Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Tahun 2012 Bidang Matematika Dasar Kode Paket 623 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ab = 220 − 219 , maka nilai a + b adalah . . . (a) (b) (c) (d) (e)
3 7 19 21 23
Jawaban : (d) Penyelesaian : ab
=
220 − 219
=
(2 · 219 − 219 )
=
219 (2 − 1)
=
219
Terlihat bahwa a = 2 dan b = 19. maka a + b = 2 + 19 = 21 2. Jika −999, −997, −995, . . . adalah barisan aritmetika, maka suku bernilai positif yang muncul pertama kali adalah suku ke . . . (a) (b) (c) (d) (e)
501 502 503 504 505
Jawaban : (b) Penyelesaian: Kita lihat bahwa barisan −999, −997, −995, . . . memiliki suku pertama a = −999 dan beda b = 2. Sehingga suku ke-n dari barisan tersebut dapat dinyatakan dengan un = 999 + 2(n − 1). Nilai dari un akan bernilai positif apabila un > 0. Sehingga 999 + 2(n − 1)
> 0
2(n − 1)
> 999
2n − 2
> 999
2n
>
n
>
n
>
1001 1001 2 500, 5
Terlihat bahwa nilai n > 500, 5. Oleh karena n ∈ N, maka n = 501 atau dengan kata lain, suku yang dimaksud adalah suku ke-501. Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012
1
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
3. Jika p + 1 dan p − 1 adalah akar-akar persamaan p2 − 4p + a = 0, maka nilai a adalah ... (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 Jawaban (d) Penyelesaian : Akar-akar persamaan p2 − 4p + a = 0 adalah p + 1 dan p − 1. Kita substitusikan kedua akar kedalam persamaan tersebut kita peroleh: (p + 1)2 − 4(p + 1) + a
=
0
(p + 2p + 1) − 4p − 4 + a
=
0
=
3
2
2
p − 2p + a (p − 1)2 − 4(p − 1) + a
=
0
(p − 2p + 1) − 4p + 4 + a
=
0
2
2
p − 6p + a
= −5
(1)
(2)
Sekarang kita coba eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2). Sehingga kita dapatkan 4p = 8 ⇒ p = 2. Sehingga kita peroleh akar-akarnya yaitu 3 dan 1. Jadi, persamaan diatas menjadi (x − 3)(x − 1) = 0 ⇒ x2 − 4x + 3 = 0. Terlihat bahwa a = 3 4. Jika nilai rata-rata tes matematika 20 siswa kelas A adalah 65 dan nilai rata-rata 10 siswa lainnya di kelas tersebut adalah 80, maka nilai rata-rata semua siswa kelas A adalah . . . (a) 72 (b) 71 (c) 70 (d) 69 (e) 68 Jawaban : (c) Penyelesaian : Kita misalkan x ¯ adalah nilai rata-rata semua siswa kelas A. Sehingga 20 · 65 + 10 · 80 30 1300 + 800 = 30 2100 = 30 x ¯ = 70 0 1 5 dan detAB = 12, maka nilai x adalah . . . ,B= x 0 −2 x ¯
5. Jika A =
2 1
=
Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012
2
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
(a) −6 (b) −3 (c) 0 (d) 3 (e) 6 Jawaban (b) Penyelesaian : A·B
2 1
0 x
2 1
10 5 − 2x
= =
1 5 0 −2
detAB 10 5 − 2x
=
12
=
12
2(5 − 2x) − 10
=
12
10 − 4x − 10
=
12
−4x
=
12
det
2 1
x
= −3
6. Jika f (x) = 5x − 3, g(x) = 3x + b, dan f −1 (g(0)) = 1, maka nilai g(2) adalah. . . (a) 5 (b) 6 (c) 8 (d) 11 (e) 12 Jawaban : (c) Penyelesaian : f (x)
=
5x − 3
y
=
5x − 3
5x =
y+3 y+3 x = 5 x+3 −1 f (x) = 5 g(0) + 3 −1 f (g(0)) = 5 b+3 1 = 5 b = 2 Kita peroleh g(x) = 3x + 2 Sehingga g(2) = 3 · 2 + 2 = 8 7. Jika diagram batang di bawah ini memperlihatkan frekuensi kumulatif hasil tes matematika siswa kelas XII, maka persentase siswa yang memperoleh nilai 8 adalah . . .
Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012
3
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
25
Frekuensi Kumulatif
20
15
10
5
0 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Jumlah Siswa
(a) 12% (b) 15% (c) 20% (d) 22% (e) 80% Jawaban : (a) Penyelesaian : Dari diagram batang diatas, dapat kita lihat bahwa banyaknya siswa yang memperoleh nilai 8 adalah pada frekuensi kumulatif 8 dikurangi dengan frekuensi kumulatif 7 yaitu 3 22 − 19 = 3. Sehingga persentase siswa yang memperoleh nilai 8 adalah × 100% = 25 12% 8. Jika b log a +b log a2 = 4 maka nilai a log b adalah . . . (a) (b) (c) (d) (e)
3 4 1 2 4 3 2 3 2
Jawaban : (a)
Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012
4
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Penyelesaian : b b
log a +b log a2
=
4
b
=
4
log a(1 + 2)
=
4
3 ·b log a
=
log a + 2 · log a b
4 4 b log a = 3 1 4 = a log b 3 3 a log b = 4
9. Di suatu kandang terdapat 40 ekor ayam, 25 ekor di antaranya betina. Di antara ayam betina tersebut, 15 ekor berwarna putih. Jika banyak ayam berwarna putih adalah 22 ekor, maka banyak ayam jantan yang tidak berwarna putih adalah . . . (a) 5 (b) 7 (c) 8 (d) 10 (e) 15 Jawaban : (c) Penyelesaian : Dari hasil analisa, maka dapat disimpulkan bahwa banyak ayam jantan yang berwarna putih adalah 22 − 15 = 7 ekor. Sehingga banyak ayam jantan yang tidak berwarna putih adalah (40 − 25) − 7 = 8 ekor. 10. Jika x + y = 2, y + 4z = 4, dan 2x + y = 6, maka nilai x + 2y + 3z adalah. . . (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8 (e) 10 Jawaban : (d) Penyelesaian : Kita misalkan x+z
=
2
(3)
y + 4z
=
4
(4)
2x + y
=
6
(5)
Kita eliminasi persamaan (4) dan persamaan (5) mendapatkan x − 2z = 1 kemudian 1 5 eliminasi dengan persamaan (3) mendapatkan z = . Selain itu kita dapatkan x = 3 3 8 1 5 8 dan y = . Sehingga x + 2y + 3z = + 2 · + 3 · = 8 3 3 3 3 Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012
5
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
11. Jika gambar di bawah ini adalah grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (−2, −1) dan melalui titik (0, −5), maka nilai f (2) adalah ....
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
(a) −17 (b) −18 (c) −19 (d) −20 (e) −21 Jawaban : (a) Pembahasan : Karena titik puncak P (−2, −1), maka −
b = −2 ⇒ b = 4a 2a
Grafik melalui titik 0, 5) dan misalkan fungsi tersebut adalah y = ax2 + bx + c maka −5 = a(0)2 + b(0) + c ⇒ c = −5 Sehingga y = ax2 + 4ax − 5. Karena grafik melalui titik puncak P (−2, −1) maka −1 = a(−2)2 +4a(−2)−5, sehingga −1 = 4a − 8a − 5 ⇒ 4a = −4 ⇒ a = −1 Dan b = 4(−1) = −4. Sehingga persamaannya adalah y = −x2 − 4x − 5. Sehingga kita peroleh f (2) = −(2)2 − 4 · 2 − 5 = −17 12. Nilai minimum fungsi objektif (tujuan) f (x, y) = x + 4y dengan kendala 3x + 2y ≥ 24, x ≥ 2, dan y ≥ 3 adalah .... (a) 38 (b) 26 (c) 24 (d) 18 (e) 16 Jawaban : (d) Pembahasan : Perhatikan Gambar dibawah : Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012
6
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
14 13 12 11 10 (2, 9)
9 8 7 6 5 4 (6, 3)
3 2 1 −2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1
Jika anda perhatikan, maka titik-titik yang memenuhi adalah (2, 9) dan (6, 3). Kemudian kita lakukan uji titik pojok pada fungsi tujuan: f (2, 9) = 2 + 4(9) = 38 f (6, 3) = 6 + 4(3) = 18 Sehingga nilai minimumnya adalah 18 13. Jika a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan Sn = 3(2n+1 − 2) adalah jumlah n suku pertama deret geometri maka nilai a + r adalah .... (a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7 (e) 8 Jawaban : (e) Pembahasan: Mudah kita tunjukkan bahwa Sn
=
3(2n+1 − 2)
Sn
=
3(2n · 2 − 2)
=
3 · 2(2n − 1) 6(2n − 1) 2−1
=
Kita ingat kembali rumus deret geometri yaitu Sn
a(rn − 1) r−1
Sehingga kita peroleh a = 6 dan r = 2. Maka a + r = 6 + 2 = 8 Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012
7
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
14. Jika suatu persegi dengan panjang sisi satuan dibagi menjadi 5 persegi panjang dengan luas yang sama seperti ditunjukkan pada gambar, maka panjang ruas garis AB adalah ....
A
x
B
y
(a) (b) (c) (d) (e)
4 5 3 5 5 6 2 3 2 5
Jawaban : (b) Pembahasan: Misalkan 2 persegi panjang horizontal atas memiliki ukuran p×q, dan 3 persegi panjang vertikal bawah memiliki ukuran x×y. Karena masing-masing persegi panjang memiliki 1 luas yang sama maka luas masing-masing persegia panjang adalah satuan luas. 5 1 1 Dengan y = (Karena membagi sisi persegi 3 sama panjang). Karena xy = maka 3 5 3 3 x = . Sehingga AB = x = 5 5 15. Semua nilai x yang memenuhi (2x + 1)(x − 1) ≤ (x − 1) adalah .... (a) x ≤ 1 (b) x ≥ 0 1 (c) x ≥ 2 1 (d) ≤x≤1 2 (e) 0 ≤ x ≤ 1 Jawaban : (e)
Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012
8
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Pembahasan : (2x + 1)(x − 1) ≤ (2x + 1)(x − 1) − (x − 1) ≤ 2
2x − x − 1 − x + 1
(x − 1) 0
≤
0
2x2 − 2x ≤
0
2x(x − 1) ≤
0
Kemudian lakukan pengujian pada garis bilangan kita mendapatkan 0 ≤ x ≤ 1 Pada pembahasan diatas belum bisa dikatakan sepenuhnya benar, karena penulis hanya manusia biasa. Apabila ada kritik dan saran silahkan hubungi saya di
[email protected] atau my blog di http://www.alfysta.blogspot.com
Selamat Belajar
Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012
9
