Opdrachten
Opdracht 1 bladzijde 8 Uit een stuk karton met lengte 45 cm en breedte 28 cm knip je in de vier hoeken vierkantjes af met zijde x cm. Zo verkrijg je een open doos. x
x
x
x
x
x
28 cm x
x 45 cm
1 Hoe groot is het volume van de doos als je vierkantjes met zijde 5 cm wegsnijdt? V = (45 – 2 ? 5)(28 – 2 ? 5) ? 5 fi V = 3150 cm3 = 3,15 dm3
2 Bepaal het volume V (in cm3) van de doos in functie van x. V = (45 – 2x)(28 – 2x) ? x
3 Welke waarden van x zijn zinvol? De zijde x moet positief zijn en kleiner dan de helft van de breedte 28 cm. Dus 0 < x < 14. Anders genoteerd: x Π]0,14[.
Opdracht 2 bladzijde 10 Zonder water kan een mens niet overleven. Wereldwijd worden er dan ook al vele jaren inspanningen geleverd om het tekort aan drinkwater aan te pakken. Een oplossing daarvoor zou het gebruik van Zuidpoolijs kunnen zijn. Een ijsberg bevat immers miljoenen tonnen zoet water, potentieel drinkwater dus. De Franse ingenieur Georges Mougin ijvert al sinds 1975 om het verslepen van ijsbergen mogelijk te maken, maar stuitte op tal van problemen (financiële, technische …). Het is pas sinds 2002 dat men, dankzij o.a. simulatietechnieken, een beter zicht heeft op het verslepen van een ijsberg. Hoeveel ijs er tijdens een dergelijke tocht smelt, is onder andere afhankelijk van de tijd die het kost om de ijsberg naar de eindbestemming te slepen. Stel dat men als model een bolvormige ijsberg neemt met straal 150 m en dat er per dag een laag ijs van 2 m dikte smelt.
8
Veeltermfuncties
1 Bepaal het voorschrift van het volume V van de ijsberg (in m3) als functie van de vaartijd t (in dagen). Je mag aannemen dat het transport van de ijsberg begint op t = 0. Vbol = V =
4 3
4 3
pr3
p (150 – 2t) 3
2 Wat is het volume van de ijsberg na 20 dagen varen? V =
4 3
p (150 – 2 20) 3 = 5 575 279,763
Het volume is ongeveer 5 575 280 m3.
3 Na hoeveel dagen zou de ijsberg volledig gesmolten zijn? V = 0 ¤ 150 – 2t = 0 ¤ t = 75 Na 75 dagen varen is het ijs gesmolten.
Opdracht 2(vervolg) bladzijde 11 4 Maak gebruik van de grafiek van V om na te gaan na hoeveel tijd het volume van de ijsberg gehalveerd is. Grafisch:
15 000 000
0
80
Bereken dit tijdstip ook algebraïsch. Algebraïsch: 4 3
p (150 - 2t) 3 = 150 – 2t =
1 2 3
4 3
1503 2
150 – t =
p 1503
3
1503 2
2
= 15,47246 Na ongeveer 16 dagen is het volume gehalveerd. 8.a
Opdrachten
Opdracht 3 bladzijde 11 Beschouw de functie met voorschrift f(x) = x3 - x2 - 9x + 9. 1 Welke nulpunten kun je aflezen uit de tabel van f ? Uit de tabel van f lezen we 3 nulpunten af: –3, 1 en 3.
2 Ontbind het voorschrift van f in factoren. Dit kan bijvoorbeeld door de termen twee aan twee samen te nemen. x3 – x2 – 9x + 9 = x2(x – 1) – 9(x – 1) = (x – 1) (x2 – 9) = (x – 1) (x – 3) (x + 3)
3 Hoe kun je uit die ontbinding de nulpunten van f algebraïsch bepalen? (x – 1) (x – 3) (x + 3) = 0 ¤ x – 1 = 0 of x – 3 = 0 of x + 3 = 0 ¤ x = 1 of x = 3 of x = –3
Opdracht 4 bladzijde 11 Beschouw de functie met voorschrift f(x) = x3 + x2 - 10x - 12. In een tabel kun je enkel het geheel nulpunt -3 aflezen. 1 Bepaal m.b.v. de grafiek de overige nulpunten op 0,001 nauwkeurig. Op de grafiek lezen we de nulpunten –1,236 en 3,236 af. 10 -5
5
-25
10
Veeltermfuncties
2 Als -3 een nulpunt is van f, dan is x + 3 een deler van f(x) en geldt f(x) = (x + 3) ? q(x). Bepaal het quotiënt q(x) en bereken de nulpunten van f exact. M.b.v. de Hornerschema vinden we: –3
1
1 –3 –2
1
–10 6 –4
–12 12 0
Het quotiënt is q(x) = x2 – 2x –4. Dit betekent dat f(x) = (x + 3) (x2 – 2x – 4) en dus: (x + 3) (x2 – 2x – 4) = 0 ¤ x + 3 = 0 of x2 – 2x – 4 = 0 D = 4 + 16 = 20 ¤ x = –3 of x =
2 ± 2 5
nulpunten : –3, 1 –
2
= 1 ±
5, 1 +
5
5
Opdracht 5 bladzijde 11 1 4 521 2 144 1 Plot de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = x x + . 200 400 25 Op basis van het standaardvenster vermoeden we twee nulpunten.
10
-10
10
-10
11
Opdrachten
2 Bereken de nulpunten van f door de bikwadratische vergelijking 1 4 521 2 144 x - x + = 0 op te lossen. 200 400 25 1 200
x4 –
521 400
x2 +
144 25
= 0
¤ 2x4 – 521x2 + 2304 = 0 D = 253 009 = 5032 521 ± 503 4
x21,2 = 2 ¤x =
x = ±
9
of x2 = 256 = 162
2
3 2
of x = ± 16
3 2x = ± 16 ¤ x =: ±– 3 2 , of nulpunten , –16, 16 2 2 nulpunten : –
3 2 2
,
3 2 2
, –16, 16
Opdracht 6 bladzijde 14 Bepaal exact de nulpunten van de veeltermfuncties. 1 f(x) = 2x3 - 2x 2x3 – 2x = 0 ¤ 2x (x2 – 1) = 0 ¤ 2x = 0 of x2 – 1 = 0 ¤ x = 0 of x = –1 of x = 1 nulpunten: 0, –1, 1
12
Veeltermfuncties
2 f(x) = x3 + 4x2 - 11x - 30 x3 + 4x2 – 11x – 30 = 0 Via een tabel vinden we als nulpunten –5, –2 en 3. Er kunnen niet meer nulpunten zijn. Nulpunten: –5, –2, 3
3 f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 6 x3 – 3x2 + 2x – 6 = 0 ¤ x2 (x – 3) + 2 (x – 3) = 0 ¤ (x – 3) (x2 + 2) = 0 x2 + 2 = 0
¤ x – 3 = 0 of
geen oplossing
¤x = 3 Nulpunt: 3
4 f(x) = 4x3 + 4x2 - 7x + 2 4x3 + 4x2 – 7x + 2 = 0 In de tabel lezen we het nulpunt –2 af. Regel van Horner: –2
4
4 –8 –4
4
–7 8 1
2 –2 0
Er geldt: f(x) = (x + 2) (4x2 – 4x + 1) zodat: f(x) = 0 ¤ (x + 2) (4x2 – 4x + 1) = 0 ¤ (x + 2) (2x – 1)2 = 0 ¤ x + 2 = 0 of 2x – 1 = 0 ¤ x = –2 of x = Opmerkingen: 1)
1 2
1
is een dubbel nulpunt. 2 1 2) Kies je voor de tabel stapgrootte , 2 1 dan vind je ook als nulpunt via de tabel. 2
13
Opdrachten
5 f(x) = x4 - 5x2 + 6 x4 – 5x2 + 6 = 0
bikwadratische vergelijking:
¤ t2 – 5t + 6 = 0
stel x2 = t
S = 5 P = 6
2 en 3
¤ t = 2 of t = 3 ¤ x2 = 2 of x2 = 3 ¤x = ±
2 of x = ±
Nulpunten: nulpunten : – 2,
3
2, – 3,
3
6 f(x) = x4 - 9 x4 – 9 = 0 ¤ (x2 – 3) (x2 + 3) = 0 x2 + 3 = 0
¤ x2 – 3 = 0 of
geen oplossing ¤x = ±
3
Nulpunten: nulpunten : – 3,
3
7 f(x) = x3 - 6x - 4 x3 – 6x –4 = 0 In de tabel lezen we het nulpunt –2 af. –2
1
0 –2 –2
1
–6 4 –2
–4 4 0
(x + 2) (x2 – 2x – 2) = 0 ¤ x + 2 = 0 of x2 – 2x – 2 = 0 D = 12 ¤ x = –2 of x =
2 ± 2 3
nulpunten : –2, 1 – Nulpunten:
14
2
= 1 ±
3, 1 +
3
3
Veeltermfuncties
8 f(x) = x4 - x3 - 5x2 + 4x + 4 x4 – x3 – 5x2 + 4x + 4 = 0 In de tabel lezen we de nulpunten –2 en 2 af. –2 2
1
–1 –2 –3 2 –1
1 1
–5 6 1 –2 –1
4 –2 2 –2 0
4 –4 0
(x + 2) (x – 2) (x2 – x – 1) = 0 ¤ x + 2 = 0 of x – 2 = 0 of x2 – x – 1 = 0 D = 5 1 ±
¤ x = –2 of x = 2 of x = nulpunten : –2, 2, Nulpunten:
1– 2
5
5
2 1+
,
5
2
9 f(x) = 9x3 + 39x2 - 29x + 5 In de tabel lezen we het nulpunt –5 af. –5
9
39 –45 –6
9
–29 30 1
5 –5 0
(x + 5) (9x2 – 6x + 1) = 0 ¤ x + 5 = 0 of (3x – 1)2 = 0 1
¤ x = –5 of x = Nulpunten: nulpunten : –5,
3 1 3
15
Opdrachten
10 f(x) = 4x6 - 9x4 - 4x2 + 9 4x6 – 9x4 – 4x2 + 9 = 0 ¤ x4 (4x2 – 9) – (4x2 – 9) = 0 ¤ (4x2 – 9) (x4 – 1) = 0 ¤ (2x – 3) (2x + 3) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) = 0 ¤ 2x – 3 = 0 of 2x + 3 = 0 of x – 1 = 0 of x + 1 = 0 of x2 + 1 = 0 geen oplossing ¤x =
3 2
of x = –
Nulpunten: nulpunten :
3 2
,–
3 2
3 2
of x = 1 of x = –1
, 1, –1
Opdracht 7 bladzijde 15 Een veeltermfunctie van de derde graad heeft een (enkelvoudig) nulpunt 3 en een dubbel nulpunt -2. De grafiek van deze functie gaat door het punt P(-3, 3). Het voorschrift is bijgevolg van de vorm f(x) = a ? (x - 3)m ? (x + 2)n, met a π 0. 1 Bepaal m en n. f(x) = a(x – 3)m • (x + 2)n 3 is een enkelvoudig nulpunt: m = 1, 3… –2 is een dubbel nulpunt: n = 2, 4… Omdat de veeltermfunctie van de derde graad is, is m = 1 en n = 2.
2 Bereken a. Het punt P (–3, 3) ligt op de grafiek van f: a (–3 – 3) (–3 + 2)2 = 3 ¤ –6a = 3 ¤a = –
16
1 2
Veeltermfuncties
Opdracht 8 bladzijde 15 Bepaal het voorschrift van de vierdegraadsfunctie f met -1 en 1 als dubbele nulpunten en waarvan de grafiek door het punt P(2, 3) gaat. f(x) = a (x + 1)2 (x – 1)2 De grafiek gaat door het punt P (2,3): a (2 + 1)2 (2 – 1)2 = 3 ¤ 9a = 3 1 ¤a = 3 Voorschrift : f(x) =
1 3
(x + 1)2 (x – 1)2
Opdracht 9 bladzijde 15 Geef een voorbeeld van een vierdegraadsfunctie met 1 geen nulpunten f(x) = x4 + 1, g(x) = 2x4 + 3…
2 één nulpunt f(x) = (x – 1)4, g(x) = (x – 1)2 (x2 + 1)…
3 twee nulpunten f(x) = x4 – 1, g(x) = (x – 1) (x + 1)3…
4 drie nulpunten f(x) = (x – 1) (x + 1) (x – 2)2, g(x) = (x – 1)2 (x2 – 4)…
5 vier nulpunten f(x) = x(x – 1) (x + 1) (x – 2), g(x) = (x2 – 1) (x2 – 4)…
17
Opdrachten
Opdracht 10 bladzijde 16 Het voorschrift f(x) = 2x3 + x2 - 6x kan ontbonden worden als f(x) = x(x + 2)(2x - 3). In de tabel vind je de functiewaarden bij een aantal originelen. 1 Leid uit deze gegevens af voor welke intervallen van x de grafiek van f boven, respectievelijk onder de x-as ligt. Doe dit zonder een grafiek te maken. De grafiek van f ligt boven de x–as voor –2 < x < 0 en voor x > 1,5 want daar zijn de functiewaarden positief. De grafiek van f ligt onder de x–as voor x < –2 en voor 0 < x < 1,5 want daar zijn de functiewaarden negatief. Omdat de functie van de derde graad is kunnen er maximum 3 nulpunten zijn. Een andere mogelijkheid voor de grafiek is er niet.
x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) -27 -10 0 4,5 5 3 0 -2,5 -3 0 8 22,5 45
2 Voor x = -3 en x = 1 zijn de functiewaarden negatief: f(-3) = -27 en f(1) = -3. Bepaal voor x = -3 het teken van elk van de factoren in de ontbinding van f. Doe dit ook voor x = 1. x = –3:
x = 1:
–3 < 0 –3 + 2 < 0 2 (–3) – 3 < 0 1 > 0 1 + 2 > 0 2 • 1 – 3 < 0
3 negatieve factoren –3 (–3 + 2) (2 (–3) – 3) < 0 2 positieve en 1 negatieve factor 1 • (1 + 2) • (2 • 1 – 3) < 0
3 Voor x = -1 en x = 2 zijn de functiewaarden positief. Wat kun je voorspellen over het aantal positieve factoren voor deze twee x-waarden? Controleer je bewering.
18
x = –1:
even aantal negatieve factoren –1 < 0 2 negatieve factoren –1 + 2 > 0 –1 • (–1 + 2) (2 • (–1) – 3) > 0 2 (–1) – 3 < 0
x = 2:
2 > 0 2 + 2 > 0 2 • 2 – 3 > 0
3 positieve factoren 2 • (2 + 2) (2 • 2 – 3) > 0
Veeltermfuncties
Opdracht 11 bladzijde 18 Los de volgende ongelijkheden op met behulp van een tekentabel. 1 x3 - x2 - x - 2 > 0 * nulpunten: x3 – x2 – x – 2 = 0 Tabel: 2 2
1 1
–1 2 1
–1 2 1
–2 2 0
(x – 2) (x2 + x + 1) = 0 ¤ x – 2 = 0 of x2 + x + 1 = 0 D = – 3 < 0 ¤x = 2 * tekentabel: x x – 2 – 2 x + x + 1 + f(x) –
2 0 + 0
+ + +
* x3 – x2 – x – 2 > 0 als x > 2
2 -3x4 - x3 + 2x2 £ 0 * nulpunten: –3x4 – x3 + 2x2 = 0 ¤ –x2 (3x2 + x – 2) = 0 ¤ x = 0 (2x) of 3x2 + x – 2 = 0 D = 25 x 1,2 =
–1 ± 5 6
2
–x 3x2 + x – 2 f(x)
– + –
2 3
* tekentabel: x
–1
–1
0
– – 0 – 0 +
0 – – – 0 +
2 3 – 0 0
– + –
* – 3x 4 – x3 + 2x2 £ 0 als x £ –1 of x = 0 of x ≥ 2 3
19
Opdrachten
Opdracht 12 bladzijde 18 Los grafisch op: f(x) > g(x). y y 3 3 2 2 )x(g = y
y = g(x)
1 1 x
x –3 3
–2 2
–1 1
00
11–
22–
–1 1–
y = f(x)
33– )x(f = y
–2 2– –3 3–
f(x) > g(x) als –1 < x < 0 of x > 2
Opdracht 13 bladzijde 18 Voor welke waarden van x ligt de grafiek van f: x |→ x3 + x2 - 4 onder de grafiek van g: x |→ -3x2 - x + 2 ? De voorwaarde vertaalt zich in: x2 + x2 – 4 < –3x2 – x + 2 ¤ x3 + x2 – 4 + 3x2 + x – 2 < 0 ¤ x3 + 4x2 + x – 6 < 0 * nulpunten: –3, –2, 1 (tabel) x3 + 4x2 + x – 6 < 0 ¤ (x + 3) (x + 2) (x – 1) < 0 * tekentabel: x x + 3 x + 2 x – 1 f(x) – g(x)
– – – –
–3 0 – – 0
+ – – +
–2 + 0 – 0
+ + – –
1 + + 0 0
* De grafiek van f ligt onder de grafiek van g als x < –3 of –2 < x < 1
20
+ + + +
Veeltermfuncties
Opdracht 14 bladzijde 18 Los op. 1 x4 - 5x2 + 4 ≥ -x2 + 4 x4 – 5x2 + 4
–x2 + 4
≥
f(x)
g(x)
¤ x4 – 5x2 + 4 + x2 – 4 ≥ 0 ¤ x4 – 4x2 ≥ 0 ¤ x2 (x2 – 4) ≥ 0 * nulpunten: 0, –2, 2 * tekentabel: x x2 x2 – 4 f(x) – g(x)
+ + +
–2 + 0 0
+ – –
0 0 – 0
+ – –
2 + 0 0
+ + +
* x4 – 5x2 + 4 ≥ –x2 + 4 als x £ –2 of x = 0 of x ≥ 2
21
Opdrachten
2 2x3 - x2 - x < x - 1 2x3 – x2 – x
x – 1
<
f(x)
g(x)
¤ 2x3 – x2 – x – x + 1 < 0 ¤ 2x3 – x2 – 2x + 1 < 0 * nulpunten: –1, 1,
1
2 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0 ¤2
( x + 1) ( x – 1)
(tabel) 1 x - = 0 2
¤ (x + 1) (x – 1) (2x – 1) = 0 * tekentabel: x x + 1 x – 1 2x – 1 f(x) – g(x)
1
–1 – – – –
0 – – 0
+ – – +
2 + – 0 0
1 + – + –
* 2x3 – x2 – x < x – 1 als x < –1 of 1 2
22
+ 0 + 0
+ + + +
< x < 1
Veeltermfuncties
Opdracht 15 bladzijde 19
1 De functies f in deze opdracht hebben als voorschrift f( x ) = of f( x ) = x of f( x ) = 3 x x of f( x ) = x 3. Op de grafiek van zo’n functie f wordt een transformatie (spiegeling, uitrekking, verschuiving) uitgevoerd. Zo ontstaat de grafiek van een functie g. Bepaal telkens het voorschrift van f en g. 1
x -1 0 1 2 3 4 5
f(x) g(x) / / 0 0 1 5 1,4142 7,0711 1,7321 8,6603 2 10 2,2361 11,18
f( x) =
8
y y = g(x)
4 y = f(x)
x –1
0
1
2
3
4
5
x
g( x ) = 5 x
2
x f(x) g(x) -3 -0,3333 0,3333 0,5 -2 -0,5 1 -1 -1 0 / / 1 1 -1 2 0,5 -0,5 3 0,3333 -0,3333 f( x) =
2
y y = f(x)
1
x –3
–2
–1
0 –1
1
2
3
y = g(x)
–2
1
x 1 g( x ) = – x
23
Opdrachten
3
x f(x) g(x) -3 -0,3333 0,6667 1 -2 -0,5 2 -1 -1 0 / / 1 1 -2 2 0,5 -1 3 0,3333 -0,6667 f( x) =
2
y y = f(x)
1
x –3
–2
–1
0
1
2
3
–1 y = g(x)
–2
1
x 2 g( x ) = – x
Opdracht 15(vervolg) bladzijde 20 4 x f(x) g(x)
5
-4
-1,587
-1,817
-2
-1,26
-1,587
0 2 4 6 8
0 -1,26 1,2599 0 1,5874 1,2599 1,8171 1,5874 2 1,8171
f( x) =
3
x
g( x ) =
3
x –2
x -5 -3 -1 1 3 5
f(x) -125 -27 -1 1 27 125
g(x) -28 -2 0 26 124 342
2
g(x) = (x + 2)3 – 1
24
y = f(x)
1 x –6
–4
–2
0
2
–1
4
6
y = g(x)
–2
y = g(x)
2
y y = f(x)
1 x –3
–2
–1
0 –1 –2
f(x) = x3
y
1
2
3
Veeltermfuncties
Opdracht 16 bladzijde 22 1 Op de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = x4 past men, in de gegeven volgorde, de volgende transformaties toe: 1 – een verticale uitrekking met factor 2 – een spiegeling om de x-as – een verschuiving volgens de vector v (-2,3) Je krijgt de grafiek van een functie g. Bepaal het voorschrift van deze functie. y = x4 verticale uitrekking met factor y =
y = –
1
x 2 spiegeling om de x–as 4
1
1 2
x4
2
verschuiving volgens Æ v (–2, 3) y = –
1 2
g(x) = –
(x + 2) 4 + 3 1
(x + 2) 4 + 3
2
2 Je verandert nu de volgorde van de transformaties als volgt: – eerst een verschuiving volgens de vector v (-2,3) – daarna een spiegeling om de x-as – tenslotte een verticale uitrekking met factor
1 2
Je krijgt de grafiek van een functie h. Bepaal het voorschrift van deze functie. y = x4
verschuiving volgens Æ v (–2, 3)
y = (x + 2)4 + 3 spiegeling om de x–as y = – (x + 2)4 – 3 verticale uitrekking met factor y = –
1 2
h( x ) = –
(x + 2) – 4
1 2
3 2
(x + 2) 4 –
1 2
3 2
25
Opdrachten
Opdracht 17 bladzijde 22 1 Teken de grafiek van de functie met voorschrift f(x) = | x |.
2 Welke transformaties zijn er nodig om deze grafiek om te vormen tot de nevenstaande grafiek? 2
y x
–4
–2
0
2
4
–2 –4
y: - |x| +1
spiegeling om de x–as Æ y = – |x| verschuiving volgens Æ v (0,1) Æ y = – |x| + 1
3 Geef het voorschrift dat hoort bij die grafiek. y = – |x| + 1
26
Veeltermfuncties
Opdracht 18 bladzijde 23 Gegeven zijn een aantal functiegrafieken. Bepaal de eventuele symmetrieassen en symmetriemiddelpunten van de grafieken. 1 y y = f(x)
4 2
x –4
–2
2
0
4
–2 –4
symmetriemiddelpunt: (0,0)
2
y 6 y = f(x)
4 2 x –4
–2
2
0
4
–2
geen symmetrie
3
y y = f(x)
2 1
x –1
0
1
2
3
–1 –2
symmetriemiddelpunt (2, –1)
27
Opdrachten
4
y 6 y = f(x)
4 2 x p
0
–p
–2
oneindig veel symmetrieassen ➜
[0, p] verdelen in 3 delen
➜
x = 0, x =
x = –
p 3
p 3
, x =
, x = –
5
2p 3
y
2p 3
, x = p, x =
, ...
y = f(x)
6 4 2 x –4
–2
0
2
–2
1 symmetrieas: x = 0
28
4
4p 3
, ...
Veeltermfuncties
6
y y = f(x)
4 2 x
–2p
–p
0
p
2p
–2 –4
oneindig veel symmetrieassen: x =
3p 4
,
7p 4
, –
p 4
,...
Opdracht 19 bladzijde 26 Onderzoek algebraïsch of de functies met gegeven voorschrift even, oneven of geen van beide zijn. Controleer daarna d.m.v. een grafiek. 1 f(x) = x4 + 5 f(–x) = (–x)4 + 5 = x4 + 5 = f(x) f is even
2 f(x) = x5 - 3x + 2 f(–x) = (–x)5 – 3(–x) + 2 = –x5 + 3x + 2 π f(x) π –f(x) f is even, noch oneven
3 f(x) = -2x3 + 5x f(–x) = – 2(–x)3 + 5(–x) = 2x3 – 5x = – (–2x3 + 5x) = – f(x) f is oneven
29
Opdrachten
Opdracht 20 bladzijde 30 Hieronder zie je een aantal grafieken met voorschrift f(x) = axn. Maak een classificatie van de vorm van de grafiek van deze functies op basis van de waarde van a en n. f(x) = axn n even a > 0 f5(x)
n oneven f1(x) f3(x)
f9(x) a < 0
f7(x)
f11(x)
f2(x)
f4(x)
f6(x)
f8(x)
f10(x)
f12(x)
Opdracht 21 bladzijde 32 In welke kwadranten liggen de grafieken van de volgende functies, voor zeer grote absolute waarden van x? 1 f(x) = 3x4 - 5x3 + x a > 0
eerste en tweede kwadrant
n even
2 f(x) = -x3 + 1000 x2 + 10 000 000 x + 1 000 000 000 a < 0
tweede en vierde kwadrant
n oneven
3 f(x) = -0,8x6 - 1,2x4 + x2 + 1 a < 0
derde en vierde kwadrant
n even
4 f(x) = 0,01x5 + 100x4 + x3 a > 0 n oneven
30
eerste en derde kwadrant
Veeltermfuncties
Opdracht 22 bladzijde 33 Bij een rechthoekige metalen plaat van 30 cm bij 20 cm worden in de hoeken kleine vierkanten weggesneden. Daarna wordt van de plaat een bakje gebogen. De hoogte van de rand is x (in cm). x
x
x
x
x
x
20 cm x
x 30 cm
De inhoud I van dit bakje kunnen we uitdrukken in functie van x: I(x) = (30 - 2x)(20 - 2x)x 1 Welke inhoud heeft het bakje als x = 3? En als x = 11? x = 3: I(x) = (30 – 6) (20 – 6) • 3 = 1008 fi 1008 cm3 x = 11: I(x) = (30 – 22) (20 – 22) • 11, geen oplossing want < 0 de inhoud kan niet negatief zijn.
2 Welke zijn de zinvolle waarden voor x? De zijde van het vierkantje moet positief zijn en moet kleiner zijn dan de helft van de kortste zijde van de rechthoek (20 cm), dus 0 < x < 10
3 Stel een tabel op van I, waarbij x zinvolle gehele waarden aanneemt. Voor welke waarde van x, bij benadering, is de inhoud maximaal? x I(x)
1 504
2 832
3 1008
4 1056
5 1000
6 864
7 672
8 448
9 216
x ª 4 cm
31
Opdrachten
4 Kies vensterinstellingen op basis van de tweede en de derde vraag en plot de grafiek van I. Ga op deze grafiek na voor welke x-waarde de inhoud maximaal is. Geef het resultaat in mm. x ª 3,9237 cm ª 39 mm
1200
0
10
Opdracht 23 bladzijde 36 Bepaal grafisch de relatieve extrema van de veeltermfunctie met voorschrift f(x) = x4 - 0,7x3 - 0,6x2 + 1. Via een tabel bepalen we de
2
geschikte vensterinstelling -1
2
-1
De functie bereikt een minimum voor x = – 0,345 met waarde 0,971 en voor x = 0,870 met waarde 0,658. De functie bereikt een maximum voor x = 0 met waarde 1.
32
Veeltermfuncties
Opdracht 24 bladzijde 36 Uit een rechthoek van 40 cm lang en 20 cm breed snijden we zes gelijke vierkanten weg zoals aangegeven op de figuur. Met het overblijvende deel maken we een taartdoosje. Hoe groot moet de zijde van de vierkantjes zijn opdat de doos een maximale inhoud zou hebben? 40 – 3x De inhoud van de doos = I(x) = 20 – 2x 2
(
De zijde van het vierkantje moet
) x
700
ongeveer 3,77 cm zijn opdat de inhoud van de doos maximaal is (± 673,84 cm3). 0
10
Opdracht 25 bladzijde 39 Welke van de onderstaande grafieken zijn functiegrafieken? Bepaal in dit geval het domein en het bereik van de functie. 1
geen functie
y
1 x 0
1
33
