Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ v PRAZE Fakulta elektrotechnická Katedra řídící techniky

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Bakalářská práce

Vedoucí bakalářské práce: Oponent bakalářské práce: Studijní program: Obor:

Ing. Petr KUJAN Ing. Jan KELBEL Elektrotechnika a informatika Kybernetika a měření

2007

Petr Štefan

ČVUT Praha

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic.

1

2


1. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracoval samostatně a použil jsem pouze podklady (literatura, projekty, SW, …) uvedené v přiloženém seznamu.

V Liberci dne……………………..

…….……………………. podpis


2. Poděkování Rád bych poděkoval vedoucímu mé práce, Ing. Petru Kujanovi, za odborné připomínky, trpělivost a pomoc při zpracování této práce, svým přátelům a rodinným příslušníkům za různé připomínky, zejména v oblasti slovosledu, možnostech ve vyjadřování a celkové grafické úpravě tohoto textu.

3


3. Anotace 3.1.

Anotace

Název práce: Autor: Katedra: E-mail: Vedoucí bakalářské práce: Abstrakt:

Klíčová slova:

3.2.

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Štefan Petr Katedra řídící techniky [email protected] Ing. Kujan Petr Cílem práce je vytvořit přehled volně dostupného softwaru na řešení soustav polynomiálních rovnic, naučit se ovládat nalezený software, stručně popsat (zařadit) metodu výpočtu a otestovat jej na konkrétní úloze hledání spínací sekvence pro vícehladinový konvertor stejnosměrného napětí na střídavé. Dosažené výsledky by měli být navzájem porovnány a vyhodnoceny. soustava polynomiálních rovnic, software, matematické metody

Annotation

Title: Author: E-mail: Department: Supervisor: Abstract:

Keywords:

Survey available software tool for solving the set of polynomial equations. Štefan Petr [email protected] Department of Control Engineering Ing. Kujan Petr The aim of my work is to make survey in freely available software for solving systems of polynomial equations, to teach how to use them, to make a brief description of them, to test them on a concrete polynomial system and finally co compare the results. system of polynomial equations, software, numerical methods

4


4. Obsah 1. 2. 3.

Prohlášení............................................................................................................................ 2 Poděkování.......................................................................................................................... 3 Anotace ............................................................................................................................... 4 3.1. Anotace........................................................................................................................ 4 3.2. Annotation ................................................................................................................... 4 4. Obsah .................................................................................................................................. 5 5. Úvod.................................................................................................................................... 7 6. Vícehladinový konvertor .................................................................................................... 8 7. Přehled softwaru a jeho popis ........................................................................................... 15 7.1. Maple 11 .................................................................................................................... 15 7.1.1.

Popis programu.............................................................................................................. 15

7.1.2.

Instalace......................................................................................................................... 17

7.1.3.

Syntaxe .......................................................................................................................... 17

7.2.

Mathematica 5.2 ........................................................................................................ 18

7.2.1.

Popis programu.............................................................................................................. 18

7.2.2.

Instalace......................................................................................................................... 19

7.2.3.

Syntaxe .......................................................................................................................... 19

7.3.

MATLAB .................................................................................................................. 20

7.3.1.

Popis .............................................................................................................................. 20

7.3.2.

Historie .......................................................................................................................... 22

7.3.3.

Instalace......................................................................................................................... 22

7.3.4.

Syntaxe .......................................................................................................................... 22

7.4.

MuPAD...................................................................................................................... 23

7.4.1.

Popis programu.............................................................................................................. 23

7.4.2.

Instalace......................................................................................................................... 24

7.4.3.

Syntaxe .......................................................................................................................... 24

7.5.

Gloptipoly 2............................................................................................................... 25

7.5.1.

Popis programu.............................................................................................................. 25

7.5.2.

Instalace......................................................................................................................... 26

7.5.3.

Syntaxe .......................................................................................................................... 26

7.6.

Maxima ...................................................................................................................... 27

7.6.1.

Popis programu.............................................................................................................. 27

7.6.2.

Historie .......................................................................................................................... 28

7.6.3.

Instalace......................................................................................................................... 29

7.6.4.

Syntaxe .......................................................................................................................... 29

7.7.

Yacas ......................................................................................................................... 30

7.7.1.

Popis programu.............................................................................................................. 30

7.7.2.

Instalace......................................................................................................................... 31

7.7.3.

Syntaxe .......................................................................................................................... 31

5

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. 7.8.

PHCpack.................................................................................................................... 32

7.8.1.

Popis .............................................................................................................................. 32

7.8.2.

Instalace......................................................................................................................... 33

7.8.3.

Syntaxe .......................................................................................................................... 34

7.9.

SINGULAR ............................................................................................................... 34

7.9.1.

Popis programu.............................................................................................................. 34

7.9.2.

Historie .......................................................................................................................... 35

7.9.3.

Instalace......................................................................................................................... 36

7.9.4.

Syntaxe .......................................................................................................................... 36

7.10.

8. 9.

OCTAVE ............................................................................................................... 37

7.10.1.

Popis programu.............................................................................................................. 37

7.10.2.

Historie .......................................................................................................................... 38

7.10.3.

Instalace......................................................................................................................... 39

7.10.4.

Syntaxe .......................................................................................................................... 39

Další nalezený software .................................................................................................... 40 Testování na konkrétní úloze ............................................................................................ 41 9.1. Konfigurace použitého počítače ................................................................................ 41 9.2. Výsledky jednotlivých testů ...................................................................................... 42 9.2.1.

Mathematica .................................................................................................................. 42

9.2.2.

Matlab............................................................................................................................ 42

9.2.3.

Gloptipoly...................................................................................................................... 42

9.2.4.

Octave............................................................................................................................ 42

9.2.5.

PHCpack........................................................................................................................ 43

9.2.6.

Singular ......................................................................................................................... 43

9.2.7.

MuPAD ......................................................................................................................... 44

9.2.8.

Maple............................................................................................................................. 44

9.2.9.

Maxima.......................................................................................................................... 44

9.2.10.

Yacas ............................................................................................................................. 44

9.3. Porovnání výsledků ................................................................................................... 45 10. Závěr.............................................................................................................................. 47 11. Použité zdroje................................................................................................................ 48 11.1. Literatura................................................................................................................ 48 11.2. Elektronické zdroje ................................................................................................ 48 12. Příloha A – seznam obrázků.......................................................................................... 50 13. Příloha B – seznam tabulek........................................................................................... 51 14. Příloha C – obsah přiloženého CD................................................................................ 52 15. Příloha D – výstup programu Singular.......................................................................... 53 16. Příloha E – výstup programu Mathematica................................................................... 60

6


5. Úvod Cílem této práce je vytvořit alespoň stručný přehled volně dostupného softwaru pro řešení soustav polynomiálních rovnic. S nalezenými programy se naučit pracovat, otestovat je a alespoň stručně popsat. V počátcích práce na tomto textu jsem se potýkal s jistými problémy. Zejména se jednalo o to, že žádný z nalezených programů není český, tudíž jsem byl nucen vyhledávat v anglickém jazyce. Po prvních neúspěšných pokusech vyhledávat klíčová slova „set of polynomial equations“, kde jsem použil pro „soustavu“ překlad „set“, jsem zjistil, že mnohem více se toho skrývá pod překladem „system“. Nejlepších výsledků ve vyhledávání jsem dosáhl pod klíčovými hesly „polynomial system solver“. Na internetu existuje spousta projektů a knihoven pro práci s polynomiálními soustavami, avšak ne všechny jsou dostatečně zdokumentované, tudíž některé nebylo možné otestovat. Některé z těchto aplikací se zdály být efektivní a použitelné, když jsem je testoval na jedné z jednodušších soustav, avšak při testování na složitější soustavě vykazovaly značné nedostatky. V začátku celé své práce bych chtěl nastínit problém hledání spínací frekvence pro vícehladinový konvertor stejnosměrného napětí na střídavé, alespoň stručně popsat metodu návrhu, která vede právě na řešení pomocí soustav polynomiálních rovnic. Tyto rovnice jsou velice komplikované a triviálními metodami takřka nespočítatelné. Proto software, který budu testovat, využívá speciálních algoritmů k jejich výpočtu. V další části práce budu popisovat jednotlivý nalezený software. Stručně nastíním algoritmus, pomocí kterého dochází k výpočtu, otestuji daný software na konkrétní úloze a to nejdříve na jednodušší soustavě a následně na složitějších. Nalezené programy se také budu snažit nějak klasifikovat a rozdělit podle typu licence, podle toho, zda pracují samy nebo zda k jejich běhu je potřeba další software. V začátku této části bych chtěl také zahrnout některé aplikace, které nespadají do kategorie freeware, nicméně pro tyto aplikace disponuje ČVUT multilicencí, tudíž je lze používat na některých počítačích ve škole, některé dokonce i doma. V závěru práce se pokusím všechny nalezené programy porovnat, a to z hlediska rychlosti a přesnosti výpočtu, složitosti instalace a následné manipulace.

7

8


6. Vícehladinový konvertor Konvertor je elektrické zařízení, které je schopno přeměnit napájecí napětí některých stejnosměrných zdrojů (baterie, solární články, atd.) na střídavé napětí. V současné době má velice široké využití. Například výstup solárních článků je stejnosměrné napětí. Pokud chceme takovéto zařízení zapojit do stejnosměrné sítě, potřebujeme pro to nějaké další rozhraní. Vícehladinový konvertor je pro to ideálním řešením. Pro tyto situace se výborně hodí beztransformátorový vícehladinový invertor kvůli svým vysokým jmenovitým hodnotám výkonu. Vícehladinové invertory pracují s vyšší účinností, protože se dokáží přepínat s mnohem menší frekvencí než u invertorů založených na pulsně šířkové modulaci (PWM). Dalším důležitým příkladem jsou hybridní vysoko výkonová elektrická vozidla (hybrid electric vehicles – HEVs), které mají obrovský elektrický pohon, jako jsou přívěsy traktorů, překládací zařízení nebo vojenská vozidla. Tyto přístroje potřebují vyspělé elektrické invertory, aby splnily své vysoké nároky na napájení (vice než 100kW). Vynalezení takovýchto hnacích jednotek bude mít za následek vysoké úspory paliva, snížení emisí a také lepší vlastnosti vozidla (zrychlení a brzdění) . Elektrické schéma takovéhoto zařízení je uvedeno na obrázku 1, schodovité výstupní napětí je na obrázku 2. Fourierova řada pro stupňovitý výstupní signál (viz obrázek 2) vypadá následovně:

V (ωt ) =

∞

4VDC ⋅ (cos(n ωθ1 ) + cos(nωθ 2 ) + ... + cos(nωθ s )) ⋅ sin (nωt ) , k =1, 3, 5,... nπ

∑

(1)

kde VDC je napětí stejnosměrného zdroje (předpokládá se, že všechny zdroje mají stejné napětí), s je počet stejnosměrných zdrojů a ω je požadovaná výstupní frekvence. Pro neznámé spínací úhly (viz obrázek 2) musíme dodržet: 0 < θ1 < θ 2 < K < θ s <

π . 2ω

(2)

Derivování vztahu (1) pro jeden zdroj je následující. Je to lichá periodická funkce (viz obrázek 3), proto pro jeden krok Fourierovy řady je: ∞

V (1) (ωt ) ~ ∑ bk sin (kωt ) , k =1

9


Obrázek 1: Jednofázová struktura vícehladinového kaskádního H-můstkového invertoru

kde T

42 4 bk = ∫ V (t )sin (kωt ) = T 0 T =

T −θ1 2

∫V

DC

sin (kωt )

0 −θ1

(3)

4 1 VDC (− cos(kω (T / 2 − θ1 )) + cos(kωθ1 )). T kω

Výraz v závorce v rovnici (3) může být upraven − cos(kω (T / 2 − θ1 )) + cos(kωθ1 ) =

(4)

10


= − cos(kωT / 2 ) cos(kωθ1 ) − sin (kωT / 2 )sin (kωθ1 ) + cos(kωθ1 ) = 0 pro k = 0, 2, 4, ... ⎧ =⎨ ⎩2 cos(kωθ1 ) pro k = 1, 3, 5, ...

V posledním výrazu byla použita rovnost ω = V (1) (ωt ) ~

2π T

(5)

. Vše dohromady dává

4VDC cos(kωθ1 )sin (kωt ) . k =1, 3, 5... kπ

∑

(6)

Obrázek 2: Výstupní průběh 11-hladinového kaskádního invertoru

Pro další zdroj se předchozí procedura opakuje, jen s tím rozdílem, že se použije úhel θ2 (θ2 > θ1), tj. můžeme psát V (2 ) (ωt ) ~

4VDC cos(kωθ 2 )sin (kωt ) . k =1, 3, 5... kπ

∑

(7)

Pro všechny další zdroje je postup stejný, Respektive výsledky V (i ) (ωt ) pro různé úhly se sčítají

V (ω t ) =

s

∑ V ( ) (ω t ) i =1

a dostáváme přesně (1).

i


11

Výpis konkrétních lichých harmonických je následující s

V (ωt ) = ∑ V (i ) (ωt ) = i =1

= =

4V DC ⋅ (cos(k ωθ 1 ) + cos(kωθ 2 ) + ... + cos(kωθ s )) ⋅ sin (kωt ) = ∑ Vk sin (kωt ) = k =1, 3, 5,,, kπ k =1, 3, 5,,,

∑

4V DC ⋅ (cos(ωθ 1 ) + cos(ωθ 2 ) + ... + cos(ωθ s )) ⋅ sin (ωt ) + 1π 4V + DC ⋅ (cos(3ωθ1 ) + cos(3ωθ 2 ) + ... + cos(3ωθ s )) ⋅ sin (3ωt ) + 3π 4V + DC ⋅ (cos(5ωθ1 ) + cos(5ωθ 2 ) + ... + cos(5ωθ s )) ⋅ sin (5ωt ) + 5π +K

V předchozích rovnicích V (i ) (ωt ) je Fourierova řada pro jeden zdroj (viz rovnice (6) a (7)) sepnutý po úhlem θi a Vk je amplituda k–té harmonické.

Obrázek 3: Výstupní průběh jednoho stejnosměrného zdroje

Stupňovitý výstupní signál je ještě dále filtrován. Proto jsou spínací úhly nejlépe nastaveny tak, že první harmonická výstupního schodovitého signálu bude rovna požadovanému výstupnímu signálu V1 sin(ωt) a několik následujících bude nulových. Zbývající vyšší harmonické budou odstraněny filtrem. Podle aspektu aplikace předpokládáme třífázové zapojení. (Jednofázové zapojení může být řešeno analyticky a také jednodušeji pomocí Newtonovy identity (Chudnovsky and Chudnovsky, 1999; Czarkovski et al., 2002).) Následně jsou harmonické, které jsou násobkem tří, automaticky vynulovány systémem a proto není zapotřebí, aby byly rovné nule. Pokud vynecháme tyto harmonické, pak jsme schopni vynulovat větší počet harmonických, tudíž výstupní signál méně osciluje. Z těchto požadavků a rovnice (1) vyplývá následující transcendentní soustava rovnic

12

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. 4VDC ⋅ (cos(ωθ 1 ) + cos(ωθ 2 ) + ... + cos(ωθ s )) = V1 1π (cos(5ωθ1 )+ cos(5ωθ 2 ) + ... + cos(5ωθ s )) = 0

(8)

(cos(7ωθ1 ) + cos(7ωθ 2 ) + ... + cos(7ωθ s )) = 0 M

Soustava (8) vyjadřuje ideální stav, kdy první harmonická je rovna požadovanému výstupu, a všechny vyšší harmonické jsou nula. Tato soustava je předeterminovaná, proto vezmeme v úvahu jen prvních s rovnic. Všechny vyšší harmonické

Vk =

4VDC kπ

s

∑ cos(kωθ ), i =1

1

(9)

k = s + 1, s + 2 , ...

nebudou nulové, ale jejich negativní vliv může být eliminován použitím vhodného filtru. Navíc jejich amplituda klesá podle vztahu (9) kde k je k-tá vyšší harmonická. Tudíž

4VDC ⋅ (cos(ωθ1 ) + cos(ωθ 2 ) + ... + cos(ωθ s )) = V1 1π (cos(5ωθ1 )+ cos(5ωθ 2 ) + ... + cos(5ωθ s )) = 0

(cos(7ωθ1 )+ cos(7ωθ 2 ) + ... + cos(7ωθ s )) = 0

(10)

M

(cos(hm ωθ1 )+ cos(hmωθ 2 ) + ... + cos(hmωθ s )) = 0 kde

⎧ 3 s − 1 : s sudé hm = ⎨ ⎩3 s − 2 : s liché a θ1,…, θs jsou neznámé. Zde je potřeba aby pro neznámé opět platila nerovnost (2). Posloupnost lichých harmonických hn = {1, 5, 7, 11,…, hm} nedělitelných třemi je následující ⎢ n − 1⎥ ⎧1 : n liché hn = 6⎢ +⎨ , n = 1, 2, 3, ..., s . ⎣ 2 ⎥⎦ ⎩5 : n sudé

(11)

Principiální problém je řešení soustavy rovnic (10) Pokud je soustava rovnic v tomto tvaru, pak je pro výpočet nutné použít nějakou numerickou iterační metodu, například Newtonovu metodu. Další možné úpravy mohou být provedeny za pomoci trigonometrické rovnice

13

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. cos(nωθ i ) = Tn (cos(ωθ i )) = Tn ( xi ) ,

(12)

kde Tn (xi) je Chebyshův polynom prvního typu a stupně n. Soustava rovnic (10) může být upravena do tvaru s

∑x i =1

i

s

∑ T (x ) = 0 , j

i =1

= m,

j = 5, 7,11, ..., hm

i

což v rozepsané formě vypadá následovně s

p1 ( x ) = ∑ xi − m = 0 i =1 s

(

)

p5 ( x ) = ∑ 5 xi − 20 xi + 16 xi = 0 i =1 s

3

(

5

)

p7 ( x ) = ∑ − 7 xi + 56 xi − 112 xi + 64 xi = 0 i =1

3

5

7

(13)

M s

phm ( x ) = ∑ Thm ( xi ) = 0 . i =1

Nyní je soustav rovnic (13) polynomiální v proměnných x1, x2, …, xs pro které musí platit (14)

0 < xs < L < x2 < x1 < 1. Symbol m se nazývá modulační index a platí pro něj m =

V1π π V1 . Modulační index je = 4VDC 4 VDC

číslo, které je rovno poměru V1 k VDC , kde V1 je amplituda požadovaného sinusového signálu (V1 sin(ωt)) a VDC je napětí konkrétního stejnosměrného zdroje. Je zajímavé, že mohou být nalezena taková řešení, které generují na výstupu amplitudu V1 která je jiná než součet napětí všech stejnosměrných zdrojů. V tomto případě lze použít vhodného spínání k řízení amplitudy výstupního signálu V1 bez nutnosti měnit napětí těchto zdrojů. Úhly mohou být vypočítány pomocí rovnice (12) s použitím vztahu

θi =

1

ω

arccos xi ,

i = 1, 2, ..., s .

(15)

14

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Původní problém (řešení transcendentální soustavy rovnic (10)) byl upraven na problém řešit soustavu polynomiálních rovnic (13). Tato polynomiální soustava může být vyřešena použitím více způsobů. Avšak, jak je zřejmé, pro velké s (s = 6 je přiměřené) je daná soustava rovnic je poměrně velká, a tak její výpočet je velice složitý a nemůže být proveden bez znalosti a užití nějaké zvláštní struktury. Po nalezení všech řešení pro dané m (předpokládá se různý počet řešení pro různé modulační indexy) se vybere to, které minimalizuje činitel harmonického zkreslení (total harmonic distortion – THD). Hodnota THD je definována takto THD [%] = 100

1 V12

s+ N

∑V

i = s +1

2 hi

,

(16)

Kde N = 10 je pevně stanoveno a index hi je počítán podle (11).

Obrázek 4: Závislost spínacích úhlů na modulačním indexu pro sedmizdrojový vícehladinový konvertor

Pro toto řešení je výstupní signál po filtraci nejméně deformovaný nežádoucími vyššími harmonickými. Pro určitý modulační index m je možné, že soustava nebude mít žádné řešení. Pak je potřeba pracovat s jedním řešením, které minimalizuje čtverce vyšších harmonických (počínaje 5. harmonickou) a zaručuje rovnost první harmonické a požadovaného výstupu. Nebo, pokud je to možné, nejlepší varianta je vybrat jiný vhodný modulační index, pro který řešení soustavy (10) existuje. Další informace je možné získat v [1].


7. Přehled softwaru a jeho popis 7.1.

Maple 11

7.1.1.

Popis programu

Maple je systém počítačové algebry pro výuku a využití matematiky v přírodovědných, technických a ekonomických oborech, který byl vyvíjen od devadesátých let minulého století. Umožňuje symbolické a numerické matematické výpočty, jejich počítačovou vizualizaci, dokumentaci a publikaci. Učitelům, studentům i vědcům a výzkumným pracovníkům poskytuje uživatelsky přívětivé prostředí, ve kterém lze snadno používat matematiku.

Obrázek 5: Pracovní prostředí programu Maple 11

Současná verze 11 systému Maple (zkráceně Maple 11) umožňuje provádět jak symbolické a numerické výpočty a vytvářet grafy, tak doplňovat je vlastními texty a vytvářet tak tzv. hypertextové zápisníky. Takto vytvořené zápisníky umožňuje Maple 11 ukládat do souboru na počítači ve svém speciálním mapleovském formátu MW, který je uložen ve formátu XML. Soubory ve formátu MW umožňuje Maple 11 načítat zpět ke zpracování, což

15

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. umožňuje snadnou přenositelnost mapleovských zápisníků mezi nejrůznějšími počítačovými platformami a operačními systémy. Samozřejmě, že tento produkt není freeware a je velice drahý. K dispozici je řada druhů licencí od nejjednodušší pro studenty, přes profesionální pro komerční organizace až k multilicencím pro akademické a státní instituce. Ceny se pohybují od $130 až k $1900 za licenci pro 1 instalaci. Katedra matematiky ČVUT disponuje multilicencí na více verzí tohoto systému. Avšak pro studenty a domácí použití je dostupná maximálně verze Maple 9. Ale z hlediska toho, že pro výpočet soustav polynomiálních rovnic se v současné verzi Maple 11 vyskytují nové algoritmy, konkrétně „Groebner basis algorithms of Maple“ (algoritmy počítající Göbnerovy báze), bylo potřeba využít verzi 11, ke které jsem měl přístup na několika fakultních počítačích. Pro výpočet soustavy polynomiálních rovnic lze použít jednoduchého příkazu, který je velice efektivní: solve(equations, variables); kde equations je rovnice nebo nerovnice nebo soustava rovnic či nerovnic, variables jsou volitelně proměnné, které chceme vyřešit Pokud Maple nedokáže vyřešit kořeny rovnice jedné proměnné, vrací výsledek s použitím výrazu RootOf()

namísto skutečného výsledku. Použitím příkazu fsolve lze

početně vypočítat řešení rovnice či jejich soustav. fsolve(equations, complex); kde equations je rovnice nebo soustava rovnic pomocí complex volitelně určujeme, zda chceme komplexní řešení. Pro samostatnou polynomiální rovnici jedné proměnné příkaz fsolve vypočítá implicitně všechny reálné (nekomplexní) řešení. Pro obecnou rovnici, či soustavu rovnic vypočítá příkaz fsolve pouze jeden reálný kořen. Nejvíce očekávané vlastnost programu Maple 11 je, že do něj byl integrován program J.C. Faugerea FGb. To je v podstatě knihovna napsaná v jazyku C, která je jedna z nejrychlejších pro výpočet Gröbnerových bází, kterou můžete v současné době získat. Podporuje výpočty s racionálními čísly koeficientů (pomocí modulárních algoritmů) a

16

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. s celými čísly délky p, kde p je méně než polovina délky slova použitého počítače. To je p < 65536 pro 32-bitové počítače nebo p < 232 pro 64-bitové počítače. FGb počítá „celkový stupeň“ Gröbnerových bází (funkce tdeg v Maple) pomocí příkazu Groebner[Basis] automaticky, když je to možné. FGb také podporuje eliminační pořadí (lexdeg v Maple) ale implicitně se používá konverzní algoritmus Gröbnerových bází příkazu Groebner[Basis]. Konverzní algoritmus Gröbnerových bází použije Gröbnerovy báze pro jedno pořadí neznámých pro vypočítání báze pro jiné pořadí. V podstatě příkaz Groebner[Basis] je požije pro výpočet lexikografických Gröbnerových bází, protože jsou často velmi těžké vypočítat přímo. Více informací lze získat na [4].

7.1.2.

Instalace MS Windows, Linux, Macintosh, Solaris Placená 650 MB

Operační systém: Licence: Velikost na disku:

Tabulka 1: Shrnutí programu Maple 11

Instalaci programu Maple 11 jsem bohužel neprováděl. Zkusil jsem instalovat Maple 9, který mohu legálně užívat i doma díky multilicenci pro ČVUT. K objednání je spousta verzí tohoto programu v závislosti na preferovaném operačním systému. Osobně jsem opět zvolil Windows. Instalace proběhla velice jednoduše a na disku zabírá cca 650 MB, což je samozřejmě více, než programy které jsou určeny jen pro výpočet soustav polynomiálních rovnic, ale na druhou stranu je to více účelový software, který lze použít na řešení téměř všech matematických výpočtu z většiny vědních oboru. Také s narůstající diskovou kapacitou současných osobních počítačů bych velikost tohoto programu neviděl nikterak omezující.

7.1.3.

Syntaxe

Opět jsem zvolil nejjednodušší soustavu rovnic o dvou neznámých. Nejprve si do proměnné F uložíme soustavu rovnic: F := [rovnice_1, rovnice_2]; Následně pomocí příkazu solve() vyřešíme.

17


solve(F); Vyzkoušíme i příkaz fsolve() , který by měl dát konkrétní řešení: fsolve(F);

Toto je však pouze jedno možné řešení dané soustavy. Těch ale může a s největší pravděpodobností i bude existovat mnohem více. Výpočet pomocí obou příkazů proběhne celkem rychle a bez obtíží.

7.2.

Mathematica 5.2

7.2.1.

Popis programu

Tento software je obecné výpočetní prostředí spojující spoustu algoritmických, vizualizačních a uživatelských schopností do jednoho uživatelského prostředí, které se tváří jako běžný dokument. Původně byl tento software koncipován Stephenem Wolframem, následně vyvinut týmem matematiků a programátorů, které si najal, a nakonec je prodávaný jeho firmou Wolfram Research z Champaign z Illinois. Od verze 1.0 z roku 1988 se Mathematica silně rozšířila a vyvinula do ještě více použitelného o a obecného výpočetního prostředí. Mimo to, že je vhodný téměř pro všechny odvětví matematiky, poskytuje multiplatformní podporu pro širokou škálu problémů, jako například interaktivní výpočetní prezentace, grafické a symbolické výpočty.

Obrázek 6: Pracovní prostředí programu Mathematica

18

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Většina výukových a výzkumných organizací vlastní licenční servery, ale samozřejmě, že jsou v prodeji i individuální licence. Fakulta elektrotechnická ČVUT vlastní také tuto multilicenci, proto jsem mohl tento software plně vyzkoušet. Firma Wolfram Research také nabízí 15-ti denní trial verzi, kterou je možné objednat ke stažení zdarma. Ceny plné licence se pohybují od cca $50 pro studenty. Doplňující informace o tomto programu hledejte v [5].

7.2.2.

Instalace MS Windows, Linux, Macintosh, Solaris, … Placená cca 300 MB (v závislosti na OS)


Tabulka 2: Shrnutí programu Mathematica 5.2

Osobně jsem vyzkoušel verzi Mathematica 5.2 pod operačním systémem Windows Vista. Instalace proběhala velmi jednoduše, tak jak jsme u Windowsovských aplikací zvyklí. Na disku tato aplikace zabírá cca 450 MB, což je srovnatelné s programem Maple. Jak už bylo zmíněno, na takto obsáhlý a sofistikovaný software je to stále dobré. Uživatelské rozhraní se poněkud liší od posledních testovaných aplikací (Maple, MuPAD), avšak základní prvky má totožné. Zpočátku jsem měl problémy se syntaxí, poněvadž je také trochu odlišná (zejména typ použitých závorek), ale po několika vypočtených příkladech bylo vše v pořádku. Pro řešení lineárních rovnic se používají Gaussovy eliminační a jiné metody. Pro samostatnou polynomiální rovnici se používá explicitní vzorec až do stupně čtyři, který se pokouší zjednodušit polynomy s použitím dalších funkcí (Factor a Decompress) nebo rozeznat nějaké speciální polynomy. Pro soustavu polynomiálních rovnic se vytvoří Gröbnerovy báze. Tyto funkce používají Buchbergerův algoritmus. Funkce Reduce pro soustavy polynomiálních rovnic využívá cylindrickou algebraickou dekompozici pro reálné domény a metody Gröbnerových bází pro komplexní domény. Cylindrická dekompozice využívá algoritmu Collins-Hong s projekcí Brown-McCallum nebo Hong.

7.2.3.

Syntaxe

Pro řešení soustav rovni se tedy používá opět velice jednoduchý příkaz Solve, jehož kód včetně přidružených funkcí je cca 500 stránek dlouhý.

19


Solve[{eq1,eq2 , … }, {var1,var2 , … }];

Kde {eq1,eq2 , … } je soustava rovnic a {var1,var2 , … } jsou neznámé, pro které chceme soustavu vyřešit. Také jsem zde poprvé narazil na problém, že je potřeba rovnice zadat ve formátu: eq == 0;

To znamená, že vždy musí být rovnice ve tvaru rovnice. Například levá strana rovnice == (se rovná) pravá strana rovnice. Opět tento příkaz nalezne obecná symbolická řešení dané soustavy, kdybychom chtěli početně vyčíslit všechny výsledky, můžeme rovnou použít příkaz NSolve: NSolve[{eq1,eq2 , … }, {var1,var2 , … }];

Celkově na mě tento software působil velice dobře, zejména jeho intuitivnost a rozsáhlá dokumentace. Časově bych tento software zařadil mezi jeden z nejrychlejších.

7.3.

MATLAB

7.3.1.

Popis

MATLAB je integrované prostředí pro vědeckotechnické výpočty, modelování, návrhy algoritmů, simulace, analýzu a prezentaci dat, měření a zpracování signálů, návrhy řídicích a komunikačních systémů. MATLAB je nástroj, jak pro pohodlnou interaktivní práci, tak pro vývoj širokého spektra aplikací. Program existuje řadu let a prošel dlouhým vývojem. Vlastní Matlab není jen v jedné linii základního programu, ale používá se spousta rozšíření (toolbox). Nejznámější a asi nejpoužívanější je Simulink. Simulink je program pro simulaci a modelování dynamických systémů, který využívá algoritmy Matlabu pro numerické řešení nelineárních diferenciálních rovnic. Poskytuje uživateli možnost rychle a snadno vytvářet modely dynamických soustav ve formě blokových schémat a rovnic.

20

21


Obrázek 7: Pracovní prostředí programu Matlab

V poslední době se také rozšířila nabídka výrobce o produkt FEMLAB švédské společnosti

COMSOL.

FEMLAB

je

nadstavba

MATLABu,

která

využívá

jeho

matematických funkcí a grafického prostředí k modelování a k simulaci úloh z technické praxe v oblasti strojírenství, chemie, elektromagnetismu a z dalších oblastí fyziky. FEMLAB usnadňuje pochopení řady fyzikálních a technických procesů díky názorné grafice, snadné změně vstupních parametrů a možnosti simulace dané úlohy. Na řešení je možné v krátké době pohledět z několika zorných úhlů a efektivně tak najít optimální variantu. Výhoda Matlabu je nejen v jeho velkých možnostech, ale i v tom, jak je široce rozšířen v průmyslu a jeho verze existují pro řadu operačních systémů (Unix, Linux, Windows, Open VMS, IRIX, Solaris, Macintosh, HP-UX a další). Matlab je komerční software, ale existuje i jeho GNU (general public license) varianta Octave. Není to samozřejmě to samé, ale syntaxe příkazů a práce s tímto produktem je stejná jako v Matlabu, chybí další nadstavby a vylepšení, ale pro samotné výpočty je to velmi zajímavý nástroj. Hlavně je zdarma a tak přístupnější studentům i pro domácí použití. Studenti mají možnost také výhodně si pořídit studentskou verzi Matlabu, kde je rovněž velmi výhodná cena proti komerční verzi. Další informace lze získat na [6].


7.3.2.

Historie

Zkratka pro „matrix laboratory“, MATLAB, byla vynalezena v pozdních sedmdesátých letech 20. Století Cleverem Molerem, vedoucím katedry počítačových věd na univerzitě v Novém Mexicu. Původně tento program navrhl pro své studenty, aby měli přístup l LINPACKu a EISPACKu bez nutných znalostí Fortranu. Brzy se ale rozšířil na další univerzity a nalezl spoustu příznivců z řad lidí, kteří se zabývali aplikovanou matematikou. Když v roce 1983 navštívil Moler univerzitu v Stanfordu, kde pracoval inženýr Jack Little, tak mu představil tento program. Ten si uvědomil jeho komerční potenciál a přidal se k Molerovi a jeho kolegům. Společně přepsali MATLAB do jazyka C a v roce 1984 založili společnost MathWorks, aby mohli pokračovat ve vývoji. Tyto přepsané knihovny byly známé jako JACKPACK. MATLAB si prvně osvojili inženýři, kteří se zabývali řízením, ale později se rozšířil do spousty jiných odvětví. Nyní je také hojně využíván k výuce lineární algebry a početní analýzy a v neposlední řadě také v odvětví zabývajícím se zpracováním obrazů. Katedra řízení Fakulty elektrotechnické ČVUT disponuje multilicencí pro své zaměstnance i studenty tudíž jsem tento program opět mohl testovat doma. Vzhledem k tomu, že jsem již tento software používal dříve v rámci určitých předmětů během mého studia, bylo pro mě jeho použití vskutku jednoduché.

7.3.3.

Instalace


MS Windows, Linux, Macintosh, Solaris Placená 500 MB (čistě MATLAB) Tabulka 3 : Shrnutí programu MATLAB

Jak už zde bylo uvedeno, tento produkt lze nainstalovat téměř kamkoliv, proto jsem zvolil opět operační systém MS Windows. Verzi programu MATLAB jsem zkoušel R2006a. Instalace probíhala velice jednoduše a po skončení zabírala zhruba 1,6 GB, což je sice hodně, ale vzhledem k velice rozsáhlým možnostem využití tohoto programu je to samozřejmě potřeba.

7.3.4.

Syntaxe

Pro výpočet soustavy polynomiálních rovnic lze použít jednoduchý příkaz:

22


g = solve(eq1,eq2,...,eqn,var1,var2,...,varn); kde eq1 až eqn jsou jednotlivé polynomy a var1 až varn jsou neznámé, pro které chceme soustavu řešit. Pokud nezadáme žádné neznámé, soustava bude vyřešena pro všechny. Vstupem eq1 až eqn mohou být symbolické výrazy nebo řetězce definující daný polynom. Po provedení tohoto příkazu je na výstupu struktura, která obsahuje, v našem případě dvě (dvě neznámé), uspořádané matice výsledků. Ty si posléze musíme vyvolat příkazy (v našem případě proměnné x a y: g.x g.y

7.4.

MuPAD

7.4.1.

Popis programu

Obrázek 8 : Pracovní prostředí programu MuPAD

MuPAD (viz [7]) je počítačový algebraický software původně vyvinutý výzkumnou skupinou na Paderbornské univerzitě. Od roku 1997 je vyvíjen společností SciFace Software GmbH & Co. KG ve spolupráci s výzkumnou skupinou MuPADu a partnery z některých dalších univerzit. Od podzimu roku 2005 byla nabízena verze MuPAD Light zdarma pro výzkum a výuku, ale poněvadž se zavřel domovský institut výzkumné skupiny MuPADu, jsou dostupné pouze Pro verze, které už jsou placené. Naštěstí bylo možné stáhnout 30-denní trial verzi, kterou jsem mohl otestovat.

23

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Z programátorského hlediska je hlavní jádro MuPADu napsáno v jazyce C, ostatní (knihovny) je napsáno v programovacím jazyce MuPAD.

7.4.2.

Instalace MS Windows, Linux, Macintosh Placená, 30 denní trial 200 MB


Tabulka 4 : Shrnutí programu MuPAD

Zřejmě z důvodu komerčního prodeje byla tato aplikace k dispozici pro téměř všechny operační systémy, což je velice pozitivní. Tentokrát jsem zvolil verzi pro Linux. Jelikož jsem zvolil verzi rpm instalace byla velice jednoduchá a následné spouštění též. Instalace na disku zabírá cca 150 MB což je na takto obsáhlý software velmi dobré. Tento software je velice sofistikovaný a poskytuje velmi mnoho funkcí a matematických operací, od jednoduchých přímých výpočtu až po složité časově náročné operace. Grafické rozhranní tohoto programu je velice intuitivní. Dalo by se přirovnat ke grafickému rozhraní aplikace Maple. I pravidla psaní příkazů, zejména typy používaných závorek jsou velice podobné. Jako základní počítací algoritmus je zde opět použit algoritmus pro výpočet Gröbnerovych bází.

7.4.3.

Syntaxe

Pro řešení polynomiálních rovnic, a jejich soustav se využívá opět standartního příkazu solve(): solve(system, variables); kde system je rovnice nebo soustava rovnic a variables jsou proměnné, pro které chceme danou rovnici či soustavu řešit. Následně jsem opět použil tento program k otestování na soustavě dvou rovnic o dvou neznámých, která se jevila jako nejjednodušší. Velice zajímavě na mě působilo to, že zpočátku mi dával podivné výsledky a chybová hlášení, ale když jsem zkoušel to samé po několikáté, tak už to byly výsledky příjemnějšího charakteru. Nejdříve jsem si tedy do proměnné G vložil danou soustavu:

24


G=[eq1, eq2]; kde eq1 a eq2 jsou dané dvě rovnice, a dále jsem použil pouze již zmíněnou funkci solve(): solve(G,[x,y]); kde druhý parametr funkce jsou proměnné, pro které chceme soustavu vyřešit. Výsledkem tohoto příkazu ale stále nejsou početní hodnoty, nýbrž jen obecné řešení: Abychom zjistili konkrétní hodnoty, musíme se pokusit výsledek vyčíslit například pomocí příkazu float(): float(%); Symbol % zastupuje poslední vypočítanou hodnotu (výsledek příkazu), pokud bychom chtěli rovnou číselné hodnoty, museli bychom použít příkaz solve() uvnitř příkazu float(): float(solve(G,[x,y])); Dále se v tomto programu nabízí použít příkaz numeric::fsolve(), který ale vrátí pouze jeden číselný kořen. Numeric::fsolve(G,[x,y])); Na druhou stranu lze u tohoto příkazu použít další nepovinný parametr MultiSolutions: Numeric::fsolve(G,[x,y]), MultiSolutions); který by měl zaručit to, že dostaneme všechna řešení. To se mi bohužel ale nepovedlo, stále tento příkaz vracel jen jedno možné řešení, stejné jako v případě bez tohoto parametru. Rychlost výpočtů této jednoduché soustavy nepatřila mezi nejrychlejší, zejména při prvních, již zmíněných, neúspěšných pokusech, avšak stále byla celkem přijatelná.

7.5.

Gloptipoly 2

7.5.1.

Popis programu

GloptiPoly (viz [8]) je knihovna do programu Matlab, která umí vytvořit a vyřešit konvexní lineární maticové nerovnosti (linear matrix inequality – LMI) obecných

25

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. optimalizačních problémů s polynomiálními kritérii a omezením. Tyto algoritmy jsou založené na teorii, která je popsaná v [2]. GloptiPoly není zaměřená na obecné řešení nekonvexních optimalizačních problémů, ale umožňuje řešit řadu konvexních vztahů s rostoucími velikostmi, jejichž optima budou zaručeně monotónicky konvergovat ke globálnímu optimu. GloptiPoly řeší LMI vztahy s pomocí další knihovny do programu Matlab, výpočetního zařízení SeDuMi (viz [9]), využívaje při tom výhod řídkosti a struktury speciálního problému. Volitelně lze společně s GloptiPoly použít uživatelsky příjemné rozhraní nazvané DefiPoly, založené na Symbolic Math Toolboxu Matlabu, které umožňuje zadávat dané vztahy symbolicky se syntaxí podobnou z programu Maple. GloptiPoly je zaměřená na řešení malých a středně velkých výpočetních problémů. Například dosud nedokáže pracovat s kvadratickými optimalizačními problémy s více než 19 proměnnými. Na zrušení tohoto omezení se však už v současné době pracuje a mělo by být odstraněno v dalších verzích. Početní experimenty v manuálu této knihovny ilustrují, že pro většinu příkladů je globální optimum dosaženo přesně pomocí LMI vztahů střední velikosti, při relativně malých systémových požadavcích. Pracovní prostředí této aplikace se nijak neliší od pracovního prostředí aplikace Matlab (viz Obrázek 7), neboť je to pouze jeho knihovna.

7.5.2.

Instalace Závislé na MATLABu freeware 9 MB (včetně SeDuMi)


Tabulka 5: Shrnutí balíku GloptiPoly

Jak již zde bylo uvedeno, je to pouze knihovna funkcí do Matlabu, tudíž je závislá pouze na tomto softwaru, který je multiplatformní. Pro správný chod je potřeba mít verzi Matlabu alespoň 5.3 nebo vyšší. Osobně jsem tuto knihovnu zkoušel ve verzi 11 pro MS Windows. Dále je potřeba mít nainstalovanou knihovnu SeDuMi, jejíž instalace je také velmi jednoduchá. Stačí pouze přidat složku, kde je umístěné SeDuMi, a složku, kde je umístěná GloptiPoly, do pracovního adresáře Matlabu.

7.5.3.

Syntaxe Při samotném výpočtu je tedy zapotřebí nejprve definovat soustavu rovnic příkazem:

26


P{n} = defipoly(‘expr’,’vars’); Kde n je číslo rovnice (počítáno od čísla 1), expr udává konkrétní polynomiální výraz spolu s klíčovým slovem (min, max, ==, <=, >=) a vars jsou proměnné použité ve výrazu (oddělené čárkami). Několik těchto příkazů (pro n rovnic n příkazů) ve výsledku vytvoří speciální strukturu, se kterou se dále počítá pomocí příkazu: out = gloptipoly(P); který provede výpočetní operace a výsledek uloží do struktury out, která obsahuje status (číselné označení statusu výsledku – 1 pro úspěšný výpočet, 0 pro případy, kdy nebylo možné zjistit globální optimum, a -1 pro případy, kdy LMI problém nemůže být řešen), dále obsahuje sol (což jsou konkrétní řešení) a crit (což je LMI kritérium). K těmto údajům přistupujeme pomocí tečky. Například pro zobrazení řešení soustavy: out.sol

7.6. Maxima 7.6.1.

Popis programu

Maxima je výpočetní systém pro manipulaci se symbolickými a numerickými výrazy, včetně diferenciálního a integrálního počtu, Taylorových řad, Laplaceovy transformace, obyčejných diferenciálních rovnic, soustav lineárních rovnic, polynomů a množin, seznamů, vektorů, matic a tenzorů. Tento software dosahuje velice přesných numerických řešení díky použití exaktních frakcí, libovolně přesných celých čísel a libovolně přesných čísel s pohyblivou desetinnou čárkou. Dále tato aplikace umí zobrazit grafy funkcí a dat ve dvou či třech dimenzích.

27


Obrázek 9: Pracovní prostředí programu Maxima

Zdrojový kód tohoto výpočetního systému může být spouštěn z mnoha operačních systému včetně Windows, Linux a MacOS X. Všechny tyto zdrojové kódy a předkompilované binární soubory jsou dostupné na webových stránkách SourceForge.net (viz [10]).

7.6.2.

Historie

Maxima je potomek aplikace Macsyma, legendárního algebraického výpočetního systému vyvinutého v pozdních šedesátých letech minulého století v Technologickém institutu v Massachusetts. Je to jediný software založený na úspěchu systému stále veřejně dostupného a s velkou uživatelskou komunitou, díky tomu, že má povahu produktů Open Source. Ve svých dobách byla Macsyma velice revoluční a mnoho pozdějších výpočetních systému, jako například Maple a Mathematica, v ní hledalo inspiraci. Odvětví Maximy od Macsymy bylo udržováno Williamem Schelterem od roku 1982 do doby kdy zemřel, v roce 2001. V roce 1998 dosáhl povolení vydávat zdrojový kód pod GNU General Public License (GPL). Byly to jeho úspěchy a zkušenosti, které zajistily, že software Maxima přežil dodnes. Jen díky jeho dobrovolnému úsilí a expertním znalostem se udržel původní kód Macsymy ve skvělém stavu. Po jeho smrti vznikla skupina uživatelů a vývojářů, která zajistila rozšíření Maximy k široké veřejnosti.

28


7.6.3.

Instalace MS Windows, Linux freeware cca 25 MB (závislé na OS)


Tabulka 6 : Shrnutí programu Maxima

Osobně jsem vyzkoušel verzi pro MS Windows. Instalace probíhala opět velmi intuitivně a na disku zabírá zhruba 85 MB což je velice dobré pro takto rozsáhlý výpočetní systém. Uživatelské rozhraní tohoto softwaru je poněkud jednodušší než v předešlých případech (Mathematica, Maple), ovšem základní výpočetní funkce se objevily hned po spuštění aplikace v panelu nástrojů pod příkazovou řádkou. Dále také Maxima disponuje rozsáhlou nápovědou a dokumentací, až nebývalého obsahu, poněvadž nikde jinde jsem nenašel alespoň nástin algoritmu výpočtu funkce solve() v základní nápovědě aplikace.

7.6.4.

Syntaxe

Při výpočtu je tedy využita následující metoda: Nechť E je výraz a X je proměnná. Pokud je E lineární v proměnné X, pak je to triviálně řešeno pro X. Pokud je E ve tvaru A*X^N + B, pak výsledek je (-B/A)^1/N) krát N-tý kořen. Pokud E není lineární v X, pak největší společný dělitel exponentů X v E (řekněme N) je rozdělen do exponentů a násobnost kořenů je násobena N. Následně je příkaz solve zavolán znovu na výsledek. Pokud E faktorizuje, pak je příkaz solve zavolán na každý z faktorů. Nakonec, pokud je to zapotřebí, musí funkce solve použít kvadratická, kubická a další pravidla. V případě, že je E polynomiální v nějaké funkci nějaké proměnné, pro kterou chceme výraz řešit, řekněme F(x), pak je to nejprve řešeno pro F(x) (nazvěme výsledek C), pak rovnice F(x)=C může být řešena pro X poskytující inverzní funkci k funkci F. Pro řešení soustav lineárních a nelineárních polynomiálních rovnic příkaz solve zavolá příkazy linsolve nebo algsys a vrátí seznam řešení pro dané proměnné. Zvolil jsem si opět stejnou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých jako v předešlých případech. Nejprve jsem si do proměnné sys uložil danou soustavu zde je opět potřeba dát pozor na to, že je zapotřebí psát výrazy ve tvaru eq = O: sys:[eqn_1=0, eqn_2=0];

29

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Do proměnné var jsem si uložil proměnné, které chci z dané soustavy vyřešit. var:[x, y]; Jak už jsem tedy zmínil, opět se použije funkce: solve (sys, var); Uvedený postup vyřeší soustavu početně a zřejmě pro všechny řešení a to i komplexní. Výsledky byly velmi podobné softwaru Mathematica. Časově byl na tom tento software poněkud hůře, ale stále výpočet netrval déle než pět vteřin, což můžeme považovat za úspěch.

7.7.

Yacas

7.7.1.

Popis programu

YACAS (Yet Another Computer Algebra System) je velice jednoduchý a obecný výpočetní algebraický systém, program pro symbolické výpočty matematických výrazů. Používá svůj vlastní programovací jazyk navržený jak pro symbolické, tak pro velice přesné numerické výpočty. Tento systém má knihovnu skriptů, které implementují spoustu matematických operací, a také podporu pro jednoduché vkládání nových skriptů. Dále má tento software velice obsáhlou dokumentaci (více než 320 stránek) svého skriptovacího jazyka funkcí, které jsou implementovány, a algoritmů, které jsou použity pro výpočet. Tento program je samozřejmě také Open Source, což znamená, že má svůj kód otevřený pro kohokoliv a každý může tento kód upravit podle svého.

Obrázek 10: Pracovní prostředí programu Yacas

30

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Zdrojový kód aplikace YACAS se skládá přibližně z 22000 řádků napsaných v programovacím jazyku C++ a 13000 napsných ve skriptovacím jazyku se 170 funkcemi definovanými v jádře C++ a 600 funkcemi definovanými ve skriptovacím jazyce. Více informací o tomto software lze najít v [11].

7.7.2.

Instalace MS Windows. Linux, (web applet) freeware cca 1 MB


Tabulka 7 : Shrnutí programu Yacas

Mezi hlavní výhody tohoto softwaru patří to, že je zdarma (GPL), dálé jeho flexibilní a jednoduchý programovací jazyk s příjemnou a nastavitelnou syntaxí, multiplatformní využití (Unix, Windows, MacOS, EPOC32, atd.), malé systémové požadavky a jeho snadná rozšiřitelnost. Tento výpočetní systém je dokonce přístupný i z obyčejného webového prohlížeče, protože lze spustit interaktivně jako Java Applet. Osobně jsem zkoušel nejprvne interaktivní Applet ale ten měl jistá omezení, zejména to, že do něj nelze vložit text ze schránky, což v případě velice komplikovaných soustav znamenalo takřka nemožnost použití. Následné jsem stáhnul překompilovanou verzi pro platformu Windows, kde vkládaní rovnic ze schránky bylo částečně implementováno, ale také podporovala načítaní příkazů ze souboru. Instalace nebyla nutná, program byl konsolového charakteru. Překvapila mě i velice malá velikost, zhruba 600 kB, což je nejlepší zatím ze všech testovaných programů.

7.7.3.

Syntaxe

Pro výpočet rovnic jsou zde k dipozici dvě funkce, Solve() a OldSolve(). Autoři tohoto balíku ponechali záměrně dva různé příkazy ze dvou důvodů. První, filozofický, je ten, že je dobré mít více různých algoritmů pro tentýž výpočet. Druhý, více praktický důvod je ten, že nová verze (Solve) nedokáže pracovat se soustavami rovnic, vždy pouze s jednou, ale stará verze tohoto algoritmu (OldSolve) umí pracovat i se soustavami. Příkaz: OldSolve(eqlist, varlist);

31


se tedy pokouší vypočítat jednu nebo více rovnic. Při počítání soustav rovnic se tedy vypočítá soustava uložená v proměnné eqlist pro proměnné uložené v proměnné varlist. Výsledek tohoto výpočtu je seznam všech hodnot, které jsou ve stejném pořadí jako proměnné v seznamu varlist. Tento příkaz ale bohužel vrátí pouze jedno možné řešení. Při řešení samostané rovnice se používá další funkce SuchThat. Soustava rovnic se řeší rekurzivně. Nejprve se vybere rovnice, ve které se jedna z proměnných vysktuje přesně jednou, pak je tato rovnice vyřešená pomocí SuchThat a následně je řešení substituováno do ostatních rovnic pomocí Eliminate, snižující počet rovnic o jednu. Tento potup je účinný pro všechny lineární rovnice a velkou skupinu rovnic nelineárních.

7.8.

PHCpack

7.8.1.

Popis

Tento software PHCpack (viz [12]) implementuje „Homotopy continuation“ metody k numerickému výpočtu aproximací ke všem izolovaným řešením systému n polynomiálních rovnic o n neznámých. Název „Polynomial Homotopy Continuation“ spojuje tři klíčové koncepty této metody. Poté, co vyřešíme soustavu polynomiálních rovnic, využijeme algebraickou strukturu ke spočítání kořenů a k vytvoření počátečního systému. Pomocí „continuation“ metod jsou známé řešení počátečního systému rozšířeny tak, aby obsahovaly požadované řešení cílové soustavy. Tato deformace je definována jako „homotopy“, to je skupina soustav spojujících počáteční a cílové soustavy. Následující intuitivní úvaha může ulehčit tento složitý problém. Samozřejmě, že vyhodnocování polynomu o více neznámých může být učiněno v polynomiálním čase, tj. v čase úměrném polynomiální funkci v dimenzi, stupních a počtu členů. Spočítání jednoho řešení je těžké NP, protože můžeme použít následující nedeterministický algoritmus: Hádejte kořen a následně ověřte, zda se hodí k rovnici. Toto ověřování probíhá v polynomiálním čase. Vypočítání všech řešení je mnohem těžší, protože neexistuje algoritmus v polynomiálním čase k ověření toho, zda odhadnutý počet řešení je správný počet řešení. Tento výpočetní problém se označuje jako #P těžký. Z toho důvodu je náš problém velice nepoddajný pro zvětšující se dimenzi a zvyšující se počet stupňů. Následkem toho jsou výpočty omezeny na určitou dimenzi n a komplexnost je měřena v závislosti na velikosti výstupu, počtu řešení.

32


Obrázek 11: Pracovní prostředí programu PHCpack

Hlavní myšlenka v polynomiálních „homotopy continuation“ metodách je počítání kořenů, protože to určuje počet cest k řešení, které musí být sledovány. Nedávné výzkumy usilovaly o vyvinutí ostrých kořenů, které by vedly k homotopiím s optimálním počtem cest. Počet kořenů je také podstatný nástroj k ověřování početních řešení.

7.8.2.

Instalace


MS Windows, Linux, SunOS, Macintosh,… freeware cca 9 MB Tabulka 8 : Shrnutí progamu PHCpack

Tento software je možné nalézt velmi snadno, je velice dobře zdokumentovaný a to nejen na jednom místě, existuje spoustu webových stránek zabývajících se tímto programem. Tudíž má i spoustu pomocných materiálů a tutoriálů, jak ho používat. Program je freeware, tudíž si ho můžete bezplatně stáhnou a nainstalovat na téměř libovolný počítač i libovolný operační systém, protože si lze jednoduše vybrat, pro jaký operační systém chcete balík stáhnout. Já osobně preferuji Windows, tudíž jsem program testoval na tomto OS. Velikost rozbaleného programu je cca 9 MB, v závislosti na vybraném OS. Instalace není potřeba, stejně tak není potřeba stahovat nějaké další knihovny či podpůrné programy pro správný chod aplikace.

33


7.8.3.

Syntaxe

Po spuštění programu můžete zvolit, zda máte připravený nějaký soubor vstupních dat, nebo je zadáte postupně přímo do příkazové řádky programu. Formát vstupního souboru je následující: 3 8 x11*x22 - x21*x12; x12*x23 - x22*x13; x13*x24 - x23*x14; kde první číslo na prvním řádku (3) označuje počet rovnic a druhé číslo na prvním řádku (8) označuje počet neznámých dané soustavy. Následuje n řádků rovnic ukončených středníkem, kde n je počet rovnic. Následuje spousta možných nastavení, metod a podmínek k dosažený spravných výsledků. Výsledek procedury tento program ukládá do speciálního výstupního souboru, ze kterého je pak možné řešení analyzovat. Komplexní hodnoty jsou vypsány jako dvojice reálných a imaginárních čísel Zvolil jsem soustavu ze zadání pro pětizdrojový konvertor o dvou rovnicích a dvou neznámých. Při spouštění programu jsem použil parametr „-b“, a proto jsem nemusel dále už nic nastavovat. Výsledky i rychlost byly celkem uspokojivé.

7.9.

SINGULAR

7.9.1.

Popis programu

Singular je další z počítačových výpočetních systémů zejména určených pro polynomiální výpočty s důrazem kladeným na komutativní algebru, algebraickou geometrii a singulární teorii. Tento balík obsahuje jeden z nejrychlejších a nejobecnějších druhů algoritmů pro výpočet Gröbnerových, respektive standartních bází. Jeho implementace obsahuje Buchbergův algoritmus a Morův algoritmus pro vyjímečné případy. Dále poskytuje řadu výpočetních nástrojů, například k faktorizaci (rozklad na činitele) polynomů, výpočtu výslednic, charakteristických množin, nejvetších společných dělitelů a ke spoustě jiných výpočetních aplikací.

34

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Je založen na velice uživatelsky jednoduché interaktivní příkazové řádce a programovacím jazyku typu C, a jeho funkčnost je rozšířena díky knihovnám napsaným v programovacím jazyku Singular. Tyto knihovny jsou stále možné uživatelsky doplňovat. Díky velice obecné a efektivní implementaci komunikačních způsobů je tento balík schopný nabídnout své funkce přístupné i jiným programům. Další informace lze získat na [13].

Obrázek 12 : Pracovní prosředí programu Singular

7.9.2.

Historie

Vývoj tohoto softwaru začal v roce 1984 implementací algoritmu „Mora's Tangent Cone“ do Modula-2 na počítačích Atari (K.P. Neuendorf, G. Pfister, H. Schönemann; Humboldt-Universitätzu Berlin). Potřeba nového systému vyrostla z výzkumů matematických problémů vycházejících ze singulární teorie, které žádný dosavadní systém nebyl schopný řešit. V počátku devadesátých let minulého století se domov projektu Singular přestěhoval do Kaiserslauternu, byl napsán a implementován základní algoritmus, postavený na obecných bazích, v jazyce C a nakonec byl portován na různé operační systémy (Unix, MS-DOS, Windows NT a MacOS.

35

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Potřeba dalších rozšíření (jako například faktorizace polynomů, výpočet největších společných dělitelů, atd.) a upřesnění vedla v roce 1997 k vydání programu Singular verze 1.0 a v roce 1998 k vydání verze 1.2 (kde byly mnohem rychlejší algoritmy k počítání standartních a Gröbnerových bází založené na Hilbertových množinách a vylepšených implementací vlastního algoritmu, knihoven pro primární dekompozici, prstencových normalizací, atd.)

7.9.3.

Instalace MS Windows, Linux, Macintosh freeware cca 50 MB


Tabulka 9: Shrnutí programu Singular

Jak už jsem zde uvedl, tento software má multiplatformní podporu, proto jsem ho nejprve zkoušel na MS Windows Vista. Konkrétně v tomto případě jsem příliš neuspěl, poněvadž pro běh tohoto programu bylo zapotřebí emulátorů Cygwin, jehož instalace z neznámého důvodu na tento operační systém nebyla možná. Proto jsem tedy zkusil distribuci pro Linux, konkrétně jsem použil soubor RPM, díky kterému byla instalace velice jednoduchá. Na oficiálních stránkách tohoto softwaru uvádějí, že je zapotřebí alespoň 20 MB volného místa na disku, což je velice příjemné, ve skutečnosti je to ale více.

7.9.4.

Syntaxe

Samotné použití tohoto balíku už není tak jednoduché jako v případě některých jiných sofistikovanějších programů, ale na internetu existuje velice obsáhlá dokumentace se spousty příkladů, ze kterých jsem čerpal. Ve srovnání s jinými programy jsou tyto manuály a tutoriály velice užitečné a dostačující, což se o některých říct nedá. Nyní už konkrétní jednoduchý příklad. Opět jsem zvolil soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Nejprve je potřeba načíst speciální knihovnu pro řešení rovnic: LIB "solve.lib";

Následně vytvořit prstenec:

36


ring r=0,x(1..2),dp;

Následně je potřeba definovat rovnice (v proměnných x(1) a x(2)) a ideály: ideal i=f0,f1,f2,f3,f4; ideal si=std(i);

f0 až fn jsou polynomy. Po těchto krocích už můžeme aplikovat samotný výpočetní proces solve(): def T=solve(i,30,1,"nodisplay"); který vypočítá všechny řešení včetně jejich násobností, vytvoří prstenec, ve kterém je uložen seznam SOL všech možných (i komplexních) řešení. Pro přístup k těmto řešením stačí napsat: setring T; SOL[1][1];

Ke zjištění konkrétních číselných řešení stačí použít příkaz SOL, ale ten vrátí celý seznam, který vznikl po příkazu solve(), tj. obsahuje i násobnosti řešení.

7.10. OCTAVE 7.10.1. Popis programu Octave (viz [14]) je jazyk vysokého stupně, který byl primárně vynalezen pro numerické výpočty. Dále nabízí pohodlnou příkazovou řádku pro numerické řešení lineárních a nelineárních problémů. Také je v tomto programu možné provádět nejrůznější numerické experimenty s použitím jazyka, který je velice podobný a kompatibilní s jazykem Matlabu. Tento software má také spoustu doplňkových nástrojů pro řešení základních numerických problémů z lineární algebry, pro nalezení kořenů nelineárních rovnic, integraci obvyklých funkcí, práci s polynomy a v neposlední řadě také integraci běžných diferenciálních a diferenčně-algebraických rovnic. Tento program je také jednoduše rozšířitelný a upravitelný pomocí uživatelsky definovaných funkcí napsaných ve vlastním programovacím jazyku Octave, nebo přímo dynamicky načítaných modulů napsaných v jazyce C++, C, Fortran a mnohých dalších.

37


Obrázek 13: Pracovní prostředí programu Octave

Veliká výhoda této aplikace je její možnost volné distribuce. Tento produkt spadá pod licenci GNU GPL (General Public Licence), proto jí můžete distribuovat a upravovat při dodržení podmínek této licence. Octave byl původně napsán Johnem E. Eatonem, ke kterému se připojila spousta dalších. Poněvadž je toto software typu Open Source, může každý pomoci s jejím vývojem napsáním dalších rozšiřujících funkcí a podáváním zpráv o všech vzniklých problémech při užívání.

7.10.2. Historie Octave byl původně koncipovaný (asi v roce 1988) jako doprovodný software k výukové knize o návrhu chemických reaktorů, jejímiž autory jsou James B. Rawlings z Wisconsinko-Madisonské univerzity John G. Ekerdt z univerzity v Texasu. Původně si představovali nějaký velice specializovaný nástroj pro řešení problému plynoucích z návrhů chemických reaktorů. Později, když viděli omezení takového přístupu, tak se rozhodli postavit mnohem více flexibilní nástroj. Stále ale byli nějací lidé, kteří tvrdili, že by měli požívat programovací jazyk Fortran, protože to je jazyk inženýrů, ale pokaždé když se o to pokoušeli, studenti strávili spoustu času zjišťováním, proč jejich kód napsaný ve Fortranu spadl, nemajíce dostatek času na skutečné učení chemického inženýrství. Věřili, že s právě takovým interaktivním prostředím, které

38

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. nabízí Octave, bude většina studentů schopná pochytit základy velice rychle a začít s ním pracovat jistě během pár hodin. Vývoj na plný úvazek začal na jaře roku 1992. První testovací verze vyšla 4. ledna roku 1993 a verze 1.0 byla vydána 17 února roku 1994. Od té doby prošel tento software několika důležitými změnami, byl implementován do několika distribucí Linuxu (Debian, SuSE) a popsán v červencovém vydání měsíčníku Linux Journal. Samozřejmě, že je Octave v poslední době mnohem více než další pomůcka pro výuku bez dalšího možného využití za zdmi vyučovací třídy. I když jejich původní představy byly poněkud nejasné, věděli, že chtějí vytvořit něco, co umožní studentům řešit reálné problémy, něco co budou moci použít i na jiné věci než k návrhu chemických reaktorů. V dnešní době používá tento software tisíce lidí po celém světě k výuce, výzkumu ale i ke komerčnímu využití. I když si všichni myslí, že název Octave má něco společného s hudbou, tak je to vlastně jméno jednoho dřívějšího profesora jednoho z autorů, který napsal slavnou knihu zabývající se chemickými reakcemi a který byl také známý díky své schopnosti velice rychle počítat (v originále napsané – „back of the envelope calculations“ – výpočty na zadní straně obálky).

7.10.3. Instalace Operační systém: Licence: Velikost na disku:

MS Windows, Linux, Macintosh, Solaris freeware cca 80 MB (v závislosti na OS) Tabulka 10 : Shrnutí programu Octave

Jelikož je tento balík k dispozici pro různé operační systémy, opět jsem zvolil instalaci pro MS Windows. Instalace byla velice jednoduchá a na disku zabírá cca 80 MB. Problém tohoto programu, alespoň pod MS Windows, je ten, že do příkazové řádky nelze vložit obsah schránky, což pro takto komplikované rovnice je veliký problém. Proto jsem musel hledat alternativní řešení a to načtení příkazů z externího souboru.

7.10.4. Syntaxe Pro řešení soustavy je nejprve nutné vytvořit funkci, která bude obsahovat všechny rovnice:

39


function y = f (x) y(1) = … y(2) = … … endfunction Následně už stačí jen danou funkci vyřešit pomocí příkazu: [x, info] = fsolve ("f", [1; 1; …]) kde f je daná funkce a druhý argument jsou počáteční body.

8. Další nalezený software Samozřejmě, že na internetu je k dispozici celá řada dalších programů pro výpočet soustav polynomiálních rovnic. Snažil jsem se zde zahrnout všechny, které se mi podařilo nainstalovat a pomocí kterých jsem vypočítal alespoň jednoduchou soustavu. Problémy s instalací jsem měl zejména tehdy, pokud se jednalo o aplikaci určenou pro operační systém Linux, jelikož s tímto nemám příliš velké zkušenosti. Jednalo se zejména o knihovnu Synaps, kde bylo potřeba nainstalovat spoustu jiných podpůrných knihoven a balíků, zejména pak překladače Fortran. Toto se mi bohužel nepovedlo, i když následné použití vypadalo celkem jednoduše a bylo dobře zdokumentované. Pokud se mi povedlo program nainstalovat, stále jsem neměl vyhráno. Bylo nutné pročíst dokumentaci a naučit se řešit soustavy polynomiálních rovnic. To byl další problém. Některé aplikace, například Macaulay 2, neměly danou problematiku dostatečně zdokumentovanou. Konkrétně v tomto případě sice on-line manuál měl přímo kapitolu „řešení soustav polynomiálních rovnic“, avšak po kliknutí na odkaz se na stránce objevil pouze název kapitoly a prázdná stránka. Některé programy se mi podařily jednoduše nainstalovat a i když jsem po dlouhém hledání našel nějaký návod, jak počítat daný problém, tak se mi s ním nepodařilo vypočítat ani jednodušší soustavu polynomiálních rovnic. Toto se stalo například u programu CoCoA.

40


9. Testování na konkrétní úloze V této části práce si vyberu jednu ze složitějších soustav polynomiálních rovnic a pokusím se ji vypočítat ve všech zde uvedených programech a výsledky nějak zhodnotit. S největší pravděpodobností neuspěji u všech programů z důvodů jistých omezení a komplikací. Jako testovanou soustavu jsem si vybral soustavu pro sedmi-zdrojový vícehodinový konvertor, tudíž soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých. Tyto rovnice už byly upravené pomocí substituce za mocninné součty. Dle grafu závislosti spínacích úhlů na modulačním indexu (viz Obrázek 4) je vidět, že řešení závisí ještě na modulačním indexu, ten jsem pro mé výpočty zvolil 3. Výsledné rovnice, které jsem použil v tomto testu, jsou k nahlédnutí v příloze. Problémy se vyskytly i v syntaxi, protože některé programy si nebyly schopné poradit s proměnnou typu „p2“, a pro řešení bylo proto nutné rovnice upravit do správných syntaxí (například „a, b, c, d“ nebo „x(1), x(2), x(3), x(4)“). Konkrétní zdrojové kódy pro jednotlivé programy jsou opět přiloženy k této práci.

9.1.

Konfigurace použitého počítače Téměř všechny tyto programy jsem testoval na jednom počítači, až na Mathematicu a

Maple, které jsem musel testovat na školních počítačích, z důvodů omezené licence. Všechny ostatní jsem testoval na notebooku následující konfigurace: Procesor: Intel Core Duo T2080 s frekvencí 1,73 GHz 1 MB L2 cache FSB 533 MHz Operační paměť: 1 x 1 GB DDR2 533/667 MHz Operační systém: Microsoft Windows Vista Home Premium Mandriva Linux 2007.0

41


9.2.

Výsledky jednotlivých testů

9.2.1.

Mathematica

Tento software prokázal asi nejlepší výsledky, a to jak přesné, tak velice rychlé. Danou soustavu vyřešil za necelé 2 sekundy a řešení, včetně komplexních, našel 27. Tyto výsledky by se daly považovat za nejpřesnější, protože je všeobecně známo, že tento software dokáže počítat velice přesně. Tomu odpovídá i jeho cena.

9.2.2.

Matlab

Matlab si se svojí funkcí solve() nedokázal poradit s takto velkou rovnicí. Po několika pokusech a ověření správné syntaxe stále hlásil varování: Warning: Explicit solution could not be found.

a žádné řešení nenalezl. Při použití funkce solve() bez druhého volitelného parametru, což je seznam proměnných v dané soustavě, počítal velice dlouho, přibližně 30 sekund, než sdělil tuto varovnou hlášku. To bylo způsobeno tím, že se nejprve snažil v dané soustavě použitím příkazu findsym najít všechny proměnné. Při použití příkazu solve() s oběma parametry tuto hlášku sdělil již po necelé 1 sekundě. Každopádně mě tento program velice zklamal.

9.2.3.

Gloptipoly

Doufal jsem, že tento balík pomůže Matlabu vyřešit danou soustavu. Leč nestalo se tak. Po nadefinování všech polynomů a spuštění samotného počítacího algoritmu, se program pokoušel spočítat danou soustavu. Asi po 80 sekundách, po vytvoření LMI vztahů, jejich vypočítání a numerickém dosazení skončil program při extrahování samotných výsledků. Chybové hlášení bylo následující: Incomplete basis Impossible to detect global optimality

9.2.4.

Octave

V tomto programu, jak už bylo uvedeno, byl největší problém to (alespoň pod MS Windows), že nebylo možné vložit rovnice ze schránky, což při takto komplikované soustavě působilo značně nepoužitelně. Avšak bylo možné vytvořit soubor, který následně pomocí

42

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. jednoduchého příkazu zpracujeme. I po prolomení této bariéry však tento software nedosáhl uspokojujících výsledků. Nejen, že mu bylo nutné zadat nějaký počáteční bod, ale výsledek vypočítal pouze jeden po cca 26 sekundách s varovnou hláškou: iteration is not making good progress

Nikde v manuálu jsem se nedočetl jak získat všechna možná řešení. Zřejmě to ani nejde. Proto je tento produkt také nepoužitelný.

9.2.5.

PHCpack

Použití tohoto programu se zdálo být velice jednoduché. Při spouštění z příkazové řádky stačilo zadat parametr „–b“ pro použití „black box“ výpočtů, při kterém není nutné zadávat další možnosti, jméno vstupního souboru a jméno výstupního. Bohužel došlo k nečekaným komplikacím, a to, že tento program nezvládl přečíst rovnice použité v předchozích programech. Zdálo se, jako by nedokázal správně pracovat s proměnnými. Při zadání výrazu například ve tvaru „a / 11“ ho nedokázal správně interpretovat, bylo nutné výraz upravit do tvaru „( 1 / 11) * a“. Pro správné načtení rovnic bylo nutné tyto rovnice upravit v jiném programu. Použil jsem Mathematicu a její funkci Factor[]. Dále už tento program počítal dle očekávání. Výpočet probíhal necelých 5 minut a ve výsledku vrátil celkem 17 platných řešení, z toho 13 reálných a 4 komplexní. Vygenerovaný soubor je bohužel tak rozsáhlý, že nemůže být přiložen.

9.2.6.

Singular

Při řešení soustavy rovnic tímto programem jsem se nesetkal s žádnými většími komplikacemi. Definování jednotlivých rovnic proběhlo celkem svižně, v řádu desítek až stovek milisekund. Samotný numerický výpočet konkrétních řešení trval přibližně 11 minut, což je poměrně dlouhý čas, ale výsledky byly uspokojivé. Vrátil, stejně jako Mathematica, 27 řešení.

43


9.2.7.

MuPAD

Při opakovaných pokusech vypočítat danou soustavu tímto programem jsem nikdy nedospěl k pořádným výsledkům. V první řadě bylo zvláštní, že po definování rovnic a proměnných a následném zavolání funkce solve() nic nevypočítal a pouze přepsal příkaz. Po několika opětovných pokusech se dal do počítání. Ale i tak cca po 1 hodině a 15 minutách skončil neúspěšně, s varováním, že nemůže spočítat Gröbnerovy báze.

9.2.8.

Maple

Tato aplikace poskytla celkem rychlé algoritmy k výpočtu dané soustavy, avšak numerické řešení našla pouze jedno, což považuji za velké mínus. Jedno konkrétní řešení vypočítala za necelé dvě sekundy, ale když to porovnám například s Mathematicou, která za 2 sekundy nalezla všechna možná, tak je to velice slabé.

9.2.9.

Maxima

Tato aplikace mě velice zklamala. Po prvotních testech na jednoduché úloze jsem do ní vkládal velké naděje. Avšak ve finále to bylo horší. Po nadefinování všech rovnic a proměnných jsem zavolal funkci solve(). Čas k vykonání tohoto příkazu přerůstal přes normální meze. Po nastavení nejvyšší priority procesu Maxima a vypnutí všech ostatních nepotřebných procesů v systému jsem se stále nemohl dostat řešení, nebo alespoň varovnou hlášku. Po dvou různých pokusech, kdy jsem se pokusil rovnice nějak ještě upravit a kdy výpočet trval přes 4,5 hodiny, jsem se rozhodl proces ukončit. Závěr je tedy takový, že Maxima jednoduché soustavy počítat umí, ale i tak používá horší algoritmy než ostatní software. Se složitějšími soustavami si ale bohužel neporadí, respektive možná poradí, ale v nelidském čase.

9.2.10. Yacas S tímto programem, jak už zde bylo uvedeno, byly problémy zejména v zadávání komplikovaných rovnic. Naštěstí tento program lze spouštět s nepovinnými parametry, jako například jméno vstupního souboru pro zpracování. Dále bylo nutné vyřešit to, abych viděl výsledek procesu, poněvadž pokud se načte soubor pro zpracování, výsledek standardně nevypíše. To se mi podařilo odstranit použitím speciální funkce ToFile(), také zde bylo nutné zvýšit počítací hloubku. Avšak i po vyřešení všech těchto prvotních problémů, tento program

44

45

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. takto komplikovanou soustavu vyřešit neuměl a vrátil prázdnou množinu. A to vše asi po 5,5 minutách.

9.3.

Porovnání výsledků Vzhledem k tomu, že rozumné řešení se mi podařilo nalézt jen ve třech případech,

omezím se jen na tyto aplikace: Mathematica, PHCpack, Singular. software přibližná doba výpočtu počet nalezených řešení reálné komplexní

Mathematica

PHCpack

Singular

2 sec

5 min

11 min

27

17

27

17 10

13 4

17 10

Tabulka 11 : Porovnání dosažených výsledků

Je velice zajímavé, že Mathematica dokáže vypočítat všechna řešení ve velmi krátkém čase. Oproti tomu program Singular vypočital také všechna řešení, ale zabralo mu to poněkud delší dobu. Což ale u takto složité soustavy je stále celkem dobré. Vzhledem k tomu, že ostatním programům se to nepodařilo vůbec, můžeme ho označit jako velice schopný. Program PHCpack potřeboval poněkud kratší dobu k výpočtu, avšak nenašel všechna řešení. Tento nedostatek by se teoreticky mohl dát odstranit použitím různých nastavení v průběhu výpočtu. Já jsem však zvolil „black box solver“ a tomuto jsem se vyhnul. Pokud bychom se tedy nevázali časově a potřebovali bychom přesný výpočet, je asi vhodné použít program Singular. Na druhou stranu, pokud bychom chtěli rychlejší proces bez zbytečného zdržování s nastavováním parametrů výpočtu, pak by bylo vhodné sáhnout po programu PHCpack. Samozřejmě, že nikdy nemůžeme na sto procent tvrdit, že nalezená řešení jsou opravdu všechna, a to ani při použití programu Mathematica. Vždy existuje alespoň malé procento, kdy se může mýlit. Jelikož ale Singular nalezl stejný počet řešení, můžeme tvrdit, že jsou opravdu všechny. Je zřejmé, že jasným vítězem je program Mathematica, který ale bohužel nespadá do kategorie freeware. Jediná polehčující okolnost je ta, že Fakulta matematiky ČVUT disponuje multilicencí, kterou lze použít.

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. V příloze najdeme výstupy programů Mathematica a Singular. Vygenerovaný soubor aplikace PHCpack je natolik dlouhý, že nemůže být přiložen, avšak na doprovodném CD je samozřejmě k nahlédnutí

46


10. Závěr V této práci jsem se snažil sestavit ucelený přehled softwaru pro řešení soustav polynomiálních rovnic. Tato problematika je velice komplikovaná, speciálně pro tak složité rovnice, jako pro ty, které vedou k řešení spínacích úhlů vícehladinových konvertorů. Na internetu je k dispozici celá řada nástrojů, které umí tyto soustavy počítat, ne všechny jsou ale jednoduché k použití a ne všechny dokážou dané konkrétní soustavy skutečně řešit. Pokusil jsem se vybrat ty, které byly dostatečně zdokumentovány a které dokázaly vypočítat alespoň jednu z jednodušších rovnic. Nejprve jsem se zaměřil na některé známé výpočetní programy, které nejsou zcela zdarma, jako například Mathematica, Maple, atd. a v další části už skutečně pouze na freeware. Některé z nalezených programů počítaly velice svižně, další z nich zase počítaly poměrně dlouho s využitím téměř všech systémových prostředků. Několikrát i počítač přestal zcela reagovat a bylo ho nutné restartovat. Tyto rozdíly jsou zřejmě způsobeny různými použitými algoritmy k výpočtu. Při testování jsem se také musel naučit používanou syntaxi jednotlivých programů. Ta byla u všech téměř stejná, přesto však v jistých ohledech odlišná. Rozdíly byly zejména v přiřazování a závorkách. Tyto odchylky také nepatrně komplikovaly vytváření této práce. Nejlepších výsledků jsem dosáhl při použití freewarů Singular a PHCpack. Tyto prokazovaly celkem dobré vlastnosti. Zejména to byly jediné programy, které soustavu dopočítaly do konce a současně našly, údajně, všechny řešení. Program Singular, který byl sice o něco pomalejší, podle mého mínění, zvládl výpočet ze všech freewarů nejlépe. Pokud bych tedy měl doporučit nějaký program pro řešení soustav polynomiálních rovnic, asi bych volil nejprve Mathematicu (v případě dostupnosti nějaké licence), dále bych asi doporučil Singular a následně PHCpack, jehož použití bylo takřka nejjednodušší. V příloze této práce jsou vytištěné konkrétní pracovní soubory programů Mathematica a Singular.

47


11. Použité zdroje 11.1. Literatura [1]

M. Šebek, M. Hromčík, P. Kujan: Numerical and Symbolical Polynomial Methods, Odborná rozprava, 2006.

[2]

J. B. Lasserre. Global Optimization with Polynomials and the Problem of Moments. SIAM Journal on Optimization, Vol. 11, No. 3, pp. 796–817, 2001.

[3]

Pavel Kočička, Filip Blažek: Praktická typografie, Computer Press, Brno, ISBN 80722-6385-4, 2004.

11.2. Elektronické zdroje [4]

Math Software for Engineers, Educators & Students [online]. Maplesoft, 2007 [cit. 2007-05-04]. Dostupný z WWW: .

[5]

Wolfram Research, Inc. [online]. c2007 [cit. 2007-05-10]. Dostupný z WWW: .

[6]

The MathWorks - MATLAB and Simulink for Technical Computing [online]. c1994 [cit. 2007-06-10]. Dostupný z WWW: .

[7]

SciFace Software - Mathematics mastered with MuPAD Pro [online]. c2004 [cit. 200706-15]. Dostupný z WWW: .

[8]

GloptiPoly 2 [online]. [2006] , Last updated on 25 April 2007 [cit. 2007-06-27]. Dostupný z WWW: .

[9]

SeDuMi - Home [online]. [2006] [cit. 2007-06-27]. Dostupný z WWW: .

[10] Maxima - A GPL CAS based on DOE-MACSYMA [online]. [2003] [cit. 2007-08-05]. Dostupný z WWW: . [11] Yacas for EPOC [online]. 2004 , Last update : March 22nd 2004 [cit. 2007-08-06]. Dostupný z WWW: . [12] Distribution of the second public version of PHCpack [online]. [2004] [cit. 2007-08-10]. Dostupný z WWW: .

48

49

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. [13] SINGULAR

[online].

[2005]

[cit.

2007-08-11].

Dostupný

z

WWW:

[cit.

2007-08-16].

Dostupný

z

WWW:

. [14] Octave

[online].

c1998-2006

. [15] Wikipedie : Otevřená encyklopedie [online]. 12.8.2007 Dostupný z WWW: . [16] Wikipedia : The Free Encyclopedia [online]. 15.8.2007. Dostupný z WWW: . [17] FARKAŠOVÁ, Blanka, KRČÁL, Martin. CITACE : projekt Bibliografické citace [online]. verze 1.1. Brno : BB Group, c2004-2005 [cit. 2005-03-10]. Dostupný z WWW: .


12. Příloha A – seznam obrázků Obrázek 1: Obrázek 2: Obrázek 3: Obrázek 4 :

Jednofázová struktura vícehladinového kaskádního H-můstkového invertoru .... 9 Výstupní průběh 11-hladinového kaskádního invertoru..................................... 10 Výstupní průběh jednoho stejnosměrného zdroje............................................... 11 Závislost spínacích úhlů na modulačním indexu pro sedmizdrojový vícehladinový konvertor ..................................................................................... 14 Obrázek 5: Pracovní prostředí programu Maple 11 .............................................................. 15 Obrázek 6: Pracovní prostředí programu Mathematica......................................................... 18 Obrázek 7: Pracovní prostředí programu Matlab .................................................................. 21 Obrázek 8 : Pracovní prostředí programu MuPAD ................................................................ 23 Obrázek 9: Pracovní prostředí programu Maxima ................................................................ 28 Obrázek 10: Pracovní prostředí programu Yacas.................................................................... 30 Obrázek 11: Pracovní prostředí programu PHCpack .............................................................. 33 Obrázek 12: Pracovní prosředí programu Singular.................................................................. 35 Obrázek 13: Pracovní prostředí programu Octave ................................................................... 38

50


13. Příloha B – seznam tabulek Tabulka 1: Tabulka 2: Tabulka 3: Tabulka 4: Tabulka 5: Tabulka 6: Tabulka 7: Tabulka 8: Tabulka 9: Tabulka 10: Tabulka 11:

Shrnutí programu Maple 11 ................................................................................ 17 Shrnutí programu Mathematica 5.2 .................................................................... 19 Shrnutí programu MATLAB .............................................................................. 22 Shrnutí programu MuPAD.................................................................................. 24 Shrnutí balíku GloptiPoly ................................................................................... 26 Shrnutí programu Maxima .................................................................................. 29 Shrnutí programu Yacas...................................................................................... 31 Shrnutí progamu PHCpack ................................................................................. 33 Shrnutí programu Singular.................................................................................. 36 Shrnutí programu Octave .................................................................................... 39 Porovnání dosažených výsledků ......................................................................... 45

51


14. Příloha C – obsah přiloženého CD

dfd

freeware gloptipoly Gloptipoly.ZIP SeDuMi_1_1.zip maxima maxima-5.12.99rc2.exe maxima-5.12.99rc2-1.centos4.i386.rpm octave octave-2.9.13-setup.exe phcpack aix_phcv23p.tar.gz lin_phcv23p.tar.gz mac_phcv23p.tar.gz phc.exe sun_phcv23p.tar.gz singular Singular-3-0-3-Full.exe Singular-core-3.0.3-2.i386.rpm Singular-core-static-3.0.3-2.i386.rpm Singular-help-3.0.3-2.noarch.rpm Singular-libs-3.0.3-2.noarch.rpm Singular-release-3.0.3-2.noarch.rpm yacas yacas-1.1.7.tar.gz Yacas-Windows-Console-1.0.61.zip bp_2007_stefap1.pdf worksheets gloptipoly.txt maple.mw mathematica.nb matlab.mat maxima.wxm mupad.txt octave.txt phcpack.txt singular.txt yacas.txt

- složka s programy - složka Gloptipoly - archiv funkcí Gloptipoly - archiv podpurné knihovny SeDuMi - složka Maxima - instalace Maximy pro Windows - instalace Maximy pro Linux - složka Octave - instalace Octave pro Windows - složka PHCpack - instalace PHCpack pro Aix - instalace PHCpack pro Linux - instalace PHCpack pro MacOS - instalace PHCpack pro Windows - instalace PHCpack pro Sun - složka Singular - instalace Singular pro Windows - jádro Singularu pro Linux - jádro Singularu pro Linux (statické) - nápověda Singularu - knihovny Singularu - vydání Singularu - složka Yacas - zdrojové soubory Yacasu pro Linux - archiv souborů Yacasu pro Windows - vlastní bakalářská práce - složka výsledků testování - výstup programu Gloptipoly - výstup programu Maple - výstup programu Mathematica - výstup programu MATLAB - výstup programu Maxima - výstup programu MuPAD - výstup programu Octave - výstup programu PHCpack - výstup programu Singular - výstup programu Yacas

52


15. Příloha D – výstup programu Singular A Computer Algebra System for Polynomial Computations

/ version 3-0-3 0< by: G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Schoenemann \ May 2007 FB Mathematik der Universitaet, D-67653 Kaiserslautern \ > LIB "solve.lib"; // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/solve.lib (1.36,2007/05/07) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/triang.lib (1.11,2006/12/06) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/elim.lib (1.21,2006/08/03) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/poly.lib (1.46,2007/07/25) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/ring.lib (1.31,2006/12/15) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/primdec.lib (1.135,2007/04/20) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/absfact.lib (1.6,2007/07/13) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/matrix.lib (1.37,2007/04/20) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/random.lib (1.17,2006/07/20) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/inout.lib (1.28,2006/07/20) // ** loaded /usr/share/Singular/LIB/general.lib (1.54,2007/01/08) > ring r=0,x(0..3),dp; > poly f0= (2/945)*(15787710 - 882090*x(0) - 9098001*x(0)^2 + 4083156*x(0)^3 498960*x(0)^4 - 34763256*x(1) + 27667332*x(0)*x(1) - 6237000*x(0)^2*x(1) + 194040*x(0)^3*x(1) + 18480*x(0)^4*x(1) + 543312*x(1)^2 - 665280*x(0)*x(1)^2 + 221760*x(0)^2*x(1)^2 + 591360*x(1)^3 - 49280*x(0)*x(1)^3 + 13013946*x(2) 13471920*x(0)*x(2) + 2993760*x(0)^2*x(2) + 997920*x(1)*x(2) + 498960*x(0)*x(1)*x(2) - 110880*x(0)^2*x(1)*x(2) - 443520*x(1)^2*x(2) + 10611216*x(3) - 3991680*x(0)*x(3) 1774080*x(1)*x(3) + 147840*x(0)*x(1)*x(3)); > poly f1= (1/4725)*(-300562569 + 583821108*x(0) + 154864710*x(0)^2 273007800*x(0)^3 + 75724740*x(0)^4 - 5896800*x(0)^5 + 355210596*x(1) 1425214440*x(0)*x(1) + 699950160*x(0)^2*x(1) - 89107200*x(0)^3*x(1) 764400*x(0)^4*x(1) + 218400*x(0)^5*x(1) + 174975840*x(1)^2 44291520*x(0)*x(1)^2 - 36691200*x(0)^2*x(1)^2 + 5241600*x(0)^3*x(1)^2 873600*x(1)^3 + 15142400*x(0)*x(1)^3 - 582400*x(0)^2*x(1)^3 - 228943260*x(2) + 517233600*x(0)*x(2) - 258869520*x(0)^2*x(2) + 23587200*x(0)^3*x(2) + 179262720*x(1)*x(2) - 94348800*x(0)*x(1)*x(2) + 34070400*x(0)^2*x(1)*x(2) 873600*x(0)^3*x(1)*x(2) + 41932800*x(1)^2*x(2) - 10483200*x(0)*x(1)^2*x(2) 1164800*x(1)^3*x(2) - 130319280*x(2)^2 + 70761600*x(0)*x(2)^2 19656000*x(1)*x(2)^2 - 2620800*x(0)*x(1)*x(2)^2 187405920*x(3) + 345159360*x(0)*x(3) - 47174400*x(0)^2*x(3) + 2620800*x(1)*x(3) 45427200*x(0)*x(1)*x(3) + 1747200*x(0)^2*x(1)*x(3) - 94348800*x(2)*x(3) + 3494400*x(1)*x(2)*x(3)); > poly f1= (1/4725)*(-300562569 + 583821108*x(0) + 154864710*x(0)^2 273007800*x(0)^3 + 75724740*x(0)^4 - 5896800*x(0)^5 + 355210596*x(1) 1425214440*x(0)*x(1) + 699950160*x(0)^2*x(1) - 89107200*x(0)^3*x(1) 764400*x(0)^4*x(1) + 218400*x(0)^5*x(1) + 174975840*x(1)^2 44291520*x(0)*x(1)^2 - 36691200*x(0)^2*x(1)^2 + 5241600*x(0)^3*x(1)^2 873600*x(1)^3 + 15142400*x(0)*x(1)^3 - 582400*x(0)^2*x(1)^3 - 228943260*x(2) + 517233600*x(0)*x(2) - 258869520*x(0)^2*x(2) + 23587200*x(0)^3*x(2) + 179262720*x(1)*x(2) - 94348800*x(0)*x(1)*x(2) + 34070400*x(0)^2*x(1)*x(2) 873600*x(0)^3*x(1)*x(2) + 41932800*x(1)^2*x(2) - 10483200*x(0)*x(1)^2*x(2) 1164800*x(1)^3*x(2) - 130319280*x(2)^2 + 70761600*x(0)*x(2)^2 19656000*x(1)*x(2)^2 - 2620800*x(0)*x(1)*x(2)^2 187405920*x(3) + 345159360*x(0)*x(3) - 47174400*x(0)^2*x(3) + 2620800*x(1)*x(3) 45427200*x(0)*x(1)*x(3) + 1747200*x(0)^2*x(1)*x(3) - 94348800*x(2)*x(3) + 3494400*x(1)*x(2)*x(3)); // ** redefining f1 ** > poly f2 = (1/99225)*(397439280099 + 329991732324*x(0) - 421931821878*x(0)^2 3560261040*x(0)^3 + 98622970740*x(0)^4 32785709040*x(0)^5 + 3761394840*x(0)^6 - 107956800*x(0)^7 - 1636694532864*x(1) + 316557175032*x(0)*x(1) + 871137117144*x(0)^2*x(1) 494439573600*x(0)^3*x(1) + 92959201440*x(0)^4*x(1) 5229907200*x(0)^5*x(1) - 101959200*x(0)^6*x(1) + 3998400*x(0)^7*x(1) + 1332486106560*x(1)^2 1433315701440*x(0)*x(1)^2 + 494466819840*x(0)^2*x(1)^2 56780478720*x(0)^3*x(1)^2 - 143942400*x(0)^4*x(1)^2 + 191923200*x(0)^5*x(1)^2 + 291492956160*x(1)^3 132506976000*x(0)*x(1)^3 + 9484204800*x(0)^2*x(1)^3 + 511795200*x(0)^3*x(1)^3 - 10662400*x(0)^4*x(1)^3 + 14343060480*x(1)^4 + 480942801612*x(2) 174127532544*x(0)*x(2) - 266556906000*x(0)^2*x(2) + 155667536640*x(0)^3*x(2) - 24511591440*x(0)^4*x(2) + 647740800*x(0)^5*x(2) 670698121968*x(1)*x(2) + 871525992960*x(0)*x(1)*x(2) -

53

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. 295161088320*x(0)^2*x(1)*x(2) + 25453814400*x(0)^3*x(1)*x(2) + 683726400*x(0)^4*x(1)*x(2) - 23990400*x(0)^5*x(1)*x(2) 309735256320*x(1)^2*x(2) + 151888020480*x(0)*x(1)^2*x(2) 8636544000*x(0)^2*x(1)^2*x(2) - 383846400*x(0)^3*x(1)^2*x(2) 25941619200*x(1)^3*x(2) + 767692800*x(0)*x(1)^3*x(2) + 64739379600*x(2)^2 87565302720*x(0)*x(2)^2 + 33131941920*x(0)^2*x(2)^2 - 1295481600*x(0)^3*x(2)^2 + 95520176640*x(1)*x(2)^2 60311865600*x(0)*x(1)*x(2)^2 + 2806876800*x(0)^2*x(1)*x(2)^2 + 47980800*x(0)^3*x(1)*x(2)^2 + 15545779200*x(1)^2*x(2)^2 - 127948800*x(1)^3*x(2)^2 14315071680*x(2)^3 + 7772889600*x(0)*x(2)^3 - 2159136000*x(1)*x(2)^3 - 287884800*x(0)*x(1)*x(2)^3 + 570067424640*x(3) + 145448654400*x(0)*x(3) 275740174080*x(0)^2*x(3) + 69725698560*x(0)^3*x(3) - 4318272000*x(0)^4*x(3) - 1115167011840*x(1)*x(3) + 589079473920*x(0)*x(1)*x(3) - 71635334400*x(0)^2*x(1)*x(3) 191923200*x(0)^3*x(1)*x(3) + 159936000*x(0)^4*x(1)*x(3) - 82296668160*x(1)^2*x(3) 4606156800*x(0)*x(1)^2*x(3) + 1535385600*x(0)^2*x(1)^2*x(3) + 4094361600*x(1)^3*x(3) - 341196800*x(0)*x(1)^3*x(3) + 312408472320*x(2)*x(3) 224722874880*x(0)*x(2)*x(3) + 20727705600*x(0)^2*x(2)*x(3) + 84734092800*x(1)*x(2)*x(3) + 1151539200*x(0)*x(1)*x(2)*x(3) 767692800*x(0)^2*x(1)*x(2)*x(3) - 3070771200*x(1)^2*x(2)*x(3) 10363852800*x(2)^2*x(3) + 383846400*x(1)*x(2)^2*x(3) + 202555745280*x(3)^2 27636940800*x(0)*x(3)^2 - 12283084800*x(1)*x(3)^2 + 1023590400*x(0)*x(1)*x(3)^2); > poly f3 = (1/1488375)*(-31260501486963 + 19188051308244*x(0) + 41732561289078*x(0)^2 - 28455463927800*x(0)^3 - 2271003773220*x(0)^4 + 5919328270800*x(0)^5 1703105724600*x(0)^6 + 174410560800*x(0)^7 3619728000*x(0)^8 + 104257636328700*x(1) - 161054917560360*x(0)*x(1) + 1606903265520*x(0)^2*x(1) + 66688737937920*x(0)^3*x(1) 30842436819600*x(0)^4*x(1) + 5239234526400*x(0)^5*x(1) - 278920152000*x(0)^6*x(1) 3954888000*x(0)^7*x(1) + 134064000*x(0)^8*x(1) - 62986064732640*x(1)^2 + 159790227750720*x(0)*x(1)^2 - 115727564937600*x(0)^2*x(1)^2 + 33037452806400*x(0)^3*x(1)^2 3491267875200*x(0)^4*x(1)^2 + 17696448000*x(0)^5*x(1)^2 + 8043840000*x(0)^6*x(1)^2 - 10964215866240*x(1)^3 + 19834148275200*x(0)*x(1)^3 6206251564800*x(0)^2*x(1)^3 + 111541248000*x(0)^3*x(1)^3 + 58273152000*x(0)^4*x(1)^3 - 1072512000*x(0)^5*x(1)^3 + 2210385945600*x(1)^4 933514444800*x(0)*x(1)^4 + 308883456000*x(0)^2*x(1)^4 17160192000*x(0)^3*x(1)^4 + 274563072000*x(1)^5 - 45760512000*x(0)*x(1)^5 + 1906688000*x(0)^2*x(1)^5 26965270240956*x(2) + 65207817581760*x(0)*x(2) 12895583505840*x(0)^2*x(2) - 24324003345600*x(0)^3*x(2) + 12543171958800*x(0)^4*x(2) 1908320601600*x(0)^5*x(2) + 50676192000*x(0)^6*x(2) + 17687097610560*x(1)*x(2) - 102603589522560*x(0)*x(1)*x(2) + 92464641763200*x(0)^2*x(1)*x(2) 26591406710400*x(0)^3*x(1)*x(2) + 2116334304000*x(0)^4*x(1)*x(2) + 40621392000*x(0)^5*x(1)*x(2) 1876896000*x(0)^6*x(1)*x(2) + 14997601785600*x(1)^2*x(2) 24906486528000*x(0)*x(1)^2*x(2) + 7958575296000*x(0)^2*x(1)^2*x(2) + 90091008000*x(0)^3*x(1)^2*x(2) - 54698112000*x(0)^4*x(1)^2*x(2) 1622817907200*x(1)^3*x(2) + 688552704000*x(0)*x(1)^3*x(2) 302448384000*x(0)^2*x(1)^3*x(2) + 7150080000*x(0)^3*x(1)^3*x(2) 411844608000*x(1)^4*x(2) + 34320384000*x(0)*x(1)^4*x(2) + 3434876247600*x(2)^2 + 15034850510400*x(0)*x(2)^2 - 18526465994400*x(0)^2*x(2)^2 + 5540355676800*x(0)^3*x(2)^2 - 217183680000*x(0)^4*x(2)^2 10085441284800*x(1)*x(2)^2 + 11662280985600*x(0)*x(1)*x(2)^2 3221557920000*x(0)^2*x(1)*x(2)^2 - 115026912000*x(0)^3*x(1)*x(2)^2 + 8043840000*x(0)^4*x(1)*x(2)^2 568538611200*x(1)^2*x(2)^2 173746944000*x(0)*x(1)^2*x(2)^2 + 96526080000*x(0)^2*x(1)^2*x(2)^2 + 223082496000*x(1)^3*x(2)^2 - 4290048000*x(0)*x(1)^3*x(2)^2 + 3052826884800*x(2)^3 - 2215273536000*x(0)*x(2)^3 + 260620416000*x(0)^2*x(2)^3 + 376451712000*x(1)*x(2)^3 + 82047168000*x(0)*x(1)*x(2)^3 9652608000*x(0)^2*x(1)*x(2)^3 - 38610432000*x(1)^2*x(2)^3 - 45016824837600*x(3) + 36226041324480*x(0)*x(3) + 23086832025600*x(0)^2*x(3) 19134778521600*x(0)^3*x(3) + 3688985462400*x(0)^4*x(3) - 144789120000*x(0)^5*x(3) + 75597205703040*x(1)*x(3) - 111863568499200*x(0)*x(1)*x(3) + 39138268780800*x(0)^2*x(1)*x(3) - 3294756864000*x(0)^3*x(1)*x(3) 66495744000*x(0)^4*x(1)*x(3) + 5362560000*x(0)^5*x(1)*x(3) 176872550400*x(1)^2*x(3) 1341069004800*x(0)*x(1)^2*x(3) 1132572672000*x(0)^2*x(1)^2*x(3) + 102961152000*x(0)^3*x(1)^2*x(3) 1655958528000*x(1)^3*x(3) + 423284736000*x(0)*x(1)^3*x(3) 17160192000*x(0)^2*x(1)^3*x(3) - 19698352934400*x(2)*x(3) + 41941271232000*x(0)*x(2)*x(3) - 17777208153600*x(0)^2*x(2)*x(3) + 810819072000*x(0)^3*x(2)*x(3) 1896093964800*x(1)*x(2)*x(3) + 1177618176000*x(0)*x(1)*x(2)*x(3) + 778643712000*x(0)^2*x(1)*x(2)*x(3) -

54

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. 30030336000*x(0)^3*x(1)*x(2)*x(3) + 1647378432000*x(1)^2*x(2)*x(3) 205922304000*x(0)*x(1)^2*x(2)*x(3) - 11440128000*x(1)^3*x(2)*x(3) + 1033794316800*x(2)^2*x(3) + 347493888000*x(0)*x(2)^2*x(3) 398974464000*x(1)*x(2)^2*x(3) 12870144000*x(0)*x(1)*x(2)^2*x(3) 16047874483200*x(3)^2 + 14509800345600*x(0)*x(3)^2 - 926650368000*x(0)^2*x(3)^2 + 2496807936000*x(1)*x(3)^2 858009600000*x(0)*x(1)*x(3)^2 + 34320384000*x(0)^2*x(1)*x(3)^2 - 926650368000*x(2)*x(3)^2 + 34320384000*x(1)*x(2)*x(3)^2);(1/1488375)*(-31260501486963 + 19188051308244*x(0) + 41732561289078*x(0)^2 - 28455463927800*x(0)^3 - 2271003773220*x(0)^4 + 5919328270800*x(0)^5 1703105724600*x(0)^6 + 174410560800*x(0)^7 3619728000*x(0)^8 + 104257636328700*x(1) - 161054917560360*x(0)*x(1) + 1606903265520*x(0)^2*x(1) + 66688737937920*x(0)^3*x(1) 30842436819600*x(0)^4*x(1) + 5239234526400*x(0)^5*x(1) - 278920152000*x(0)^6*x(1) 3954888000*x(0)^7*x(1) + 134064000*x(0)^8*x(1) - 62986064732640*x(1)^2 + 159790227750720*x(0)*x(1)^2 - 115727564937600*x(0)^2*x(1)^2 + 33037452806400*x(0)^3*x(1)^2 3491267875200*x(0)^4*x(1)^2 + 17696448000*x(0)^5*x(1)^2 + 8043840000*x(0)^6*x(1)^2 - 10964215866240*x(1)^3 + 19834148275200*x(0)*x(1)^3 6206251564800*x(0)^2*x(1)^3 + 111541248000*x(0)^3*x(1)^3 + 58273152000*x(0)^4*x(1)^3 - 1072512000*x(0)^5*x(1)^3 + 2210385945600*x(1)^4 933514444800*x(0)*x(1)^4 + 308883456000*x(0)^2*x(1)^4 17160192000*x(0)^3*x(1)^4 + 274563072000*x(1)^5 - 45760512000*x(0)*x(1)^5 + 1906688000*x(0)^2*x(1)^5 26965270240956*x(2) + 65207817581760*x(0)*x(2) 12895583505840*x(0)^2*x(2) - 24324003345600*x(0)^3*x(2) + 12543171958800*x(0)^4*x(2) 1908320601600*x(0)^5*x(2) + 50676192000*x(0)^6*x(2) + 17687097610560*x(1)*x(2) - 102603589522560*x(0)*x(1)*x(2) + 92464641763200*x(0)^2*x(1)*x(2) 26591406710400*x(0)^3*x(1)*x(2) + 2116334304000*x(0)^4*x(1)*x(2) + 40621392000*x(0)^5*x(1)*x(2) 1876896000*x(0)^6*x(1)*x(2) + 14997601785600*x(1)^2*x(2) 24906486528000*x(0)*x(1)^2*x(2) + 7958575296000*x(0)^2*x(1)^2*x(2) + 90091008000*x(0)^3*x(1)^2*x(2) - 54698112000*x(0)^4*x(1)^2*x(2) 1622817907200*x(1)^3*x(2) + 688552704000*x(0)*x(1)^3*x(2) 302448384000*x(0)^2*x(1)^3*x(2) + 7150080000*x(0)^3*x(1)^3*x(2) 411844608000*x(1)^4*x(2) + 34320384000*x(0)*x(1)^4*x(2) + 3434876247600*x(2)^2 + 15034850510400*x(0)*x(2)^2 - 18526465994400*x(0)^2*x(2)^2 + 5540355676800*x(0)^3*x(2)^2 - 217183680000*x(0)^4*x(2)^2 10085441284800*x(1)*x(2)^2 + 11662280985600*x(0)*x(1)*x(2)^2 3221557920000*x(0)^2*x(1)*x(2)^2 - 115026912000*x(0)^3*x(1)*x(2)^2 + 8043840000*x(0)^4*x(1)*x(2)^2 568538611200*x(1)^2*x(2)^2 173746944000*x(0)*x(1)^2*x(2)^2 + 96526080000*x(0)^2*x(1)^2*x(2)^2 + 223082496000*x(1)^3*x(2)^2 - 4290048000*x(0)*x(1)^3*x(2)^2 + 3052826884800*x(2)^3 - 2215273536000*x(0)*x(2)^3 + 260620416000*x(0)^2*x(2)^3 + 376451712000*x(1)*x(2)^3 + 82047168000*x(0)*x(1)*x(2)^3 9652608000*x(0)^2*x(1)*x(2)^3 - 38610432000*x(1)^2*x(2)^3 - 45016824837600*x(3) + 36226041324480*x(0)*x(3) + 23086832025600*x(0)^2*x(3) 19134778521600*x(0)^3*x(3) + 3688985462400*x(0)^4*x(3) - 144789120000*x(0)^5*x(3) + 75597205703040*x(1)*x(3) - 111863568499200*x(0)*x(1)*x(3) + 39138268780800*x(0)^2*x(1)*x(3) - 3294756864000*x(0)^3*x(1)*x(3) 66495744000*x(0)^4*x(1)*x(3) + 5362560000*x(0)^5*x(1)*x(3) 176872550400*x(1)^2*x(3) 1341069004800*x(0)*x(1)^2*x(3) 1132572672000*x(0)^2*x(1)^2*x(3) + 102961152000*x(0)^3*x(1)^2*x(3) 1655958528000*x(1)^3*x(3) + 423284736000*x(0)*x(1)^3*x(3) 17160192000*x(0)^2*x(1)^3*x(3) - 19698352934400*x(2)*x(3) + 41941271232000*x(0)*x(2)*x(3) - 17777208153600*x(0)^2*x(2)*x(3) + 810819072000*x(0)^3*x(2)*x(3) 1896093964800*x(1)*x(2)*x(3) + 1177618176000*x(0)*x(1)*x(2)*x(3) + 778643712000*x(0)^2*x(1)*x(2)*x(3) 30030336000*x(0)^3*x(1)*x(2)*x(3) + 1647378432000*x(1)^2*x(2)*x(3) 205922304000*x(0)*x(1)^2*x(2)*x(3) - 11440128000*x(1)^3*x(2)*x(3) + 1033794316800*x(2)^2*x(3) + 347493888000*x(0)*x(2)^2*x(3) 398974464000*x(1)*x(2)^2*x(3) 12870144000*x(0)*x(1)*x(2)^2*x(3) 16047874483200*x(3)^2 + 14509800345600*x(0)*x(3)^2 - 926650368000*x(0)^2*x(3)^2 + 2496807936000*x(1)*x(3)^2 858009600000*x(0)*x(1)*x(3)^2 + 34320384000*x(0)^2*x(1)*x(3)^2 - 926650368000*x(2)*x(3)^2 + 34320384000*x(1)*x(2)*x(3)^2); > ideal i=f0,f1,f2,f3; ? error occurred in STDIN line 8: `ideal i=f0,f1,f2,f3;` ? wrong type declaration. type 'help ideal;' ? last reserved name was `ideal` skipping text from `=` > ideal i=f0,f1,f2,f3;

55

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. > def T=solve(i,30,1,"nodisplay"); // // // //

'solve' created a ring, in which a list SOL of numbers (the complex solutions) is stored. To access the list of complex solutions, type (if the name R was assigned to the return value): setring R; SOL; > setring T; > SOL[1][1]; [1]: [1]: (7.698615916767120194660454111212-i*0.994193183436608704326453171971) [2]: (1.990398350845398948768472013229-i*0.0477873235164922583101041131845) [3]: (15.478868227524130180450562302607-i*5.164908972728780581045771308146) [4]: (35.588106358113085622278931533913-i*20.267200020113126002258171197882) [2]: [1]: (7.698615916767120194660454111212+i*0.994193183436608704326453171971) [2]: (1.990398350845398948768472013229+i*0.0477873235164922583101041131845) [3]: (15.478868227524130180450562302607+i*5.164908972728780581045771308146) [4]: (35.588106358113085622278931533913+i*20.267200020113126002258171197882) [3]: [1]: (4.065319175185908185249932929259-i*0.0846515321857021094912690177266) [2]: (3.333937408666841664775484425362-i*0.114603163763464490185687107768) [3]: (3.501144319711064596142252269491-i*0.132807994115193528796549504798) [4]: (3.205163235350038812594326141053-i*0.149346269093064077609829376722) [4]: [1]: (4.065319175185908185249932929259+i*0.0846515321857021094912690177266) [2]: (3.333937408666841664775484425362+i*0.114603163763464490185687107768) [3]: (3.501144319711064596142252269491+i*0.132807994115193528796549504798) [4]: (3.205163235350038812594326141053+i*0.149346269093064077609829376722) [5]: [1]: (4.043924118140284624834401586992-i*0.164600917315115697241872897572) [2]: (2.7988978367908390238814665148-i*0.0157392057832198142624268359755) [3]: (3.000880703810882867126138351088-i*0.0728016243272696622339232125464) [4]: (2.553964252881083179342816825411-i*0.029891843472506231993148561191) [6]: [1]: (4.043924118140284624834401586992+i*0.164600917315115697241872897572) [2]: (2.7988978367908390238814665148+i*0.0157392057832198142624268359755) [3]: (3.000880703810882867126138351088+i*0.0728016243272696622339232125464) [4]: (2.553964252881083179342816825411+i*0.029891843472506231993148561191) [7]: [1]: (3.546387087168182443112181341289+i*0.0254977629575712265525735993217) [2]: (2.735934681184063464300730420054-i*0.020211373982733070853230490978) [3]:

56

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. (2.780913720337302227255031099019-i*0.0282628210181947097565902586204) [4]: (2.426248424263885443096373357794-i*0.0292489614814461445117113795491) [8]: [1]: (3.546387087168182443112181341289-i*0.0254977629575712265525735993217) [2]: (2.735934681184063464300730420054+i*0.020211373982733070853230490978) [3]: (2.780913720337302227255031099019+i*0.0282628210181947097565902586204) [4]: (2.426248424263885443096373357794+i*0.0292489614814461445117113795491) [9]: [1]: (3.074690766359377076310071570754-i*0.285142194651457744131264281589) [2]: (2.635988970097541882455615620044-i*0.00908320259224591069983744290384) [3]: (2.4685803896595785781221802079-i*0.0382279498979238471790196156004) [4]: (2.242915961685472279391541163131-i*0.00941572360801553154349099547189) [10]: [1]: (3.074690766359377076310071570754+i*0.285142194651457744131264281589) [2]: (2.635988970097541882455615620044+i*0.00908320259224591069983744290384) [3]: (2.4685803896595785781221802079+i*0.0382279498979238471790196156004) [4]: (2.242915961685472279391541163131+i*0.00941572360801553154349099547189) [11]: [1]: 0.233120330250717764514117127227e+41 [2]: -0.212672263142184072124657333684e+41 [3]: 0.981740358831002474672964451894e+40 [4]: 12248.235250569537731035592857834123 [12]: [1]: 3.853266573064781836150861409443 [2]: 2.869867176071562056529149441141 [3]: 2.957130016015273172948942479216 [4]: 2.588450064418545975402315501117 [13]: [1]: 3.930754648895702914249122440767 [2]: 1.340430792264410509828534664881 [3]: 2.957153015303767214447408316426 [4]: 2.542925564232708641889624529976 [14]: [1]: 3.41039955592299986520618025002 [2]: 2.6398202272445790961478356458 [3]: 2.670787392912306521506906510255 [4]: 2.302508899108472548137588089622 [15]: [1]: 3.73167193752493452142817171431

57

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. [2]: 2.549763348868191616957754887345 [3]: 2.749958302873247660000442170547 [4]: 2.288522960325859584108280557229 [16]: [1]: 2.9207965284882338457477523484 [2]: 2.485522534748737466303986088862 [3]: 2.33226623515625304792362208 [4]: 2.053236699581373070597056724432 [17]: [1]: 3.084988698191359985370407129483 [2]: 2.229323163660080519299642053393 [3]: 2.169323182646356288665617929437 [4]: 1.761599446866555688345714554414 [18]: [1]: 3.366944336826192289587960740618 [2]: 2.06969906127709463622298530375 [3]: 2.263182841362302537917074897169 [4]: 1.718302777985232767497037511312 [19]: [1]: 3.560384528322684234531187097126 [2]: 1.46210376752949515871811506659 [3]: 2.315148581268398323302212580469 [4]: 1.651562920303631593056700259456 [20]: [1]: 2.784202441310058554824077214809 [2]: 2.172252588137002058011812130936 [3]: 1.9889360510048801391690519267 [4]: 1.651544060280237721801656306224 [21]: [1]: 2.946919857952606942333702806048 [2]: 2.053444097360025404919231858642 [3]: 1.96196944953647847751994990125 [4]: 1.531563735956620298262471557717 [22]: [1]: 3.273227605113326328775752842984 [2]: 1.894487287250927194748541848839 [3]: 2.096258809485016939610519522278 [4]: 1.516115502635101359724868608

58

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic. [23]: [1]: 2.670745551893832740349664653566 [2]: 2.002294539400708399249067021922 [3]: 1.796587965794341011952905044247 [4]: 1.431688832728137404271230506244 [24]: [1]: 2.461052545707877802625767739086 [2]: 1.956329557569852804088369512568 [3]: 1.698087924671812827818995787022 [4]: 1.3680867901290842424788947345 [25]: [1]: 2.328502190843818239919237565868 [2]: 1.785027357710131653731338328223 [3]: 1.4996337616506270474063744372 [4]: 1.145598369794868101735680833675 [26]: [1]: 2.026195449153659853757670396036 [2]: 1.4821929391588846753708245942 [3]: 1.1428133371217784094470388681 [4]: 0.753363202972735639047037950724 [27]: [1]: 1.904413901905022925823872216375 [2]: 1.312163827080700659272418956114 [3]: 0.94631935764543300192415806693 [4]: 0.532558348226846717566204153596 >

59


16. Příloha E – výstup programu Mathematica

60

Mathematica_results.nb

1

In[1]:= F1 = −858 ∗ 3 + 792 ∗ 3 ^ 3 + H506 ∗ 3 ^ 5L ê 3 − H88 ∗ 3 ^ 7L ê 9 − H176 ∗ 3 ^ 9L ê 315 +

H32 ∗ 3 ^ 11L ê 945 + 792 ∗ 3 ∗ p2 − 572 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 − H88 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2L ê 3 + H528 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2L ê 35 − H704 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2L ê 945 − 286 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 + 88 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 − H528 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2L ê 5 + H704 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2L ê 315 + H88 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3L ê 3 + 176 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 + H704 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3L ê 45 − H352 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4L ê 9 + 2376 ∗ p3 − H7832 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3L ê 3 − H6688 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3L ê 9 − H176 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3L ê 9 + H352 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3L ê 105 − 2376 ∗ p2 ∗ p3 + H6688 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3L ê 3 + H1936 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3L ê 3 − H704 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3L ê 45 + 1056 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 − 880 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 − H704 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 9 − H880 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 3 + H704 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 9 + H352 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 9 + H5984 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 9 − H2816 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 9 + H1408 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 2L ê 45 − H1408 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 3 + H1408 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2L ê 9 + H2816 ∗ p3 ^ 3L ê 9 + H2816 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H2816 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + 220 ∗ 3 ∗ p4 + H1056 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4L ê 5 − H704 ∗ 3 ^ 7 ∗ p4L ê 63 − 1056 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 + H704 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 3 − 1056 ∗ p3 ∗ p4 + 1056 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 − H704 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 + 1056 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 − H704 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 − H2816 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 − H352 ∗ 3 ∗ p6L ê 3 + 1408 ∗ 3 ^ 3 ∗ p6 − H2816 ∗ 3 ^ 5 ∗ p6L ê 45 − H2816 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p6L ê 9 − H2816 ∗ p3 ∗ p6L ê 3 − H2816 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 + H2816 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9;

In[2]:= F2 = 3471 ∗ 3 − 4472 ∗ 3 ^ 3 − 754 ∗ 3 ^ 5 + H5512 ∗ 3 ^ 7L ê 45 + H52 ∗ 3 ^ 9L ê 35 −

H416 ∗ 3 ^ 11L ê 945 + H32 ∗ 3 ^ 13L ê 4725 − 4680 ∗ 3 ∗ p2 + 4524 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 + 312 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 − H33904 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2L ê 315 + H9152 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2L ê 945 − H416 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2L ê 4725 + 2314 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 − 1352 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 + H1768 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2L ê 3 − H9152 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2L ê 315 − H832 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 2L ê 945 − H1352 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3L ê 3 − H2704 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3L ê 3 − H9152 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3L ê 45 + H832 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 3L ê 105 + H52 ∗ 3 ∗ p2 ^ 4L ê 3 + H4576 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4L ê 9 + H416 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 4L ê 45 − H416 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 5L ê 9 − 9828 ∗ p3 + 15704 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 + H32240 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3L ê 9 − H9568 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3L ê 45 − H2288 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3L ê 63 + H416 ∗ 3 ^ 10 ∗ p3L ê 525 + 14040 ∗ p2 ∗ p3 − 17472 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 − H39104 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3L ê 9 + H832 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3L ê 3 − H416 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ∗ p3L ê 315 − 8112 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 + H25376 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 3 + H10400 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 9 − H832 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 45 + H8320 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 3 − H14144 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 9 − H832 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 9 − H5200 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 9 + H416 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 9 + H416 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3L ê 9 − H61984 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 9 + H15808 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 9 − H6656 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 2L ê 45 + H6656 ∗ 3 ^ 7 ∗ p3 ^ 2L ê 315 + H55744 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 9 − H3328 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 9 − H3328 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 45 − H23296 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2L ê 9 + H3328 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 9 − H11648 ∗ p3 ^ 3L ê 9 − H26624 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + H3328 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + H26624 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + H6656 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H3328 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − 52 ∗ 3 ∗ p4 − 416 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 − H3952 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4L ê 3 + H9152 ∗ 3 ^ 7 ∗ p4L ê 63 − H1664 ∗ 3 ^ 9 ∗ p4L ê 945 − 416 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p4 + 6240 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 − H1664 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p4L ê 63 + 208 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 − H9152 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 3 + H1664 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 15 + H1664 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 9 + 2496 ∗ p3 ∗ p4 − H14144 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 + H11648 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 − H1664 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ∗ p4L ê 45 − 4992 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 − H1664 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 + H6656 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 + H1664 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 − H1664 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 + H26624 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 − H6656 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 − H6656 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 27 − 208 ∗ 3 ∗ p4 ^ 2 − H1664 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4 ^ 2L ê 15 + H1664 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2L ê 3 + 832 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 − H1664 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 − H1664 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 + H2912 ∗ 3 ∗ p6L ê 3 − H24128 ∗ 3 ^ 3 ∗ p6L ê 3 + H36608 ∗ 3 ^ 5 ∗ p6L ê 45 − H3328 ∗ 3 ^ 7 ∗ p6L ê 315 − H832 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p6L ê 3 + H36608 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p6L ê 9 − H6656 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p6L ê 45 − H3328 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6L ê 9 + H11648 ∗ p3 ∗ p6L ê 3 + H26624 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 − H3328 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 − H26624 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 − H6656 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 + H3328 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 − H6656 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 + H6656 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9; In[3]:= F3 = 27863 ∗ 3 − 58820 ∗ 3 ^ 3 − 2278 ∗ 3 ^ 5 + H61744 ∗ 3 ^ 7L ê 15 − H16388 ∗ 3 ^ 9L ê 315 −

H8704 ∗ 3 ^ 11L ê 675 + H3944 ∗ 3 ^ 13L ê 14175 − H1088 ∗ 3 ^ 15L ê 99225 + H64 ∗ 3 ^ 17L ê 99225 − 67320 ∗ 3 ∗ p2 + 103428 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 + 3264 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 − H1211216 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2L ê 315 +


2

H387872 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2L ê 945 + H19856 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2L ê 4725 − H1088 ∗ 3 ^ 15 ∗ p2L ê 33075 + 55726 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 − 61744 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 + H23800 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2L ê 3 − H85952 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2L ê 105 − H44200 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 2L ê 189 + H1088 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ^ 2L ê 315 + H1088 ∗ 3 ^ 13 ∗ p2 ^ 2L ê 1575 − 21216 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 + H4624 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3L ê 3 − H31552 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3L ê 5 + H173536 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 3L ê 135 − H20672 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ^ 3L ê 2835 + H10268 ∗ 3 ∗ p2 ^ 4L ê 3 + H136000 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4L ê 9 + H11288 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 4L ê 15 − H1088 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 4L ê 7 + H105536 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 4L ê 2835 − H544 ∗ 3 ∗ p2 ^ 5L ê 3 − H48688 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 5L ê 9 − H79424 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 5L ê 945 + H136 ∗ 3 ∗ p2 ^ 6L ê 9 + H5440 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 6L ê 9 + H11968 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 6L ê 135 − H1088 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 7L ê 27 − 80784 ∗ p3 + 228072 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 + H38488 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3L ê 3 − H54400 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3L ê 3 − H409088 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3L ê 315 + H69632 ∗ 3 ^ 10 ∗ p3L ê 2835 + H544 ∗ 3 ^ 12 ∗ p3L ê 2835 + H14144 ∗ 3 ^ 14 ∗ p3L ê 99225 + 201960 ∗ p2 ∗ p3 − 411536 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 − H464032 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3L ê 9 + H106624 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3L ê 5 + H4352 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ∗ p3L ê 21 − H18496 ∗ 3 ^ 10 ∗ p2 ∗ p3L ê 315 − H1088 ∗ 3 ^ 12 ∗ p2 ∗ p3L ê 225 − 184008 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 + H885632 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 3 + H103360 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 3 − H237184 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 45 + H25568 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 45 + H96832 ∗ 3 ^ 10 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 1575 + H274720 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 3 − 104448 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 − H302464 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 27 − H36992 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 27 − H64192 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 189 − H266560 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 9 + 15232 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 + H28832 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 9 + H105536 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 135 + H54400 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3L ê 9 − H1088 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3L ê 3 − H18496 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3L ê 27 − H5984 ∗ p2 ^ 6 ∗ p3L ê 9 − H1088 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 6 ∗ p3L ê 27 + H1088 ∗ p2 ^ 7 ∗ p3L ê 27 − 158848 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 + H170816 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 3 + H56576 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 2L ê 5 + H330752 ∗ 3 ^ 7 ∗ p3 ^ 2L ê 135 + H126208 ∗ 3 ^ 9 ∗ p3 ^ 2L ê 945 + H8704 ∗ 3 ^ 11 ∗ p3 ^ 2L ê 945 + H2227136 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 9 − H517888 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 9 − H187136 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 9 − H765952 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 315 − H17408 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 105 − 161024 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 + H226304 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2L ê 9 + H461312 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2L ê 45 + H330752 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2L ê 315 + H1492736 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 27 − H174080 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 27 − H34816 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 15 − H82688 ∗ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ^ 2L ê 9 + H8704 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ^ 2L ê 9 + H17408 ∗ 3 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3 ^ 2L ê 27 − H95744 ∗ p3 ^ 3L ê 9 − H761600 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + H1118464 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ^ 3L ê 81 + H121856 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ^ 3L ê 81 + H60928 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3 ^ 3L ê 405 + H526592 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + H635392 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H69632 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 9 − H34816 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H239360 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H17408 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 3 + H17408 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 9 + H34816 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + H34816 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 3L ê 81 − H8704 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ^ 3L ê 81 + H17408 ∗ 3 ∗ p3 ^ 4L ê 81 − H69632 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 4L ê 81 + H278528 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 4L ê 405 + 44132 ∗ 3 ∗ p4 − 47328 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 − 25840 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4 + H1921408 ∗ 3 ^ 7 ∗ p4L ê 315 − H16048 ∗ 3 ^ 9 ∗ p4L ê 945 − H2176 ∗ 3 ^ 13 ∗ p4L ê 4725 − 49504 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p4 + 121312 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 − H1088 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p4L ê 3 − H209984 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p4L ê 45 + H8704 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ∗ p4L ê 63 + H23936 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ∗ p4L ê 1575 + 24752 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 − H324224 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 3 + H227936 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 15 − H56576 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 315 − H11968 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 3 + H201280 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 9 − H8704 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 3 + H726784 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 945 − H272 ∗ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p4L ê 3 − H15232 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 4 ∗ p4L ê 15 + H2176 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 5 ∗ p4L ê 9 − 98736 ∗ p3 ∗ p4 + 77248 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 + H634304 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 − H298112 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ∗ p4L ê 45 − H242624 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3 ∗ p4L ê 315 − H28288 ∗ 3 ^ 10 ∗ p3 ∗ p4L ê 525 + 58752 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 − H315520 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 − H263296 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 + H134912 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 15 + H263296 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 315 + H14144 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 + H232832 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 − H23936 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 − H187136 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 45 − H41344 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 − H47872 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 + H134912 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4L ê 27 + H1088 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 + H2176 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 − H2176 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 + H239360 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 − H95744 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 − H226304 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 45 − H34816 ∗ 3 ^ 7 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 45 − H295936 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 +


3

H34816 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 3 + H243712 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 45 + H17408 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 3 − H34816 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 − H34816 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 27 − H478720 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 27 − H34816 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 9 − H69632 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 27 + H69632 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 9 − 8432 ∗ 3 ∗ p4 ^ 2 − 2176 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 ^ 2 − H66912 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4 ^ 2L ê 5 + H21760 ∗ 3 ^ 7 ∗ p4 ^ 2L ê 21 + H82688 ∗ 3 ^ 9 ∗ p4 ^ 2L ê 945 − 2176 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2 + H194752 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2L ê 3 − H126208 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2L ê 105 + 1632 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ^ 2 − 21760 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ^ 2 + H56576 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ^ 2L ê 15 − H4352 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4 ^ 2L ê 9 + 50048 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 − 56576 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 + H23936 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 + H47872 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 45 − H178432 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 + 4352 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 − H21760 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 + 15232 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 + H4352 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 + H4352 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 9 + 17408 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ^ 2 + H34816 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ^ 2L ê 9 − H34816 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4 ^ 2L ê 27 − 1088 ∗ 3 ∗ p4 ^ 3 − H8704 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4 ^ 3L ê 15 + H8704 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 ^ 3L ê 3 + 4352 ∗ p3 ∗ p4 ^ 3 − H8704 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 3L ê 3 − H8704 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 3L ê 3 − 14144 ∗ 3 ∗ p6 − H260032 ∗ 3 ^ 3 ∗ p6L ê 3 + H530944 ∗ 3 ^ 5 ∗ p6L ê 15 + H4352 ∗ 3 ^ 7 ∗ p6L ê 135 − H8704 ∗ 3 ^ 11 ∗ p6L ê 2835 + H31552 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p6L ê 3 + H1048832 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p6L ê 9 − H322048 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p6L ê 15 + H17408 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p6L ê 21 + H34816 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ∗ p6L ê 405 − H17408 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6L ê 3 − H369920 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6L ê 9 − H713728 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6L ê 945 + H8704 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p6L ê 9 + H87040 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p6L ê 9 + H243712 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3 ∗ p6L ê 135 − H43520 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p6L ê 27 + H330752 ∗ p3 ∗ p6L ê 3 − H4352 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 3 − H1779968 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 − H139264 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 − H322048 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3 ∗ p6L ê 945 − H1231616 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 + H8704 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 3 + H400384 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 + H452608 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 135 + H552704 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 − H34816 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 3 − H226304 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 − H121856 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 + H34816 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 + H43520 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 + H557056 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 − H139264 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 − H139264 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 45 − H139264 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 9 + H139264 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 + H278528 ∗ p3 ^ 3 ∗ p6L ê 27 + H278528 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p6L ê 81 − H278528 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p6L ê 81 + H47872 ∗ 3 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 − H765952 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 + H34816 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 + H1114112 ∗ 3 ^ 7 ∗ p4 ∗ p6L ê 945 − H8704 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 − H139264 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p4 ∗ p6L ê 15 + H69632 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 + H165376 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 + H139264 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 + H139264 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 27 + H34816 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 − H69632 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 − H278528 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ∗ p6L ê 27 − H34816 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 ^ 2 ∗ p6L ê 9 + H34816 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 ∗ p6L ê 9 − H17408 ∗ 3 ∗ p6 ^ 2L ê 9 + H348160 ∗ 3 ^ 3 ∗ p6 ^ 2L ê 9 + H557056 ∗ 3 ^ 5 ∗ p6 ^ 2L ê 135 − H278528 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p6 ^ 2L ê 27 − H278528 ∗ p3 ∗ p6 ^ 2L ê 9 − H278528 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6 ^ 2L ê 27 + H278528 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6 ^ 2L ê 27; In[4]:= F4 = −63973 ∗ 3 + 204136 ∗ 3 ^ 3 − 31958 ∗ 3 ^ 5 − 26144 ∗ 3 ^ 7 + H7220 ∗ 3 ^ 9L ê 21 +

H1133312 ∗ 3 ^ 11L ê 4725 + H19304 ∗ 3 ^ 13L ê 14175 − H608 ∗ 3 ^ 15L ê 675 − H1216 ∗ 3 ^ 17L ê 99225 + H2176 ∗ 3 ^ 19L ê 1488375 + 195624 ∗ 3 ∗ p2 − 416252 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 + H108680 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2L ê 3 + H8034416 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2L ê 315 − H412832 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2L ê 135 − H587632 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2L ê 4725 + H372704 ∗ 3 ^ 13 ∗ p2L ê 14175 + H20672 ∗ 3 ^ 15 ∗ p2L ê 33075 − H111872 ∗ 3 ^ 17 ∗ p2L ê 1488375 − 201058 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 + 305216 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 − H659528 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2L ê 15 + H32832 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2L ê 5 + H2519096 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 2L ê 945 − H134368 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ^ 2L ê 675 − H20672 ∗ 3 ^ 13 ∗ p2 ^ 2L ê 1575 + H2120704 ∗ 3 ^ 15 ∗ p2 ^ 2L ê 1488375 + 96824 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 − H165680 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3L ê 3 + H263872 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3L ê 15 − H1777184 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 3L ê 135 + H11552 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 3L ê 189 + H392768 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ^ 3L ê 2835 − H4864 ∗ 3 ^ 13 ∗ p2 ^ 3L ê 405 − H71060 ∗ 3 ∗ p2 ^ 4L ê 3 − H475456 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4L ê 9 + H37544 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 4L ê 9 + H2492192 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 4L ê 945 − H2005184 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 4L ê 2835 + H63232 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ^ 4L ê 1575 + H10336 ∗ 3 ∗ p2 ^ 5L ê 3 + H272080 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 5L ê 9 − 1824 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 5 + H1509056 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 5L ê 945 + H4864 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 5L ê 945 − H5624 ∗ 3 ∗ p2 ^ 6L ê 9 − 5472 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 6 − H227392 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 6L ê 135 − H252928 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 6L ê 945 + H608 ∗ 3 ∗ p2 ^ 7L ê 9 +


4

H20672 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 7L ê 27 + H53504 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 7L ê 135 − H2432 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 8L ê 27 + 186732 ∗ p3 − 884488 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 + H535952 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3L ê 3 + H6914176 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3L ê 45 + H3031792 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3L ê 315 − H16863488 ∗ 3 ^ 10 ∗ p3L ê 14175 − H179968 ∗ 3 ^ 12 ∗ p3L ê 1575 + H1216 ∗ 3 ^ 14 ∗ p3L ê 945 + H89984 ∗ 3 ^ 16 ∗ p3L ê 297675 − 586872 ∗ p2 ∗ p3 + H5413024 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3L ê 3 − H1202624 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3L ê 9 − H9085952 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3L ê 45 − H114304 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ∗ p3L ê 63 + H24366208 ∗ 3 ^ 10 ∗ p2 ∗ p3L ê 14175 − H37696 ∗ 3 ^ 12 ∗ p2 ∗ p3L ê 2835 − H3010816 ∗ 3 ^ 14 ∗ p2 ∗ p3L ê 297675 + 652080 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 − H4474880 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 3 + 38304 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 + H2701952 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 45 − H194560 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 21 − H13376 ∗ 3 ^ 10 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 27 + H651776 ∗ 3 ^ 12 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3L ê 6075 − H1153984 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 3 + 622592 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 + H1111424 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 27 + H3263744 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 135 + H1173440 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 189 − H5306624 ∗ 3 ^ 10 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3L ê 14175 + H1351888 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 9 − H1096832 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 9 − H1308416 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 27 − H2678848 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 135 − H199424 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3L ê 945 − H369664 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3L ê 9 + H17024 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3L ê 3 + H548416 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3L ê 27 + H345344 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3L ê 135 + H68096 ∗ p2 ^ 6 ∗ p3L ê 9 + H27968 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 6 ∗ p3L ê 27 − H68096 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 6 ∗ p3L ê 27 − H27968 ∗ p2 ^ 7 ∗ p3L ê 27 − H4864 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 7 ∗ p3L ê 27 + H2432 ∗ p2 ^ 8 ∗ p3L ê 27 + H2399776 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 3 − H4218304 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 9 − H2434432 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 2L ê 15 − H3346432 ∗ 3 ^ 7 ∗ p3 ^ 2L ê 135 − H469376 ∗ 3 ^ 9 ∗ p3 ^ 2L ê 945 + H19456 ∗ 3 ^ 11 ∗ p3 ^ 2L ê 81 + H768512 ∗ 3 ^ 13 ∗ p3 ^ 2L ê 42525 − H13386944 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 9 + H2033152 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 3 + H4703488 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 15 + H34271744 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 945 − H1177088 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 2835 − H12918784 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2L ê 42525 + 1189248 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 − 466944 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 − H9343744 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2L ê 45 − H6148096 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2L ê 315 + H301568 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2L ê 243 − H14421760 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 27 + H4893184 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 27 + H9202688 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 135 + H1011712 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2L ê 945 + H3806080 ∗ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ^ 2L ê 27 − H1070080 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ^ 2L ê 27 − H943616 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ^ 2L ê 135 − H593408 ∗ 3 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3 ^ 2L ê 27 + H77824 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3 ^ 2L ê 27 + H48640 ∗ 3 ∗ p2 ^ 6 ∗ p3 ^ 2L ê 27 + H1009280 ∗ p3 ^ 3L ê 9 + H2937856 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H13624064 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ^ 3L ê 81 − H2957312 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ^ 3L ê 135 + H2607104 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3 ^ 3L ê 2835 + H10875904 ∗ 3 ^ 10 ∗ p3 ^ 3L ê 42525 − H4795904 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H3453440 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + H11517952 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 81 + H311296 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 15 − H15545344 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3L ê 8505 + H2913536 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + H1595392 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H428032 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 9 − H1595392 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3L ê 1215 − H894976 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H1478656 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 3L ê 81 + H272384 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 3L ê 81 + H544768 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ^ 3L ê 81 + H97280 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ^ 3L ê 27 − H19456 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3 ^ 3L ê 27 + H3716096 ∗ 3 ∗ p3 ^ 4L ê 81 + H155648 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 4L ê 9 − H311296 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 4L ê 45 + H9961472 ∗ 3 ^ 7 ∗ p3 ^ 4L ê 8505 − H4046848 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 4L ê 81 − H1245184 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 4L ê 81 − H311296 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p3 ^ 4L ê 1215 + H622592 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 4L ê 27 + H1245184 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 4L ê 243 − H311296 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 4L ê 81 + H311296 ∗ p3 ^ 5L ê 27 + H622592 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 5L ê 81 + H311296 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ^ 5L ê 243 − H622592 ∗ p2 ∗ p3 ^ 5L ê 81 − H622592 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ^ 5L ê 243 + H311296 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 5L ê 243 − 206492 ∗ 3 ∗ p4 + 244720 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 + H1419376 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4L ê 15 − H1847104 ∗ 3 ^ 7 ∗ p4L ê 45 − H953648 ∗ 3 ^ 9 ∗ p4L ê 945 + H1704832 ∗ 3 ^ 11 ∗ p4L ê 4725 + H41344 ∗ 3 ^ 13 ∗ p4L ê 4725 − H530176 ∗ 3 ^ 15 ∗ p4L ê 496125 + 276640 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p4 − 532000 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 + H187264 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p4L ê 3 + H2019776 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p4L ê 45 − H294272 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ∗ p4L ê 105 − H454784 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ∗ p4L ê 1575 + H447488 ∗ 3 ^ 13 ∗ p2 ∗ p4L ê 14175 − 138320 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 + H1457984 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 3 − H415264 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 3 − H165376 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 45 + H1074944 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 315 − H1250048 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4L ê 4725 + H63232 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 3 − H1212352 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 9 + H340480 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 9 − H13808896 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 945 + H1439744 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4L ê 2835 +


5

4560 ∗ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p4 + H2432 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p4L ê 3 + H289408 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 4 ∗ p4L ê 15 + H228608 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 4 ∗ p4L ê 135 − H2432 ∗ 3 ∗ p2 ^ 5 ∗ p4L ê 3 − H41344 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 5 ∗ p4L ê 9 − H214016 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 5 ∗ p4L ê 45 + H34048 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 6 ∗ p4L ê 27 + 521664 ∗ p3 ∗ p4 − H1578368 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 − H3584768 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 + H3339136 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ∗ p4L ê 45 + H552064 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3 ∗ p4L ê 45 − H396416 ∗ 3 ^ 10 ∗ p3 ∗ p4L ê 945 − H1639168 ∗ 3 ^ 12 ∗ p3 ∗ p4L ê 14175 − 569088 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 + H2380928 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 + H435328 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 − H6148096 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 45 − H201856 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 21 + H19981312 ∗ 3 ^ 10 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4L ê 14175 + H442624 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 − H1651328 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 + H2018560 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 + H1405696 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 15 − H938752 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4L ê 315 + H99712 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 + H1439744 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 − H3847424 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4L ê 27 − H1439744 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4L ê 135 − H46208 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4L ê 3 − 17024 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4 + H530176 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4L ê 27 + H70528 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 + H19456 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3 ∗ p4L ê 9 − H34048 ∗ p2 ^ 6 ∗ p3 ∗ p4L ê 27 − H1454336 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 + H807424 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 3 + H3336704 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 45 + H2023424 ∗ 3 ^ 7 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 315 − H1381376 ∗ 3 ^ 9 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 945 + H3054592 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 − H2315264 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 − H311296 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 3 + H1245184 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 189 − H1819136 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 9 + H311296 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 3 + H38912 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 3 + H1945600 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 27 − H155648 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 27 − H330752 ∗ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4L ê 27 + H1099264 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 27 + H38912 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 27 + H972800 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 27 − H2256896 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 405 − H38912 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 9 + H389120 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 9 + H77824 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 81 − H194560 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 9 − H544768 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 27 + H389120 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4L ê 81 − H622592 ∗ 3 ∗ p3 ^ 4 ∗ p4L ê 27 − H622592 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 4 ∗ p4L ê 81 + H622592 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 4 ∗ p4L ê 81 − 7600 ∗ 3 ∗ p4 ^ 2 + 41344 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 ^ 2 + H234080 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4 ^ 2L ê 3 − H566656 ∗ 3 ^ 7 ∗ p4 ^ 2L ê 63 − H1571072 ∗ 3 ^ 9 ∗ p4 ^ 2L ê 945 + H184832 ∗ 3 ^ 11 ∗ p4 ^ 2L ê 945 + 41344 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2 − H1088320 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2L ê 3 − 2432 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2 + H2397952 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2L ê 105 − H1420288 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2L ê 945 − 28576 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ^ 2 + 192128 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ^ 2 − H1074944 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ^ 2L ê 15 − H19456 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ^ 2L ê 315 + 2432 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4 ^ 2 + H82688 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4 ^ 2L ê 9 + H214016 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4 ^ 2L ê 15 − H48640 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p4 ^ 2L ê 9 − 115520 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 + H588544 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 − H719872 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 9 − H958208 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 45 + H651776 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 315 + H734464 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 − 29184 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 + H442624 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 − H252928 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 45 − 77824 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 − H53504 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 − H214016 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 9 − H170240 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 9 − H19456 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 3 + H48640 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2L ê 9 − H515584 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ^ 2L ê 9 − 77824 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ^ 2 + H38912 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ^ 2L ê 5 − 38912 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ^ 2 + H194560 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ^ 2L ê 9 + H544768 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4 ^ 2L ê 27 + H389120 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4 ^ 2L ê 27 − H77824 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4 ^ 2L ê 27 + 15808 ∗ 3 ∗ p4 ^ 3 + H165376 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4 ^ 3L ê 15 − H19456 ∗ 3 ^ 7 ∗ p4 ^ 3L ê 63 − H165376 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 ^ 3L ê 3 + H19456 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ^ 3L ê 3 − 68096 ∗ p3 ∗ p4 ^ 3 + H165376 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 3L ê 3 − H19456 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4 ^ 3L ê 9 + H165376 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 3L ê 3 − H19456 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 3L ê 3 − H77824 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ^ 3L ê 9 + 165984 ∗ 3 ∗ p6 + H509504 ∗ 3 ^ 3 ∗ p6L ê 3 − H3827968 ∗ 3 ^ 5 ∗ p6L ê 15 − H1113856 ∗ 3 ^ 7 ∗ p6L ê 135 + H435328 ∗ 3 ^ 9 ∗ p6L ê 189 + H165376 ∗ 3 ^ 11 ∗ p6L ê 2835 − H19456 ∗ 3 ^ 13 ∗ p6L ê 2835 − H614080 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p6L ê 3 − H3147008 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p6L ê 9 + H1858048 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p6L ê 9 − H5846528 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p6L ê 945 − H661504 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ∗ p6L ê 405 + H797696 ∗ 3 ^ 11 ∗ p2 ∗ p6L ê 4725 + H330752 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6L ê 3 + H1716992 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6L ê 9 −


H53504 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6L ê 3 + H13560832 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6L ê 945 − H38912 ∗ 3 ^ 9 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6L ê 45 − H243200 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p6L ê 9 − H243200 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p6L ê 3 − H4630528 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 3 ∗ p6L ê 135 − H194560 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ^ 3 ∗ p6L ê 189 + H17024 ∗ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p6L ê 9 + H826880 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 4 ∗ p6L ê 27 + H914432 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 4 ∗ p6L ê 135 − H97280 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 5 ∗ p6L ê 27 − H1928576 ∗ p3 ∗ p6L ê 3 + 301568 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6 + H18507520 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 + H9766912 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ∗ p6L ê 135 − H369664 ∗ 3 ^ 8 ∗ p3 ∗ p6L ê 135 − H369664 ∗ 3 ^ 10 ∗ p3 ∗ p6L ê 525 + H8735744 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 − H3317248 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 − H17821696 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 − H9261056 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 135 + H4416512 ∗ 3 ^ 8 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6L ê 945 − H5189888 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 + 233472 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6 + H6225920 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 + H1128448 ∗ 3 ^ 6 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6L ê 135 + H1673216 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p6L ê 9 − H1245184 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 − H661504 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 − H1031168 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 − H19456 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 4 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 + H97280 ∗ p2 ^ 5 ∗ p3 ∗ p6L ê 27 − H9494528 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 + H856064 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 + H6848512 ∗ 3 ^ 5 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 135 − H5292032 ∗ 3 ^ 7 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 945 + H9261056 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 + H311296 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 − H1245184 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 135 − H4046848 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 − H311296 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 + H622592 ∗ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p6L ê 27 − H2957312 ∗ p3 ^ 3 ∗ p6L ê 27 − H6225920 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p6L ê 81 − H311296 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ^ 3 ∗ p6L ê 81 + H6225920 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p6L ê 81 + H622592 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p6L ê 27 − H311296 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ^ 3 ∗ p6L ê 27 − H252928 ∗ 3 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 + H3930112 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 − H924160 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 − H21168128 ∗ 3 ^ 7 ∗ p4 ∗ p6L ê 945 + H1011712 ∗ 3 ^ 9 ∗ p4 ∗ p6L ê 405 + 29184 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p4 ∗ p6 + H19456 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 + H2646016 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p4 ∗ p6L ê 15 − H6459392 ∗ 3 ^ 7 ∗ p2 ∗ p4 ∗ p6L ê 945 + H9728 ∗ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 − H1323008 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 − H1478656 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ^ 2 ∗ p4 ∗ p6L ê 45 + H544768 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 3 ∗ p4 ∗ p6L ê 27 − H398848 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 − H2607104 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 − H2762752 ∗ 3 ^ 4 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 27 + H1789952 ∗ 3 ^ 6 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 135 − H428032 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 − H77824 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 3 + H389120 ∗ 3 ^ 4 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 27 + H1206272 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 + H389120 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 9 − H544768 ∗ p2 ^ 3 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6L ê 27 + H4358144 ∗ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ∗ p6L ê 27 + H622592 ∗ 3 ^ 3 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ∗ p6L ê 27 − H1245184 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p3 ^ 2 ∗ p4 ∗ p6L ê 27 − H622592 ∗ p3 ^ 3 ∗ p4 ∗ p6L ê 81 − 9728 ∗ 3 ∗ p4 ^ 2 ∗ p6 + H661504 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 ^ 2 ∗ p6L ê 9 − H77824 ∗ 3 ^ 5 ∗ p4 ^ 2 ∗ p6L ê 15 + H77824 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p4 ^ 2 ∗ p6L ê 9 − H311296 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 ∗ p6L ê 9 − H77824 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 ∗ p6L ê 3 − H77824 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p4 ^ 2 ∗ p6L ê 9 + H252928 ∗ 3 ∗ p6 ^ 2L ê 9 − H1011712 ∗ 3 ^ 3 ∗ p6 ^ 2L ê 3 − H10584064 ∗ 3 ^ 5 ∗ p6 ^ 2L ê 135 + H2490368 ∗ 3 ^ 7 ∗ p6 ^ 2L ê 315 − H77824 ∗ 3 ∗ p2 ∗ p6 ^ 2L ê 9 + H5292032 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ∗ p6 ^ 2L ê 27 + H2490368 ∗ 3 ^ 5 ∗ p2 ∗ p6 ^ 2L ê 135 − H622592 ∗ 3 ^ 3 ∗ p2 ^ 2 ∗ p6 ^ 2L ê 27 + H2023424 ∗ p3 ∗ p6 ^ 2L ê 9 + H4358144 ∗ 3 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6 ^ 2L ê 27 − H4358144 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6 ^ 2L ê 27 − H1245184 ∗ 3 ^ 2 ∗ p2 ∗ p3 ∗ p6 ^ 2L ê 27 + H622592 ∗ p2 ^ 2 ∗ p3 ∗ p6 ^ 2L ê 27 − H622592 ∗ 3 ^ 3 ∗ p4 ∗ p6 ^ 2L ê 27 + H622592 ∗ p3 ∗ p4 ∗ p6 ^ 2L ê 27; In[5]:= Sys = 8F1, F2, F3, F4<

233892 13068 p2 673926 p22 43208 p23 2575056 p3 7 7 35 5 35 3 4 1232 p2 292776 p2 p3 p3 352 p2 p3 17248 p32 − 13200 p22 p3 + + + − 5 3 9 15 1408 p22 p32 11264 p33 2816 p2 p33 963996 p4 2 1408 p2 p3 + + − + − 3 9 27 35 704 28512 p2 p4 + 6336 p22 p4 + 2112 p3 p4 + 1056 p2 p3 p4 − p22 p3 p4 − 3

Out[5]= 9 − − + − 1056 p24 − +

6


2816 p32 p4 112288 p6 11264 p3 p6 2816 p2 p3 p6 + − 8448 p2 p6 − + , 3 5 3 9 11131947 21623004 p2 163878 p22 404456 p23 80132 p24 − + + − + − 1248 p25 + 175 175 5 7 5 13155948 p3 10557144 p2 p3 740688 p22 p3 56576 p23 p3 1456 p24 p3 − + − − + 175 35 5 3 9 5 2 2 2 2 3 416 p2 p3 3888352 p3 140608 p2 p3 23296 p2 p3 3328 p2 p32 + − − + − 9 105 15 3 3 1664 p33 86528 p2 p33 3328 p22 p33 242268 p4 766272 p2 p4 273936 p22 p4 + − − + − + 9 27 27 5 7 5 189696 p3 p4 21632 1664 3 2 3 4992 p2 p4 + − 19968 p2 p3 p4 + p2 p3 p4 − p2 p3 p4 + 5 3 9 2 26624 p3 p4 6656 6656 p33 p4 137904 p42 2 − p2 p3 p4 − − + 14976 p2 p42 − 3 3 27 5 1664 1388192 p6 365248 p2 p6 4160 p3 p42 − p2 p3 p42 − + − 9984 p22 p6 + 3 35 5 1664 p3 p6 86528 p2 p3 p6 3328 6656 p3 p4 p6 − + p22 p3 p6 − 19968 p4 p6 + , 3 9 9 9 2 3 4906657779 4073972004 p2 744147834 p2 1255824 p2 34787644 p24 + − − + − 1225 1225 175 35 35 5 6 11564624 p2 568616 p2 20206105344 p3 558301896 p2 p3 + − 1088 p27 − + + 35 15 1225 175 2 3 4 5 1536397032 p2 p3 104643296 p2 p3 42158368 p2 p3 474368 p2 p3 − + − − 175 21 45 9 9248 p26 p3 1088 p27 p3 470012736 p32 1516736192 p2 p32 174415104 p22 p32 + + − + − 9 27 35 105 35 25750784 p23 p32 4352 p24 p32 17408 p25 p32 132196352 p33 36056320 p2 p33 − + + − + 45 3 9 45 27 2580736 p22 p33 139264 p23 p33 8704 p24 p33 19514368 p34 848223636 p4 + − + + − 27 27 81 135 175 307103232 p2 p4 18804720 p22 p4 54909184 p23 p4 1235152 p24 p4 − + − + 175 7 35 5 1182889104 p3 p4 307416576 p2 p3 p4 44619968 6528 p25 p4 − + − p22 p3 p4 + 175 35 15 2308736 20672 2176 46823168 p32 p4 + p23 p3 p4 + p24 p3 p4 − p25 p3 p4 − 3 9 9 15 22961152 34816 7058944 p33 p4 + p2 p32 p4 − 87040 p22 p32 p4 − p23 p32 p4 − 15 9 27 2 2 2 2 69632 4567152 p4 30887232 p2 p4 1669536 p2 p4 p2 p33 p4 + − + − 9 7 35 5 4813312 p3 p42 1823488 13056 p23 p42 + − p2 p3 p42 + 28288 p22 p3 p42 + 5 3 4352 34816 p33 p42 721344 p43 p23 p3 p42 + 156672 p32 p42 − − + 78336 p2 p43 − 27 5 9 8704 201081984 p6 10260928 p2 p6 97262848 p22 p6 21760 p3 p43 − p2 p3 p43 + + − + 3 35 7 35 1180070912 p3 p6 267156224 p2 p3 p6 10540544 p23 p6 − 43520 p24 p6 − + − 15 105 45 6497536 17408 43520 37322752 p32 p6 p22 p3 p6 − p23 p3 p6 + p24 p3 p6 − − 9 9 27 45 3 139264 139264 1114112 p3 p6 278528 p2 p32 p6 + p22 p32 p6 + − p2 p33 p6 + 3 9 27 81 7685632 p3 p4 p6 110196992 p4 p6 11323904 p2 p4 p6 2 − + 208896 p2 p4 p6 + + 35 5 9 34816 69632 278528 p2 p3 p4 p6 − p22 p3 p4 p6 − p32 p4 p6 − 104448 p42 p6 + 3 9 9 2 34816 30620672 p6 1114112 p3 p62 278528 p3 p42 p6 + − 278528 p2 p62 − + p2 p3 p62 , 9 15 9 27 669146712 p23 38145692 p24 18377719863 11280453444 p2 171738935346 p22 − − + − + + 6125 35 25 875 875

7


8

139196432 p25 120148552 p26 1757728 p27 17161750836 p3 − + − 2432 p28 + − 35 105 15 245 23523364352 p23 p3 6527499856 p24 p3 132555487704 p2 p3 188936304 p22 p3 + − + + 175 525 315 1225 5 6 7 8 158404672 p2 p3 1686592 p2 p3 71744 p2 p3 2432 p2 p3 7405768928 p32 − − + − + 45 9 27 27 175 2 2 2 3 2 4 56363396032 p2 p3 2721400704 p2 p3 6992053504 p2 p3 105556096 p2 p32 − + − + 525 35 315 45 107008 p25 p32 48640 p26 p32 11602344832 p33 12593110016 p2 p33 + − + − 9 9 1575 945 562925312 p22 p33 2023424 p23 p33 3171328 p24 p33 19456 p25 p33 1403419648 p34 + + − + − 135 27 81 27 945 84672512 p2 p34 622592 p22 p34 311296 p23 p34 4980736 p35 2490368 p2 p35 + − + − + 135 3 27 27 81 311296 p22 p35 110968190292 p4 7666997952 p2 p4 1516235568 p22 p4 − + − − 243 6125 175 175 3 4 5 571993024 p2 p4 42137136 p2 p4 6410752 p2 p4 2079611712 p3 p4 + − + 34048 p26 p4 + − 35 5 5 175 12063914112 p2 p3 p4 6523078784 803972992 4265728 + p22 p3 p4 − p23 p3 p4 + p24 p3 p4 + 175 105 45 3 245632 34048 1058031872 p32 p4 351414272 p25 p3 p4 − p26 p3 p4 + − p2 p32 p4 + 9 27 105 21 544768 330752 147194368 p33 p4 16041472 + p22 p32 p4 + p23 p32 p4 − p24 p32 p4 − 9 9 135 3 4 4163584 1828864 389120 2490368 p3 p4 + p2 p33 p4 − p22 p33 p4 + p23 p33 p4 − 9 9 81 9 622592 80773104 p42 353553216 p2 p42 435660576 p22 p42 p2 p34 p4 + + − + 27 35 35 35 18612096 p23 p42 237164992 p3 p42 117533696 − 145920 p24 p42 − + p2 p3 p42 − 5 35 15 695552 48640 5729792 p32 p42 2164480 p22 p3 p42 − p23 p3 p42 + p24 p3 p42 − − 9 9 15 194560 4046848 p33 p42 77824 116736 p2 p32 p42 + p22 p32 p42 + − p2 p33 p42 + 3 27 27 71788992 p43 165376 − 1488384 p2 p43 + 175104 p22 p43 + 252928 p3 p43 + p2 p3 p43 − 35 3 2 3 19456 p4 77824 p3 1058596704 p6 4259381696 p2 p6 p22 p3 p43 − − + + 3 3 35 175 542900224 p22 p6 1349896192 p23 p6 37177984 p24 p6 − + − 97280 p25 p6 + 35 105 15 26665681024 p3 p6 23674829312 p2 p3 p6 1183318784 19922944 − + p22 p3 p6 − p23 p3 p6 − 525 315 45 9 1206272 97280 37433344 p32 p6 40546304 p24 p3 p6 + p25 p3 p6 − − p2 p32 p6 − 27 27 315 45 6848512 622592 30040064 p33 p6 23035904 p22 p32 p6 + p23 p32 p6 − + p2 p33 p6 − 9 9 27 81 311296 463218176 p4 p6 197254656 p2 p4 p6 59720192 p22 p33 p6 − + − p22 p4 p6 + 27 35 7 5 57327104 p3 p4 p6 2373632 4708352 544768 p23 p4 p6 − + p2 p3 p4 p6 + p22 p3 p4 p6 − 45 3 9 544768 9961472 1245184 622592 p23 p3 p4 p6 + p32 p4 p6 − p2 p32 p4 p6 − p33 p4 p6 + 9 9 81 27 3472896 p42 p6 2412544 77824 + 233472 p2 p42 p6 − p3 p42 p6 − p2 p3 p42 p6 − 5 9 9 1132125184 p62 146231296 p2 p62 15097856 p3 p62 + − 622592 p22 p62 + − 105 15 9 15564800 622592 622592 p2 p3 p62 + p22 p3 p62 − 622592 p4 p62 + p3 p4 p62 = 27 27 27 In[6]:=

Var = 8p2, p3, p4, p6<;


In[7]:= Timing@

NSolve@N@Sys, 2 MachinePrecisionD, VarDD Out[7]= 81.516 Second,

88p2 → 38.60015851096341423422954061451, p3 → 1.454963239498246122236853356722, p4 → 670.546722358121106996252756358, p6 → 12248.23525056953773103559285783<, 8p2 → 7.69861591676712019466045342439− 0.99419318343660870432645239632 , p3 → 1.990398350845398948768472639773− 0.047787323516492258310104820790 , p4 → 15.47886822752413018045056201335− 5.16490897272878058104577098149 , p6 → 35.5881063581130856222789315339− 20.2672000201131260022581711979 <, 8p2 → 7.69861591676712019466045342439+ 0.99419318343660870432645239632 , p3 → 1.990398350845398948768472639773+ 0.047787323516492258310104820790 , p4 → 15.47886822752413018045056201335+ 5.16490897272878058104577098149 , p6 → 35.5881063581130856222789315339+ 20.2672000201131260022581711979 <, 8p2 → 3.930754648895702914249122440836, p3 → 1.340430792264410509828534664860, p4 → 2.957153015303767214447408316560, p6 → 2.542925564232708641889624530170<, 8p2 → 3.560384528322684234531187097000, p3 → 1.462103767529495158718115066627, p4 → 2.315148581268398323302212580286, p6 → 1.651562920303631593056700259225<, 8p2 → 3.273227605113326328775752839936, p3 → 1.894487287250927194748541844363, p4 → 2.096258809485016939610519518085, p6 → 1.516115502635101359724868603022<, 8p2 → 3.366944336826192289587960738331, p3 → 2.069699061277094636222985302604, p4 → 2.263182841362302537917074896035, p6 → 1.718302777985232767497037510228<, 8p2 → 4.04392411814028462483440159289+ 0.164600917315115697241872896443 , p3 → 2.79889783679083902388146652031+ 0.015739205783219814262426834628 , p4 → 3.00088070381088286712613835744+ 0.072801624327269662233923211226 , p6 → 2.55396425288108317934281683220+ 0.029891843472506231993148559586 <, 8p2 → 4.04392411814028462483440159289− 0.164600917315115697241872896443 , p3 → 2.79889783679083902388146652031− 0.015739205783219814262426834628 , p4 → 3.00088070381088286712613835744− 0.072801624327269662233923211226 , p6 → 2.55396425288108317934281683220− 0.029891843472506231993148559586 <, 8p2 → 3.731671937524934521428171713881, p3 → 2.549763348868191616957754888026, p4 → 2.749958302873247660000442171962, p6 → 2.288522960325859584108280558883<, 8p2 → 3.853266573064781836150861426632, p3 → 2.869867176071562056529149459925, p4 → 2.957130016015273172948942501373, p6 → 2.588450064418545975402315525438<, 8p2 → 2.946919857952606942333702785607, p3 → 2.053444097360025404919231846785, p4 → 1.961969449536478477519949885061, p6 → 1.531563735956620298262471541960<, 8p2 → 3.084988698191359985370406940803, p3 → 2.229323163660080519299641838219, p4 → 2.169323182646356288665617670699, p6 → 1.761599446866555688345714272261<, 8p2 → 3.54638708716818244311218127289+ 0.025497762957571226552573664622 , p3 → 2.73593468118406346430073034448− 0.020211373982733070853230425188 , p4 → 2.78091372033730222725503100775− 0.028262821018194709756590178115 , p6 → 2.426248424263885443096373258641− 0.029248961481446144511711293260 <, 8p2 → 3.54638708716818244311218127289− 0.025497762957571226552573664622 , p3 → 2.73593468118406346430073034448+ 0.020211373982733070853230425188 , p4 → 2.78091372033730222725503100775+ 0.028262821018194709756590178115 , p6 → 2.426248424263885443096373258641+ 0.029248961481446144511711293260 <, 8p2 → 4.06531917518590818524993310961− 0.084651532185702109491269078150 , p3 → 3.33393740866684166477548461995− 0.114603163763464490185687168556 , p4 → 3.50114431971106459614225250310− 0.132807994115193528796549573565 , p6 → 3.20516323535003881259432639365− 0.149346269093064077609829454790 <, 8p2 → 4.06531917518590818524993310961+ 0.084651532185702109491269078150 , p3 → 3.33393740866684166477548461995+ 0.114603163763464490185687168556 , p4 → 3.50114431971106459614225250310+ 0.132807994115193528796549573565 , p6 → 3.20516323535003881259432639365+ 0.149346269093064077609829454790 <, 8p2 → 3.410399555922999865206180212852, p3 → 2.639820227244579096147835614634, p4 → 2.670787392912306521506906473997, p6 → 2.302508899108472548137588049105<, 8p2 → 2.670745551893832740349664629445, p3 → 2.002294539400708399249066984236, p4 → 1.796587965794341011952905001812, p6 → 1.431688832728137404271230457420<,

9


8p2 → 2.784202441310058554824077254490, p3 → 2.172252588137002058011812186923, p4 → 1.988936051004880139169051990648, p6 → 1.651544060280237721801656378622<, 8p2 → 1.904413901905022925823872255719, p3 → 1.312163827080700659272418998602, p4 → 0.946319357645433001924158118058, p6 → 0.532558348226846717566204208803<, 8p2 → 2.328502190843818239919237610176, p3 → 1.785027357710131653731338381237, p4 → 1.499633761650627047406374500205, p6 → 1.145598369794868101735680902531<, 8p2 → 2.026195449153659853757670640535, p3 → 1.482192939158884675370824849798, p4 → 1.142813337121778409447039169393, p6 → 0.753363202972735639047038281950<, 8p2 → 2.461052545707877802625767777023, p3 → 1.956329557569852804088369549319, p4 → 1.698087924671812827818995832075, p6 → 1.368086790129084242478894782031<, 8p2 → 3.07469076635937707631007157071+ 0.285142194651457744131264280084 , p3 → 2.63598897009754188245561562001+ 0.009083202592245910699837441787 , p4 → 2.468580389659578578122180207954+ 0.038227949897923847179019614270 , p6 → 2.242915961685472279391541163087+ 0.009415723608015531543490994049 <, 8p2 → 3.07469076635937707631007157071− 0.285142194651457744131264280084 , p3 → 2.63598897009754188245561562001− 0.009083202592245910699837441787 , p4 → 2.468580389659578578122180207954− 0.038227949897923847179019614270 , p6 → 2.242915961685472279391541163087− 0.009415723608015531543490994049 <, 8p2 → 2.920796528488233845747752393860, p3 → 2.485522534748737466303986136156, p4 → 2.332266235156253047923622137390, p6 → 2.053236699581373070597056785642<<<

10

Přehled dostupného software pro řešení soustav polynomiálních rovnic

Recommend Documents