n. Jadi

Contoh 1: Sederhanakanlah perkalian berikut dalam eksponen bulat positif! a. 45 × 43 b. 𝑚3 × 𝑚2 Penyelesaian: a. 45 × 43 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 48 5 faktor

3 faktor

b. 𝑚4 × 𝑚 = 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 = 𝑚5 4 faktor

1 faktor

Daricontoh 1, kita dapat menyimpulkan Sifat 1, yaitu 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 +𝑛 Contoh 2: Sederhanakanlah pembagian berikut dalam eksponen bulat positif! a. 45 ÷ 43 b. 𝑚4 ÷ 𝑚 Penyelesaian: 4×4×4×4×4 a. 45 ÷ 43 = = 4 × 4 = 42 4×4×4 b.

𝑚4 ÷ 𝑚 =

𝑚×𝑚×𝑚×𝑚 = 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 = 𝑚3 𝑚

Daricontoh 2, kita dapat menyimpulkan Sifat 2, yaitu 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚 −𝑛 , 𝑎 ≠ 0, 𝑚 > 𝑛 𝑎𝑛


5


Contoh 3: Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah soal-soal berikut ini! a. 53 4 b. 𝑞 7 4 Penyelesaian: a. 53 4 = 53 × 53 × 53 × 53 = 54×3 = 512 b. q7 4 = q7 × q7 × q7 × q7 = 𝑞 4×7 = 𝑞 28 Daricontoh 3, kita dapat menyimpulkan Sifat 3, yaitu 𝑎𝑚

𝑛

= 𝑎𝑚 ×𝑛

Contoh 4: Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah soal-soal berikut ini! a. 2 × 3 4 Penyelesaian: a. 2 × 3 4 = 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 = 2×2×2×2×3×3×3×3 = 24 × 34 Daricontoh 4, kita dapat menyimpulkan Sifat 4, yaitu 𝑎×𝑏

𝑛

= 𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛

2. Bentuk Eksponen Bulat Negatif dan Nol Amatilah barisan bilangan berikut: 1 1 Barisan 1: 4, 2, 1, , , … 2 4 2 1 0 −1 −2 Barisan 2: 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , … Jika kita perhatikan, Barisan 1 dan Barisan 2 membentuk korespondensi satusatu, yakni kita dapatkan: 4 berkorespondensi satu − satu dengan 22 2 berkorespondensi satu − satu dengan 21 1 berkorespondensi satu − satu dengan 20 1 berkorespondensi satu − satu dengan 2−1 2 1 berkorespondensi satu − satu dengan 2−2 4


6


Dengan demikian, kita dapat simpulkan bahwa: 1 1 4 = 22 , 2 = 21 , 1 = 20 , = 2−1 , = 2−2 2 4 Sifat 5: 𝑎0 = 1, dengan 𝑎 ≠ 0 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚 −𝑛 kita mendapatkan 𝑎𝑛 𝑎0 1 −𝑛 0−𝑛 𝑎 =𝑎 = 𝑛= 𝑛 𝑎 𝑎

Dengan menggunakan 𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟐,

𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟔: 𝑎−𝑛 =

1 , dengan 𝑎 ≠ 0 𝑎𝑛

3. Bentuk Eksponen Pecahan 𝟏

𝐚. 𝐄𝐤𝐬𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧 𝐫𝐚𝐬𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐛𝐞𝐫𝐛𝐞𝐧𝐭𝐮𝐤 𝒂𝒏 𝟏

𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟕: 𝒂𝒏 =

𝒏

𝒂

Bukti: 𝑛

𝑛

Menurut definisi akar, 𝑎 = 𝑎 Menurut definisi bilangan eksponen, 1

1

1

1

𝑛

𝑎𝑛 × 𝑎𝑛 × … × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛

𝑛

= 𝑎 𝑛 = 𝑎1 = 𝑎

n buah faktor 𝒎

𝐛. 𝐄𝐤𝐬𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧 𝐫𝐚𝐬𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐛𝐞𝐫𝐛𝐞𝐧𝐭𝐮𝐤 𝒂 𝒏 𝒎

𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟖: 𝒂 𝒏 =

𝒏

𝒂𝒎

Bukti: 𝑚

Menurut 𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟑, 𝑎 𝑛 = 𝑎𝑚 Menurut 𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟕, 𝑎𝑚


1 𝑛

=

𝑛

1 𝑛

𝑎𝑚

7


CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa yang sudah memiliki pemahaman tentangkonsep eksponensial dasar (bilangan berpangkat) dan menggambar plot. Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat memahami beberapa konsep eksponensial yang diaplikasikan pada dua buah eksperimen nyata, yaitu dengan melipat kertas dan melempar sejumlah dadu secara bersamaan. Pembukaan (10 menit) 1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran kepada siswa. 2. Guru menstimulus siswa dengan menampilkan video tentang penerapan eksponensial dalam kehidupan sehari-hari. Video tersebut berjudul “How folding paper can get you to the moon” dan dapat diunduh melalui link http://www.youtube.com/watch?v=AmFMJC45f1Q. Siswa diharapkan fokus memperhatikan tayangan video. (Engagement) 3. Guru menanyakan pendapat siswa mengenai pesan dari video yang telah ditonton bersama-sama. Beberapa siswa diharapkan aktif menyampaikan ide dan pendapat mengenai video tersebut.Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan menyampaikan keterkaitan antara pesan di video dengan aktivitas pembelajaran yang akan dilaksanakan.(Explanation) Kegiatan inti (65 menit) 1. Guru mengondisikan siswa untuk duduk secara berpasangan dan membagikan selembar kertas A3 dan lembar kerja (LK) kepada setiap siswa. Siswa menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan eskperimen melipat kertas. 2. Siswa secara individu melipat kertas yang telah diberikan dan membuat garis lipatan. Siswa mengulangi kegiatan yang sama seperti sebelumnya sampai kertas tidak memungkinkan lagi untuk dilipat.(Exploration) 3. Siswa secara berpasangan mendiskusikan hasil yang diperoleh dari percobaan melipat kertas dan menuliskan temuan mereka pada LK masing-masing. (Explanation) 4. Selanjutnya, guru membimbing siswa mengaitkan hasil eksperimen dengan konsep eksponensial. Hal tersebut dilakukan dengan meminta siswa menggambar diagram garis pada kertas kotak-kotak dengan menggunakan data yang dihasilkan dari kegiatan eksperimen. Siswa juga diajak meninjaukembali gambar yang mereka buat dengan menggunakan beberapa media pembelajaran berbasis teknologi.(Elaboration) 5. Beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan kesimpulan dari eksperimen yang telah dilakukan. Jika kesimpulan dari salah satu atau beberapa siswa belum tepat, siswa lainnya diminta menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya dan sampai akhirnya guru Modul Matematika Kelas X

8


6.

memberikan klarifikasi tentang jawaban yang diharapkan. (Explanation & Evaluation) Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan. Kemudian guru memberikan pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan sifat-sifat eksponen untuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa. (Elaboration and Evaluation)

Penutup (5 menit): 1. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


9


LEMBAR KERJA SISWA Eksperimen Paper Folding 1. Lipatsebuah kertas berukuran A3 menjadi dua bagian yang sama/ kongruen. Buatlah garis lipatan yang terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.

http://www.graficaobscura.com/fold/001.gif

2. Lipat kertasmenjadi dua bagian padalipatanyang samaseperti sebelumnya, kemudianlipat dualagi menjadi dua bagian yang sama. Buatlah garis lipatan yang terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas. 3. Lanjutkanmelipatkertassetengah, membuat garis lipatan dan mencatat jumlahbagianyang diperoleh dari hasil melipat kertas. Ulangi langkah yang sama sampaitidak mungkin lagimelipatkertas tersebut.

http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_paper_folding_introdu ction.html


10


4. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut: Tabel 1: Hasil percobaan melipat kertas Pelipatan kertas keJumlah bagian kertas yang diperoleh 0 1 2 3 4 5 6 5. Selanjutnya, isilah tabel 2 dan gunakan kertas kotak-kotak yang telah disediakan untuk menggambar diagram garis hasil percobaan anda. Tabel 2:Data pada diagram garis X Y (X,Y)

6. Cek keakuratan diagram garis yang telah anda buat dengan membuat diagram garis dari data yang sama dengan menggunakan kalkulator grafik, Microsoft Excel, software Geogebra (www.geogebra.org), atauprogramflashberikut ini:

sumber: http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_applet_grapher.html

7. Tuliskan polanilai-nilai yangmuncul dari hasil percobaan! Jelaskan cara anda menemukan nilai pada diagram garis yang anda buat!


11


8. Tentukan persamaaneksplisitdari data yang anda peroleh. Beri penjelasan atasjawaban/ prosedur yang anda gunakan. EksperimenRolling Dices

sumber: https://encryptedtbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSIF6ldkT6aVQCIGV2M8sQx30nRrz7PQ7Q2qgx1SAArLMdzPFEu8w

1. Lakukan percobaan melempar 40 buah dadu secara bersamaan. Sebelum melempar seluruh dadu, tentukan mata dadu yang apabila muncul sebagai hasil pelemparan akan dikeluarkan dari percobaan selanjutnya. Anda dapat memilih beberapa mata dadu yang berbeda (maksimal 5 jenis) untuk dikeluarkan pada percobaan-percobaan berikutnya. Sebagai contoh, anda memilih mata dadu 1 dan 3 yang muncul akan keluar pada percobaan berikutnya. Kemudian dari pelemparan pertama diperoleh hasil tujuh buah dadu muncul mata dadu 1 dan sembilan buah dadu muncul mata dadu 3, sehingga pada pelemparan kedua hanya akan ada 29 buah dadu yang dilempar secara bersamaan.

http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/applets/exponential_dice.html

2. Lanjutkan kegiatan percobaan melempar dadu dengan cara yang sama dengan poin 1 sampai seluruh dadu habis. Tuliskan hasil percobaan pada tabel 1 berikut ini: Tabel 1: Hasil percobaan melempar dadu Pelemparan ke- Jumlah dadu yang tersisa 1 2 3 4 5 6 dst


12


3. Selanjutnya, isilah tabel 2 dan gunakan kertas kotak-kotak yang telah disediakan untuk menggambar diagram garis hasil percobaan anda. Tabel 2:Data pada diagram garis X Y (X,Y)

4. Cek keakuratan diagram garis yang telah anda buat dengan membuat diagram garis dari data yang sama dengan menggunakan kalkulator grafik, Microsoft Excel, software Geogebra (www.geogebra.org), atauprogramflashberikut ini:


5. Tentukan persamaaneksplisitdari data yang anda peroleh. Beri penjelasan atasjawaban/ prosedur yang anda gunakan.


13


DESKRIPSI KEGIATAN EKSPERIMEN Paper Folding Activity

Rolling Dices Activity

http://2.bp.blogspot.com/SrXtvJtuo2Y/T8y82VBQWII/AAAAAAAABcE/l9CfSKPPQJc /s1600/konstantin-datz-folded-papertype_apetitpoisdesign.jpg

http://www.corbisimages.com/images/Corbis-4226194684.jpg?size=67&uid=17b8f5a8-850e-4ac2-aad80dc7183e83e9

Topik pembelajaran Sub Topik Kompetensi Dasar

: Eksponensial : Sifat-sifat eksponensial : Melalui proses pembelajaran eksponensial, siswa diharapkan mampu: 1. memilih dan menerapkan aturan eksponen sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya; 2. menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.

Pada eksperimen melipat kertas, siswa akan menemukan pola yang menggambarkan bahwa jumlah bagian kertas akan bertambah dua kali lipat setelah dilakukan pelipatan kertas. Sebagai contoh, siswa akan memahami bahwa jumlah bagian kertas pada pelipatan kelima adalah setara dengan 25 . Di akhir kegiatan, siswa dengan bimbingan guru akan membuat diagram garis yang menggambarkan data hasil eksperimen dan menyimpulkan persamaan garis yang diperoleh. Pada eksperimen Rolling Dices, siswa akan mengeksplorasi suatu persamaaneksponensialdengan bermain dadu.Berdasarkan hasil eksperimen Modul Matematika Kelas X

14


pelemparan sejumlah banyak dadu, siswa akanmembuat modelpeluruhan eksponensial. Hal ini dilakukan denganmenentukan terlebih dahulu mata dadu yang apabila muncul sebagai hasil pelemparan akan dikeluarkan dari percobaan selanjutnya. Siswa dapat memilih beberapa mata dadu yang berbeda (maksimal 5 jenis) untuk dikeluarkan pada percobaan-percobaan berikutnya.Berdasarkan temuan-temuan dari eksperimen pelemparan dadu ini, siswa diharapkandapat memahami hubungan antarapersamaaneksponensialdenganfenomena nyata terkait.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan eksperimen melipat kertas dan melempar dadu adalah sebagai berikut:  1 lembar kertas ukuran A3  Pena  Penggaris  Dadu dengan enam sisi sejumlah 40 atau lebih  Kertas kotak-kotak  Lembar Kerja

LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Langkah-langkah percobaan melipat kertasadalah sebagai berikut: 1. Lipatsebuah kertas berukuran A3 menjadi dua bagian yang sama/ kongruen. Buatlah garis lipatan yang terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.

http://info.cfsbinds.com/wp-content/uploads/2011/10/fold-300x290.jpg

2. Lipat kertasmenjadi dua bagian padalipatanyang samaseperti sebelumnya, kemudianlipat dualagi menjadi dua bagian yang sama. Buatlah garis lipatan yang terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas. 3. Lanjutkanmelipatkertassetengah, membuat garis lipatan dan mencatat jumlahbagianyang diperoleh dari hasil melipat kertas. Ulangi langkah yang sama sampaitidak mungkin lagimelipatkertas tersebut.


15


http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_paper_folding_introduct ion.html

4. Buatdiagram garis berdasarkan data yang diperoleh dari hasil percobaan melipat kertas.Untuk mempermudah pembuatan diagram garis/ plot dari hasil percobaan, guru dan siswa dapat menggunakan tools seperti: kertas kotak-kotak, kalkulator grafik, Microsoft Excel, software Geogebra (www.geogebra.org),atauprogramflashyang disediakan secara onlineuntuk merekam data hasil percobaan dan membuat diagram garisnya.

http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_applet_grapher.html

5. Tuliskan polanilai-nilai yangmuncul dari hasil percobaan, kemudian tentukan persamaaneksplisitdari data yang diperoleh. Beri penjelasan atasjawaban anda. Langkah-langkah eksperimen melempar daduadalah sebagai berikut: 1. Lakukan percobaan melempar 40 buah dadu secara bersamaan. Sebelum melempar seluruh dadu, tentukan mata dadu yang apabila muncul sebagai hasil pelemparan akan dikeluarkan dari percobaan selanjutnya. Anda dapat memilih beberapa mata dadu yang berbeda (maksimal 5 jenis) untuk dikeluarkan pada percobaan-percobaan berikutnya. Modul Matematika Kelas X

16


2. Lanjutkan kegiatan percobaan melempar dadu dengan cara yang sama dengan poin 1 sampai seluruh dadu habis. 3. Catat hasil percobaan dan buatplot yang menggambarkan data yang diperoleh. Untuk mepermudah pembuatan plot dari hasil percobaan, guru dan siswa dapat menggunakan tools seperti: kertas kotak-kotak, kalkulator grafik, Microsoft Excel, software Geogebra (www.geogebra.org), atauprogramflashyang disediakan secara onlineuntuk merekam data hasil percobaan dan membuat plotnya.


4. Tentukan persamaaneksplisitdari data yang anda peroleh. Beri penjelasan atasjawaban/ prosedur yang anda gunakan.

DAFTAR PUSTAKA Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8 http://a4a.learnport.org/page/exponential-functions http://www.youtube.com/watch?v=V82MjlPSO9U http://www.geogebra.org/cms/en/


17


PEMBELAJARAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL (SPLDV)

http://3.bp.blogspot.com/_5f2hfgqfBr0/TUJyWlGENAI/AAAAAAAAABk/wwdWvzpBpsw/s1600/Untitled-1.jpg

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar: Setelah mengikuti pembelajaran SPLDV, siswa diharapkan mampu: 1. Memahami konsep SPLDV, dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya. 2. Membuat model matematika berupa SPLDV dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya.


18


Pengalaman Belajar : Melalui pembelajaran materi SPLDV, siswa memperoleh pengalaman belajar: 1. menjelaskan karakteristik masalah otentikyang penyelesaiannya terkait dengan modelmatematika sebagai SPLDV; 2. merancang model matematika dari sebuahpermasalahan otentik yang merupakan SPLDV; 3. menyelesaikan model matematika untuk memperolehsolusi permasalahan yang diberikan; 4. menginterpretasikan hasil penyelesaianmasalah yang diberikan; Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi SPLDV dibuat berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu. Model 5E tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.


19



MATERI SPLDV Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta danlingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahanpermasalahan tersebut kita jadikan bahan inspirasi dengan menyusun model-model Matematika untuk memperoleh solusinya. Model matematika tersebut, dijadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear.Peta konsep dari materi SPLDV yang dibahas pada Mata Pelajaran Matematika di SMA kelas Xdirepresentasikan pada bagan berikut ini:


20


Peta Konsep Topik SPLDV pada Kelas X SMA

Persamaan

Eliminasi

Persamaan Linear

Sistem Pertdaksamaan Linear

Sistem Persamaan Linear

Sitem Pertidaksamaan Liniear Dua Variabel (SPtLDV)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Grafik SPtLDV

Substitusi

Eliminasi & Substitusi

Metode Grafik

Determina n

Himpunan Penyelesai an

Grafik SPLDV


21


Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 1. Bentuk Umum

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟 Keterangan : 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑝, 𝑞, 𝑟  𝑅 a, p = koefisien dari x b, q = koefisien dari y c, r = konstanta x, y = variabel 2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, antara lain : a. Metode Grafik Langkah-langkahnya sebagai berikut :  Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat  Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari sistem persamaan yang dimaksud. b. Metode Eliminasi Langkah-langkahnya sebagai berikut:  Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara mengalikan dengan bilangan selain nol.  Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang bersesuaian dari kedua persamaan linear yang baru tersebut. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 5 x  3 y  19 dengan cara eliminasi !  2 x  2 y  10 Jawab: a) Eliminasi y 5 x  3 y  19 x 2 10 x  6 y  38 2 x  2 y  10 x 2 6 x  6 y  30 4x = 8 x=2


22


b) Eliminasi x 5 x  3 y  19 x 2 10 x  6 y  38 2 x  2 y  10 x5 10 x  10 y  50 -4y = -12 y=3 Jadi HP = {(2,3)} c. Metode Substitusi Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut :  Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain dari salah satu persamaan.  Substitusikan hasil dari langkah pertama ke persamaan yang lain. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 4 x  2 y  12 dengan cara substitusi !   x y 9 Jawab: 4 x  2 y  12 ... (1)

𝑥 + 𝑦 = 9  𝑥 = 9 – 𝑦 … (2) Hasil pada persamaan(2) disubstitusikan ke persamaan (1), sehingga diperoleh 4(9 − 𝑦) – 2𝑦 = 12

 36 – 4𝑦 – 2𝑦 = 12  − 6𝑦 = 12 − 36  − 6𝑦 = −24  𝑦 = 4 … (3) Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (2), sehingga diperoleh 𝑥 = 9– 4 𝑥 = 5 Jadi 𝐻𝑃 = {(5,4)}


23


d. Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi) Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :  3x  y  5  2 x  y  10 dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi ! Jawab: Dengan mengeliminasi y akan diperoleh: 3𝑥 – 𝑦 = 5 2𝑥 + 𝑦 = 10 + 5𝑥 = 15 𝑥 = 3 𝑥 = 3disubstitusi ke 3𝑥 – 𝑦 = 5 3 3 – 𝑦 = 5 9– 𝑦 = 5  −𝑦 = 5 − 9  − 𝑦 = −4 𝑦 = 4 Jadi 𝐻𝑃 = {(3,4)} e. Menggunakan Determinan Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟 diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi 𝐷, 𝐷𝑥, 𝐷𝑦. Dengan :


𝐷 =

a b = 𝑎𝑞 – 𝑏𝑝 p q

𝐷𝑥 =

c b = 𝑐𝑞 – 𝑏𝑟 r q

𝐷𝑦 =

a c = 𝑎𝑟 – 𝑐𝑝 p r

24


Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan : 𝑥 =

Dy Dx 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = D D

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

2 x  3 y  1 dengan cara determinan !   3x  y  5 Jawab: 𝐷 =

2 3 = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = −7 3 1 𝐷𝑥 =

𝐷𝑦 =

1 3 = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = −14 5 1 2 1 = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7 3 5 𝑥 =

𝑦 =

Dx  14 = = 2 7 D Dy D

=

7 = −1 7

Jadi HP = {(2, -1)}


25


CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa sebelum guru menjelaskan secara rinci metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel. Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menentukan solusi dari masalah sistem persamaan linier dua variabel melalui kegiatan bermain kartu SPL.Dengan bermain kartu SPL, diharapkan siswa dapat berpikir kritis dalam menyelesaikan masalah-masalah SPLDV yang diberikan. Pembukaan (5 menit) 1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. 2. Guru menayangkan video tentang testimonial berbelanja di pasar tradisionalyang telah direvitalisasi. Video tersebut dapat diunduh melalui linkhttp://www.youtube.com/watch?v=lKBiFAyXYsQ. Siswa diharapkan fokus memperhatikan tayangan video. (Engagement) 3. Guru menanyakan pendapat siswa mengenai video yang telah ditonton bersamasama. Beberapa siswa diharapkan secara aktif menyampaikan ide dan pendapat mengenai video tersebut.Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan menyampaikan keterkaitan antara kegiatan yang ditampilkan pada video dengan aktivitas pembelajaran yang akan dilaksanakan.(Explanation) 4. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement) Kegiatan inti (70 menit) 1. Guru mengondisikan siswa untuk duduk secara berkelompok (maksimal tiga orang) dan membagikan set kartu SPL, set uang-uangan kertas, dan lembar kerja (LK) kepada siswa. Siswa menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan eksperimen melipat kertas. 2. Siswa mengamati penjelasan guru mengenai deskripsi set kartu SPL dan uanganuangan yang akan digunakan dalam kegiatan pembelajaran. Guru memberikan penjelasan mengenai aturan bermain kartu yang harus diikuti oleh setiap kelompok.(Engagement) 3. Setiap kelompok melakukan simulasi pembelanjaan sesuai dengan kasus-kasus yang diberikan pada LK. Simulasi dilakukan dengan memainkan kartu-kartu SPL dan uang-uangan kertas sedemikian sehingga sesuai dengan masalah pembelanjaan yang tertera pada LK. Setiap anggota kelompok diharapkan dapat saling berbagi ide dalam menyelesaikan kasus-kasus SPL yang diberikan.(Exploration) 4. Siswasecara individu menuliskan hasil diskusi kelompoknya pada lembar kerja yang telah disediakan. Lebih lanjut, setiap kelompok membuat poster yang merepresentasikan langkah-langkah pemecahan ketiga masalah dengan mengacu pada permainan kartu SPL yang telah dilakukan.(Explanation)


26


5.

6.

7.

Siswa dan guru bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan.Jika kesimpulan dari salah satu atau beberapa siswa belum tepat, maka siswa lainnya diminta menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya dan sampai akhirnya guru memberikan klarifikasi tentang jawaban yang diharapkan. (Explanation& Evaluation) Selanjutnya, guru membimbing siswa untuk mengaitkan hasil eksperimen dengan metode penyelesaian SPLDV, yaitu metode grafik dan substitusi. Siswa secara terbimbing menyelesaikan kembali kasus-kasus SPLDV dengan menggunakan metode grafik dan substitusi. Siswa juga diberi kesempatan membuat grafik dari masalah SPLDV tersebut dengan menggunakan software Geogebra. (Explanation &Elaboration) Siswa dan guru bersama-sama membuat kesimpulan mengenai materi yang telah dibahas dalam pembelajaran di kelas. Guru memberikan penguatan kembali bila masih ada materi yang belum dimengerti siswa.(Evaluation)

Penutup (5 menit): 1. Guru memberikan pekerjaan rumah sebagai bahan latihan siswa pada materi SPLDV. 2. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


27


LEMBAR KERJA SISWA Bermain Kartu SPL (Sistem Persamaan Linier) Perhatikan set kartu SPL (Sistem Persamaan Linier) yang diberikan! Dalam satu set kartu terdapat 6 jenis kartu dengan gambar yang berbeda, yaitu kartu dengan gambar satu kilogram buah jeruk, satu kilogram buah apel, satu kilogram buah pear, satu buah buku tulis, satu buah pena dan satu buah jangka.

Gambar 1. Kartu-kartu SPL Selain set kartu SPL, diberikan pula set uang-uangan kertas yang terdiri atas pecahan seribu rupiah, dua ribu rupiah, lima ribu rupiah, dan sepuluh ribu rupiah. Contoh gambar dari set uang-uangan kertas yangakan digunakan pada permainan kartu SPL adalah sebagai berikut:

Gambar 2. Uang-uangan kertas


28


Lakukan simulasi pembelian barangdengan menggunakan set kartu SPL dan uang-uangan kertas yang tersedia dengan mengacu pada kasus-kasus berikut ini: a) Ibu Susydan Ibu Sugi pergi bersama-sama ke USBI mart untuk berbelanja buah-buahan. Ibu Susy membeli satu kilogram buah apel dan satu kilogram buah pear dengan mengeluarkanuang sebesar Rp 35.000,-. Kemudian diketahui juga bahwa Ibu Sugi membeli dua kilogram buah apel dan tiga kilogram buah pear dengan mengeluarkan uang sebesar Rp 85.000,-. Lakukan simulasi terhadap kedua transaksi pembelian tersebut dan tentukan harga masing-masing buah per satu kilogram. b) Pak Budi dan Pak Rian bersama-sama membelibuah di USBI mart. Pak Budi membeli 3 kilogram buah jeruk dan 2 kilogram buah apel dengan mengeluarkan uang sebesar Rp 85.000. Sementara itu,Pak Rian membeli 2 kilogram buah jeruk dan 3 kilogram buah apel dengan mengeluarkan uang sebesar Rp 90.000,-. Lakukan simulasi terhadap kedua transaksi pembelian tersebut dan tentukan selisih harga pembelian satu kilogrammasing-masing buah. c) Pak Hatim dan Pak Aldi bersama-sama membeli beberapa alat tulis di koperasi USBI. Pak Hatim membeli 1 buah buku tulis, 2 buah pena, dan 1 buah jangka dengan total uang yang dikeluarkan sebesar Rp 33.000,-. Sementara itu,Pak Aldi membeli 2 buah buku tulis, 1 buah pena, dan 1 buah jangka dengan total uang yang dikeluarkan sebesar Rp 28.000,-. Ibu Mima selaku petugas koperasi USBI menginformasikan kepada mereka bahwa harga 1 buah pena sama dengan harga 2 buah buku tulis. Lakukan simulasi terhadap kedua transaksi pembelian tersebut dan tentukan harga masing-masing alat tulis per buahnya! Diskusikan hasil yang anda dapatkan dengan anggota kelompok, kemudian tuliskan kesimpulan dari hasil kegiatan bermain kartu SPL yang telah anda lakukan.


29


DESKRIPSI KEGIATAN EKSPERIMEN Topik pembelajaran Sub Topik Kompetensi Dasar

: Sistem Persamaan Linier : Sistem Persamaan Linier Dua Variabel : 1. Memahami konsep Sistem Persamaan Linier Dua dan Tiga Variabel, dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya. 2. Membuat model matematika berupa SPLDV dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya.

Melalui eksperimen bermain kartu SPL, siswa diberi kesempatan untuk menyelesaikan beberapa masalah yang berkaitan dengan aplikasi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV). Siswa diajak bernalar tentang bagaimana menentukan harga beli suatu barang dengan melakukan simulasi pembelian menggunakan kartu SPL dan uanguangan kertas. Penerapan eksperimen bermain kartu SPL akan membangun pemahaman siswa terhadap konsep SPLDV. Disarankan agar permainan kartu SPL diberikan kepada siswa sebelum guru menjelaskan berbagai metode-metode penyelesaian SPLDV (metode grafik, substitusi, dan eliminasi). Hal ini ditujukan agar siswa dalam kelompok diskusinya dapat secara kritis menemukan langkah-langkah penyelesaian kasus-kasus SPLDV dengan menggunakan set kartu yang diberikan dan mengacu pada informasi awal. Pembelajaran akan lebih optimal jika kelompokkelompok siswa dapat menemukan solusi masalah dengan cara-cara yang bervariasi.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan dengan kartu pada pembelajaran Sistem Persamaan Linieradalah sebagaiberikut:  1 set kartu SPL yang terdiri atas kartu bergambar buah apel, kartu bergambar buah jeruk, kartu bergambar buah pear, kartu bergambar buku tulis merah, kartu bergambar pena, dan kartu bergambar jangka dengan jumlah masing-masing sebanyak 10 kartu berukuran 7cm x 10 cm.  1 set uang-uangan kertas pecahan seribu rupiah, dua ribu rupiah, lima ribu rupiah, dan sepuluh ribu rupiah.  Lembar Kerja Siswa


30


LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Siswa secara berkelompok diminta menyelesaikan 2 buah masalah yang berkaitan dengan SPLDV dan 1 buah masalah SPL Tiga Variabel. Ketiga masalah tersebut harus diselesaikan dengan simulasi menggunakan kartu-kartu yang mewakili benda pada masalah SPL yang diberikan. Salah satu alternatif langkah-langkah yang dapat dilakukan siswa dalam menyelesaikan masalah-masalah pada LKadalah sebagai berikut:


31



32



33



34



35



36


DAFTAR PUSTAKA Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8 http://www.geogebra.org/cms/en/ http://www.youtube.com/watch?v=lKBiFAyXYsQ


37


PEMBELAJARAN LOGIKA

sumber: http://4.bp.blogspot.com/zCEAtdxAWDQ/ULwPqGDrl2I/AAAAAAAAAd0/aXLlvlFG024/s1600/MaxMind.jpg

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar: Setelah mengikuti pembelajaran logika, siswa diharapkan mampu mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya. Pengalaman Belajar : Melalui pembelajaranmateri logika, siswa diharapkan mampu:  menentukan nilai kebenaran dari ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya;  menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya. Modul Matematika Kelas X

38


Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi eksponensial dibuat berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu. Model 5E tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran. Siklus pembelajaran Model 5E dapat dilihat pada gambar berikut:


39


MATERI LOGIKA Bernalar merupakan proses mendapatkan kebenaran baru yang bersandarkan pada fakta-fakta yang telah ada. Kebenaran yang baru ini nantinya dapat digunakan untuk menurunkan kebenaran baru lainnya. Dengan kemampuan bernalar, manusia mampu memecahkan berbagai masalah kehidupan secara logis. Lebih lanjut, logika berasal dari kata “Logos” (Bahasa Yunani) yang berarti kata, ucapan, atau pikiran. Aristoteles (384 – 322 SM) merupakan ilmuwan pertama yang menemukan konsep mengenai logika.Logika dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari cara-cara yang meliputi kaidah dan aturan untuk membuat penarikan kesimpulan yang berdasarkan pada penalaran yang logis.Peta konsep dari topik Logika yang dibahas pada Mata Pelajaran Matematika di SMA kelas X direpresentasikan pada bagan berikut ini: Peta Konsep Topik Logika pada Kelas X SMA


40


Pernyataan , Kalimat Terbuka, Ingkaran Pernyataan, dan Pernyataan Majemuk 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.Contoh-contoh pernyataan adalah sebagai berikut: a) Hasil kali 5 dan 4 adalah 20 b) Semua unggas dapat terbang c) Ada bilangan prima yang genap Contoh pertama dan ketiga adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan contoh keduapenyataan yang bernilai salah.Contoh-contoh kalimat yang bukan pernyataan adalah sebagai berikut: a) Semoga nanti engkau naik kelas b) Tolong tutupkan pintu itu c) Apakah Ali sudah makan? Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, dan r. Sebagai contoh: p : Semua bilangan prima adalah ganjil q : Jakarta ibukota Indonesia Ada 2 dasar yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan, yaitu: i. Dasar empiris, yaitu jika nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu.Contohnya adalah: rambut adik panjang, besok pagi cuaca cerah. ii. Dasar tidak empiris, yaitu jika nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau hukum tertentu. Jadi, nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat. Contohnya adalah: jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800,tugu muda terletak di kota Semarang. 2. Kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.Contoh-contoh kalimat terbuka adalah: a) 2x + 3 = 9 b) 5 + n adalah bilangan prima c) Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah


41


3. Ingkaran dari pernyataan Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “bukan p” atau “tidak p”.Tabel kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan ditentukan sebagai berikut: p ~p B

S

S

B

Contoh dari ingkaran suatu pernyataan adalah sebagai berikut: a) p : Ayah pergi ke pasar ~ p: Ayah tidak pergi ke pasar b) q : 2 + 5 < 10 ~ q: 2 + 5  10 4. Pernyataan berkuantor Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas.Ada 2 macam kuantor, yaitu: i. Kuantor Universal Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua atau setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan  (dibaca untuk semua atau untuk setiap). Contoh-contoh pernyataan dengan kuantor universal adalah sebagai berikut:   x  R, x2> 0, dibaca untuk setiap x anggota bilangan Real maka berlaku x2> 0.  Semua ikan bernafas dengan insang. ii. Kuantor Eksistensial Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan  (dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian). Contohcontoh pernyataan dengan kuantor eksistensial adalah sebagai berikut:   x  R, x2 + 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real dimana x2 + 3x – 10 < 0  Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru


42


5. Ingkaran dari pernyataan berkuantor Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal.Contoh : a) p : Semua ikan bernafas dengan insang ~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang : Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru : Tidak semua ikan bernafas dengan insang b)

q ~q

: Beberapa siswa SMA malas belajar : Semua siswa SMA tidak malas belajar

6. Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung.Ada 4 macam pernyataan majemuk: i. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan " p  q" yang dibaca p dan q. Tabel kebenarannya adalah: p

q

pq

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa konjungsi hanya bernilai benar apabila kedua pernyataan bernilai benar.Berikut adalah contoh dari pernyataan konjungsi: p : 34 = 51

(bernilai salah)

q: 2 + 5 = 7

(bernilai benar)

p  q : 34 = 51 dan 2 + 5 = 7 (bernilai salah)


43


ii.

Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan p  q dan dibaca p atau q. Tabel kebenarannya adalah: p

q

pq

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa disjungsi hanya bernilai salah apabila kedua pernyataan bernilai salah. Berikut adalah contoh dari pernyataan disjungsi: p : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7

(bernilai benar)

q: tugu pahlawan terletak di Jakarta (bernilai salah)

p  q : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di Jakarta (bernilai benar) iii.

Implikasi Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ... maka ...”. Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p  q, yang dibaca “jika p maka q”. Pada implikasi p  q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa, dan q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.Tabel kebenarannya adalah:


p

q

pq

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

44


Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa implikasi akan bernilai salah hanya jika sebabnya benar dan akibatnya salah. Berikut adalah contoh dari pernyataan implikasi: p : 5 + 4 = 7 (bernilai salah) q: Indonesia berada di benua eropa (bernilai salah) p  q : jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar) iv.

Biimplikasi Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “... jika dan hanya jika ...” dan dilambangkan  .Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p  q, yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p. Tabel kebenarannya adalah: p

q

pq

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa biimplikasi hanya akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya nilai kebenarannya sama. Berikut adalah contoh dari pernyataan biimplikasi: p : 3 + 10 =14 (bernilai salah) q : Persegi adalah segitiga (bernilai salah) p  q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga (bernilaisalah)


45


CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa yang sudah memiliki pemahaman tentangkonsep pernyataan dan bukan pernyataan, nilai kebenaran suatu pernyataan, dan negasi dari suatu pernyataan. Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi berdasarkan hasil percobaan dengan menggunakan alat peraga Logika Listrik. Pembukaan (10 menit) 1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran kepada siswa. 2. Guru menstimulus siswa dengan memberikan pertanyaan tentang kelistrikkan yang digunakan oleh siswa sehari-hari. Siswa diharapkan secara aktif merespon stimulus tersebut dengan menyebutkan beberapa contoh kegiatan sehari-hari yang membutuhkan listrik.(Engagement) 3. Guru menunjukkan alat peraga berupa rangkaian listrik seri dan paralel, serta menyampaikan bahwa rangkaian listrik tersebut merupakan aplikasi konsep Logika yang sedang siswa pelajari. (Engagement) Kegiatan inti (60 menit) Guru meminta salah seorang siswa untuk mendemonstrasikan rangkaian listrik seri dan paralel di depan kelas. Siswa lainnya diminta mengamati jalannya demonstrasi kedua rangkaian listrik. (Engagement& Exploration) 1. Beberapa siswa diharapkan menyampaikan hasil pemikirannya mengenai hasil demonstrasi kedua rangkaian listrik. Selanjutnya, guru memandu siswa untuk mengaitkan hasil demonstrasi kedua rangkaian listrik dengan konsep nilai kebenaran dari pernyataan konjungsi dan disjungsi. (Explanation) 2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil yang masingmasing terdiri dari 3 orang.Guru memastikan setiap kelompok siswa telah memiliki alat peraga Logika Listrik dan lembar kerja (LK). 3. Setiap kelompok melakukan percobaan sesuai dengan instruksi guru dan mengamati hasilnya. (Exploration) 4. Siswa mengisi LK berdasarkan hasil diskusi kelompok mengenai temuan pada percobaan yang telah dilakukan.(Explanation) 5. Kelompok siswa diminta menyimpulkan hasil percobaan yang telah dilakukan dan menjelaskan konsep konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan kesimpulan dari eksperimen yang telah dilakukan di kelompok masing-masing. Jika kesimpulan dari salah satu kelompok belum tepat, kelompok lain diminta menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya dan sampai akhirnya guru memberikan klarifikasi tentang jawaban yang diharapkan.(Explanation& Evaluation) Modul Matematika Kelas X

46


6. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Kemudian guru memberikan pertanyaan-pertanyaan(problem solving) seputar aplikasi masalah konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi untuk menguatkan pemahaman siswa.Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi yang belum dimengerti siswa.(Elaboration and Evaluation) Penutup (10 menit): 1. Guru memberikan pekerjaan rumah sebagai bahan latihan siswa pada materi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. 2. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.

LEMBAR KERJA SISWA 1. Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika Listrik Konjungsi! 2. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut: Tabel 1: Hasil percobaan konjungsi(A ⋀ B)

Lampu A

Lampu 𝑨

Lampu B

Lampu 𝑩

Lampu P

menyala

mati

menyala

mati

menyala

3. Nyatakan kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan berdasarkan hasil pada Tabel 1!


47


Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika Listrik Disjungsi. 4. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut: Tabel 2: Hasil percobaan disjungsi (A V B) Lampu A

Lampu 𝑨

Lampu B

Lampu 𝑩

Lampu P

menyala

mati

menyala

mati

menyala

5. Nyatakan kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan berdasarkan hasil pada Tabel 2! 6. Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika Listrik Implikasi. 7. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut:

Tabel 3: Hasil percobaan implikasi (A

B)

Lampu A

Lampu 𝑨

Lampu B

Lampu 𝑩

Lampu P

menyala

mati

menyala

mati

menyala


48


8. Nyatakan kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan berdasarkan hasil pada Tabel 3! 9. Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika Listrik Biimplikasi. 10. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut:

Tabel 4: Hasil percobaan biimplikasi(A

B)

Lampu A

Lampu 𝑨

Lampu B

Lampu 𝑩

Lampu P

Menyala

mati

menyala

mati

menyala

11. Nyatakan kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan berdasarkan hasil pada Tabel 4!


49


DESKRIPSI ALAT PERAGA Logika Listrik Konjungsi

Disjungsi

Implikasi

Biimplikasi



: Logika : Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi : Setelah mengikuti pembelajaran logika, siswa diharapkan mampu mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.

50


Alat peraga Logika Listrik dapat digunakan sebagai sarana untuk mengaplikasikan konsep Logika. Siswa dapat melakukan beberapa percobaan melalui alat peraga tersebut untuk membuktikan nilai kebenaran dari konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.Sebelum menggunakan alat peraga Logika Listrik, guru sebaiknya memastikan bahwa siswa sudah memahami materi prasyarat yang diperlukan untuk memahami konsep yang akan dibahas pada kegiatan percobaan. Materi prasyarat tersebut adalah mengenai konsep pernyataan dan bukan pernyataan, nilai kebenaran dari suatu pernyataan, dan negasi dari suatu pernyataan. Kegiatan eksperimen dengan alat peraga Logika Listrik juga akan lebih maksimal, apabila siswa terlebih dahulu diberi kesempatan mengenal rangkaian listrik seri dan paralel yang merupakan aplikasi dari konsep konjungsi dan disjungsi.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat alat peraga logika listrik adalah sebagai berikut:  1 buah gergaji  1 buah alat ukur meter  1 buah papan kayu berukuran 17x47 cm  4 buah kayu reng ukuran 6x26 cm  2 buah duplex tebal 1 cm ukuran 27x47 cm  1 buah kabel 2 meter dan colokan  20 buah bola lampu hias  1 buah kabel lampu hias ukuran 2 meter  1 buah travo 220 V  1 buah solder dan timah solder  1 buah alat bor  1 buah solatip kabel  8 buah stop kontak kecil  1 buah palu  1 buah obeng  1 plastik lem fox

LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga logika listrik: 1. Siapkan semua bahan yang akan digunakan 2. Buatlah sebuah kotak persegi panjang dengan menggunakan kayu dan duplex terelebih dahulu. 3. Paku kotak persegi panjang tersebut ke papan sebagai alas kotak tersebut.


51


4. Bor papan bagian depan untuk memasang 20 buah bola lampu hias dan 8 buah stop kontak lampu. 5. Lem 20 buah bola lampu tersebut pada lubang yang sudah tersediadan kancinglah stop kontak tersebut menggunakan sekrup. 6. Sambungkan kabel dari travo ke semua stop kontak dan dari stop kontak ke bola lampu yang sudah siap secara parallel. Sambungkan pula dari travo ke sumber listrik. 7. Tutup bagian belakang kotak dengan menggunakan duplex, kemudian kancinglah menggunakan sekrup. 8. Lampu siap dinyalakan

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Penerapan alatperagaLogika Listrik dalam pembelajaran Logika bertujuan untuk menjelaskan konsepnilai kebenaran dari konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi melalui serangkaian percobaan menyalakan dan mematikan lampu.Langkahlangkahpenggunaannyaadalah sebagaiberikut: 1. Perhatikan cara kerjalampu dan saklar pada alat peraga Logika Listrik yang memenuhi ketentuan berikut ini: a. Saklar dengan posisi ke atas akan membuat lampu menyala dan mengindikasikan pernyataan benar. Sebaliknya,apabila saklar di posisikan ke bawahmaka lampu akan mati (mengindikasikan pernyataan salah). Kedua kondisi tersebut berlaku baik bagi saklar I maupun saklar II. b. Ketentuan pada saklar I:  apabila saklar I diposisikan ke atas maka lampu A menyala dan lampu 𝐴mati  apabila saklar I diposisikan ke bawah maka lampu A mati dan lampu 𝐴 menyala c. Ketentuan pada saklar II:  apabila saklar II diposisikan ke atas maka B menyala dan lampu 𝐵 mati  apabila saklar II diposisikan ke bawah maka lampu B mati dan lampu 𝐵 menyala Konjungsi: 1. Dengan memainkan kedua saklar yaitu dengan menyalakan lampu Adan menyalakan lampu B,makalampu P akan menyala. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A benar dan pernyataan B benar, maka pernyataan (A⋀B) bernilai benar. 2. Dengan memainkan kedua skalar yaitu dengan menyalakan lampu A dan menyalakan lampu 𝐵,maka lampu P akan mati. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A benar dan pernyataan Bsalah, maka pernyataan (A ⋀𝐵) bernilai salah. 3. Dengan memainkan kedua skalar yaitu dengan menyalakan lampu𝐴dan menyalakan lampu B, maka lampu P akan mati. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A salah dan pernyataan Bbenar, maka pernyataan (𝐴⋀B) bernilai salah. Modul Matematika Kelas X

52


4. Dengan memainkan kedua skalar yaitu dengan menyalakan lampu 𝐴dan menyalakan lampu 𝐵, maka lampu P akan mati. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A salah dan pernyataan Bsalah, maka pernyataan (𝐴⋀ 𝐵,) bernilai salah. Disjungsi: 1. Dengan memainkan saklar untuk menunjukkan bahwa apabila A benar (lampuA menyala) dan B benar (lampu B menyala) maka lampu P menyala. Hal inimenunjukkan bahwa (A V B) bernilai benar. 2. Apabila A benar dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka P benar (lampu Pmenyala). Hal ini menunjukkan bahwa (A V 𝐵) bernilai benar. 3. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B benar maka P benar (lampu Pmenyala), ini menunjukkan bahwa (𝐴 V B) bernilai benar. 4. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka P salah (lampu P tidak menyala). Hal ini menunjukkan bahwa (𝐴 V 𝐵)bernilai salah. Dari percobaan tersebut dapat disimpulkan: a. (A V B) bernilai benar b. (A V 𝐵) bernilai benar c. (𝐴 V B) bernilai benar d. (𝐴 V 𝐵)bernilai salah Implikasi: 1. Dengan memainkan saklar yaitu untuk menunjukkan bahwa apabila A benar(lampu A menyala) dan B benar (lampu B menyala) maka lampu P menyala. Hasil ini menunjukkan bahwa implikasi dua pernyataan (A B)bernilai benar. 2. Apabila A benar dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka lampu P tidakmenyala. Hasil ini menunjukkan bahwa implikasi (A 𝐵 )bernilai salah. 3. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B benar, maka lampu P menyala. Hasil ini menunjukkan bahwa implikasi (𝐴 B)bernilai benar. 4. Apabila A salah dan B salah maka lampu pada P menyala. Hasil ini menunjukkanbahwa implikasi (𝐴

𝐵 )bernilai benar.

Dari percobaan tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa implikasi dua pernyataan akan bernilai salah jika anteseden bernilai benar dan konsekuensinya bernilai salah.


53


Biimplikasi: 1. Dengan memainkan saklar yaitu untuk menunjukkan bahwa apabila A benar(lampu A menyala) dan B benar (lampu B menyala) maka lampu P menyala.Hasil ini menunjukkan bahwa biimplikasi dua pernyataan (A B)bernilai benar. 2. Apabila A benar dan B salah (lampu 𝐵menyala) maka lampu P mati. Hasil ini menunjukkan bahwa biimplikasi (A 𝐵)bernilai salah. 3. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B benar, maka lampu P mati.Hasil ini menunjukkan bahwa biimplikasi (𝐴 B)bernilai salah. 4. Apabila A salah dan B salah maka lampu pada P menyala. Ini menunjukkanbahwa biimplikasi (𝐴 𝐵)bernilai benar. Dari percobaan tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa biimplikasi dua pernyataan akan bernilai benar jika anteseden dan konsekuen keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah.

DAFTAR PUSTAKA Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8 Buku Petunjuk Penggunaan Alat Peraga Matematikia SMA,Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika, 2012


54


Pembelajaran Matriks

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan: 1. memahami konsep matriks sebagai representasi numerik dalam kaitannya dengan konteks nyata; 2. memahami operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.


55


Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi matriks, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:  melatih berpikir kritis dan kreatif;  mengamati keteraturan data;  berkolaborasi, bekerja sama menyelesaikanmasalah;  berpikir independen serta mengajukan ide secarabebas dan terbuka;  mengamati aturan susunan objek. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran matriks dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum. Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:

Engagement

Evaluation

Elaboration


Exploration

Explanation

56


MATERI MATRIKS Pada zaman dahulu matriks digunakan untuk mencari solusi dari persamaan linear, matriks dikembangkan di negeri Cina pada tahun 200 B.C. Matematikawan Cina merasa penggunaan papan yang berisi kotak-kotak berupa matriks memudahkan mereka dalam menghitung. Pada abad 19, barulah matriks digunakan oleh matematikawan dari negeri “barat”. Tiga matematikawan penting yang mengembangkan konsep matriks yaitu James Sylvester, William Rowan Hamilton dan Arthur Cayley. Sylvester adalah tokoh yang pertama kali menggunakan istilah “matrix”. Sejak zaman dahulu matriks digunakan oleh para fisikawan dan astronomer. Dalam pembelajaran matriks ada beberapa konsep dasar yang harus diperhatikan dan dipahami oleh siswa, yakni: 1. Menampilkan dan menginterpretasi data dalam bentuk matriks 2. Menjumlahkan dan melakukan operasi pada matriks 3. Memahami perhitungan determinan dan mencari inverse matriks Beberapa siswa memiliki kesulitan saat melakukan operasi perkalian pada matriks, karena prosedur yang berbeda dengan perhitungan numerik biasa. Untuk mengajarkan tentang matriks, siswa harus dapat menggunakan matriks untuk memecahkan masalah, sehingga mereka tidak menganggap matriks hanya sebatas komputasi saja. Peta Konsep Topik Matriks pada Kelas X SMA


57


Matriks 1. Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom. 2. Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. 3. Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks. 4. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks o

Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris.

o

Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom.

o

Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

o

Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.

o

Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.

o

Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.

o

Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.

o

Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

o

Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

5. Penjumlahan matriks A + B

6. Pengurangan matriks A -B


58


7. Perkalian Matriks adalah:

8. Invers Matriks

Inversnya adalah :

CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Tujuan Pembelajaran :

Siswa dapatmemahami operasi pada matriks dan menyelesaikan permasalahan matematika yang berhubungan dengan matriks. Pembukaan (10 menit)

1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. 2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang 3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang operasi pada aljabar. Guru memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi prasyarat untuk mempelajari matrikslebih lanjut.(Engagement) 4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan matriks di kehidupan nyata, lalu guru mengulas sedikit tentang sejarah matriks untuk menarik perhatian siswa dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement) 5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement) Kegiatan inti (60 menit)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Sebelum kegiatan inti dimulai, guru mematika setiap kelompok siswa memiliki alat peraga matriks. Guru menjelaskan tentang ukuran orde matriks dengan alat peraga yang telah tersedia Siswa menggunakan program pada Microsoft Exceltentang penjumlahan matriks Guru menjelaskan tentang penjumlahan matriks dengan alat peraga yang telah tersedia Siswa melakukan program pada Microsoft Excel tentang pengurangan matriks Guru menjelaskan tentang perkalian matriks dengan alat peraga yang telah tersedia Siswa melakukan program pada Microsoft Excel tentang perkalian matriks


59


8. 9. 10.

Guru menjelaskan tentang transpos matriks dengan alat peraga yang telah tersedia Siswa melakukan program pada Microsoft Excel tentang transpos matriks Siswa mendiskusikan permasalahan tentang matriks di lembar kerja siswa.

Penutup:

1. 2. 3.

Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa. Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.

LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan batang matriks: 1. Siapkan alat peraga visualisasi matriks 2. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang penjumlahan matriks dengan mengisi bagian yang kosong


60


3. Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan tersebut !


61


4. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang pengurangan matriks dengan mengisi bagian yang kosong



62


6. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang perkalian matriks dengan mengisi bagian yang kosong



63


8. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang transpos matriks dengan mengisi bagian yang kosong



64


DESKRIPSI MEDIA PEMBELAJARAN: Program pada Microsoft Excel untuk MemvisualisasikanOperasi Matriks

Penggunaan media pembelajaran ini bertujuan untuk memvisualisasikan beberapa operasi matriks, yaitu: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan transpos matriks. Media pembelajaran ini dapat membantu bagi siswa-siswa yang mempunyai gaya belajar cenderung visual, sehingga mereka tidak hanya mengingat rumus tapi melakukan eksplorasi mengenai operasi matriks.

DAFTAR PUSTAKA Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8


65


PEMBELAJARAN FUNGSI

http://4.bp.blogspot.com/-1g4sAVW3q_g/UtkaJMQP6hI/AAAAAAAADCM/iiilrqbWNro/s1600/SAM_0231.JPG

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar: Setelah mengikuti pembelajaran fungsi, siswa diharapkan mampu: 1. menerapkan konsep fungsi dan menggambarkan grafiknya; 2. mengidentifikasi relasi yang disajikan dalamberbagai bentuk yang merupakan fungsi. Modul Matematika Kelas X

66


Pengalaman Belajar : Melalui pembelajaran materi fungsi, siswa memperoleh pengalaman belajar: 1. menemukan konsep fungsi melaluipemecahan masalah otentik; 2. berkolaborasi memecahkan masalah aktualdengan pola instalasi sosial kultur; 3. berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki danmengaplikasikan konsep fungsidalam memecahkan masalah otentik; Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi fungsi dibuat berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu. Model 5E tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.


67



MATERI FUNGSI Konsep fungsi merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang matematika.Pengertian fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam kehidupansehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan merupakan hal yang istimewa dari suatu relasi antara dua himpunan. Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang dapat dimodelkan oleh konsep fungsi. Misalnya model pertumbuhan populasi penduduk, peluruhan radioaktif, penyebaran penyakit, bunga tabungan, dan lain sebagainya. Siswa diharapkan dapat menerapkan konsep fungsi dalam menyelesaikan berbagai masalah terkait dalam mata pelajaran Matematika maupun aplikasinya. Peta konsep dari topikFungsiyang dibahas pada Mata Pelajaran Matematika di SMA kelas X direpresentasikan pada bagan berikut ini:


68


Peta Konsep Topik Fungsi pada Kelas X SMA


69


Pengertian Relasi dan Fungsi 1. Relasi antara dua himpunan Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:

A  B  ( x, y ) x  A dan y  B, A  B disebut hasil kali cartesian antara himpunan A dan B. Jika R  (A  B), maka R disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B. Relasi dapat diartikan sebagai aturan yang mengawankan dua himpunan. Ada beberapa cara menyatakan relasi, yaitu: a. b. c.

diagram panah; himpunan pasangan berurutan; grafik kartesius

Contoh dari relasi adalah sebagai berikut: Diketahui himpunan A  { 1, 4} dan B  { 1, 2}, nyatakan relasi dari A ke B dengan “dua lebihnya dari” ! Penyelesaian: Himpunan pasangan berurutan yangb mewakili relasi dari A ke B adalah: {(1,1), (4,2), (5,3)} 2. Pemetaan atau fungsi Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B. Pemetaan seperti ini biasa dinotasikan dengan f : x  y atau y f(x) dibaca “f memetakan x ke y ” y dinamakan peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Himpunan semua peta/bayangan dari fungsi disebut daerah hasil (range). Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat: a. b. c. d.

Himpunan A sebagai daerah asal atau daerah definisi (domain). Himpunan B sebagai daerah kawan (kodomain). Himpunan R sebagai daerah hasil (range) Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain setiap


70


anggota A dipasangkan habis tetapi tidak boleh ada satu anggota A yang punya pasangan lebih dari atau kurang dari satu. Domain fungsi f biasanya dilambangkan dengan Df sedangkan range fungsi f biasanya dilambangkan dengan Rf. Contoh: 1) Diketahui suatu fungsi yang memetakan A  {1, 8, 27} ke B  {1, 2, 3, 4} dengan sifat “pangkat tiga dari” a) Buatlah diagram panahnya b) Tentukan domain, kodomain dan range fungsi tersebut. Penyelesaian: A

a)

B

1 

1

8 

2

27

3 4

b) Domain fungsi (Df ) adalah A  {1, 8, 27} Kodomain fungsi adalah B  {1, 2, 3, 4} Range fungsi (Rf ) adalah R  {1, 2, 3} Diagram panah di bawah ini menunjukkan kejadian khusus dari pemetaan yang disebut korespondensi satusatu. A


B

















71


Korespondensi satusatu adalah pemetaan yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B dan menghubungkan setiap anggota B dengan tepat satu anggota pada A. Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalkan D maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan riil (). Untuk fungsifungsi pada  kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain: fungsi linier dan fungsi kuadrat.

CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat mendeskripsikan definisi fungsi dan memahami konsep fungsi melalui analogi fungsi sebagai suatu mesin yang jika mendapatkan input akan menghasilkan output tertentu. Selain itu siswa diharapkan mampu menerapkan konsep fungsi linier dan menggambarkan grafiknyamelalui kegiatan eksperimen mengukur tinggi tumpukkan kertas. Pembukaan (10 menit) 1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. 2.Guru memberikan stimulus kepada siswa dengan menayangkan video tentang konsep fungsi yang dianalogikan sebagai suatu mesin yang jika diberikan input akan menghasilkan iui tertentu. Video tersebut berjudul Meat-A-Morphosis An Introduction to Functions dapat diunduh melalui linkhttp://www.youtube.com/watch?v=VUTXsPFx-qQ. Siswa diharapkan fokus memperhatikan tayangan video. (Engagement) 3. Guru menanyakan pendapat siswa mengenai video yang telah ditonton bersamasama. Beberapa siswa diharapkan secara aktif menyampaikan ide dan pendapat mengenai video tersebut. Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan menyampaikan konsep fungsi dengan mengaitkannya terhadap analogi mesin yang ditayangkan pada video.(Explanation) 4. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement) Kegiatan inti (65 menit) 1. Guru mengondisikan siswa untuk duduk secara berpasangan dan membagikan 10 buah gelas, kertas kotak-kotak dan lembar kerja (LK) kepada pasangan siswa. Siswa menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan eksperimen“Mengenal Fungsi”. Sebelum memulai eksperimen, siswa mengamati penjelasan guru mengenai kegiatan eksperimen yang akan dilakukan. (Engagement)


72


2.

3.

4.

5.

6.

Setiap pasangan siswa mulai melakukan eksperimen dengan menyusun gelas-gelas secara bertumpuk, mengukur tinggi tumpukkan gelas, dan mencatat hasil pengukuran. (Exploration) Siswa diminta menentukan tinggi tumpukkan 10 buah gelas tanpa pengukuran secara langsung. Siswa diharapkan mampu menggunakan informasi-informasi yang diperoleh sebelumnya untuk menjawab pertanyaan guru. (Explanation) Setelah siswa berhasil menentukantinggi tumpukkan 10 buah gelas, siswa diperbolehkan melakukan eksplorasi lebih lanjut dengan menambahkan jumlah gelas dan mengukur kembali tinggi tumpukkan gelas. Data hasil pengukuran tinggi tumpukkan gelas dituliskan pada LK yang diberikan guru dalam bentuk tabel. Siswa juga membuat grafik yang menggambarkan data hasil eksperimen yang telah dilakukan.(Exploration&Explanation) Selanjutnya, guru membimbing siswa mengaitkan hasil eksperimen dengan konsep fungsi. Hal tersebut dilakukan dengan meminta siswa menggambar diagram garis pada kertas kotak-kotak dengan menggunakan data yang dihasilkan pada kegiatan eksperimen. Siswa juga diajak memeriksa gambar yang mereka buat dengan menggunakansoftware Geogebra atau media pembelajaran lainnya.(Explanation& Elaboration) Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan. Kemudianguru memberikan pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan fungsi untuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa. (Elaboration and Evaluation)

Penutup (5 menit): 1. Guru memberikan pekerjaan rumah sebagai bahan latihan siswa pada materi fungsi. 2. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


73


LEMBAR KERJA SISWA Eksperimen “Mengenal Fungsi” 9. Susunlah lima buah gelas yang sama ukurannya sedemikian sehingga seperti pada gambar berikut ini:

Gambar 1. Tumpukkan lima buah gelas 10. Tentukan tinggi keseluruhan tumpukkan kelima buah gelas tersebut!

11. Tambahkan 2 buah gelas pada tumpukkan gelas tersebut, kemudian tentukan tinggi keseluruhan tumpukkan gelas yang baru!

12. Tentukan tinggi tumpukkan 10 buah gelas berdasarkan kedua percobaan yang telah anda lakukan! Jelaskan jawaban anda!


74


13. Isilah tabel berikut ini sesuai dengan hasil percobaan anda!

Banyaknya gelas Tinggi tumpukkan gelas

1

Tabel 1. Data hasil percobaan 2 3 4 5 6 7

8

9

10

14. Gambarlah grafik yang mewakili data pada tabel! Gunakan kertas kotak-kotak yang telah disediakan, kemudian apabila memungkinkan gunakan juga software Geogebrauntuk menggambar grafik data hasil eksperimen.

15. Misalkan tinggi setiap gelas dinyatakan dengan t cm dan banyaknya gelas dinyatakan dengan g, Nyatakan hubungan antara tinggi tumpukan dan banyaknya gelas yang ditumpukkan dengan menggunakan permisalan tersebut!

16. Diskusikan hasil yang anda dapatkan dengan anggota kelompok, kemudian tuliskan kesimpulan dari temuan yang anda dapatkan pada poin 1-6!


75


DESKRIPSI KEGIATAN EKSPERIMEN Topik pembelajaran Sub Topik Kompetensi Dasar

: Relasi dan Fungsi : Fungsi : Menerapkan konsep fungsi linier dan menggambarkan grafiknya.

Eksperimen “Mengenal Fungsi” bertujuan untuk mengenalkan kepada siswa konsep fungsi linier melalui kegiatan mengukur tinggi dari tumpukkan gelas. Siswa diharapkan dapat memahami bahwa perubahan banyaknya gelas berelasi langsung dengan perubahan tinggi tumpukan. Siswa juga digiring untuk mendefinisikan suatu fungsi dari percobaan mengukur tumpukkan gelas. Hal ini dilakukan dengan memberi petunjuk kepada siswa untuk memisalkan t sebagai tinggi tumpukkan gelas dalam centimeter dan menyatakan banyaknya gelas dengan g.Kemudian guru dapat meminta siswa menyatakan hubungan antara tinggi tumpukkan gelas dengan banyaknya gelas yang ditumpuk. Setelah itu diharapkan siswa dapat memahami bahwa tinggi tumpukkan “merupakan fungsi” banyaknya gelas.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan eksperimen “Mengenal Fungsi” adalah sebagaiberikut:  10 buah gelas plastik dengan ukuran dan bentuk yang sama.  Mistar  Pena  Kertas kotak-kotak  Lembar Kerja Siswa

LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Siswa secara berpasangan diminta melakukan eksperimen “Mengenal Fungsi” dengan menggunakan tumpukkan beberapa gelas dengan ukuran dan bentuk yang sama. Salah satu alternatif langkah-langkah yang dapat dilakukan siswa dalam eksperimen ini adalah sebagai berikut: 1. Susun 3-5 buah gelas secara bertumpuk. 2. Ukur tinggi tumpukkan gelas dengan menggunakan mistar. 3. Tambahlah jumlah gelas pada tumpukkan gelas awal. Kemudian ukur kembali tinggi tumpukkan gelas seperti pada langkah kedua.


76


4. Catat data pengukuran tinggi tumpukkan pada tabel berikut ini: Banyaknya gelas Tinggi tumpukkan gelas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5. Gambarlah grafik sesuai dengan data pada tabel hasil percobaan dengan menggunakan kertas kotak-kotak atau software Geogebra (www.geogebra.org) 6. Selanjutnya, tentukan fungsi yang menyatakan hubungan antara tinggi tumpukan dan banyak gelas yang ditumpuk.

DAFTAR PUSTAKA Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8 http://www.geogebra.org/cms/en/ http://www.youtube.com/watch?v=VUTXsPFx-qQ http://www.ixl.com/math/


77


Pembelajaran Barisan dan Deret

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan:  memprediksi pola barisan dan deret aritmetikadan geometri atau barisan lainnya melaluipengamatan dan memberikan alasannya;  menyajikan hasil menemukan pola barisan danderet dan penerapannya dalam penyelesaianmasalah sederhana.


78


Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi barisan dan deret, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:  menemukan konsep serta pola barisan danderet melalui pemecahan masalah otentik;  berkolaborasi memecahkan masalah aktualdengan pola interaksi sosial kultur;  berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) dalam menyelidiki dan mengaplikasikankonsep serta pola barisan dan deret dalammemecahkan masalah otentik. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran barisan dan deret dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.


79


Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:

Engagement

Evaluation

Elaboration

Exploration

Explanation

MATERI BARISAN DAN DERET Menurut Buku Matematika kelas X Kurikulum 2013, materi barisan dan deret tergambar dalam diagram berikut:


80


Barisan dan Deret 1. Barisan dan Deret Aritmatika a. Bentuk umum barisan :

b. Beda (selisih) = b

c. Suku ke-n (𝑈𝑛 )

d. Jumlah n suku pertama (𝑆𝑛 )

e. Hubungan suku pertama (𝑎), suku tengah (𝑈𝑡 ), dan suku ke-n (𝑈𝑛 )

f.

Sisipan

2. Barisan dan Deret Geometri a. Bentuk umum barisan :

b. Rasio (perbandingan) = r

c. Suku ke-n (𝑈𝑛 )


81


d. Jumlah n suku pertama (𝑆𝑛 )

e. Hubungan suku pertama 𝑎 , suku tengah (𝑈𝑡 ), dan suku ke-n (𝑈𝑛 )

f.

Sisipan

3. Deret Geometri Tak Hingga a. Konvergen (semakin mengecil), apabila limit jumlah untuk 𝑛 → ∞ dapat ditentukan. Jumlah sampai tak hingga :

b. Divergen (semakin menyebar/membesar), apabila limit jumlah 𝑛 → ∞ tidak dapat ditentukan. Jumlah sampai tak hingga :


82


CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN (problem solving) Tujuan Pembelajaran :

Siswa dapatmenemukan pola dari permasalahan yang disajikan Pembukaan (10 menit)

1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran 2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang 3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan dari guru.Guru memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan dan mengetahui pemahaman siswa tentang materi prasyarat untuk mempelajari barisan dan deretlebih lanjut.(Engagement) 4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan barisan dan deret dalam kehidupan nyata, kemudianmengulas sedikit tentang sejarah barisan dan deret untuk menarik perhatian siswa dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement) 5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement) Kegiatan inti (60 menit)

1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki alat peraga yang diperlukan. 2. Dalam kelompoknya siswa memainkan menara hanoi secara bergantian dan menuliskan hasil yang diperoleh pada lembar kerja yang disediakan. 3. Siswa berdiskusi menentukan pola dari permainan menara hanoi yang telah dilakukan. 4. Siswa dan guru menyimpulkan kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan. 5. Dalam kelompoknya siswa memainkan loncat katak secara bergantian dan menuliskan hasilnya pada lembar kerja yang disediakan 6. Siswa berdiskusi menentukan pola dari permainan loncat katak yang telah dilakukan. 7. Siswa dan guru menyimpulkan kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan. 8. Dalam kelompoknya siswa memainkan permainan pola bilangan ganjil secara bergantian dan menuliskan hasilnya pada lembar kerja yang disediakan 9. Siswa berdiskusi menentukan pola dari permainan pola bilangan ganjil yang telah dilakukan. 10. Guru menjelaskan pola bilangan ganjil tersebut dengan alat peraga yang telah disediakan


83


11.

Siswa dan guru menyimpulkan kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan.

Penutup:

1. 2. 3.

Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa. Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


84


LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan batang statistika: 1. Lakukan percobaan menara hanoi, dan tuliskan hasilnya dalam tabel di bawah ini: Jumlah cakram 1 2 3 4 ... n

Jumlah langkah minimun

... Buatlah polanya ...............

2. Lakukan percobaan loncat katak dan tuliskan hasilnya dalam tabel di bawah ini: Banyaknya 1 2 3 4 ... n pasang Buatlah katak polanya Banyaknya loncatan Banyaknya geseran Total perpindahan 3. Lakukanlah permainan pola bilangan ganjil dan isilah tabel di bawah ini Penjumlahan kuadrat 12 12 + 22 12 + 22 + 32 .... Tentukanlah pola yang dihasilkan


Hasil

85


Perhatikan alat peraga yang telah disediakan:

Coba pahami alat peraga tersebut dan koneksikan pemahaman kalian!


86


DESKRIPSI ALAT PERAGA: Menara Hanoi

Menara hanoi adalah alat peraga permainan matematika yang terkenal dan siswa memiliki tantangan untuk menyelesaikan menara hanoi. Menara hanoi terdiri dari cakram-cakran dengan urutan besar cakram dari yang terbesar ke kecil. Cakram yang terbesar diletakkan di paling bawah dan yang terkecil diletakkan di paling atas. Tujuan dari permainan ini adalah memindahkan seluruh cakram dari satu tiang ke tiang yang lain dengan susunan seperti semula dan siswa mencari langkah yang paling minimum. Proses pemindahan cakram dibantu oleh satu tiang lain. Tujuan penggunaan menara hanoi adalah menemukan pola bilangan jika yang dipindahkan sebanyak n cakram.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk pembuatan Menara Hanoiadalah sebagaiberikut: 1. Papan triplek 2. Gergaji 3. Amplas 4. Pisau 5. Penggaris 6. Alat tulis 7. Jangka 8. Lembar Kerja Siswa


87


LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga Menara Hanoi: 1. Siapkan papan triplek berukuran sekitar 20 x 60 cm 2. Buatlah sketsa bangun persegi pada papan triplek 3. Buatlah 3 potong tongkat berbentuk tiang dan lekatkan di atas papan triplek 4. Buatlah 4 cakram dengan diameter yang berbeda-beda (susunan cakram berbentuk kerucut dengan cakram terkecil berada paling atas) 5. Haluskan dengan amplas

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA 1. Pindahkan 1 cakram setiap langkah 2. Cakram yang lebih besar tidak boleh berada di atas cakram yang lebih kecil. 3. Siswa dapat memulai dengan menggunakan 1 cakram, 2 cakram sampai 4 cakram 4. Lalu siswa menuliskan hasilnya pada tabel yang disediakan guru 5. Guru meminta siswa untuk membuat pola bilangan yang ada.


88


DESKRIPSI ALAT PERAGA: Loncat katak

Alat peraga loncat katak dapat dikategorikan sebagai alat peraga permainan matematika, kegunaannya adalah untuk mengajak siswa menemukan pola bilangan dan menentukan suku ke-n dari barisan bilangan dengan cara bereksplorasi.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk pembuatan Loncat Katakadalah sebagaiberikut: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Gergaji Penggaris Amplas Pensil gambar Pasah Pisau ukir Kuas cat (besar dan kecil) Pahat Kayu bulat jenis dolkes (1 m, diameter ±10 𝑐𝑚 Kayu balok ( 100 cm x 8 cm x 5 cm) Cat merah 1 kaleng kecil Cat hijau 1 kaleng kecil Cat cokelat 1 kaleng kecil Vernis 1 kaleng kecil

LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga Loncat Katak: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Buatlah desain gambar sesuai dengan rencana Siapkan semua alat dan bahan yang diperlukan Potong kayu dolken menjadi 10 bagian yang sama panjang Ukirlah kayu dolken menjadi bentuk katak dengan diameter alas 4 cm Amplaslah pasak yang berbentuk katak Catlah pasak yang berbentuk katak dengan warna yang berberda (5 merah, 5 hijau) Membuat 11 lubang pada balok kayu dengan diameter 4 c, dengan kedalaman 2 cm, dan jarak antar lubang 4 cm 8. Amplaslah balok kayu 9. Catlah balok kayu dengan warna coklat 10. Pasangkan pasak yang berbentuk katak pada balok kayu


89


11. Alat peraga loncat katak siap digunakan

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Aturan permainan loncat katak ini adalah sebagai berikut: 1. Pindahkan dua kelompok katak, sehingga dua kelompok katak tersebut bergantian tempat, kedua kelompok katak dipisahkan dengan satu lubang sebagai pembantu langkah. 2. Setiap kali melangkah hanya boleh mengangkat satu katak. 3. Dalam melakukan perpindahan, hanya boleh melompati satu katak atau menggeser ke lubang terdekat. 4. Lakukan langkah minimum sampai kedua kelompok katak bertukar tempat

DAFTAR PUSTAKA Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8 http://putrahardiansyah.blogspot.com/2013/05/permainan-matematika-loncat-katak.html http://merinalestarii.wordpress.com/2013/06/06/permainan-menara-hanoi/ http://www.mtm.org.sg/wp-content/resources/doc/ringkasanmateri.matematika.pdf


90


Pembelajaran FUNGSI KUADRAT

http://2.bp.blogspot.com/-iOw_1yyGvQk/TqEkvEnIStI/AAAAAAAABlE/oIzOS3DfJzQ/s1600/mtk13.jpg

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan:  memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilihstrategi dan menerapkan untuk menyelesaikanpersamaan kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya;  menganalisis persamaan kuadrat dari data terkaitmasalah nyata dan menentukan model matematikaberupa persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat;


91


Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi fungsi kuadrat, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:  merancang model matematika dari sebuahpermasalahan otentik yang berkaitan denganpersamaan dan fungsi kuadrat;  menyelesaikan model matematika untuk memperolehsolusi permasalahan yang diberikan;  menentukan akar-akar persamaan kuadrat denganpemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, danrumus abc  menentukan jumlah dan hasil kali akar-akarpersamaan kuadrat; Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran fungsi kuadrat dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.


92



Engagement

Evaluation

Elaboration

Exploration

Explanation

MATERI FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRAT Dalam ilmu matematika, konsep fungsi kuadrat adalah konsep yang penting dan digunakan berulang-ulang pada materi- materi matematika yang lain. Kesalahan yang biasa terjadi pada siswa dalam mempelajari persamaan dan fungsi kuadrat adalah: 1. Siswa tidak memiliki pemahaman konsep mengenai persamaan kuadrat, siswa hanya menganggap proses mencari akar adalah sesuatu yang prosedural saja. Hal ini terjadi karena siswa tidak melewati fase enaktif. Fase enaktif adalah fase dimana siswa disediakan alat yang nyata bukan hanya sekadar ide abstrak saja. 2. Beberapa siswa masih kesulitan mengenai penulisan bentuk persamaan kuadrat, contoh kesalahan siswa adalah: ( a + b)2 = a2 + b2 x + x2 = x3 -x – x = x2 3. Beberapa siswa bahkan guru menuliskan notasi yang salah untuk fungsi, contohnya y = x2 disebut sebagai fungsi, padahal bentuk tersebut adalah bentuk persamaan bukan fungsi. y = x2 dapat disebut persamaan yang membentuk fungsi atau persamaan dari sebuah fungsi.


93


Peta Konsep Topik Fungsi dan Persamaan Kuadrat pada Kelas X SMA


94


Fungsi dan Persamaan Kuadrat Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Fungsi 𝑓 dari himpunan A ke B ditulis : 𝑓∶𝐴→𝐵

(dibaca : fungsi 𝑓 memetakan A ke B) Pada fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 berlaku : 1. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari 𝑓, ditulis 𝐷𝑓 . 2. Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari 𝑓. 3. Himpunan dari semua peta 𝑓 di B disebut daerah hasil (range) dari fungsi tersebut, ditulis 𝑅𝑓 . Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat :

Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan :   

Memfaktorkan Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna Menggunakan rumus abc

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat : 1. Jumlah akr-akar persamaan kuadrat :

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :


95


Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat :


96



Siswa dapatmemahami pemfaktoran fungsi kuadrat melalui alat peraga algebra tiles. Pembukaan (10 menit)

1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. 2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang 3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang persamaan fungsi kuadrat.Guru memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi prasyarat untuk mempelajari statistika lebih lanjut.(Engagement) 4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan mempelajari fungsi kuadrat dalam kehidupan nyata, lalu guru mengulas sedikit tentang sejarah fungsi kuadrat untuk menarik perhatian siswa dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement) 5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement) Kegiatan inti (60 menit)

1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru mematikan setiap kelompok siswa memiliki alat peraga algebra tiles 2. Siswa melakukan eksplorasi melalui alat peraga algebra tiles untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat secara individu 3. Siswa berdiskusi dengan kelompoknya mengenai kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan 4. Siswa melakukan eksplorasi dengan mengubah hasil pemfaktoran menjadi persamaan kuadrat melalui alat peraga algebra tiles Penutup:

1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan. 2. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa. 3. Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


97


LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan algebra tiles: 1. Persiapkan alat peraga algebra tiles 2. Lakukan percobaan sesuai dengan mencari nilai pemfaktoran dari x2 + 4 x + 3 dengan menggunakan algebra tiles 3. Ambillah 1 buah persegi yang panjang sisinya x satuan, 4 buah persegi panjang berukuran panjang x satuan dan lebar 1 satuan, dan 3 buah persegi yang panjang sisinya 1 satuan 4. Bentuklah persegi panjang yang utuh dari persegi dan persegi panjang yang ada 5. Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan!


98


DESKRIPSI ALAT PERAGA : ALGEBRA TILES

http://www.assessmentservices-edu.com/images/products/detail/Algebra%20Tiles.jpg

Algebra tiles adalah alat peraga untuk membantu siswa memahami cara memfaktorkan persamaan kuadrat. Algebra tiles menggabungkan konsep kekekalan luas dan persamaan kuadrat. Alat peraga ini dapat dipakai sebagai awal dalam mengenalkan prosedur pemfaktoran bentuk kuadrat, setelah siswa melalui tahapan pembelajaran melalui alat peraga yang bisa di manipulasi dengan hands-on activity, siswa melanjutkan pada tahapan selanjutnya yaitu proses abstrak. Kekurangan alat peraga ini adalah, sulit digunakan untuk persamaan kuadrat yang mempunyai koefisien negatif, hal ini terjadi karena panjang sisi dan luas tidak mungkin bernilai negatif.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat algebra tiles adalah sebagai berikut: 1. Karton tebal 2. Gunting 3. Kertas warna 4. Spidol hitam


99


LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga algebra tiles: 1. Buatlah persegi dengan panjang sisi 20 cm sebanyak 5 buah 2. Beri tulisan “ x “ di setiap panjang sisinya, untuk menunjukkan bahwa panjang sisinya adalah x satuan. 3. Buatlah persegi dengan panjang sisi 5 cm sebanyak 15 buah 4. Beri tulisan “ 1 “ di setiap panjang sisinya, untuk menunjukan bahwa panjang sisinya adalah 1 satuan. 5. Buatlah persegi panjang dengan ukuran 20 x 5 cm sebanyak 10 buah 6. Beri tulisan “ x “ di setiap panjangnya dan “1” di setiap sisinya, untuk menunjukan bahwa panjangnya adalah x satuan, lebarnya 1 satuan.

1 x

x x

1

1

7. Lapisi semua persegi dan persegi panjang yang telah dihasilkan dengan kertas warna warni.

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Pendekatan untuk menggunakan alat peraga algebra tiles adalah sebagai berikut: Berangkat dari persamaan kuadrat dan kemudian dicari betuk pemfaktorannya. Siswa diberikan persamaan kuadrat terlebih dahulu, contoh: x2 + 4 x + 3. Lalu siswa mengambil 1 buah persegi yang panjang sisinya x satuan, 4 buah persegi panjang berukuran panjang x satuan dan lebar 1 satuan, dan 3 buah persegi yang panjang sisinya 1 satuan. Dengan persegi dan persegi panjang yang ada siswa diminta untuk membentuk persegi panjang yang utuh.Dari persegi yang utuh tersebut dapat dilihat bahwa persegi panjang yang terbentuk berukuran panjang (x + 3) satuan dan lebar (x+1) satuan, kesimpulan yang diperoleh adalah hasil pemfaktoran x2 + 4 x + 3 = ( x + 3 ) ( x + 1)


100


DAFTAR PUSTAKA Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8 http://www.mtm.org.sg/wp-content/resources/doc/ringkasanmateri.matematika.pdf http://www.youtube.com/watch?v=l00CeulzdZo


101


Pembelajaran TRIGONOMETRI

http://2.bp.blogspot.com/-_VsduVCdy30/TzUT5133VoI/AAAAAAAAATY/P0nEQ-Sii-E/s1600/IMG_0311.JPG

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan: 1. Memahami dan menentukan hubunganperbandingan trigonometri dari sudut di setiap kuadran 2. memilih dan menerapkan dalam penyelesaian masalah nyata dan matematika.


102


Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi trigonometri, siswa akan memperoleh pengalaman belajar: 1. menemukan konsep perbandingan trigonometrimelalui pemecahan masalah otentik 2. berkolaborasi memecahkan masalah aktualdengan pola interaksi sosial kultur 3. berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan kreatif)dalam menyelidiki dan mengaplikasikankonsep trigonometri dalam memecahkanmasalah otentik. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran trigonometri dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.


103



Engagement

Evaluation

Elabotaion

Exploration

Explanation

MATERI TRIGONOMETRI Trigonometri adalah cabang dari ilmu matematika yang mencakup konsep perbandingan panjang sisi pada segitiga dan fungsi trigonometri. Jika kita melihat lagi sejarahnya, trigonometri dikembangkan untuk mengukur ketinggian dari objek seperti pohon, gedung, dll. Selain itu trigonometri juga dikembangkan untuk mengukur jarak contohnya adalah lebar sungai dan juga pada bidang astronomi. Apikasi-aplikasi trigonometri tersebut dapat digunakan sebagai motivasi bagi siswa untuk mempelajari trigonometri. Kata “trigonometri” berasal dari Yunani, “tri” artinya tiga, “gonon” yang artinya sudut dan “metron” yang artinya pengukuran. Oleh karena itu, sebagian besar konsep dalam trigonometri berhubungan dengan konsep segitiga, baik itu panjang sisinya maupun sudut-sudut dalam segitiga. Dahulu, perhitungan trigonometri menggunakan tabel trigonometri, tetapi seiring dengan perkembangan zaman, perhitungan trigonometri dapat dibantu dengan kalkulator scientific atau dengan software komputer. Tabel trigonometri dibuat oleh para ahli matematika yang berasal dari Yunani untuk menyelesaikan permasalahan pada bidang astronomi. Kemudian, tabel ini dikembangkan oleh ahli matematika muslim sebagai alat untuk menentukan waktu ibadah di berbagai tempat yang berbeda, contohnya adalah perhitungan waktu shalat dan kalender islam (hijriah). Sekilas sejarah tentang trigonometri dapat disampaikan pada siswa, untuk memotivasi mereka untuk mempelajari trigonometri.


104


Peta Konsep Topik Trigonometri pada Kelas X SMA


105


Perbandingan Trigonometri Terdapat 6 perbandingan trigonometri yang digunakan, yaitu: sinus, cosinus, tangen, cotangen, secant dan cosecant. Konsep dasar perbandingan-perbandingan tersebut menggunakan prinsip segitiga siku-siku. Pemahaman siswa tentang segitiga siku-siku menjadi materi prasyarat untuk mempelajari trigonometri. Guru sebaiknya memastikan pemahaman siswa tentang teorema pythagoras pada awal pembelajaran trigonometri. Definisi dari perbandingan-perbandingan tersebut adalah sebagai berikut:

Diambil dari buku matematika kelas X Kurikulum 2013.


106


Ada dua satuan sudut yang dipakai dalam konsep trigonometri yaitu radian dan derajat. Satuan penuh pada lingkaran bernilai 360o , artinya jika lingkaran dibagi 360 bagian maka sudut yang dibentuk adalah 10. Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat α yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkarannya.

Jika besar sudut AOB = α dan panjang tali busur AB = AO = OB 𝐴𝐵 Maka α = =1 𝑟 Lebih lanjut, hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan 2π rad. Seperti dinyatakan dalam definisi 8.2 berikut (buku matematika kelas X Kurikulum 2013) :


107


CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan pada siswa yang sudah memiliki pemahaman tentang cara mencari perbandingan sinus, cosinus dan tangen sebuah sudut dalam segitiga siku-siku dan sudut inklinasi. Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat mengaplikasikan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dalam permasalahan realistik. Pembukaan (10 menit) 1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. 2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang 3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang konsep pythagoraspada segitiga siku-siku, cara mencari perbandingan sinus, cosinus dan tangen pada segitiga sikusiku dan sudut inklinasi. Guru memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi prasyarat untuk mempelajari trigonometri lebih lanjut.(Engagement) 4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan trigonometri di kehidupan nyata, lalu guru mengulas sedikit tentang sejarah trigonometri untuk menarik perhatian siswa dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement) 5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement) Kegiatan inti (60 menit) 1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki klinometer dan lembar kerja sebagai panduan penggunaan klinometer. 2. Guru memberikan penjelasan bahwa trigonometri dapat digunakan untuk mengukur tinggi suatu objek. 3. Dalam kelompoknya, siswa menuju lapangan sekolah dan menentukan objek yang akan ditentukan estimasi tingginya, contoh: tiang bendera, gedung lantai 3, pohon, tiang listrik, atau yang lainnya.(Exploration) 4. Satu siswa menjadi pembidik, satu siswa bertugas menjadi observer sudut dan satu orang siswa yang lain bertugas sebagai pencatat hasil eksperimen. (Exploration) 5. Siswa yang bertugas menjadi pembidik membidikan klinometer pada objek yang sudah ditentukan, harus diperhatikan bahwa siswa tersebut tepat membidik pada ujung teratas objek.(Exploration) 6. Siswa lain yang bertugas sebagai observer sudut melihat besar sudut yang ditunjukan bandul pada busur dan dicatat pada lembar kerja siswa oleh siswa yang bertugas sebagai pencatat.(Exploration) 7. Sebelum melakukan perhitungan, lakukan pengukuran tinggi badan (dari ujung kaki ke mata) dari siswa yang bertugas sebagai pembidik klinometer dan jarak antar pembidik dan objek.(Exploration) 8. Setelah diketahui tinggi badan pembidik, besar sudut yang tertera pada klinometer siswa berdiskusi untuk menentukan tinggi objek. Dalam tahapan ini siswa harus mengoneksikan pemahaman mereka tentang cara mencari


108


perbandingan tangen sebuah sudut dan pemahaman mereka tentang sudut inklinasi, siswa diperbolehkan memakai alat bantu hitung.(Exploration) 9. Siswa menuliskan hasil diskusi pada lembar kerja siswa yang telah disediakan. (Explanation) 10. Siswa memilih 2 objek lain yang dapat diukur ketinggiannya, dan mereka bergantian tugas. Sehingga semua siswa dalam setiap kelompok mendapatkan tugas yang berlainan. (Exploration) 11. Siswa yang kesulitan mengerjakan dibantu oleh guru dan siswa lain yang mempunyai kemampuan lebih tinggi.(Evaluation) 12. Siswa mencari kelompok lain yang memilih objek yang sama untuk menyocokkan hasil ketinggian objek, jika terdapat perbedaan kedua kelompok tersebut maka siswa diminta mendiskusikan pada tahapan mana kemungkinan terjadi kekeliruan dan menuliskan alasannya pada lembar kerja.(Elaboration and Evaluation) 13. Setelah kembali ke kelas, beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan hasil pengerjaan soal dan ditanggapi secara aktif oleh siswa lain.(Explanation and Evaluation) 14. Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan.(Elaboration and Evaluation) 15. Secara perorangan, siswa mengerjakan soal tantangan yang telah tersedia di dalam lembar kerja untuk mengukur pemahaman siswa. Penutup: 1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan. 2. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa. 3. Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


109


LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan klinometer: 1. Pilih tiga benda yang akan kalian tentukan tingginya. 2. Bekerjalah secara bergantian (observer – pembidik – pencatat) Pembidik bertugas untuk mebidikan klinometer pada ujung objek. Observer bertugas untuk mencatat besar sudut inklinasi yang tertera pada klinometer, mengukur jarak antar pembidik dan objek dan mengukur tinggi badan Pembidik. Pencatat bertugas untuk mencatat seluruh hasil kegiatan 3. Tuliskan hasil eksperimen kalian pada tabel di bawah ini: No. Nama Pembidik

Tinggi Nama Pembidik objek

Sudut Jarak inklinasi antara Pembidik dan objek

Estimasi tinggi objek

4. Untuk menghitung estimasi tinggi objek, ingat lagi cara mencari tangen. Untuk mempermudah gambarkan sketsa pembidik dan gedungdalam sebuah segitiga siku-siku!

5. Tuliskan perbandingan tangen yang dapat dibuat berdasarkan segitiga di atas!

6. Bandingkan hasil yang sudah kalian peroleh dengan kelompok lain yang mengukur ketinggian objek yang sama. Apakah sama atau berbeda? Jika berbeda coba analisis mengapa hasilnya berbeda?


110


7. Menurut pendapat kalian faktor apa yang dapat menyebabkan kesalahan dalam pengukuran?

8. Tuliskan kesimpulan yang diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan!

9. Setelah kalian memahami kegiatan di atas, coba kerjakan soal tantangan berikut ini:


111


DESKRIPSI ALAT PERAGA

http://resource.rockyview.ab.ca/t4t/math10c/images/m1/m10c_m1_113_opt.jpeg

Alat peraga ini dapat digunakan sebagai aplikasi konsep trigonometri. Alat ini berfungsi untuk mengetahui estimasi tinggi sebuah gedung atau tiang. Konsep yang digunakan saat melakukan percobaan dengan menggunakan alat peraga adalah konsep perbandingan tangen. Melalui percobaan menggunakan klinometer, siswa diharapkan dapat memahami aplikasi perbandingan trigonometri di kehidupan nyata. Tinggi objek yang dihasilkan merupakan estimasi dan bukan merupakan nilai pasti, karena ada beberapa kesalahan yang mungkin terjadi. Diantaranya adalah alat yang tidak bisa menentukan tinggi gedung dengan tingkat presisi yang tinggi, kesalahan membaca angka sudut pada busur atau kesalahan menghitung.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat klinometer adalah sebagai berikut: 

Busur kayu besar



Pipa PVC



Bandul



Tali benang kasur



Lem pipa



Paku payung



Pita meteran


112


LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga klinometer : 1. Siapkan semua bahan yang akan digunakan 2. Ikat bandul pada benang kasur, panjang benang kasur disesuaikan dengan jari-jari busur 3. Tempelkan ujung benang pada ujung busur, tepat di sudut 900. 4. Tempelkan pipa PVC di bagian diameter busur menggunakan lem pipa PVC. 5. Klinometer siap untuk dipakai

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Alat peraga klinometer digunakan untuk mengukur estimasi tinggi suatu pohon, tiang atau pohon. Syarat benda yang dapat diukur oleh klinometer adalah benda yang berdiri tegak dan tidak miring. Alat peraga ini menggunakan konsep perbandingan tangen. Jika diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di A, perbandingan tangen dari segitiga siku-siku tersebut adalah panjang sisi BC dibagi dengan panjang sisi AB. Perhatikan gambar berikut: C

α A

B

tan 𝛼 =

𝐴𝐶 𝐴𝐵

Dalam percobaan menggunakan klinometer, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari gedung atau objek lain yang akan ditentukan estimasi tingginya. Lalu siswa harus mengetahui tinggi badannya. Tinggi badan yang digunakan adalah jarak


113


antara telapak kaki ke mata. Siswa juga harus mengukur jarak antara dirinya dan gedung dengan menggunakan pita meteran. Siswa meneropong titik puncak objek melalui pipa pada klinometer. Selanjutnya siswa yang lain menandai angka yang sejajar dengan bandul pada busur dengan menggunakan spidol. Perhitungan yang diperlukan adalah sebagai berikut:

D

α C

A

B

BD = BC + CD Cara mencari BC dengan menggunakan perbandingan tangen tan 𝛼 =

𝐶𝐷 𝐴𝐵

Jadi, CD = AB . tan α Dengan: 𝛼 = sudut yang tertera pada klinometer AB = jarak antara siswa dan gedung BD = tinggi gedung BC = tinggi pembidik



114


PEMBELAJARAN GEOMETRI

sumber:http://www.downloadpsds.com/wp-content/uploads/2013/09/Orange-transparent-cube-icon-psd.jpg

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar: Setelah mengikuti pembelajaran geometri, siswa diharapkan mampu: 1. Memahami konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya. 2. Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik, garis dan bidang.


115


Pengalaman Belajar : Melalui pembelajaran materi geometri, siswa memperoleh pengalaman belajar:  menemukan konsep dan prinsip geometri melalui pemecahan masalah otentik;  berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur;  berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki danmengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsipbangun datar dan ruang dalam geometri untukmemecahkan masalah otentik. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi geometri dibuat berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu. Model 5E tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 9. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 10. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.


116



MATERI GEOMETRI Dalam geometri dipelajari hubungan antara titik, garis, bidang dan bangun ruang, dan berbagaihal yang muncul akibat adanya hubungan tersebut, misalnya sudut dan jarak. Hal lain yang juga sangatpenting ialah bahwa geometri merupakan suatu sistem, yang dengan penalaran logis dari fakta atau hal-hal yang diterima sebagai kebenaran ditemukan sifat-sifat baru yang semakin berkembang (Travers, 1987:2). Namun perkembangan pendidikan matematika, khususnya kurikulum geometri yang diterapkan di Indonesia dalam beberapa dasawarsa terakhir, kurang mengembangkananalisis keruangan.Hal ini menjadi salah satu faktor penyebab kemampuan keruangan para siswa umumnya lemah. Pengembangan kemampuan analisis keruangan perlu diusahakan bagi para siswa khususnya di tingkat SMA.Hal ini dapat direalisasikan dengan memberikan suatu arah pada pemahaman melalui penalaran mengenai masalah keruangan. dan bukan sekedar hafalan teknis-praktis. Lebih lanjut, topik geometri sebagai salah satu materi yang esensial pada Mata Pelajaran Matematika di SMA kelas X mencakup beberapa konsep dasar yang direpresentasikan pada bagan berikut ini:


117


Peta Konsep Topik Geometri pada Kelas X SMA

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Kedudukan titik terhadap garis Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, maka : a. Titik T teletak pada garis g, atau garis g melalui titik T b. Titik T berada diluar garis g, atau garis g tidak melalui titik T 2. Kedudukan titik terhadap bidang Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, maka : a. Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T b. Titik T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T 3. Kedudukan garis terhadap garis Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka : a. Garis g dan h terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat terjadi :  garis g dan h berhimpit, g = h  garis g dan h berpotongan pada sebuah titik  garis g dan h sejajar b. Garis g dan h tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis g dan h bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar dan tidak berpotongan.


118


4. Kedudukan garis terhadap bidang Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka : a. Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g. b. Garis g memotong bidang H, atau garis g menembus bidang H c. Garis g sejajar dengan bidang H 5. Kedudukan bidang terhadap bidang Jika diketahui bidang V dan bidang H, maka : a. Bidang V dan bidang H berhimpit b. Bidang V dan bidang H sejajar c. Bidang V dan bidang H berpotongan. Perpotongan kedua bidang berupa garis lurus yang disebut garis potong atau garis persekutuan. Contoh :

H E

G F

D A

C B

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan : a) Titik yang berada pada garis DF b) Titik yang berada diluar bidang BCHE c) Garis yang sejajar dengan CF d) Garis yang berpotongan dengan BE e) Garis yang bersilangan dengan FG f) Bidang yang sejajar dengan bidang BDG Jawab : a) b) c) d) e) f)

Titik D dan F Titik A, D, F, G DE EA, EF, ED, EH AB, DC, AE, DH AFH


119


B. JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Menghitung jarak antara titik dan garis Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus. A

Jarak antara titik A dengan garis g Adalah AB, karena AB tegak lurus g

B

Dengan garis g

2. Menghitung jarak antara titik dan bidang Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang. A

Jarak titik A ke bidang H Adalah AB, karena garis AB Tegak lurus dengan bidang H

B H

3. Menghitung jarak antara 2 garis a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain. A

g

Jarak antara garis g dan h Adalah AB, karena AB  g dan h

h B


120


c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu. g

B

h

A H

Jarak antara garis g dan h adalah AB karena AB tegak lurus g dan h 4. Menghitung jarak antara garis dan bidang Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara salah satu titik pada garis tehadap bidang.

A

g

Jarak antara garis g dan B

Bidang H adalah AB, karena AB tegak lurus g dan

H

Bidang H. 5. Jarak antara dua bidang Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang lain.

A G

Jarak antara bidang G dan H Adalah AB. B

H Modul Matematika Kelas X

121


Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara : a. Titik A ke H b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang) c. Titik A ke garis CE d. Titik A ke bidang BCGF e. Titik A ke bidang BDHF f. Titik A ke bidang BDE g. Garis AE ke garis CG h. Garis AE ke garis CG i. Bidang ABCD ke EFGH Jawab : H

G

F

E

D

P

AH = C

R

10

A

a. Jarak titik A ke H = AH

AD 2  DH 2

= 100  100 =

200

B

= 10 2 cm b. Jarak titik A ke P = AP = ½ AG =

10 3 cm 2

c. Jarak A ke CE = AK E

G K

Pada segitiga siku-siku CAE L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK

A


C

122


1 .10 2.10  2.10 3. AK 2 1 .10 2.10 2 AK  1 .10 3 2 10 2 AK  3 10 AK  6 3 d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD) AR = ½ AC = ½ 10 2 = 5 2 cm f. Jarak titik A ke bidang BDE H

G

E

F

T D

C

R A B

Perhatikan persegi panjang ACGE sbb :

E

G

Garis AG berpotongan tegak lurus dengan Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke

T

Bidang BDE adalah AT. A

R

C

ER = =


AR 2  AE 2

50  100 123


= 150 = 5 6 cm.

L. ARE = ½. AR. AE = ½. RE. AT ½. 5 2.10 = ½ . 5 6.AT

50 2 = 5 6.AT AT

=

50 2 10 3 cm = 3 5 6

g. Jarak AE ke CG = AC = 10 3 h. Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm C. PROYEKSI 1. Proyeksi titik pada bidang Jika titik A diluar bidang H, maka proyeksi A pada bidang H ditentukan sebagai berikut : a. Dari titik A dibuat garis g yang tegak lurus bidang H b. Tentukan titik tembus garis g terhadap bidang H, misalnya titik B. Proyeksi titik A pada bidang H adalah B. A

B

1. Proyeksi garis pada bidang Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan menentukan proyeksi dua buah titik yang terletak pada garis ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada bidang merupakan garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi.


124


a. Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka proyeksi garis ke bidang itu berupa titik. b. Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang merupakan garis yang sejajar dengan garis yang diproyeksikan. Contoh : Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 5 cm dan TA = 8 cm. Hitunglah panjang proyeksi : a. TB pada bidang ABCD b. TB pada bidang TAC T

D

C O B

A

a. Proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB pada bidang ABCD = BO BO = ½ .AC =½

AB 2  BC 2

=½

25  25

=½ 5 2 =

5 2 cm 2

b. Proyeksi TB pada bidang TAC = TO TO = TB 2  BO2 =

64 

=

103 2

25 2


125


=

1 206 cm 2

D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG 1. Sudut antara dua garis berpotongan Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip. Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah  .

g

 A h

2. Sudut antara dua garis bersilangan Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.

h

g h1

Garis g bersilangan dg h

Garis h1 sejajar dengan h Memotong g Sudut antara g dan h sama dg Sudut antara g dan h1

3. Sudut antara garis dan bidang Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang itu.


126


g

Garis g menembus bidang H dititik A. Proyeksi garis g pada bidang H adalah g1 A

g1 H

Sudut antara garis g dengan bidang H Adalah sudut yang dibentuk garis g dg g1

4. Sudut antara bidang dengan bidang Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan. Untuk menentukannya sbb : a. Tentukan garis potong kedua bidang b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong kdua bidang c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi. d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi g G



(G,H)

H h

Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H) Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan h Contoh

:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan : a. Besar sudut antara BG dan bidang ABCD b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD


127


Jawab : H

E

G

F

D

A

5 cm

C

B

a. Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 450 b. Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah Cos DBH =


BD BH =

5 2 5 3

=

6 3

128


CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa yang sudah memiliki pemahaman tentangkonsepteorema phytagoras, titik, garis, dan bidang pada geometri bidang datar. Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menentukan jarak antara titik ke titik, titik ke garis, dan titik ke bidang melalui kegiatan mengukur ruas garis dengan menggunakan stik lidi dan alat peraga bangun ruang balok transparan. Pembukaan (5 menit) 1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. 2. Guru menunjukkan alat peraga bangun ruang kubus, balok, dan limas. Guru menstimulus siswa dengan memberikan pertanyaan mengenai benda-benda di sekitar kelas yang merupakan contoh dari bangun ruang kubus, balok dan limas. Siswa diharapkan secara aktif menyampaikan ide mengenai contoh-contoh bendayang ditanyakan oleh guru. (Engagement) 3. Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan menyampaikan kegiatan dan tujuan pembelajaran yang akan dilaksanakan.(Engagement) Kegiatan inti (70 menit) 1. Guru mengondisikan siswa untuk membentuk kelompok yang terdiri dari tiga orang siswa. Guru membagikan bagun ruang kubus atau balok, stik lidi, mistar, gunting, spidol permanen, dan lembar kerja (LK) kepada setiap kelompok. Siswa menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan esperimen melipat kertas. 2. Setiap kelompok melakukan pengukuran ruas garis- ruas garis sesuai dengan instruksi pada Lembar Kerja. Pengukuran dilakukan terlebih dahulu secara manual dengan menggunakan stik lidi yang tersedia. Setiap kelompok kemudian mencatat hasil pengukuran yang diperoleh dengan menggunakan stik lidi tersebut. (Exploration) 3. Guru menstimulus siswa untuk membandingkan hasil pengukuran secara manual dengan perhitungan secara matematis untuk memperoleh panjang ruas garis yang diminta. Siswa berdiskusi dalam kelompoknya untuk menyelesaikan perhitungan panjang ruas garis secara matematis.Siswa kemudian membandingkan hasil perhitungan secara manual dengan perhitungan secara matematis.Hasil temuan setiap kelompok dituliskan oleh setiap siswa pada LK masing-masing. Guru membimbing kelompok siswa yang kesulitan pada tahap ini. (Explanation) 4. Selanjutnya, guru membimbing siswa untuk mengaitkan hasil eksperimen mereka dengan konsep proyeksi dalam bangun ruang dimensi tiga. Hal tersebut dilakukan dengan meminta siswa mengeksplorasi kembali bangun ruang transparan dan stik lidi yang mewakili suatu ruas garis. Siswa kemudian menyimpulkan konsep proyeksi titik pada garis dan bidang, serta proyeksi garis Modul Matematika Kelas X

129


pada bidang. Siswa juga diajak melakukan eksplorasi lanjutandengan menggunakan software pembelajaran dimensi tiga. (Explanation & Elaboration) 5. Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan. Kemudian guru memberikan pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan sub topik jarakuntuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa. (Elaboration and Evaluation) Penutup (5 menit): 1. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


130


LEMBAR KERJA SISWA Eksperimen Dimensi Tiga 1.

Perhatikan balok berikut ini:

2.

Posisikan balok menyerupai gambar berikut:

3.

Lakukan pengukuran terhadap ruas garis AB, BC, dan AE pada balok tersebut! AB = ... cm (panjang balok) BC = ... cm (lebar balok ) AE = ... cm (tinggi balok )

4.

Tentukan panjang segmen garis AC dan AG pada masing-masing balok dengan melakukan pengukuran menggunakan potongan stik lidi!


131


5.

Apakah hasil pengukuran yang diperoleh memenuhi persamaan berikut: 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 dan𝐴𝐺 2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐶𝐺 2 6. Jelaskan jawaban anda berdasarkan hasil pada nomor 5

7.

Tentukan proyeksi titik B pada garis CD dan garis AC!

8.

Misalkan P adalah proyeksi titik B pada garis AC. Tentukan jarak titik B ke titik P dengan melakukan pengukuran menggunakan potongan stik lidi! Bandingkan hasil pengukuran anda dengan hasil perhitungan menggunakan persamaan berikut ini: 𝐵𝑃2 = 𝐴𝐵 2 − 𝐴𝑃2

9.

Tuliskan kesimpulan yang anda peroleh dari hasil pada nomor 8!

10.

Tentukan jarak titik B ke bidang ADHE, bidang EFGH, dan bidang CDHG! ( Petunjuk: tentukan terlebih dahulu proyeksi titik B pada masing-masing bidang, kemudian ukur/ hitung jarak antara titik B dengan titik proyeksinya pada bidang yang dituju)

11.

Buatlah kesimpulan dari hasil eksperimen yang anda peroleh mulai dari nomor 1 sampai dengan nomor 10!


132


DESKRIPSI KEGIATAN EKSPERIMEN Eksperimen Dimensi Tiga


: Geometri : Jarak antar titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga : Setelah mengikuti pembelajaran geometri, siswa diharapkan mampu: 1. Memahami konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya. 2. Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik, garis dan bidang.

Pada eksperimen dengan menggunakan balok transparan dengan menggunakan stik lidi, siswa diberi kesempatan memahami konsep jarak antara titik dengan titik, titik dengan garis, dan titik dengan bidang. Hal ini dilakukan dengan meminta siswa melakukan pengukuran dengan menggunakan stik lidi kemudian membandingkan hasilnya dengan perhitungan matematis menggunakan konsep teorema phytagoras. Di akhir kegiatan eksperimen, siswa diharapkan memahami konsep proyeksi titik ke garis dan bidang, serta menggunakannya dalam menghitung jarak antara titik dengan titik, jarak titik dengan garis, dan jarak titik dengan bidang.


133


ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan eksperimen dimensi tiga adalah sebagai berikut:  Bangun ruang balok transparan yang terbuat dari bahan akrilik dengan sisi atas dihilangkan  Stik lidi secukupnya  Gunting atau alat potong lainnya  Pena  Spidol permanen  Penggaris  Bidang gambar dan Lembar Kerja

LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Langkah-langkah penerapan eksperimen dimensi tigaadalah sebagaiberikut: 1. Lakukan pengukuran ruas garis yang diminta dengan menggunakan stik lidi yang tersedia. 2. Beri tanda dan potong stik lidi sesuai dengan hasil pengukuran ruas garis. 3. Ukur potongan stik lidi dengan menggunakan mistar. 4. Lakukan perhitungan secara matematis untuk memperoleh panjang ruas garis yang diminta. 5. Bandingkan hasil pada langkah ketiga dan keempat dan buat kesimpulan terhadap hasil eksperimen.

DAFTAR PUSTAKA Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X, Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8 Buku Pembelajaran Sudut dan JarakDalam Ruang Dimensi Tiga, Yogyakarta: PPPPTK Matematika, 2008.


134


Pembelajaran LIMIT

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan: Memahami konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya.


135


Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi limit, siswa akan memperoleh pengalaman belajar: 1. Mampu berpikir kreatif; 2. mampu berpikir kritis dalam mengamati permasalahan; 3. mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep; 4. mengajak kerjasama tim dalam menemukan solusi permasalahan; 5. mengajak siswa untuk menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari; 6. mampu memodelkan permasalahan. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran trigonometri dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum. Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:

Engagement

Evaluation

Elaboration


Exploration

Explanation

136


MATERI LIMIT Dalam Buku Calculus terdapat kalimat “calculus is a study about limit” Limit adalah dasar untuk mempelajari konsep kalkulus seperti derivatif dan integral. Dalam mengajarkan siswa tentang makna dari limit dapat dilakukan dengan bantuan grafik atau secara analitik. Sebelumnya, guru dapat mengambil beberapa contoh kasus yang menerangkan tentang makna limit, salah satunya adalah tentang lingkaran:

Pendekatan mengenai keliling lingkaran dapat digunakan keliling dari segi-n dengan n menuju tak hingga. Setelah dengan ilustrasi lingkaran, guru dapat menghubungkan pemahaman mengenai lingkaran dengan grafik fungsi. seperti berikut: lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿 means that when x is near but different from c then f(x) is near to L


137


Peta Konsep Topik Limit pada Kelas X SMA


138


Menemukan Konsep Limit Fungsi

Seorang pengendara motor memulai start dari suatu tempat. Setelah berjalan, kecepatan sepeda motor tersebut bertambah secara linier. Setelah berjalan selama 1 menit, kecepatan sepeda motor tersebut konstan sebesar 5km/jam selama 4 menit. Pada menit berikutnya, pengendara sepeda motor tersebut mengurangi kecepatannya secara linier sampai berhenti pada akhir menit kesepuluh. Ubah permasalahan di atas kedalam model matematika. Model umum kurva linear adalah f(t) = at + b dengan a, b bilangan riil. Penyelesaian: 5

0

1

5

10

model fungsi kecepatan sepeda motor tersebut berdasarkan gambar adalah: at + b jika 0 ≤ t ≤ 1 f(t)=

5 jika 1 ≤ t ≤ 5 mt + n jika 5 ≤ t ≤ 10 dengan a, b, m, n bilangan riil.

Dari masalah tersebut diperoleh data sebagai berikut:   

Misalkan posisi start adalah posisi pada waktu t=0 dengan kecepatan 0, disebut titik awal O(0,0) Kemudian kecepatan sepeda motor konstan sebesar 5km/jam pada waktu t=1 sampai t=5 di titik A(1,5) dan B(5,5) Pada akhir waktu t=5, pengendara sepeda motor mengurangi kecepatannya hingga berhenti kecepatan 0 di titik C(10,0)


139


Berdasarkan data tersebut akan ditentukan fungsi kecepatan sepeda motor dengan langkah-langkah berikut. 1. Substitusi titik O(0,0) ke fungsi linear f(t)= at+b diperoleh b=0 2. Substitusi titik A(1,5) ke fungsi linear f(t)= at+b diperoleh a+b = 5 karena b=0 maka a=5 3. Jadi fungsi linear tersebut adalah f(t) = 5t 4. Sepeda motor tersebut kecepatannya konstan sebesar 5km/jam, maka fungsi kecepatannya adalah f(t) = 5 5. Substitusi titik B(5,5) ke fungsi linear f(t) = mt+n, diperoleh 5= 5m+n 6. Substitusi titik C(10,0) ke fungsi linear f(t) = mt+n, diperoleh 0= 10m+n atau n=-10m 7. Dengan mensubstitusikan n=-10m ke 5= 5m+n diperoleh m=-1 dan n=10 8. Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = -t+10 5t jika 0 ≤ t ≤ 1 f(t)=

5 jika 1 ≤ t ≤ 5 -t + 10 jika 5 ≤ t ≤ 10

Selanjutnya limit fungsi pada saat t=1 dan t=5 dapat dicermati pada table berikut. Nilai pendekatan y=f(t) pada saat mendekati 1 t f(t)

0,7 3,5

0,8 4

0,9 4,5

0,99 4,95

0,999 1 4,995 5

1,001 1,01 5 5

1,1 5

1,2 5

1,3 5

Nilai pendekatan y=f(t) pada saat t mendekati 5 t f(t)

4,7 4,8 4,9 4,99 4,999 5 5,001 5,01 5,1 5,2 5,3 5 5 5 5 5 5 4,999 4,99 4,9 4,8 4,7 Berdasarkan tabel dapat dilihat bahwa y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 5. Untuk t mendekati 1 dari kiri diperoleh: lim𝑡→1− 𝑓(𝑡) = lim𝑡→1− 5𝑡 = 5(1) = 5 Untuk t mendekati 1 dari kanan diperoleh: lim𝑡→1+ 𝑓(𝑡) = lim𝑡→1+ 5 = 5 Karena didekati dari kiri dan kanan hasilnya sama yaitu mendekati 5, maka fungsi kecepatan sepeda motor mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 1.


140


Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai a adalah harga yang paling dekat dari f(x) pada saat x mendekati nilai a i.

Pada fungsi f(x) untuk x mendekati a diperoleh nilai fungsi f(x) mendekati f(a) sehingga nilai limitnya di x=a adalah lim𝑎→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a)

f(a)

0

a

Pada fungsi g(x) = u(x) untuk x ≤ a,

g(a)

= v(x) untuk x > a v(x) u(x) 0

g(x)

a

ii.

Pada fungsi h(x) = u(x) untuk x ≤ a , v(x) untuk x>a

h(a)

u(x)

v(x)

a


Untuk x mendekati a dari kiri (u(a)) dan dari kanan (v(a)) diperoleh hasil yang sama, sehingga nilai limit fungsi g(x) di x = a adalah lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = g(a)

h(x)

Untuk x mendekati a dari kiri diperoleh nilai u(a) dan untuk x mendekati a dari kanan diperoleh nilai v(a). karena u(a) ≠ v(a), maka nilai limit fungsi h(x) untuk x mendekati a tidak ada, yaitu lim𝑥→𝑎 𝑕(𝑥) tidak ada nilainya.

141


A. Sifat-sifat Limit Fungsi Untuk k konstanta, a bilangan nyata, f dan g fungsi yang mempunyai limit di a, berlaku teorema berikut. 1. lim𝑥→𝑎 𝑘 = k 2. lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a) 3. lim𝑥→𝑎 𝑘. 𝑓(𝑥) = k lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 4. lim𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 5. lim𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥).lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)

lim

𝑓(𝑥)

6. lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = lim 𝑥 →𝑎 𝑔(𝑥) , untuk lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝑥 →𝑎

7. lim𝑥→𝑎 {𝑓 𝑥 }𝑛 = {lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)} 𝑛 8. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥), untuk lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 > 0

B. Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu Diberikan fungsi f(x) = F(1) =

12 − 1 1−1

𝑥 2 −1 𝑥−1

0

=0 0

Karena diperoleh nilai fungsi tersebut untuk x=1 adalah 0 yang merupakan bentuk tak tentu, maka kita tidak bisa menentukan nilai fungsi untuk x=1. Dengan menggunakan pendekatan (limit) x terhadap 1 diperoleh nilai pendekatan fungsi f(1) X 0 f(x) 1

0,5 0,8 0,9 0,95 0,99 → 1 1,5 1,8 1,9 1,95 1,99 → ?

← 1,01 1,05 1,1 1,2 1,5 2 ← 2,01 2,05 2,1 2,2 2,5 3

Dari tabel diatas, tampak bahwa untuk x mendekati 1 diperoleh f(x) mendekati 2, yang bearti lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 2. Namun secara aljabar nilai limit f(x) untuk x mendekati 1dapat ditentukan dengan metode pemfaktoran yaitu: lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1

𝑥 2 −1 𝑥−1

= lim𝑥→1

𝑥 +1 (𝑥−1) (𝑥−1)

= lim𝑥→1 (𝑥 + 1) = 1+1= 2

Jika fungsi f(x) mengandung bentuk akar, maka dikalikan dahulu dengan sekawannya kemudian baru difaktorkan.


142



Siswa dapat memahami arti limit. Pembukaan (10 menit)

1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. 2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang 3.Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang definisi fungsi dan fungsi.Guru memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan tentang materi prasyarat untuk mempelajari limitlebih lanjut.(Engagement) 4.Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan limit di kehidupan nyata meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement) 5.Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)

grafik siswa untuk tujuan

Kegiatan inti (60 menit)

1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki kertas berbentuk persegi yang luasnya diasumsikan 1 satuan luas. 2. Siswa menggunting kertas tersebut tepat di garis tengahnya dan menuliskan luas potongan kertas yang dihasilkan 3. Lalu siswa menggunting lagi potongan kertas tepat di garis tengahnya lalu siswa menuliskan luas potongan kertas yang dihasilkan 4. Siswa menuliskan hasil eksplorasinya dalam lembar kerja yang disediakan. 5. Siswa mendiskusikan kesimpulan yang dapat mereka peroleh dari eksplorasi yang telah dilakukan Penutup:

1.Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan. 2.Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa. 3.Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


143


LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut: 1.Persiapkan selembar kertas, asumsikan bahwa luasnya adalah 1 satuan luas 2.Gunting lembaran kertas tersebut tepat di garis tengahnya, lalu tentukan luas kertas yang terbentuk. 3.Gunting potongan kertas yang dihasilkan tepat di garis tengahnya, lakukan terus sebanyak 10 kali 4.Tuliskan hasil eksplorasi yang telah kalian lakukan did alam tabel berikut Potongan 0 keLuas yang terbentuk

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5.Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan dengan menghubungkan konsep limit!


144


DESKRIPSI ALAT PERAGA: Persegi Limit

http://yos3prens.files.wordpress.com/2013/01/deret-setengah.png

Alat peraga persegi limit bertujuan untuk memberikan ilustrasi tentang konsep dasar matriks, terutama untuk limit dimana x menuju tak hingga, dan hasil limitnya menuju nol.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat persegi limit adalah sebagai berikut: 1. Kertas warna berbentuk persegi dengan ukuran 15 x 15 cm 2. Gunting

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Untuk menggunakan alat peraga ini, siswa harus melakukan eksplorasi dengan menggunting kertas sendiri.



145


Pembelajaran STATISTIKA

https://encryptedtbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQjDLh2_tMM_qqT13T8D1huWz9bUPCAvnvakCzpTRNIhPCpI1VIcw

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan: Memahami berbagai penyajian data dalam bentuk tabel atau diagram/plot yang sesuai untuk mengkomunikasikan informasi dari suatu kumpulan data melalui analisis perbandingan berbagai variasi penyajian data.


146


Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi statistika, siswa akan memperoleh pengalaman belajar: • Melatih berpikir kritis dan kreatif; • Mengamati keteraturan data; • Berkolaborasi, bekerja sama menyelesaikanmasalah; • Berpikir independen mengajukan ide secarabebas dan terbuka; • Mengamati aturan susunan objek. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran trigonometri dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga. 3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum. Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:

Engagement

Evaluation

Elaboration


Exploration

Explanation

147


MATERI STATISTIKA Statistika adalah ilmu tentang mengumpulkan, menyusun, dan menampilkan kumpulan data. Data yang digunakan dalam statistika adalah data numerik. Dalam sejarahnya, tokoh yang menggunakan statistika analitik untuk memprediksi tingkat kelahiran dan kematian adalah John Graunt (1620 – 1674), beliau juga memprediksi proporsi jumlah laki-laki dan perempuan dalam sebuah populasi. Sejarah lain tentang penggunaan statistika adalah Adolph Quetelet (1796 – 1874) , beliau menggunakan statistik untuk menghitung tingkat kriminalitas. Tokoh lain adalah Florence Nightingale (1820 – 1910) yang membuat tabel tentang kelahiran di masa perang Crimean sehingga rumah sakit dapat meningkatkan pelayanan pada pasien. Semakin berkembangnya zaman, ilmu statistika pun ikut berkembang. Statistika adalah cabang ilmu matematika yang dapat dilihat di berbagai segi kehidupan dan dipakai dalam banyak disiplin ilmu, seperti ekonomi, politik, kesehatan, perbankan dan yang lainnya. Siswa perlu memahami ini agar mereka dapat menghargai statistika sebagai ilmu yang akan berguna bagi kehidupan mereka di masa yang akan datang. Untuk tahapan sekolah menengah, siswa diberikan konsep statistika untuk membaca, menginterpretasikan dan menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan grafik. Selanjutnya siswa diajarkan statistika deskriptif berupa: rata-rata, median, modus, kuartil, dll. Beberapa hal yang harus diperhatikan guru dalam mengajar statistika adalah: 1. Sebaiknya guru menggunakan data yang benar-benar nyata, aktual dan bersifat lokal, artinya ada di sekeliling siswa. Contohnya: • Data survey mengenai lingkungan tempat tinggal • Eksperimen sederhana yang dapat dilakukan siswa (pelemparan dadu, pengukuran berat badan, dll) • Dokumen yang diperoleh dari koran setempat 2. Perlu diperhatikan pembuatan grafik harus memuat: judul grafik, skala yang benar untuk penomoran aksis dan ordinat. 3. Ada 3 ukuran pemusatan data yang harus siswa pahami konsepnya, bukan hanya sekedar menghitung, yaitu: • Rata-rata (mean), makna dari statistika adalah “the centre of gravity of its distribution”, dapat dimaknai sebagai pusat dari distribusi data. Pada bagian selanjutnya akan dijelaskan makna rata-rata menggunakan alat peraga. • Median, merupakan nilai tengah dari sebuah data yang sudah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar. Guru menampilkan jumlah data ganjil dan genap untuk membuat siswa memahami tentang median. • Modus adalah data yang paling banyak muncul, saat guru menerangkan tentang hal ini perlu diperhatikan kasus data unik seperti: Modul Matematika Kelas X

148


1, 1, 1, 2, 2, 2,3,3,3,4,4,4 apa modusnya? 57, 56, 58 apa modusnya? 4. Sangat penting bagi siswa, untuk memiliki kemampuan “data-sense”. Untuk mencapai kemampuan itu siswa dihadapkan kepada permasalahan dari kehidupan nyata yang mengajak siswa untuk mengumpulkan data, menampilkan data dengan jenis grafik yang sesuai, menginterpretasi data yang ada dan mengambil keputusan berdasarkan data tersebut. Tahapan pembelajaran statistika dengan model pembelajaran invetigasi adalah sebagai berikut:


PROBLEM

making decision

Pose the problem

interpret the result

collecting data

analyze the data

149


Peta Konsep Topik Statistikan pada Kelas X SMA


150


STATISTIKA 



Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data yang dilakukan. Data adalah suatu informasi yang diperoleh dari pengamatan atau penelitian

Macam-macam data 1. Data kuantitatif adalah data berupa angka. Contoh : data nilai matematika siswa SMP 2. Data kualitatif adalah data yang berhubungan dengan kategori yang berupa katakata (bukan angka). Contoh : data tentang warna favorit Penyajian Data Data dapat disajikan dengan : a. b. c. d. e.

Tabel frekuensi Diagram batang Diagram garis Diagram lingkaran Piktogram

Contoh : 1. Di bawah ini nilai ulangan matematika dari 30 siswa SMP : 5, 9, 8, 7, 5, 5, 4, 6, 6, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 5, 5, 9, 8, 4, 5, 5, 9, 8, 8, 7, 7, 6, 6, 7. Tabel frekuensi nilai matematika siswa SMP Nilai Turus Frekuensi 4 II 2 5 IIIII II 7 6 IIIII I 6 7 IIIII 5 8 IIIII I 6 9 IIII 4 Jumlah 30 Ukuran Pemusatan Data 1. Mean (𝑥) atau rata-rata 𝑥 =


𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎

151


2. Modus (Mo) Modus (Mo) adalah data yang paling sering muncul atau data yang memiliki frekuensi terbesar. 3. Median dan Kuartil a. Median (Me) adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan. Data ganjil : 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛 +1 2

Data genap : 𝑀𝑒 =

𝑋 𝑛 + 𝑋 𝑛 +1 2

2

2

b. Kuartil (Q) adalah aturan membagi data menjadi 4 bagian. 𝑄1 = kuartil pertama (bawah) 𝑄2 = kuartil kedua (median) 𝑄3 = kuartil ketiga (atas) Ukuran Penyebaran Data Jangkauan data (range) Range = data terbesar – data terkecil

Jangkauan kuartil (hamparan) 𝐻 = 𝑄3 − 𝑄1


152



Siswa dapatmemahami makna rata-rata dan menyelesaikan permasalahan matematika yang berhubungan dengan rata-rata. Pembukaan (10 menit)

1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. 2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang 3.Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang cara menampilkan data (tabel, diagram batang, diagram garis, lingkaran, dll).Guru memberikan pertanyaan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi prasyarat untuk mempelajari statistika lebih lanjut.(Engagement) 4.Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan statistika di kehidupan nyata, lalu guru mengulas sedikit tentang sejarah statistika untuk menarik perhatian siswa dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement) 5. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement) Kegiatan inti (60 menit)

1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki alat peraga batang statistika. 2. Siswa melakukan eksperimen dengan melakukan batang statistika, pertama-tama siswa mengisi batang statistika dengan cairan berwarna dengan ketinggian air yang berbeda. Ketinggian air menunjukan skala 3. Siswa membuka kran air sehingga ketinggian air berubah 4. Siswa menganalisis keadaan yang terjadi dengan menghubungkan dengan konsep statistik 5. Siswa dan guru mendiskusikan bersama kesimpulan dari kegiatan yang dihasilkan Penutup:

1.Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan. 2.Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa. 3.Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


153


LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan batang statistika: 1.Isi pipa tembus pandang dengan air berwarna, ketiga pipa memiliki perbedaan ketinggian air, contoh pipa 1 pada skala 40. Pipa 2 pada skala 90 dan pipa 3 pada skala 50. 2.Putar kedua buah keran air. 3.Perhatikan apa yang terjadi! 4.Air akan menunjukkan skala berapa?

5.Mengapa bisa terjadi demikian?

6.Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan!


154


DESKRIPSI ALAT PERAGA: Batang statistika

http://arifkristanta.files.wordpress.com/2009/10/2a2010.jpg

Alat peraga ini dapat digunakan untuk membantu siswa mengkonstruksi pemahaman tentang makna rata-rata. Siswa melakukan hands-on activity melalui alat peraga ini sebelum diperkenalkan tentang rumus rata-rata.

ALAT DAN BAHAN Batang statistika dapat dibuat menggunakan bahan-bahan yang sederhana. Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat batang statistika adalah sebagai berikut: 

Paralon PVC ukuran ½ “ sepanjang 1 m



Keni bentuk T sebanyak 3 buah



Keni bentuk L sebanyak 1 buah



Keni pemutar sebanyak 2 buah



Lem paralon



Batang akrilik sepanjang 1 m



Papan whiteboard ukuran 60 x 90 cm



Cairan berwarna merah


155




Spidol permanen



Paku



Palu



Cat paralon

LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga batang statistika: 1. Potonglah pipa paralon dengan ukuran: 30 cm sebanyak 1 buah, 5 cm sebanyak 6 buah 2. Hubungkan paralon dengan menggunakan keni yang tersedia hingga membentuk sebuah rangkaian 3. Beri cat pada setiap komponen pipa dan keni 4. Rekatkan setiap sambungan dengan menggunakan lem pipa. 5. Taruh rangkaian pada wadah penopang sehingga dapat berdiri kokoh.

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Prosedur menggunakan alat peraga adalah sebagai berikut: 1. Isi pipa tembus pandang dengan air berwarna, ketiga pipa memiliki perbedaan ketinggian air, contoh pipa 1 pada skala 40. Pipa 2 pada skala 90 dan pipa 3 pada skala 50. 2. Putar kedua buah keran air. 3. Perhatikan apa yang terjadi, ketiga cairan akan sejajar pada sebuah skala, skala itulah yang menunjukan rata-rata 4. Melalui eksperimen di atas, siswa diajak untuk membentuk pemahaman tentang makna rata-rata


156




157


PEMBELAJARAN PELUANG

sumber: http://setarsbi.files.wordpress.com/2012/09/peluang-copy.jpg?w=645

Kompetensi Inti: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. Kompetensi Dasar: Setelah mengikuti pembelajaran peluang, siswa diharapkan mampu: 3. memahami konsep peluang suatu kejadian menggunakan berbagai objek nyata dalam suatu percobaan menggunakan frekuensi relatif; 4. menyajikan hasil penerapan konsep peluang untuk menjelaskan berbagai objek nyata melalui percobaan menggunakan frekuensi relatif.


158


Pengalaman Belajar : Melalui pembelajaran materi peluang, siswa akan memperoleh pengalaman belajar: 1. berdiskusi, bertanya dalam menemukan konsep dan prinsip peluang melalui pemecahan masalah otentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan; 2. berkolaborasi dalam memecahkan masalah otentik dengan pola interaksi edukatif; 3. berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki, memanipulasi, dan mengaplikasikan konsep dan prinsip-prinsip peluang dalam memecahkan masalah otentik. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi peluang dibuat berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu. Model 5E tersebut adalah: 1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat. 2. Exploration Pada tahap ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga. 3. Explanation Dalam tahap ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh. 4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka. 5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.


159



MATERI PELUANG Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi tentang bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi. Walaupun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunakan secara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorologi, sains, dan industri. Misalnya, perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan suatu pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk meramalkan kondisi cuaca; peluang digunakan dalam studi perilaku molekul-molekul dalam suatu gas; peluang juga digunakan untuk memprediksi hasil pemilihan umum. Topik Peluang akan sangat menarik bagi para siswa di sekolah tingkat menengah atas (SMA), apabila guru dalam pembelajaran di kelas dapat menyampaikan berbagai aplikasi dari konsep peluang dalam kehidupan sehari-hari siswa. Misalnya, siswa diajak untuk mempertimbangkan kemungkinan mereka berhasil masuk di Perguruan Tinggi Negeri (PTN) yang mereka minati. Hal ini dapat dilakukan dengan meminta siswa membandingkan data mengenai banyaknya orang yang memilih jurusan di PTN tertentu dengan daya tampungnya. Kemudian, siswa diajak menganalisis mengenai jurusan di PTN tertentu dengan peluang lulus yang tinggi. Lebih lanjut, topik Peluang


160


sebagai salah satu materi yang esensial pada Mata Pelajaran Matematika di SMA mencakup beberapa konsep dasar yang direpresentasikan pada bagan berikut ini: Peta Konsep Topik Peluang pada Kelas X SMA


161


Peluang Suatu Kejadian 1. Ruang Sampel dan Peluang Suatu Kejadian a. Ruang Sampel Ruang sampel adalah kumpulan dari hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. Anggota-anggota ruang sampel disebut titik sampel, sedangkan kumpulan dari beberapa titik sampel disebut kejadian, atau kejadian adalah merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Contoh: Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali, tentukan: a) ruang sampel b) kejadian muncul bilangan ganjil c) kejadian muncul bilangan prima Penyelesaian : a) Hasil yang mungkin adalah muncul angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, jadi ruang sampelnya S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) Kejadian muncul bilangan ganjil K = {1, 3, 5} c) Kejadian muncul bilangan prima K = {2, 3, 5} b. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Jika n(S) dan n(K) berturut-turut menyatakan banyaknya anggota ruang sampel, dan banyaknya anggota kejadian K, maka nilai kemungkinan terjadinya kejadian K adalah: P (K) =

n (K ) n (S )

Contoh: Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola hitam. Dari dalam kotak itu diambil satu bola. Tentukan peluang terambilnya bola berwarna merah. Penyelesaian : S = {M1, M2, M3, M4, P1, P2, P3, H1, H2), maka n (S) = 9 K = {bola merah} = {M1, M2, M3, M4}, maka n (K) = 4 P (K) =


n( K ) 4  n(5) 9 162


Jadi peluang bola yang terambil berwarna merah adalah

4 9

c. Tafsiran Peluang Kejadian Misalkan K suatu kejadian dan S adalah ruang contoh dalam sebuah percobaan. Berlaku hal-hal berikut ini:  Peluang kejadian K memenuhi 0 ≤ P(K) ≤ 1  P(S) = 1  P(∅) = 0 Peluang suatu kejadian adalah 1 berarti bahwa kejadian tersebut pasti terjadi dan peluang kejadian adalah 0 berarti bahwa kejadian tersebut mustahil terjadi. Peluang tersebut dapat diinterpretasikan pada gambar berikut.

Contoh: 1. Berapa peluang seekor kuda jantan melahirkan anak? Karena tidak mungkin, maka dinamakan kemustahilan dan peluangnya 0. 2. Berapa peluang setiap orang akan meninggal? Karena setiap orang pasti meninggal, maka dinamakan kepastian dan peluangnya 1. d. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan adalah harapan yang nilai kemungkinan terjadinya paling besar. Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dan nilai kemungkinan terjadinya kejadian K setiap percobaan adalah P(K), maka frekuensi harapan dari kejadian K adalah: F(K) = n  P (K) Contoh: Bila kita melemparkan sebuah dadu sebanyak 480 kali, berapakah kali kemungkinan munculnya angka 4?


163


Penyelesaian : P(K)=

1 dan n = 480 6

F(K) = n  P (K) = 480 

1  80 6

Jadi harapan munculnya angka 4 adalah sebanyak 80 kali. e. Kejadian Majemuk Apabila dua kejadian atau lebih dioperasikan sehingga menghasilkan kejadian baru, maka kejadian baru tersebut merupakankejadian majemuk. 1) Untuk sembarang kejadian A dan B berlaku: n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) jika kedua ruas dibagi dengan n (S) maka:

n( A  B) n( A) n( B) n( A  B) , sehingga diperoleh:    n(S ) n(S ) n( S ) n(S ) P (A B) = P(A) + P(B) – P (A B) 2) Untuk sembarang kejadian A, B dan C berlaku: P (A  B C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A  B) – P (A C) – P (B  C) + P (A B C) Contoh: Sebuah dadu dilambungkan sekali, tentukan peluang muncul mata dadu genap atau prima. Penyelesaian : Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n (S) = 6 muncul mata genap A = {2, 4, 6} n (A) = 3 muncul mata prima B = {2, 3, 5} n (B) = 3 muncul mata genap dan prima = {2} n (AB ) = 1 muncul mata genap atau prima: Modul Matematika Kelas X

164


P (AB)= P (A) + P (B) – P (AB) =

3 3 1 5   = 6 6 6 6

3) Komplemen suatu kejadian jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai n elemen, maka Ac mempunyai n – a elemen.

Ac

S A

P (Ac) Jadi

=

na n a a =  =1– n n n n

P (Ac) = 1 – P (A)

Contoh: Jika peluang hari esok akan hujan adalah 0,35, berapa peluang bahwa cuaca akan cerah esok hari? Penyelesaiannya : P (A) = 0,35 P (Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0,35 = 0,65 Jadi peluang bahwa cuaca akan cerah hari esok adalah 0,65. 4) Dua kejadian saling lepas S

A

B

Kejadian A dan B dikatakan saling lepas Jika A  B =  maka P (A  B) = 0, sehingga jika P (A  B) = 0 maka P (A  B) = P(A) + P (B).

Kesimpulan : Jika A dan B kejadiansalinglepas, maka: P (A  B) = P(A) + P (B)


165


Contoh: Dari satu set kartu bridge diambil 1 kartu secara acak. Tentukan peluang untuk mendapatkan kartu As atau king! Penyelesaian : A = kejadian mendapatkan kartu A  n (A) = 4 B = kejadian mendapatkan kartu king  n (B) = 4 dan n(A  B) = , sehingga P (A  B) = P(A) + P (B)=

4 4 2  = . 52 52 13

Jadi peluang untuk mendapatkan kartu As atau king adalah

2 . 13

5) Dua Kejadian Saling Bebas Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak memengaruhi kejadian B dan kejadian B tidak memengaruhi kejadian A. Misalkan kita melambungkan dua buah dadu, maka angka yang muncul pada dadu pertama tidak memengaruhi angka yang muncul pada dadu kedua. Secara umum dapat dirumuskan: Jika A dan B salingbebasmakaberlaku: P (A  B) = P (A)  P (B)

Contoh: Dalam sebuah kantong terdapat 5 kelereng merah dan 6 kelereng putih. Kemudian diambil sebuah kelereng dengan acak secara berurutan sebanyak dua kali. Setelah kelereng pertama diambil, kelereng itu dikembalikan kemudian mengambil kelereng kedua. Tentukan peluang bahwa yang terambil adalah kelereng merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua. Penyelesaian:

5 11 6 dan jika B = {kelereng putih pada pengambilan kedua}maka P (B) = 11 5 6 30  = sehingga diperolehP (A  B) = P (A)  P (B) = . 11 11 121 Jika A = {kelereng merah pada pengambilan pertama}maka P (A) =


166


Jadi peluang untuk memperoleh kelereng merah pada pengambilan 30 pertama dan putih pada pengambilan kedua adalah . 121 6) Dua KejadianBersyarat Jika kejadian A dan B tidak saling bebas, kejadian B dipengaruhi oleh kejadian A atau kejadian B dengan syarat A, maka dinamakan kejadian bersyarat. Peluang dari kejadian bersyarat disebut peluang bersyarat, dirumuskan dengan: P (B/A) =

P(A  B) P( A)

P(B/A) = kejadian B dengan syarat A atau P (A  B) = P (A) P(B/A)

Contoh: Dari satu set kartu bridge (52 lembar) diambil satu kartu secara berturutturut dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang pengambilan pertama diperoleh AS dan pengambilan kedua diperoleh king! Penyelesaian : MisalA = kejadian terambilnyakartu AS pada pengambilan pertama dan B = kejadian terambilnyakartu King pada pengambilan kedua sehingga diperoleh P (A) =

4 1 4  dan P (B/A) = . 51 52 13

Jadi P (A  B) = P (A)  P (B/A) =


1 4 4  = . 13 51 663

167


CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan pada siswa yang sudah memiliki pemahaman tentangkonsep ruang sampel, titik sampel, dan kejadian/ peristiwa. Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat mengaplikasikan konsep peluang dengan menentukan peluang kejadian pada percobaan berulang menggunakan Sesatan Hexagon. Pembukaan (10 menit) 1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. 2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil yang masing-masing terdiri dari 3 orang. 3.Guru menstimulus siswa dengan memberikan pertanyaan tentang konsep ruang sampel, titik sampel, dan kejadian/ peristiwa. Siswa diharapkan secara aktif merespon stimulus tersebut dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan guru.(Engagement) 4.Siswa menyebutkan beberapa contoh aplikasi dari konsep ruang sampel, titik sampel, dan kejadian/ peristiwa. Guru mengulas mengenai peluang suatu kejadian yang merupakan hasil dari pelemparan mata uang atau dadu. (Engagement) 5.Guru menjelaskan materi yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement) Kegiatan inti (65 menit) 1.Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa telah memiliki sesatan hexagon dan lembar kerja siswa (LK). 2.Setiap kelompok diminta terlebih dahulu memasukkan kelereng ke lubang sesatan hexagon, dan kemudian menjatuhkannya. Kelompok siswa diminta mengamati pada lubang mana/ keberapa tempat jatuhnya kelereng. (Exploration) 3.Siswa secara bergantian dalam kelompoknya melakukan percobaan memasukkan kelereng ke dalam lubang sesatan hexagon dan dua orang siswa lainnya mengamati jatuhnya kelereng dan mencatat hasil eksperimen. (Exploration) 4.Setelah melaksanakan beberapa kali eksperimen, siswa akan diajak bernalar mengenai kecenderungan dari jatuhnya kelereng pada lubang tertentu. Siswa diminta mendiskusikan alasan dari kecenderungan kejadian yang muncul pada eksperimenyang dilakukan. Jika jawaban dari salah satu kelompok belum tepat, maka kelompok lain diminta menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya dan sampai akhirnya guru memberikan klarifikasi tentang jawaban yang diharapkan.(Explanation& Elaboration) 5.Siswa dalam kelompok kembali diminta melakukan eksperimen dengan mengacu pada LK yang telah diberikan oleh guru. Satu orang siswa akan melakukan percobaan dengan memasukkan semua kelereng yang tersedia ke lubang sesatan hexagon. Dua orang siswa lainnya bertugas mengamati sekat-sekat yang ditempati kelerengkelereng tersebut, kemudian mencatat hasilnya. (Exploration)


168


6.Setelah percobaan selesai dilakukan, siswa dalam kelompok melakukan diskusi dan kemudian menuliskan jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati kelereng. Selanjutnya berdasarkan hasil tersebut,setiap kelompok menentukan banyak lintasan yang mungkin dilewati kelereng pada setiap celah sesatan hexagon dan menuliskannya pada LK. (Explanation) 7.Berdasarkan temuan-temuan sebelumnya, setiap kelompok kemudian diminta menentukan nilai peluangkelereng masuk ke setiap celahpada sesatan hexagon. Kelompok siswa yang kesulitan menentukan nilai peluang kejadian tersebut akan dibantu oleh guru dan siswa lain yang mempunyai kemampuan lebih tinggi.(Elaboration and Evaluation) 8.Beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan hasil temuan dari eksperimen yang telah dilakukan di kelompok masing-masing. Siswa lainnya diharapkan dapatmemberikan umpan balik secara aktif terhadap presentasi temannya.(Explanation and Evaluation) 9.Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan.Kemudian gurumemberikan pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian untuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.(Elaboration and Evaluation) Penutup (5 menit): 1.Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.


169


LEMBAR KERJA SISWA 1. Siapkan alat peraga sesatan hexagon (Gambar 1) 2. Masukkan semua kelereng ke lubang. 3. Perhatikan sekat-sekat yang ditempati kelereng-kelereng tersebut.

Gambar 1: sesatan hexagon

Gambar 2: celah sesatan hexagon


170


4. Lengkapilah tabel berikut: Tabel 1: jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati kelereng

5. Berdasarkan Tabel 1 di atas, lengkapilah Tabel 2 dan Tabel 3 di bawah ini ! Tabel 2: banyaknya lintasan yang mungkin dilewati kelereng pada setiap celah


171


Tabel 3: peluangkelereng masuk ke suatu celah

Kesimpulan: Dari Tabel 3 dapat disimpulkan bahwa: Peluangkelereng masuk ke sekat L1 = 1/32 Peluangkelereng masuk ke sekat L2 = … Peluangkelereng masuk ke sekat L3 = … Peluangkelereng masuk ke sekat L4 = … Peluangkelereng masuk ke sekat L5 = … Peluangkelereng masuk ke sekat L6 = …


172


DESKRIPSI ALAT PERAGA


: Peluang : Peluang suatu kejadian : 12. memahami konsep peluang suatu kejadian menggunakan berbagai objek nyata dalam suatu percobaan menggunakan frekuensi relatif; 13. menyajikan hasil penerapan konsep peluang untuk menjelaskan berbagai objek nyata melalui percobaan menggunakan frekuensi relatif.

Alat peraga ini dapat digunakan sebagai sarana untuk mengaplikasikan konsep peluang pada pembelajaran di kelas. Alat peraga ini berfungsi untuk membantu siswa memahami peluang kejadian suatu percobaan dengan memasukkan kelereng melalui celah-celah pada alat peraga sesatan hexagon.Guru harus memastikan penguasaan siswa terhadap konsep prasyarat sebelum menerapkan percobaan dengan menggunakan sesatan hexagon. Konsep prasayarat yang Modul Matematika Kelas X

173


dimaksud adalah konsep mengenai ruang sampel, titik sampel, dan kejadian/ peristiwa.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat sesatan hexagon adalah sebagai berikut:  Kelereng atau benda berbentuk bola yang dapat digelindingkan secara leluasa melewati sekat-sekat pada sesatan hexagon. Lebar dari sekat-sekat harus lebih dari diameter benda yang dipakai sebagai bola.  Gergaji  Pisau kater  Penggaris dari bahan baja  Palu  Tang  Penggaris siku  Amplas  Spon karet warna hitam untuk masing-masing hexagon (segienam beraturan)  Triplek  Potongan balok kayu  Paku  Flamir  Cat  lem

LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga sesatan hexagon: 1. Siapkan semua bahan yang akan digunakan. 2. Gergaji triplek atau multipleks sehingga berbentuk alas sesatan hexagon dengan ukuran 90 cm x 120 cm kemudian dicat jika memungkinkan. 3. Buatlah 27 buah segienam beraturan kongruen dari kayu, plastik, atau spon. Gunakan warna yang berbeda dari warna alas sesatan hexagon pada langkah 2. 4. Tempelkan 27 buah segienam beraturan tersebut ke alas sesatan hexagon. Segienam beraturan yang ada harus diletakkan sedemikian sehingga peluang bagi bola atau kelereng yang digelindingkan dapat bergerak ke kiri atau ke kanan dengan lebar lintasan yang sama. 5. Langkah terakhir adalah mencoba memasukkan beberapa bola atau kelereng untuk memeriksa keterpakaian alat peraga sesatan hexagon yang telah dibuat.


174


CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Penerapan alat peraga Sesatan Hexagon dalam pembelajaran peluang bertujuan untuk menjelaskan konsep peluang kejadian suatu percobaan. Langkah-langkah penggunaan alat peraga Sesatan Hexagon dalam pembelajaranadalah sebagai berikut: 1. Siapkan alat peraga sesatan hexagon 2. Masukkan kelereng ke lubang bagian atas 3. Kelereng akan jatuh ke bawah menempati sekat-sekatpada Sesatan Hexagon 4. Amati celah-celah yang dilewati kelereng sampai kelereng jatuh ke dalam sekatsekat yang tersedia. 5. Tentukan jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati kelereng. 6. Tentukan banyaknya lintasan yang mungkin dilewati kelereng pada setiap celah. 7. Tentukan peluangkelereng masuk ke suatu celah.

DAFTAR PUSTAKA Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8 Buku Petunjuk Penggunaan Alat Peraga Sesatan Hexagon,Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika, 2007.


175

PEMBELAJARAN EKSPONENSIAL

Recommend Documents